第 4 卷 第 1 期 二〇一七年四月 VOL. 4 NO. 1 April 2017

第 4 卷 第 1 期 二〇一七年四月 VOL. 4 NO. 1

April 2017

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《臺灣數學教育期刊》

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學術研究的發展與精進有賴其社群成員間交流順暢與相互砥礪。 《臺灣 數學教育期刊》即在提供數學教育研究社群發表研究成果論述的平台。本 期刊以發行高品質學術研究論文為宗旨，支持多樣性觀點探討數學教育。

無論是實徵性研究或具批判性理論論述之立場論文，只要是原創性論文均 為本刊鼓勵發表之文章。每篇進入審查程序之文章均有一位責任編輯從中 輔導與協助作者進行文稿的修訂。無論文章最後結果是否接受刊登，作者 皆能在過程中獲得適當正面意見。

數學本身為高度抽象的知識體系。因此，如何輔助學習者有效地學習 數學即是數學教育研究的重點。然而，此涉及學習者多樣的學習風格與教 學工具的使用。本期所刊登之三篇論文中，第一篇是由鄭英豪、陳建誠與 許慧玉共同發表用動態幾何軟體作為輔助工具以分析國中臆測幾何性質的 過程。第二篇文章是由連文宏與洪儷瑜共同發表探討數學學障與數學合併 閱讀障礙國中生計算能力表現之特徵以及其差異。第三篇是由陳埩淑所發 表之探索性研究，探索幼童重複樣式之教學。本期三篇論文分別展現多樣 性的數學教育研究，期能給讀者有用的參考資訊與啓思。

本期刊得以維持高品質的論文發行接有賴於副主編、責編與編審委員 們的無償付出與把持，以及台灣數學教育研究社群的投入，特此致謝。期 盼各界能繼續支持，不吝賜稿。

《臺灣數學教育期刊》主編 謹誌

臺灣數學教育期刊

第 4 卷 第 1 期

2014 年 4 月創刊 2017 年 4 月出刊

目錄

國中生在動態幾何軟體輔助下臆測幾何性質之研究

／鄭英豪、陳建誠、許慧玉

1

數學學障與數學合併閱讀障礙國中生計算能力表現之特徵及其 差異分析

／連文宏、洪儷瑜

35

幼童重複樣式教學之探索性研究

／陳埩淑

63

Vol. 4 No. 1

First Issue: April 2014 Current Issue: April 2017

CONTENTS

Junior High School Students Conjecture Geometric Properties in a Dynamic Geometry Software Environment

／Ying-Hao Cheng, Jian-Cheng Chen, Hui-Yu Hsu

1

Profile of Arithmetic Knowledge of Junior High School Students with Mathematics Learning Disabilities with/without Reading Disabilities

／Wen-Hung Lien、Li-Yu Hung

35

Exploratory Study of Instruction of Repeating Patterns for Young Children

／Ching-Shu Chen

63

通訊作者：許慧玉，e-mail：huiyuhsu@mail.nhcue.edu.tw 收稿：2016 年 4 月 6 日；

接受刊登：2017 年 3 月 17 日。

鄭英豪、陳建誠、許慧玉（2017）。

國中生在動態幾何軟體輔助下臆測幾何性質之研究。

臺灣數學教育期刊，4（1），1-34。

doi: 10.6278/tjme.20170317.001

國中生在動態幾何軟體輔助下臆測幾何性質之研究

鄭英豪¹ 陳建誠² 許慧玉³

1臺北市立大學數學系

2明志科技大學

3國立清華大學數理教育研究所

本研究探討國中生如何在動態幾何環境下臆測幾何性質。研究以程序性反駁模式為中介理論架構設計幾 何臆測學習單，目的是瞭解國中生如何在動態幾何環境中建構圖形案例，並依據案例來臆測正確的幾何 性質。其中，本研究特別強調將動態幾何軟體定位為「例子產生器」，結合幾何圖形案例測量值的紀錄表 格，鷹架學生進行臆測活動。研究樣本為 15 位七年級國中生，以質性分析方法為主、量化資料輔助說明 下，研究發現（1）動態幾何環境下，幾何性質本身涉及測量值關係的複雜程度及幾何性質是否容易在圖 形上視覺觀察，影響學生造例與臆測表現。同時這兩個因素影響學生在動態幾何環境下的認知行為和學 習困難；（2）具備良好的幾何物件分類系統是在動態幾何環境中成功臆測的重要關鍵；（3）學生對圖形 進行分解與重組操作有助於在動態幾何環境中察覺圖形中蘊含的特徵或關係；（4）學生能拖曳不同圖形 案例並不等同他們能察覺符合命題結果的正反例，進而影響臆測結果；（5）學生仍缺乏動態幾何環境知 識以建構原本意圖產生的圖形案例。另，本研究也依據學生在結合動態幾何與案例記錄表格的表現，區辨 出不同臆測認知策略：分別為有限隨機離散案例歸納、系統性調整案例臆測以及動態性調整案例臆測。

關鍵詞：動態幾何軟體（DGS）、幾何性質、程序性反駁模式（PRM）、臆測

Corresponding author：Hui-Yu Hsu，e-mail：huiyuhsu@mail.nhcue.edu.tw Received：6 April 2016;

Accepted：17 March 2017.

Cheng, Y. H., & Chen, J. C., & Hsu, H. Y. (2017).

Junior high school students conjecture geometric properties in a dynamic geometry software environment.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 4(1), 1-34.

doi: 10.6278/tjme.20170317.001

Junior High School Students Conjecture Geometric Properties in a Dynamic Geometry Software Environment

Ying-Hao Cheng ¹ Jian-Cheng Chen ² Hui-Yu Hsu³

1University of Taipei

2Ming Chi University of Technology

3 Graduate Institute of Mathematics and Science Education, National Tsing Hua University

This study investigated how junior high school students conjecture geometric properties in a dynamic geometry software (DGS) environment. Using the proceduralized refutation model as an intermediate theoretical framework, we particularly examined the process and the difficulties that students may have when conjecturing. Specifically, we referred to DGS as an “example generator” and combined it with spreadsheets to support students in conjecturing geometric properties. A total of 15 seventh grade students participated in this study. Based on the qualitative analysis and quantitative data, we demonstrated that (1) the complexity of the relationship among measurements involved in a geometric property and the possibility of visualizing that property play important roles in determining students’

performance when conjecturing in a DGS environment; (2) being able to effectively classify geometric objects was the key to successfully perceiving geometric properties and relationships embedded in geometric diagrams; (3) decomposing and recomposing diagrams aided students in recognizing embedded geometric properties; (4) the ability to drag a geometric diagram into different shapes in a DGS environment did not guarantee the ability to discern supportive and counter examples or the ability to use those examples to correct false conditional statements; and (5) a lack of knowledge specific to DGS environments, particularly those related to dragging, hindered students’ effective construction of diagram examples. Additionally, we identified three types of conjecture approach: induction by randomly generating a finite number of discrete examples, conjecture by systematically making examples, and conjecture by dynamically altering examples.

Keywords: dynamic geometry software (DGS), geometric property, proceduralized refutation model (PRM), conjecture

壹、前言

一個好的數學活動設計應提供學生主動思考與建構的機會，而學生參與在這類數學學習活 動是改善當前臺灣學生「成就高與態度低」學習表現的主要關鍵（林福來，2010）。在此前提下，

臆測是達成此目標、解決臺灣面臨教育問題的策略之一。研究清楚指出臆測是數學問題解決歷 程的骨幹（backbone）（Mason, Burton, & Stacey, 1982），亦是發展數學能力的重要樞紐。參與數 學臆測活動的學生有充分的主動思考與建構機會，有助於發展學生數學概念知識、數學程序性 知識、及問題解決能力，並改善學生學習態度，進而對數學持著正面的態度意向。近年來，臆測 與論證已然成為全世界數學教育的核心之一，例如，NCTM（2000）就提出臆測與論證是各學習 階段學生應該要學習的課程內容，包含幼稚園、國小階段等，課室教學都應該提供學生有臆測 與論證的學習機會（Ball & Bass, 2003; Reid, 2002）。而臆測與論證也是目前推動十二年國教用培 養臺灣學生數學素養的重要主張之一。

