淺談多元多次方程組

淺談多元多次方程組

李源順

一 . 前言

在中學時期, 求方程式是代數學上面的重要課題。 在一元方程式方面, 我們學會了利用公 式求一元一次、 二次方程式的解, 也知道它們的圖形是直線或拋物線。 在圖形是曲線的一元三次 以上的方程式方面, 雖然我們知道一元三次和四次方程式有根式解, 但是不容易記得, 至於一般 的一元五次以上的方程式就沒有根式解。 所以在解一元三次以上的有理係數方程式時, 我們可 以試著把它因式分解, 以便求出它的有理根; 或者對於實係數或複數係數方程式, 我們可以利用 牛頓法求它的近似根。

在多元方程組方面, 我們學會了利用加減消去法、 代入消去法、 甚至矩陣的方法, 求多元 一次方程組的解, 而且也了解它的解的幾何義意, 例如, 二元一次方程組的解是平面上直線的交 點, 三元一次方程組的解是空間中平面的交點。 對於多元多次方程組, 我們則沒有學到如何求出 它的解, 或也不了解它的解所隱含的義意。

現在我們將帶您了解如何解多元多次方程組。 此外, 我們也將讓您知道如何利用數學軟體 Mathematica 以及 Maple 求多元多次方程組的解。

二 . 理想 (ideal)

將多項式加上“= 0”即變成方程式, 所以方程式和多項式的關係非常密切。 為了了解多元 多次方程組的問題, 我們可以考慮將它轉換成多項式的問題。 同時我們有必要定義一個多元多 次多項式中每個單項的排列次序 (order), 即單項式的大小。 在這方面, 一般定義的方法有二種:

定義: 設







α = x^α1¹x^α2²· · · x^αnⁿ,

β = x^β1¹x^β2²· · · x^βnⁿ, αi, βi ∈ N ∪ {0}, i = 1, 2, · · · , n

定義兩個單項式的大小順序為 x1 > x2 > · · · > xⁿ, 再者, 同一未知數定義 x^m+1 > x^m >

· · · > x² > x > 1, 我們稱 α > β, 這種次序大小稱為 Lexicographic order (簡稱 lex order)。

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例如, x1 > x¹⁰⁰2 , x²1x2 > x²1。 定義:

設







α = x^α1¹x^α2²· · · x^αnⁿ, | α |=

^P

β = x^β1¹x^β2²· · · x^βnⁿ, | β |=

^P

若 | α |>| β |, 或者 (| α |=| β |, 且 x¹ > x2 > · · · > xⁿ), 我們就稱 α > β, 稱為 Graded lex order (簡稱 grlex order)。 此時, x1 < x¹⁰⁰2 , 且 x²1x³2 > x1x⁴2。

不管是用那一種次序, 我們稱一個多元多次多項式 g 的項中次序 (order) 最高的為領導項 (leading term), 簡寫為 LT (g), 它的係數稱為領導係數 (leading cofficient), 簡寫為 LC(g), 而 LM(g) = LT (g)/LC(g) 為領導項中不含係數的未知數。

我們都知道, 若將二個多元一次方程組分別乘以非零的常數倍, 再把它們相加以後, 也會 含蓋原方程組的解。 雖然這種做法對我們求多元多次方程組的解沒有太大的幫助, 但在抽象代 數上, 它的觀念, 對我們引進一個“理想” (ideal) 的觀念卻非常有幫助。

定義: 設 k 是一個體 (field)(可以想成 k 是複數體 C), k[x1, x2, . . . , xn] 為係數屬於 k 的 n 元 (x1, x2, . . . , xn) 多次多項式所成的集合, 即

k[x1, x2, . . . , xn]

= {

l

X

i=1

aix^α_lⁱ¹x^α2ⁱ²· · · x^αnⁱⁿ | aⁱ ∈ k, α^ij ∈ N ∪ {0}, i=1, 2, . . . , l, j =1, 2, . . . , n}

設 I ⊂ k[x¹, x2, . . . , xn]。

若 I 滿足下列條件, 我們稱 I 是一個理想 (ideal) (1) 0 ∈ I

(2) 若 f, g ∈ I , 則 f + g ∈ I

(3) 若 f ∈ I , 且 h ∈ k[x¹, x2, . . . , xn], 則 hf ∈ I 定義:

設



 

 

 

 

 

 

 

 

f1(x1, x2, . . . , xn) = 0 f2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...

fm(x1, x2, . . . , xn) = 0 為一多元多次方程式組。

下面以 f1 = 0, f2 = 0, . . . , fm = 0 表示此方程組。 此時 f1, f2, . . . , fm 則變成是一組 多元多次多項式。

我們以 < f1, f2, . . . , fm > 表示 f1, f2, . . . , fm 所生成 (generate) 的理想, 即

< f1, f2, . . . , fm > = {h¹f1+ h2f2+ · · · + h^mfm | h¹, h2, . . . , hm ∈ k[x¹, x2, . . . , xn]}, 而以 V (f1, f2, . . . , fm) 表示這個理想的解, 即 V (f1, f2, . . . , fm) = {(a¹, a2, . . . , an) ∈ kⁿ | fi(a1, a2, . . . , an) = 0, 1 ≤ i ≤ m}。

此時, 因為 h1, h2, . . . , hm 有無限多個可能性, 所以理想 < f1, f2, . . . , fm > 內會有無 限個多項式。 由於 < f1, f2, . . . , fm > 是由 f1, f2, . . . , fm 所衍生成的, 所以, 理想