幾何問題的探索通常需要持續在證明與反駁間交互循環，其歷程提供參與者臆測以及推理 論證的機會（Lakatos, 1976）。動態幾何軟體（Dynamic Geometry Software, DGS）能鷹架學生探 究幾何問題、臆測與推理論證幾何性質，進而瞭解幾何相關知識。本研究所謂的幾何性質意旨 國中小教科書出現的定義、定理、引理等等。這些定義、定理和引理在教科書的呈現並不一定 遵照「若…則」（if-then）的條件命題敘述，而是以數學事實的陳述方式呈現，其並不強調邏輯 的前因後果。如教科書呈現平行四邊形的性質為「平行四邊形的對角線把此平行四邊形分成兩 個全等三角形」。探討動態幾何環境對幾何教學與學生學習相關研究進行已經行之有年（Chazan, 1993; de Villiers, 2004; Healy & Hoyles, 2001; Laborde, 2000; Mariotti, 2001; Yerushalmy & Chazan, 1990）。這些研究不但分析動態幾何環境的特性，學生如何與之互動，以及互動對幾何學習的影 響等議題，同時，強調教師應該具備所謂的 TPCK（technology pedagogical content knowledge）

（Koehler & Mishra, 2009），也就是教師使用科技工具進行教學活動所應具備的相關專業知能。

無論課室教學融入何種科技工具，在論述工具融入教學的成效之前，應先瞭解學生對科技工具 的理解，如何與科技工具互動，及藉由互動來幫助自己建構數學知識。而這些研究結果是科技 融入教學成功與否的重要關鍵。

幾何與代數最大不同之處在於幾何圖形。從認知觀點來說，幾何圖形具備了兩種不同特質，

學者 Fischbein（1993）就提出圖形概念（figural concept）來描述個人認知幾何的雙重本質，他 認為幾何圖形同時具備圖形性質及概念性質，前者是個人對圖形樣貌的知覺理解；後者則是個 人對此圖形所產生的數學意義。個體在進行幾何解題過程中，幾何圖形的兩種性質必須交互作 用，並以此為基礎，進行幾何推理。Fischbein 的圖形概念是從個人認知觀點出發，因此，不同

的個體對於相同的幾何圖形就可能產生不同的圖形概念。據此，學者 Laborde（2005）對幾何圖 形提出另一種不同的觀點，他聚焦在幾何圖形的外在表徵，區別出圖形的兩種性質：空間圖形 的性質（spatio-graphical properties）以及理論的性質（theoretical properties）。空間圖形性質是指 圖形的外在特徵，傳達出哪些視覺的特質，例如，這個窗戶看起來好像長方形；理論的性質則 是指圖形本身表徵的幾何定義或條件，例如，直角圖形∟的標示就表示此角度必定為 90 度。學 者 Fischbein 和 Laborde 的論述顯示出個人認知與客觀呈現兩者間可能的差異。

從學者 Fischbein 的觀點來看，幾何教學通常希望學生同時知覺幾何圖形的概念性質與圖形 性質，尤其應從概念來思考圖形，瞭解同一幾何概念下，圖形本身涵蓋的變異性與不變性。因 此，教學期望的不只是協助學生建構典型心像（prototypical images），也希望學生能夠將圖形當 成數學結構化後的一個有條件變動的物件。更進一步希望學生能夠將圖形視為不同幾何性質組 合而成的結構，也就是所謂的論述性理解（discursive apprehension），同時，希望學生能將既有 圖形進行拆解、組合與重構，也就是所謂的操作性理解（operational apprehension）（Duval, 1995）。 從學者 Laborde 的觀點來看，教學應該提供圖形表徵蘊含的空間圖形的與理論的意涵。學者 Hsu

（2008）在教師幾何教學研究中，就提出教師教學過程中常涉及此兩種性質的轉換，例如，教 師在黑板上畫出一個看起來很像直角的角，但若未在角度上標示直角，學生不可自行推論此角 度為直角。教師藉由兩種圖形性質的轉換歷程，可以清楚地傳達幾何圖形所賦予的意涵，同時 亦能夠協助學生瞭解幾何意義，例如，學者 Cheng 與 Lin（2006）的研究則是利用塗色策略，引 導學生視覺化圖形的不同組成元素，再由這些組成元素喚起對應的幾何性質，反之亦然，此研 究證實塗色策略確實能夠提升學生幾何推理表現。

動態幾何環境是一個提供學生瞭解圖形的理論與空間圖形性質之表徵媒介 （mediator）

（Klaczynski & Narasimham, 1998）。它可以協助學生建構概念心像，尤其藉由圖形間的對應關 係與不變性，幫助學生整合理論的與空間圖形的特徵，建構完備的幾何概念，這也就是學者 Laborde（2005）所謂的幾何性質即是許多變動物件下所共同具備的不變性。現有許多研究分析 動態幾何環境如何幫助學生探究、臆測幾何性質（de Villiers, 1999; Laborde, 2000; Leung, 2008）， 另外，有些研究特別強調動態幾何軟體的拖曳功能（Arzarello, Olivero, Paola, & Robutti, 2002）

或是測量功能（Olivero & Robutti, 2007），並探討這些功能如何幫助學生認識幾何性質或是形成 幾何臆測。本研究亦使用動態幾何軟體，但不同於這些研究，本研究將動態幾何軟體定位為「例 子產生器」，也就是學生根據某些幾何條件並利用其產生出符合條件的案例，此定位理由將於下 一章節中清楚陳述。學者 Arzarello 等人（2002）已發現僅提供學生動態幾何環境，不一定能夠 有效地協助學生瞭解幾何內涵或是形成幾何臆測，需要其他教學媒介的使用（如：表格），才能 有助於空間圖形性質與理論性質的連結與轉換。因此，本研究整合動態幾何軟體與案例資料表

格，協助學生進行幾何性質的檢驗、反駁與臆測活動，以促進學生瞭解特定幾何性質為目標。

研究問題為：

學生在整合動態幾何軟體為「例子產生器」與表格的學習單設計下，如何臆測幾何性質？

其可能遇到的認知困難為何？學生又有哪些不同的臆測策略？

貳、文獻探討

一、數學臆測

臆測在數學問題解決裡扮演重要的角色。學者 Mason 等人（1982）利用進入（entry）、進擊

（attack）和回顧（review）三階段來解析數學家如何解決數學問題，他們從問題解決的思考歷 程中辨識出兩組交互使用的基本程序：特殊化（specializing）與一般化（generalizing）、臆測

（conjecturing）與取信（convincing）。此四個基本活動是整個數學問題解決的骨幹，其中臆測更 是數學思考的核心，簡單地說，臆測是數學問題解決的關鍵數學思考。進一步來說，數學問題 解題歷程所涉及的臆測，並非只是某個猜測或判斷，而是個體在面對不明確的樣式或關係，能 夠根據已知的知識及資訊，選擇合適的表徵，進行猜測、檢驗、相信或反駁等循環歷程，在此歷 程中，個體所提出的猜想並不一定為真，仍需要進一步檢驗（陳英娥、林福來，1998）。

設計臆測活動需要瞭解臆測活動所涉及的數學內容外，更重要的是要瞭解學生是如何形成 臆測的，學者 Cañadas、Deulofeu、Figueiras、Reid 與 Yevdokimov（2007）從許多數學教育研究 結果整理出形成臆測的類型，包含由離散的有限案例歸納、動態案例歸納、類比、發想和知覺 性臆測等五種不同認知過程的類型。無論是哪一種形成臆測的思維歷程，案例始終扮演著承先 啟後的關鍵地位，若要協助學生形成臆測，就得先協助學生產出特定的、多樣的或一般的案例，

才能有機會從案例中調整或重構臆測出命題。學者 Lin 與 Wu Yu（2005）從例子產生的觀點，

提出程序性反駁模式（Proceduralized Refutation Model, PRM）（如圖 1），當作臆測教學設計時，

教師與學生互動的歷程模式。此模式是一個以數學專家進行數學反駁的歷程為架構，教師先導 入錯誤敘述為起點，而此錯誤敘述可選用學生的迷思概念，透過教師適時的介入來促成學生投 入反駁與臆測的歷程，藉以增進學生反駁、臆測甚至是論證的能力。此模式的主要教學活動包 含：（1）教師導入錯誤命題，用來引導學生進入命題；（2）教師確認學生理解命題，透過學生產 生的案例來確認其理解命題；（3）教師鼓勵學生窮舉案例，用以促進學生提出各種類別案例；

（4）教師檢驗/演示數學式，用以促成學生區辨支持例和反駁例及其通性的表達；（5）教師鼓勵 學生產生臆測，用以促進學生修改命題形成臆測，以及針對臆測進行論證。此模式希望教師多 鼓勵學生主動提出不同類型的案例、主動區別支持例與反駁例、主動找出支持例與反駁例性質、

主動修正敘述以及提出臆測等。

圖 1 程序性反駁模式（Proceduralized Refutation Model, PRM）

二、在動態幾何環境下的教與學

目前常見課室教學使用的動態幾何軟體包括Cabri, GeoGebra, The Geometer’s Sketchpad, The Geometric Supposer…等，這些幾何軟體都可以當成「例子產生器」，協助學生能夠根據特定條件 便利地產生幾何案例，學生有了這些幾何案例，才能進一步認識、觀察或歸納出可能的幾何性 質。特別是幾何概念或性質的學習中，學生常依據典型例（prototypical examples）來建立幾何的 概念心像（concept image）（Tall & Vinner, 1981）。從典型例的觀點來看，動態幾何軟體其中一個 重要功能就是提供學生建構各種不同的圖形例子，包括典型例和非典型例，並讓學生對建構出 的圖形案例做剛性變化（rigid transformation）（Leung, 2008）。換句話說，動態幾何環境扮演著 幾何學習的中介媒介，提供學生在心像和概念上交互作用，形成將來可以多元運用、具有清楚 幾何結構的概念心像。

動態幾何軟體會因教師使用的不同方式而對學生學習產生不同的影響，例如，學者 Laborde

教師角色 學生活動

導入錯誤命題

確認學生理解命題

鼓勵學生提出例子

1. 給一例

2. 給更多例

3. 給不同類型例

4. 區別支持例與反駁例

5-1. 找出支持例的共同性質

5-2. 找出反駁例共同性質

6. 修正給定敘述的正確性

7~8. 進行臆測、再臆測 檢查/展示數學式

鼓勵學生進行臆測

0. 呈現心象

（2001）從觀察多位高中老師使用 Cabri 融入課室教學的歷程中，提出 Cabri 整合到教學的角色 有四種，蘊含著階層發展的觀點，其包括（1）資料收集：動態幾何環境主要被使用當作協助任 務的材料面向，任務本身沒有概念性的改變（相對於紙筆）；（2）形成臆測：動態幾何環境被當 成協助發現數學任務的不變性（如：拖曳三角形，但三中線交於一點並不受之改變）；（3）形成 問題：動態幾何環境因其工具使用的可能性，進而可以扮演協助學生修正任務，形成解題策略；

（4）探索論證：動態幾何環境本身為學生帶來新的意義與推理，成為學生論述幾何的基礎。同 樣的，Laborde（2005）論述動態幾何環境下的學習是一種圖形的實驗本質，其因為拖曳動作而 產生圖形變化，可以將定義好的圖形關係具體化，更重要的是圖形本身蘊含的變異性與不變性 可以藉由拖曳圖形改變而清楚地呈現出。

另外，學者 Arzarello 等人（2002）區分出動態幾何環境下圖形拖曳（dragging）行為可能帶 來的不同認知功能。他們認為幾何教學應該是視覺的圖形和理論的性質間的整合，因此，他們 從圖形和理論之間的認知互動提出兩種歷程：上升歷程（ascending processes）和下降歷程

（descending processes）。其中，上升歷程是指動態幾何軟體的使用是為了探索某個情境、發現 規律和不變性，這是從圖形到理論的發展過程；反之，下降歷程是動態軟體的使用是為了驗證、

反駁臆測或確認性質，這是從理論到圖形的思考過程。他們更進一步主張拖曳本身是一種認知 行為表現，並將拖曳行為區分為不同類型並建立可能的階層型態，包含：（1）徘徊拖曳（wondering dragging）指拖曳本身是隨機的，隨便選擇螢幕上的一個點進行拖曳，其拖曳本身沒有任何要發 現規律或不變性的目標；（2）邊界拖曳（bound dragging）是半可拖曳點（semi-dragable point）

的移動過程，其所謂半可拖曳指的是這個點已經與某個物件做連結。比如說長方形的點拖曳，

無論其如何拖曳必須符合對邊等長，且角度為直角。（3）引導拖曳（guided dragging）為了形成 某一個特殊圖形而拖曳圖形的基本構成元素。（4）擬軌跡拖曳（dummy locus dragging）則是為 了保持性質的拖曳動作。因此，這拖曳遵循某一軌跡，即使拖曳者並未發現。（5）線段拖曳（line dragging）則是在線段上畫出新的點以保持圖形的規律。（6）連結拖曳（linked dragging）是拖曳 而造成某一個點到圖形上。（7）拖曳檢驗（dragging test）拖曳可移動或者是半可移動的點來檢 驗是否圖形可以保持原有的性質。學者 Arzarello 等人並沒有明確說明哪幾種拖曳認知行為屬上 升歷程；哪幾類屬下降歷程。只有點出前面幾項拖曳類別偏向上升歷程，主要是讓學生藉由一 系列圖形觀察出特定的性質並形成臆測；而後幾項拖曳活動則是傾向於下降歷程，主要是讓學 生針對特定的猜想進行檢驗、確認或反駁。

動態幾何環境除了產生圖形的功能外，亦可顯示特定邊或角的量測值。不過，有關幾何特 有的測量值面向上，Olivero 與 Robutti（2007）指出幾何測量同時具有雙重本質，包括數學中的 絕對性與科學中的不確定性。其中，數學的絕對性是指依據幾何性質而決定的測量值是絕對的，

例如，等腰三角形的兩腰邊長的測量值必定相等；科學的不確定性是指在現實環境的科學測量 中，測量所得數值是不可能一致的及穩定的。某個程度來說，動態幾何軟體提供的測量值就兼 具兩種本質，也就是當圖形是依據幾何性質所建構產生的，其測量所得的數值必須符合數學的 絕對性，反之，若圖形是由視覺或實徵所建構產生的，其測量值的不確定性是必然的。兩種看 似相互矛盾的本質同時存在於動態幾何環境中，基本上，測量雙重本質帶來的矛盾現象其也同 時出現幾何的紙筆環境中。Olivero 與 Robutti（2007）類比 Arzarello 等人（2002）提出的拖曳模 式，並結合 Laborde（2005）所提出圖形表徵的空間圖形性質（spatio-graphical properties）和理 論性質（theoretical properties）的對應，區分出幾種不同的探索導向測量模式，包括徘徊測量

（wondering measuring）、引導測量（guided measuring）、知覺測量（perceptual measuring）、驗證 測量（validation measuring）、證明測量（proof measuring）

利用動態幾何環境協助學生形成臆測、進行探索並拓展到幾何證明的教學研究也是新的研 究趨勢（Baccaglini-Frank, Mariotti, & Antonini, 2009）。事實上，學生在動態幾何環境下，進行圖 形拖曳之前需先建構幾何圖形，而圖形的建構歷程是一種幾何性質的應用而不是幾何性質的學 習。學生必須了解幾何性質，甚至是幾何性質如何在動態軟體中如何構築及呈現，才能夠產出 具備特定性質的圖形。例如，學生使用動態幾何軟體畫出一個平行四邊形的任務中，即使學生 知道平行四邊形是對應邊互相平行的四邊形，但建構四邊形時，如果僅以視覺判別對應邊看起 來「像」是相平行的，而非真正對應邊互相平行的四邊形。對於不知道平行四邊形的所需的幾 何特徵與相關性質的學生，就更不可能利用軟體建構具備此特徵或性質的圖形。因此，學生要 使用動態幾何軟體畫出一個平行四邊形，需要知道平行四邊形的定義（如，對邊平行），或是相 關等價性質（如，對角線相互平分），並使用這些定義或性質進行構圖，才能將具備平行四邊形 特徵的四邊形畫出。這也正是（Duval, 1995）所謂的幾何作圖所需的序列性理解（sequential apprehension）。

在動態軟體環境所建構的幾何圖形，會利用拖曳來進行不變性或關係的探索，因此，拖曳 過程前後是否保持原本的幾何特徵就顯得相當重要。學者 Erez 與 Yerushalmy（2006）就區別兩 種不同保持幾何屬性的拖曳方式及理解，其一是拖曳自行建構的幾何圖形並保持幾何屬性，也 就是學習者自己依據幾何性質建構幾何圖形，而拖曳歷程將保持幾何特徵、性質或關係等，學 生對拖曳的理解即代表其對於拖曳歷程中幾何特徵、性質或關係的理解；其二是拖曳他人建構 好的幾何圖形，也就是學生並不需要具有建構圖形所需的幾何知識，以及利用動態幾何軟體建 構圖形的知識，因此，學生進行拖曳並不能保證學生理解圖形內涵的重要幾何特徵、性質或關 係。Erez 與 Yerushalmy 強調學生拖曳他人已建構好的幾何圖形，必須要能夠知道拖曳所蘊含的 幾何特徵、性質或關係，但如何協助學生察覺到拖曳圖形所內蘊的共同特徵或性質，是使用動

態幾何軟體進行幾何教學與學習的需要面對的重要課題。學生對於動態幾何環境圖形在拖曳過 程所內蘊的幾何特徵或性質進行臆測，就成為橋接學生認識與理解圖形拖曳蘊含的幾何特或性 質的中介策略。就如學者 Arzarello 等人（2002）所謂的上升歷程（ascending process），是從視 覺觀察連結到理論進而來回對應，讓學生在拖曳歷程中理解圖形內蘊的幾何特徵或性質。

學者 Baccaglini-Frank 等人（2009）發現學生根據圖形關係來處理圖形的不變性是有困難，

他們為了分析學生認知行為與學習困難，將圖形上可拖曳的點區分為基礎點（base point）與建 構點（constructed point）：前者是指可任意的或半任意的拖曳的點；後者是指由建構物件交集而 形成的點，它是由這些物件所產生的，並不能被拖曳的。根據這樣的觀點，所謂的圖形結構的 不變性，就是指拖曳圖形的任何基礎點，該圖形仍具有相同的幾何特徵或性質；所謂的在動態 幾何環境中進行臆測，就是指透過動態幾何軟體的協助發現圖形結構的不變性；所謂的證明則 是指表達圖形結構不變性的推理與論述過程。不過，學者 Baccaglini-Frank 等人也發現當學生發 現圖形結構上的不變性時，並無法直接過渡到認知的不變性，也就是順利證明這結構不變性背 後的理由，換句話說，從動態幾何環境中產生的臆測不等同於學生能夠順利地過渡到證明

（González & Herbst, 2009）。

三、例子產生器—動態幾何環境的新論述

許多研究文獻主張動態幾何環境有助於學生臆測幾何性質或是瞭解幾何性質，然而，文獻 也指出學生使用動態幾何環境來建構幾何知識可能面臨的困難。例如，學者 Erez 與 Yerushalmy

（2006）就指出動態幾何環境的拖曳操作經驗，不能保證學生能順利觀察拖曳背後所帶來的關 鍵屬性。學者 Arzarello 等人（2002）對於動態幾何環境下圖形拖曳的分類，與 Olivero 與 Robutti

（2007）針對動態幾何環境下測量的分類，都說明了學生在動態幾何環境下，他們會以不同的 認知模式與其互動，如果學生停留在視覺判斷階段，就不容易成功形成特定性質的臆測，進而 瞭解圖形結構所隱藏的特徵或性質。

事實上，這些研究文獻也都點出動態幾何環境可以協助學生產生案例，進而從案例進行觀 察或歸納可能性質。本研究雖然依循此方向，不過卻強調動態幾何環境是學生學習歷程所需的

「例子產生器」，這樣的主張有以下三點意涵：

第一、將動態幾何環境當成例子產生器的觀點，強調案例在學生形成數學臆測或是概念學 習歷程的重要性。學者 Michener（1978）為了理解瞭解數學瞭解（understanding understanding mathematics），提出數學瞭解的三個對偶空間結構，此三空間分別是（1）結果（results）空間，

包含傳統邏輯演繹的數學元素，通常是指定理（如：畢氏定理）；（2）例子（examples）空間，

包含說明的材料，通常是指案例，例如，邊長 3, 4, 5 的三角形為直角三角形；（3）概念（concepts）

空間，包含數學定義、啟發性的觀點與看法，通常是指概念，例如，直角三角形的定義或心像。

根據 Michener 所提出的三個對偶空間結構來看，若要數學瞭解當然不可缺少例子，而且好的數 學瞭解除了需要例子、概念及結果三者外，更重要的是三者具有對偶關係（dual relations），透過 三者對偶關係的聯繫而建立良好的數學瞭解。就以例子空間與結果空間的對偶關係為例，對偶 關係可以是用來支持或啟動結果產生的案例，亦可以是用來說明或證明結果的案例，或是根據 結果所產出的案例…等，這些關係讓例子與結果緊密連結，因而有助於數學瞭解。更具體來說，

若以「畢氏定理」為結果空間的元素，它對應到案例空間的對偶關係可能包含，使用特定案例

（如邊長 3、4 和 5 的三角形）支持此結果的合理性，或是利用多邊形及其邊長與面積概念說明 或證明，更進一步，有關「畢氏定理」的結果、案例與概念及其對偶關係，亦可以成為「餘弦定 理」的特殊結果、案例與概念。另外，從形成數學臆測的歷程來看，無論是離散的案例歸納、動 態的案例歸納或是類比形成臆測，都需要適當且正確的案例為基礎，才能進行歸納或類比的推 理，因此，學生是否能夠產出適當且正確的案例，就成為是否能夠成功臆測出幾何性質或關係 的主要關鍵。不過，此關鍵並無法完全仰賴動態幾何環境協助而得以解決，尤其對弱勢學生或 程度較差的學生來說，他們使用軟體產出的例子可能是隨機的、不恰當的或是不正確的，這些 缺乏系統的、無關的或是不正確的案例，都無助於學生形成臆測。

第二，將動態幾何環境當成例子產生器的觀點，強調學生學習產生具有不同屬性或不同類 型的案例的重要性，而不是僅產出沒有屬性或類別區別的案例。學生藉由例子產生器產出支持 或反駁特定幾何命題的案例，進而再從不同類型案例找出共通性或差異性，藉以修改或調整幾 何命題，同時增進數學瞭解。這樣的論點與目前動態幾何環境的相關文獻上所提出的產生案例 之觀點不盡相同，但與程序性反駁（PRM）中提出建構更多樣例子的觀點不謀而合。事實上，

建構幾何例子是一個高認知需求的活動，學生通常會受典型心像（prototypical images）所影響，

他們產生的案例經常類似典型例。如何有效地使用軟體構圖舉例，這須仰賴學生認知該圖形概 念性的心像，也就是掌握一類圖形中不變的及可變的構圖特徵來產生圖形，就以產出直角三角 形為例，學生必須瞭解直角三角形中有兩個邊夾出一個直角，其他角及其對應的邊長都是可變 的，如果能掌握這個直角三角形不變的與可變的構圖條件，學生才能發展出使用軟體產出各種 不同變異的直角三角形案例，如等腰直角三角形，而接續其後的幾何活動就會在一個較相關的、

正確的與系統基礎上進行。換句話說，學生要正確建構出幾何圖形案例，他們就需要對幾何圖 形進行適當的分解和重組（decomposition and recomposition）。學者 Cheng 與 Lin（2007, 2008）

從教學實驗中發現有約三分之一的國中生無法從論證問題的資訊中辨識出證明所需的關鍵元素。

換句話說，這些學生無法在附圖中解構出有助於證明的子圖以及理解子圖所對應的幾何性質，

並以這些幾何性質來進行論證。學者 Hsu（2010）進一步說明解構幾何圖形辨別幾何性質是解題 的重要關鍵，而非幾何證明形式與幾何計算形式的區別。同時，Hsu 也發現圖形的複雜度顯著影

響學生的解題表現，即使題目要求相同的幾何性質進行解題。學者鄭英豪（2010）調查發現，國 中生舉出各種不同三角形來檢驗「三角形最長邊的中點可以做一個圓恰好經過三角形三頂點」

是否正確的問題中，只有約四分之一的 8 年級學生可以舉出三種以上的三角形來檢驗，約有六 分之一的學生會給出非特殊的三角形來檢驗，而大多數學生所舉出的多個案例，其實只是不同 大小的一兩種特殊三角形。這個結果顯示我國國中生對於三角形的概念心像是十分狹隘的，學 生對於三角形的例子空間非常地窄小，因此當他們被要求要做出三角形時，多半只能憶取部分 課本上有命名的特殊三角形。

第三，將動態幾何環境當成例子產生器的觀點，強調學生僅靠軟體協助仍無法適當且正確 地產出有屬性或類別區分的案例。雖然軟體有助於學生產出案例，但是學生要針對特定幾何問 題進行有系統的且正確的產出不同類型案例，仍需要其他配套策略給予學生支撐，才能成功地 接續後續的幾何臆測與論證歷程。在動態幾何環境中，學生利用拖曳來改變或產出圖形案例，

並不能保證學生能夠看出拖曳前後的案例所隱藏的共同的與不同的幾何性質。基本上，幾何性 質是幾何圖形的特徵、不變性或是關係，這些特徵、不變性或關係有時候需要將圖形轉換為測 量值才能觀察到。因此，測量值的觀察亦成為歸納形成特定幾何性質臆測的關鍵。由於圖形複 雜性特質，學生直接從圖形中觀察測量值，並從測量值的變化歸納出可能的幾何性質並不容易。

本研究認為，圖形中同時結合測量值與圖形特徵有其優勢，就如同學者 Olivero 與 Robutti（2007）

主張測量本身具備的理論與實徵的觀點，在此觀點下，結合測量與圖形能夠幫助學生概念化幾 何特徵或性質，同時可以提升學生拖曳的認知層次與測量的認知層次。不過，兩者的結合並不 能完全保證達成目標，從圖形空間的性質來看，每一個圖形的建構會因為特殊的幾何性質而產 生特殊處，例如，菱形如果歪斜了，學生可能就無法辨識其為菱形（Fischbein & Nachlieli, 1998）， 即使在圖形結合測量數值標示，學生已有的典型心像仍會阻礙觀察與轉換數值關係進行可能性 質的推論，因此，圖形與測量的結合，需要利用透過其他媒介協助，特別是能夠有助於學生進 行有目標地、有系統地與正確地的觀察幾何性質。從另一觀點來看圖形與測量的關係，基本上，

幾何性質也可以看成是測量值之間的關係，就某個程度來說，此數值的關係可表示成一個代數 式，而學者 Koedinger 與 Anderson（1990）就指出這樣的代數式本身具備不確定性，幾何問題若 使用代數符號來表示幾何圖形的測量值，則學生解題表現會有顯著的降低。從 Koedinger 與 Anderson 的觀點來看，根據幾何圖形不同元素測量值而產生代數關係式是相對較高的認知活動。

這類的學習活動必須另外設計，特別是結合動態幾何「例子產生器」的功能，引導學生建構類 別不同的案例，進而觀察不同類別案例之間的相異性與相同性。據此，本研究用來協助學生結 合圖形與測量的媒介是表格，適當的表格具有結構化的功能，能夠有效幫助學生觀察數值間關 係的介入工具（Haspekian, 2005）。

參、研究方法

本節分別從研究工具的開發與設計、研究對象的特質及研究時程與資料分析等部分說明。

一、研究工具

本研究根據程序性反駁模式（PRM）為臆測學習單設計的中介理論架構（intermediate theoretical framework）（Ruthven, Laborde, Leach, & Tiberghien, 2009），以動態幾何軟體為媒介工 具，完成三份幾何性質臆測學習單的設計。因臆測的本質，三份學習單的幾何性質，均以條件 命題（conditional statement）（Selden & Selden, 1995; Wu Yu, Hsu, Lin, & Chin, 2009）的形式呈現。

學習單呈現錯誤的幾何條件命題，學生需臆測並提出新的論點來修改錯誤的命題敘述。因本研 究將動態幾何軟體定位為圖形例子產生器，學生不需具備動態幾何軟體操作的相關知識。例如：

利用平行線性質，操作動態幾何軟體來畫出一個平行四邊形。學生只需拖曳給定的幾何圖形，

透過拖曳產生不同的幾何圖形案例。另外，考量幾何性質的獨特性與複雜性，研究工具包含了 三個不同幾何性質臆測學習單，以深入瞭解學生在動態幾何環境中製造案例、檢驗錯誤命題、

觀察共通性、形成臆測及論證等歷程的認知行為、臆測策略與可能的學習困難。以下分別就三 份學習單進行說明如下：

（一）外角定理學習單

外角定理為三角形內角與外角形成固定關係之一。此份學習單的設計則是先給定一個有關 外角定理的錯誤命題為起點，該錯誤命題敘述如下圖 2：

「如右圖，在任意三角形 ABC 中，∠1 的角度 一定等於∠2 加上∠A 的角度和。」

圖 2 外角定理學習單給定的錯誤命題敘述及附圖

如圖 2 所示，此份學習單主要學習目標是讓學生探索出三角形中∠1、∠2 和∠A 三個角度 之間的關係，先透過產出案例進行檢驗原錯誤命題，再經由觀察支持案例的共同性來修改錯誤 命題，並從而猜測出命題敘述一或命題敘述二，此兩命題敘述分別如下：

命題敘述一：在任意三角形 ABC 中，∠1＝∠A+∠B 命題敘述二：三角形 ABC 中，當 AB＝AC，∠1＝∠2+∠A

就命題敘述一來說，學生在動態幾何環境中，使用軟體拖曳出的三角形均符合此命題敘述

（外角定理），也就是學生產生的案例均為此命題的正例或支持例。學生如何從自己產出的案例

A

B C D

2 1

中觀察與歸納出這三個角度測量值之間的關係便是重點，它是修改原錯誤命題的結論而形成的 臆測命題。就命題敘述二來說，學生產生案例反駁原錯誤命題相對容易，但要將原錯誤命題修 改為命題敘述二，就需要找到具有原錯誤命題的結論特徵的特例，此三角形特例為等腰三角形，

從而修改原錯誤命題而臆測出命題敘述二，也就是具有等腰三角形的性質才會得到∠1＝∠2＋

∠A。

在動態幾何環境中，研究者配合此份學習單，先提供學生一個已建構好的三角形，如圖 3 所 示，同時標示出此三角形的各角度和邊長測量值。學生可以進行圖形拖曳的部分僅有頂點 A、

線段 AB 或線段 AC，其餘頂點或線段均不可移動。無論學生拖曳點的是頂點或線段，三角形上 的角度與邊長的測量值都會隨之而改變。

圖 3 動態幾何上學生拖曳外角定理而成的圖形範例

（二）三角形外接圓學習單

外接圓學習單的設計也是先給一個與三角形外接圓有關的錯誤命題敘述為起點，該錯誤命 題敘述如下圖 4：

「在三角形中，我們可以用最長邊的中點為圓心，畫出 一個剛好連接三個頂點的圓。」

圖 4 三角形外接圓學習單給定的錯誤命題敘述及附圖

如圖 4 所示，此學習單主要目標是希望學生能夠產生案例檢驗出原錯誤命題敘述是錯誤的，

進而從案例中觀察出只有特殊的直角三角形為前提下，原錯誤命題的結論才會產生，也就是唯 有三角形為直角三角形時，最長邊的中點為圓心才能得到通過三個頂點的圓。

在動態幾何環境中，研究者配合此份學習單，先提供學生一個非特殊的三角形，並在圖形 上標示出三角形所有的角和邊的測量值，參考圖 5 內的三角形，接著，學生藉由拖曳三角形的

任一頂點來改變圖形成為某個的三角形，而圖形拖曳過程，標示的角與邊長的測量值也隨之改 變。當學生確認不再拖曳改變三角形後，就請學生點選三角形的最長邊，並利用設計好畫圓按 鍵執行以最長邊的中點為圓心且最長邊為直徑畫出圓，如圖 5，學生藉由視覺畫圖形關係來決定 是否符合原命題敘述。當學生進行一次拖曳形成的三角形並點選完成外接圓後，三角形與外接 圓都會被取消，並回到最初給定三角形後，再讓學生進行拖曳改變圖形，形成新的三角形，然 後學生再根據新的三角形，再畫出最長邊為直徑的圓，並視覺判斷該圓是否第三個頂點。此種 動態幾何軟體使用方式的目的是希望學生意圖產生案例時，便能夠關注圖形案例的幾何特徵，

無論是角度或是邊長，而不是只關注在如何把三角形的第三個頂點拖曳到圓形上。希望藉由三 角形案例製造和畫外接圓的檢驗，促進學生思考三角形應該具備什麼樣的特徵，它的三個頂點 會同時落在最長邊所畫出來的圓（三角形的外接圓）。同時，學生可以利用視覺化判斷三角形的 三個頂點是落在圓上、圓內、或圓外。

圖 5 動態幾何環境中學生拖曳三角形外接圓形成的圖形案例

（三）直角三角形斜邊上的高學習單

直角三角形斜邊上的高學習單與第一份的外角定理學習單比較相似，希望學生從造例中觀 察出直角三角形斜邊的長度與斜邊上高的可能關係，同樣的，先給一個錯誤的命題敘述為起點，

此錯誤命題的敘述如下圖 6：

「在一個直角三角形中，斜邊上的高等於斜邊長的一半。」

圖 6 直角三角形斜邊上的高學習單給定的錯誤命題敘述及附圖

如圖 6 所示，此學習單希望學生利用拖曳而產生不同的直角三角形，並觀察拖曳過程產生 案例的斜邊上的高與斜邊之關係，檢驗原先給定錯誤命題敘述是否正確，並根據邊長的測量值

區辨符合與不符合該命題的正例與反例。學生參與這份學習單的過程中，觀察測量值及其關係，

就成了學生回頭檢視原錯誤命題敘述、判斷原錯誤命題的正確性、以及修改錯誤命題成為可能 正確命題的臆測重點工作。

第三份學習單的原始附圖選用教科書用來建構學生幾何性質典型心像常見的附圖。在動態 幾何環境中，研究者配合此份學習單，會先提供學生一個類似於學習單上的直角三角形的圖形，

而此圖形會標示不同角度或不同邊長的測量值。學生只能夠拖曳非直角的頂點來改變圖形，其 餘的圖形部分是不可移動的，透過拖曳產生案例並觀察斜邊與斜邊上的高之測量值的可能關係

（如圖 7）。

圖 7 動態幾何環境直角三角形斜邊上的高圖形範例

正如前面文獻論述提到將動態幾何軟體當成例子產生器的概念，在動態幾何軟體中拖曳並 不一定會幫助學生產生正例與反例，進而觀察出正例或反例的共通性，然後修改或形成新的臆 測命題。因此，如同其他學習單一樣，提供給學生不僅是動態幾何軟體外，還搭配記錄圖形特 徵的表格，讓學生記錄自己拖曳產生的圖形之角度或邊長的測量值，再藉由觀察表格內的各項 測量數值之間的特徵、不變性或關係，提出修改給定錯誤命題的新臆測命題。

學者 Boero（2006）認為一般化（generalization）需要從各自孤立的大量案例中尋找其共通 性（commonalities），此共通性是學生形成抽象化的必經之路。因此，三份學習單均提供學生記 錄表格，讓學生將使用動態幾何軟體產生圖形的各項測量值記錄下來，藉由表格的系統性或結 構性的特徵（Haspekian, 2005），協助學生觀察各項或各類測量值之間的差異性或共通性，據此 反駁原有錯誤的幾何命題，進而修改或提出新的臆測命題。就以外角定理提供的表格為例，提 供學生圖形測量的記錄表格如下圖 8 所示，包含學生拖曳產出圖形的不同角度和邊長的測量值，

此表格內資訊協助學生反駁原有錯誤幾何命題（∠1＝∠2+∠A）外，並能夠歸納出合理的幾何 命題一：外角定理（∠1＝∠A+∠B）。另外，為了支撐學生更全面地觀察各案例測量值之間的不 變性或差異性，進而能夠進行可能關係的歸納推理，圖 8 特地將原本錯誤幾何命題的測量值（∠

1＝∠2+∠A）予以錯開，讓學生的觀察不會只侷限在特定項測量值的特定關係成立與否的判斷 上（∠1＝∠2+∠A？），或是僅就鄰近數值相同與否進行表層的判斷。

圖形編號

BC長度

（公分）

AC長度

（公分）

AB長度

（公分） ∠2角度 ∠1角度 ∠B角度 ∠A角度 圖1 9公分

圖2

圖 8 外角定理學習單所提供的表格格式

學習單以程序性反駁模式（PRM）為活動設計的中介架構（intermediate framework）（Ruthven, Laborde, Leach, & Tiberghien, 2009）。學習單首先提供錯誤幾何命題，命題敘述旁邊提供一個教 科書常用來建構學生典型心像的附圖。動態幾何軟體介面提供與學習單相同的幾何圖形，學生 必須利用拖曳功能來產生各種不同圖形案例，並將圖形案例的測量值記錄在學習單表格中。學 生利用拖曳觀察到的圖形案例及學習單上表格的測量值來檢驗原先給定錯誤命題是否正確。接 續其後的活動序列包含幾項，首先，要求學生區辨正例與反例，也就是要求學生根據自己使用 軟體拖曳產生的圖形案例及其測量值記錄，判斷哪些案例符合原先給定錯誤命題的結論，並稱 之為正例；哪些案例則是不符合原先給定錯誤命題的結論，並稱之為反例。其次，進一步要求 學生觀察與歸納出正例的共同特性。最後，要求學生並根據這個共通性來修改原本錯誤的命題 敘述，使它成為新的且合理的臆測命題。就以外角定裡的學習單為例，後續引導學生的問題敘 述如下：

 根據拖曳形成的圖形和表格數據，哪些案例符合「∠1 的角度等於∠2＋∠A 的角度和」？

 根據拖曳形成的圖形和表格數據，哪些案例不符合「∠1 的角度等於∠2＋∠A 的角度 和」？

 從符合「∠1 的角度等於∠2＋∠A 的角度和」的案例中，觀察這些案例的圖形。想想看，

這些圖形有哪些共同性呢？

 根據你的發現，你會怎麼修改原先給定的錯誤敘述呢？

（四）三份學習單的綜合分析

三份臆測學習單涉及不同幾何性質，學生必須在動態幾何環境中拖曳產生圖形案例，並依 據這些圖形案例來臆測學習單設定目標的幾何性質。本研究從試題分析的角度（Greeno, 1980;

Resnick, 1975），就動態幾何軟體的特質以及幾何本質，架構出兩維度來檢視三份臆測學習單的 共通性與差異性。此兩個維度分別為建構測量值的關係性（relation of measures）及視覺化

（visualization）。首先，測量值的關聯性是指學生反駁或臆測幾何命題依據是從不同測量值之間 建構其關聯性，這些關聯性可能只要簡單地觀察測量值的不變性，例如，根據邊長測量值看出

三角形可能具有等腰的特徵，亦即看出某兩個邊長測量值相同，但關聯性也可能涉及建構多個 測量值之間的複雜關係，例如，根據邊長測量值看出可能的外角定理，這需從多個角度測量值 中觀察出特定三個角度值間的特定關係。其次，視覺化的影響是指學生反駁或臆測幾何命題是 仰賴觀察圖形的特徵或變化而察覺到該幾何性質的，例如，根據圖形關係看出三角形的三頂點 不是共圓的，或是根據圖形特徵看出三角形可能是直角三角形。

表 1 是以測量值的關聯性及視覺化的影響兩個面向分析三份學習單的特徵。從表 1 可以看 出，外角定理學習單和直角三角形斜邊上的高學習單，其本質上比較類似，兩份學習單均要求 學生觀察不同測量值，並建構出較複雜的關係式，例如，外角定理學習單期望學生從四個角度 數值資訊歸納出外角定理：∠1＝∠A＋∠B，因此，這兩份學習單所搭配的動態幾何環境中，學 生利用拖曳產生正例或反例的過程，視覺化圖形案例並不一定能夠幫助學生區別正例或反例，

當然就不一定有助於學生瞭解正例或反例與學習單給定錯誤命題之間的關聯性。尤其是外角定 理學習單，無論是原先給定的錯誤命題或是期望學生臆測的命題，其牽涉到的是四個角度中的 特訂三個角度之間的關係式，學生就其拖曳產生的圖形案例進行觀察，對於形成角度關係式的 臆測命題之幫助並不大。

表 1

三份學習單綜合分析

學習單名稱

測量值的關係性

（relation of measures）

視覺化

（visualization）

外角定理  三個角度測量值之間的關係  不容易直接觀察出

圓內接三角形  單一量  觀察三角形的三頂點是否在圓上

 觀察直角 直角三角形斜

邊上的高

 直角三角形斜邊與斜邊上高 測量值之間的關係

 不容易直接觀察出

相反的，三角形外接圓學習單則仰賴視覺化推理。學生拖曳圖形是否產生特定的圖形，或 是產生的兩圖形是否具有特定關係，都必須仰賴圖形視覺化的資訊加以判斷，例如，學生拖曳 出特定三角形後，利用造圓按鍵產生相對的圓，透過視覺判斷出三角形的第三個點頂是否在圓 上、圓內或圓外。如果三角形的第三個頂點看起來都在圓上時，學生就有機會看出三角形第三 頂點所在的角看起來是直角。同樣的，如果第三個頂點落在圓內，學生也有機會視覺化出第三 個頂點所在的角度看起來是鈍角。這些圖形或圖形關係的視覺化資訊回饋，提供了學生區別出 正例或反例，以及看出正例或反例的共通性的機會，透過這些視覺資訊察覺或猜測出僅在三角 形為直角三角形的情況之下，三角形的三個頂點會剛好落在以最長邊為直徑的圓上。

目前動態幾何研究文獻分析的學習單性質大都類似三角形外接圓學習單設計，學生可以直 接在動態幾何環境中藉由拖曳來觀察不變性與變異性，進而臆測隱藏的幾何性質。相對的，較 少動態幾何研究採用的學習單內容類似外角定理或直角三角形斜邊上的高，其臆測內容需建構 多個測量值之間的關係式。

二、研究對象

研究對象為臺灣北部某一國中七年級學生。研究進行過程中，參與的國中學生尚未學習過 三份學習單所含括的幾何性質（外角定理、直角三角形斜邊上的高與斜邊的關係、直角三角形 與外接圓的關係）。參與對象由該校老師篩選，以數學表現中等且有學習意願為篩選標準。此篩 選標準的目的是希望學生具備基本數學及幾何知識，且但對於三份學習單的幾何內容完全未知。

除暸解學生在動態幾何環境下的學習歷程外，也希望瞭解學生可能產生的學習困難。同時，研 究者希望進一步檢驗教學介入是否有效的解決學生面臨的學習困難。綜而言之，學生樣本的選 擇提供此研究瞭解學生在動態幾何環境造例的認知歷程及可能產生的學習困難。同時，提供檢 驗將動態幾何環境視為例子產生器的教學介入的有效性。

共 15 位七年級學生參與此研究，學生隨機分派到不同學習活動。其中 5 位學生參與外角定 理學習單；6 位學生完成三角形外接圓學習單，另有 4 位學生完成直角三角形斜邊上的高學習 單。

三、研究流程與資料分析

研究流程類似個案訪談方式，參與學生單獨操作動態幾何軟體、單獨完成學習單。每位學 生只需要完成分派到的那一份學習單即可。開始先請學生自行閱讀學習單內容，並由施測者提 供操作動態幾何環境簡要說明。閱讀完學習單之後，學生可自由拖曳給定的幾何圖形。如何拖 曳圖形及停止圖形拖曳由參與學生自行決定。停止拖曳之後，學生需觀察拖曳後的圖形並將圖 形例子的測量值記錄在學習單圖表上。學生可自行決定何時需要建構幾個圖形案例，並以這些 圖形案例完成學習單其他問題。當建構不同案例之後，學生需分類建構的幾何圖形案例，觀察 分類圖形案例的通性，並修改給定的錯誤命題。造例過程中，研究者在旁訪談學生在想什麼，

瞭解學生如何造例以及決定案例的背後想法。由於測量數值對以幾何圖形案例進行臆測影響重 大，而測量誤差是不可避免的，對此，研究者除在動態幾何軟體設定測量值呈現方式（小數或 整數）外，當學生因測量產生的誤差而無法正確臆測並修改錯誤命題時，研究者將介入，與參 與學生討論，幫助學生微調圖形，修正錯誤測量值。研究不限時間，直到學生完成為止。

本研究以質性研究方法（Merriam, 1998; Strauss & Corbin, 1998）為主，目的是瞭解學生在 動態幾何軟體與表格整合的學習環境下如何進行臆測並修改給定的錯誤命題。同時要瞭解涉及

不同幾何關係的複雜性與不同視覺化需求的學習單對學生建構圖形案例與臆測幾何性質的影響 為何。為達成研究目標，在學生與學習單及動態幾何環境互動歷程中，研究者首先晤談學生，

瞭解他們的先備知識（如：學生是否已經知道學習單主要的臆測目標），檢視並確認學生發生的 認知困難，然後根據這些認知困難採取對應的教學介入。對應到本研究目標，教學介入僅止於 協助學生能夠順利產生幾何圖形案例，研究者尤其關注學生是否能夠順利產生符合給定命題的 正例和反例。當學生能在動態幾何環境與圖表的輔助下產生出各種正反例之後，學生需自行完 成剩餘學習單內容。操作動態幾何軟體、寫學習單及訪談過程全程錄影。同時，以電腦螢幕錄 影程式軟體（Camstudio）記錄學生使用動態幾何軟體拖曳過程，追蹤學生如何移動給定幾何圖 形的點或邊，何時停止拖曳。資料收集完成之後，研究者採用內容呈現方式（manifest content approach）（Erickson, 2006），進行後續質性資料分析。內容呈現分析方法強調學科內容如何藉由 對話、文字表徵、肢體動作、手勢和其他的非語言資訊呈現出來。以內容為主要關注，配合其他 資料訊息，包括學生在動態幾何的拖曳行為，用以瞭解學生的想法。因此，口語資料先轉成逐 字稿，再將逐字稿、學生肢體動作和動態幾何軟體拖曳結果作一對應，並由不同資料來源來瞭 解學生的想法。分析後的資料進一步由三位研究者討論與校正，再次確認資料分析結果的信效 度。研究結果呈現以質性分析為主，同時輔以量化資料，主要是將學生的認知行為及學習困難 描繪清楚。因此，研究分析資料的呈現不是個別學生，而是這些認知行為的特徵。

肆、結果與討論

本研究將研究結果區分為兩個部分：第一是國中生在動態幾何環境的認知行為。第二是整 合學生在動態幾何環境及圖表的學習單設計下，呈現哪些臆測策略。尤其本研究將動態幾何軟 體當成例子產生器，其對學生臆測表現影響，將作一討論。

一、學生與動態幾何環境的互動分析

互動分析依據本研究提出的兩個維度：測量值的關係性及視覺化兩者為主要分析結果呈現 的考量。三份學習單中，其中有兩份臆測目標的幾何性質本身涉及複雜性較高的關係式（外角 定理及直角三角形斜邊上的高）。這兩份學習單學生不易直接在動態幾何環境中視覺觀察出幾何 性質。另一份，圓內接三角形，其觀察的幾何量較簡單，學生容易在動態幾何環境中觀察。

（一）學生臆測複雜關係式的幾何性質的認知行為分析

研究分析結果顯示學生在直角三角形斜邊上的高的學習單的認知行為類似於外角定理學習 單。受限於篇幅關係，以外角定理學習單的結果分析來呈現學生各種不同的認知行為。外角定 理學習單的主要工作任務包括：

 拖曳給定三角形的底邊或是定點以獲得新三角形。

 記錄所造三角形的邊長、角度在表格內，觀察表格內符合命題的角度值，臆測這些角度值 所形成的數學關係。

學生根據給定的錯誤幾何命題，可修改其錯誤命題的前提或是推論結果，而形成新的命題 敘述。學習單預期學生產生的新命題敘述包括：

新命題敘述一：在任意三角形 ABC 中，∠1＝∠A+∠B

新命題敘述二：三角形 ABC 中，當 AB＝AC（等腰三角形），∠1＝∠2+∠A

學生需要根據給定的命題，利用拖曳產生符合給定命題前提與結論的正例，以及符合給定 命題前提但不符合結論的反例。學生拖曳產生圖形案例後必須將邊與角的測量值記錄在表格上，

藉此觀察與推論出合理的或正確的命題敘述。從這些個案訪談中，研究者發現學生在產生幾何 圖形案例有不同的認知表現，以下分別就形成命題一與命題二的臆測，說明如後。

首先，預期形成命題一（外角定理）的臆測來看，無論學生所產生的案例如何變異，都是命 題一的正例，也就是任何拖曳出的三角形均符合外角定理，因此，利用拖曳產生案例對學生來 說並不困難，困難在於學生如何在這些案例觀察出外角定理三個角度之間的定量關係。分析結 果發現，完成外角定理學習單的 5 位學生無法從拖曳圖形改變過程中臆測外角定理三個角度之 間的關係。學生必須藉由表格測量值的觀察與歸納才能臆測外角定理。經教學介入後，5 位學生 最後都成功臆測出外角定理。

其次，預期學生在動態幾何環境拖曳產生符合原錯誤命題前提但不符合結論的反例並不困 難。分析結果顯示學生很容易造出反例。學生的困難反倒是造出符合命題條件的正例，亦即拖 曳產生出2＝B 的三角形特例。學生無法成功建構出符合命題條件正例的主要原因是學習單 給定錯誤命題的結論是三個角度的代數關係式（1＝2＋A）。此代數關係式涵蓋三個角，其 對應在幾何圖形上是三個不同位置，這三個位置的空間關係不容易被觀察、辨識出來。從學生 先備知識的角度來看，七年級國中生之前的學習經驗並沒有一個圖形概念心像可延拓銜接到此 關係式。學生即便能辨識出給定圖形子圖有一個三角形，也能擷取辨識一些跟三角形有關的幾 何知識與圖形心像，但由先備知識與圖形心像到需臆測關係式的認知需求（cognitive demand）

過大（Stein, Grover, & Henningsen, 1996），學生很難順利臆測外角定理。另一個可能的理由是原 給定錯誤命題所附幾何圖形為三角形，且其底邊線段延長，延長線段形成另外一個角，線段與 新增的角可能干擾學生連結與擷取三角形有關的幾何知識；同時也干擾學生在圖形案例上辨識 出等長度的兩個邊長，也就是等腰三角形的性質。

由於臆測外角定理的代數關係式對學生產生高認知需求，學生無法單從觀察圖形案例臆測 此代數關係。且質性資料分析發現，學生在動態幾何環境拖曳圖形造案例過程中，有不同的認 知行為以及對應的學習困難，分項說明於後。

認知行為類型一：隨意拖曳產生案例

就命題一來說，任何案例都是正例，因此，圖表的觀察是臆測正確命題一（外角定理）的關 鍵。但就命題二來說，研究者發現學生操作與外角定理有關的圖形來臆測命題二時，學生在拖 曳的過程中，表現出沒有目標或隨機的移動頂點或線段，而且學生從拖曳開始到拖曳停止所決 定的幾何圖形案例都是隨機的（Arzarello et al., 2002）。因為於學生不知道拖曳改變或產生圖形 的目的，所以，即使學生能夠觀察到拖曳產生圖形案例外觀的改變，但學生也不知道拖曳產生 的案例與學習單上呈現的原錯誤命題之間的關係。尤其是學生亦沒有辦法藉由視覺化圖形資訊 或關係的幫助，觀察出圖形案例與原命題結論之間可能的關係，因此，學生無法根據原命題結 論的關係來產生案例。學生難以產生符合原命題的正例的情況下，拖曳所產生的案例都是反例，

尤其是無法單就視覺資訊就判斷拖曳的圖形案例是反例或反例。顯見，學生拖曳產生案例的過 程其時是與原命題正確與否的判斷的分離的，可視為是兩條沒有交集的思考路徑。

就程序性反駁模式來看，產生的正例與反例是後續形成臆測的基石，學生必須藉由觀察自 己所產生的正例或反例的通性，才能夠有機會形成臆測，進而修改原命題的前提或結論成為新 的臆測命題。據此，本研究採用兩種不同教學介入，其目的是提供學生自己找到符合原命題結 論的正例，而不是只是隨機地產生都是反例的案例。第一種教學介入是鷹架學生在圖形案例上 只關注與命題有關的角或是邊。以外角定理為例，研究者將動態幾何軟體顯示的圖形只標示出 與原命題有關的三個角度測量值其餘角度及邊長測量值都加以隱藏。如圖 9 所示，左邊是動態 幾何環境原提供學生拖曳的圖形，其圖形上四個角度和三個邊長測量值均標示出來。圖 9 右邊 圖則是保留與原命題有關的三個角度測量值（原命題的結論為∠1＝∠2+∠A），讓學生能專注於 這三個角度，並觀察拖曳對於這三個角度關係的影響。這項介入主要是引導學生視覺上專注在 與原命題結論有關的三個角度，目的是讓學生利用拖曳產生符合原命題結論的正例並加以記錄 下來。學生才能接續觀察表格的正反例，歸納並臆測出三個角度之間的關係式，及相關的幾何 性質。

圖 9 左為原動態幾何環境提供標示所有測量值的附圖，右為只標示與命題有關測量值的附圖

第二種教學介入策略則是將原命題結論相關的數值（∠1 與∠2+∠A），顯示在動態幾何軟 體圖形案例旁邊（如圖 10）。此策略是幫助學生聚焦呈現在圖形案例的旁邊，以便讓學生拖曳 改變或產生圖形時，可以觀察到結論涉及的三個角度特定關係的變化。如，觀察的三角形為正 三角形時，學生便可以看到到∠1 為 120˚，同時觀察到∠2＋∠A 的角度和也是 120˚。藉由此方 式幫助學生建構符合原命題的正例。參與 5 位學生，只有 1 位學生可以自己找到正反例，另外 4 位則是在這兩種教學介入後，才得以找到正反例，完成臆測學習單的其他問題。

圖 10 測量值關係呈現在動態幾何軟體圖形旁邊 認知行為類型二：拖曳圖形而造出角度關係的困難

質性資料分析發現另外一個操作動態幾何軟體進行造例與臆測的困難，是學生無法有系統 地拖曳幾何圖形，以觀察圖形角度或邊長關係的變化。學生在拖曳圖形時沒有意識到拖曳改變 圖形特定點的同時亦改變圖形內各角度、邊長及其關係。以「外角定理」為例，當學生意圖拖曳 三角形的頂點 A，建構出A＝B 等腰三角形時（如圖 11），學生會試圖拖曳頂點 A，改變頂 點 A 的位置，觀察頂點改變對角度的影響。但學生拖曳幾次後發現，改變頂點 A 位置，會同時 影響標示的角度數值都隨之改變。學生必須在拖曳頂點 A 的同時，觀察∠A 與∠B 的角度測量 值的變化，才得以順利建構出意圖產生的圖形案例。

通 圖 11 動態幾何軟體下學生無法拖曳出預想的特例

如學生意圖拖曳產生的圖形特徵較為簡單，如拖曳一般三角形拖曳出直角三角形。其拖曳 過程僅需關注圖形變化或單一角或邊的數值變化，其認知需求會比較低些。然而，若學生拖曳 的目的是觀察出圖形角與邊之間的複雜關係，如，將任意三角形拖曳形成符合∠1＝∠2+∠A 關 係的圖形時，認知需求就會增加許多。質性分析也發現，學生對於理解關係式與拖曳的移動軌 跡作對應是有困難的，學生無法辨識軌跡移動所帶來的幾何意義。例如，當學生拖曳三角形頂 點 A 點往右邊平移時，三角形內的∠B 會變小且C 會變大。相反的，如頂點 A 往左平移時，

三角形內的∠B 會變大且C 會變小。若頂點 A 往上移動時，三角形內的∠A 會變小而B 和

C 都會變大。質性分析發現，學生拖曳的認知焦點會放在上述的變化關係上。因為焦點關注於 三角形三個角度的變化關係，學生反而沒有意識到學習單預期的臆測目標，亦即命題敘述一（外 角定理）和命題敘述二：當 AB＝AC 時，1＝2+A。5 位學生都無法同時關注三角形拖曳軌 跡變化與上述兩命題敘述之間的對應關係，順利的在動態幾何環境中臆測正確的幾何性質。

學生無目標的隨機拖曳，即為文獻提到的徘徊拖曳（wondering dragging），通常拖曳是沒 有特定方向或規律可言的。因拖曳產生的圖形心像反而增加學生辨識拖曳對於角度改變影響的 認知複雜度。學者 Arzarello 等人（2002）論述學生的各種不同拖曳表現時，強調拖曳本身的分 類是根據知覺判斷或是幾何理論為基礎的差異性。另學者 Olivero 與 Robutti（2007）也強調測量 值如何幫助學生形成臆測想法與後續澄清與論證。但這些研究者並未指出學生利用拖曳形成不 同測量值之間的複雜關係式的歷程，拖曳本身引發的複雜性以及學生的認知困難，而這些都將 影響學生後續臆測與論證的表現。

認知行為類型三：根據幾何性質進行造例

5 位學生中，其中有 2 位會根據特定圖形屬性或類型當為基礎，利用拖曳產出這些特定的 圖形案例。這與學者 Arzarello 等人（2002）所提出引導拖曳類似，也就是學生會從給定圖形資 訊聯結或猜測可能的圖形屬性或類型，然後再根據這些屬性來拖曳產出圖形，以符合學生意圖 的圖形案例，不過，學生利用此方式拖曳產生圖形案例，並不一定保證就能夠順利產生符合原 命題結論的正例，或是根據圖形屬性的差異化產出不同類型的案例。

以其中 1 位學生在動態幾何環境的拖曳行為分析為例，此學生首先拖曳產生的第一個圖形 案例是等腰直角三角形（如圖 12）。這位學生建構的圖形案例內蘊三角形的兩個性質：直角與等 腰。而這個圖形案例剛好是符合給定命題敘述的正例。雖然，這個正例對於後續修改給定錯誤 命題並形成合理的正確臆測相當重要，但分析結果發現，這位學生並沒有系統地利用幾何性質 來產生各種不同圖形案例。事後訪談時，學生說：