< f1, f2, . . . , fm > 的解 V (f1, f2, . . . , fm) , 也是原方程組 f1 = 0, f2 = 0, . . ., fm = 0 的 解。 方程組 f1 = 0, f2 = 0, . . . , fm = 0 的解也是 V (f1, f2, . . . , fm)。

這個意思好像是說,

h(x + y + 1) + k(x − y − 1) = 0 , h, k ∈ R (它的幾何意義是: 所有過二直線交點的直線) 的解, 和

x + y + 1 = 0 x − y − 1 = 0 的解相同。

三 . Groebner 基底

雖然類似上述的理想都會有無限多個多項式, 但它總是可由有限個的多項式所生成 (這是 所謂 Hibert basis 定理–直觀的說, 它就是由 f1, f2, . . . , fm 所生成)。

既然, 一個理想可以由有限個多項式生成, 我們便試著想找一組“好” 的多項式來表示這一 個理想, 希望這一組多項式能夠給我們很好的訊息, 使我們能更順利的解出原方程組。

這個觀念就好像我們要解

x + y + 1 = 0 (1)

x − y − 1 = 0 (2)

我們可以把 (1) 式和 (2) 式相加得

2x = 0 此時原方程組的解和

x + y + 1 = 0 2x = 0

的解相同, 而變換後的方程組能很快的算出 x 和 y 。

在討論上述問題時, 我們想到一個多項式都是由幾個單項式組成。 因此, 我們先著手討論 由一些 (可能無限多個) 單項式所生成的理想, 即

I =< x^α1^j1x^α2^j2· · · x^αn^jn | j ∈ A >

其中 αji ∈ N ∪ {0}, i = 1, 2, . . . , n, 而 A 是一個 (有限或無限) 集合。

我們可以證明出來 (證明省略), 一個由某些單項式所生成的理想總是由有限個單項式所生 成。

藉由單項式的觀念, 每一個多項式 fi 都有一個領導項 LT (fi), 我們便可定義出所謂的 Groebner 基底。

定義: 設 I 是一個理想, 若有一組多項式 g1, g2, . . . , gs , 使得

< LT (g1), LT (g2), . . . , LT (gs) >=< LT (I) >

則這組多項式 {g¹, g2, . . . , gs} , 稱為 I 的 Groebner 基底。

此時我們可以證明出來, 假如 {g¹, g2, . . . , gs} 是 I 的 Groebner 基底, 那麼理想 I 也 是由 < g1, g2, . . . , gs>所生成, 即 < g1, g2, . . . , gs >= I (證明省略)。

現在我們就來看看這個 Groebner 基底是怎麼算出來的。

四 . Groebner 基底的演算法

Groebner 基底的算法, 說穿了其實就是單元多次多項式除法的推廣。

定理: (除法定理): 設 f1, f2, . . . , fm ∈ k[x¹, x2, . . . , xn] 是一個多元多次多項式組, f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] 是另一個多元多次多項式, 則 f 可以表成

f = a1f1+ a2f2 + · · · + a^mfm+ r, 其中, aj, r ∈ k[x¹, x2, . . . , xn], 且 r = 0 或 r 不能為 LT (f1), LT (f2), . . . , LT (fm) 中的任何一個所整除。

(證明省略)

例如, F = x² + y² + z² 被 F1 : x² + y + z − 1 = 0 , F² : x + y² + z − 1 = 0 , F3 : x + y + z²− 1 = 0 來除的話 (用 lex order),

F = F1+ 0F2+ 0F3+ (y²− y + z²− z + 1), 或

F = 0F1+ (x − y²− z + 1)F²+ 0F3+ (y⁴+ 2y²z − y²+ 2z²− 2z + 1), 或 F = 0F1+ 0F2+ (x − y − z² + 1)F3+ (2y²+ 2yz² − 2y + z⁴− z²+ 1)

因此, 這種除法並不唯一。 但是除式若是一個 Groebner 基底, 則餘式會唯一。

定理: 設 I 是一個理想, 而 G = {g¹, g2, . . . , gs} 是這個理想 I 的 Groebner 基底, 而 f ∈ k[x¹, x2, . . . , xn], 則 f 被 G 除的餘式會唯一, 即存在唯一的 r ∈ k[x¹, x2, . . . , xn], 使 得

(1) r不能為 LT (g1), LT (g2), . . . , LT (gm) 中的任何一個所整除, (2) f =

^P

特別是, f ∈ I , 若且唯若餘式 r = 0。

(證明省略) 再者, 我們若

定義: 設 F =< f1, f2, . . . , fm > , 其中 f1, f2, . . . , fm ∈ k[x¹, x2, . . . , xn]。 若 f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] , 我們以 f^F 表示多項式 f 被 F 所除的餘式。

定義: 設 f, g ∈ k[x¹, x2, . . . , xn] , 而 x^r1¹x^r2²· · · x^rnⁿ 為 LM(f ) 與 LM(g) 的最低公 倍式, 定義

s(f, g) = x^r1¹x^r2²· · · x^rnⁿ

LT (f ) f −x^r1¹x^r2²· · · x^rnⁿ

LT (g) g, (意思是把 f 和 g 的最高次項消掉)

則我們發現有下面的性質:

定理: 設 I 是一個理想, 而 G = {g¹, g2, . . . , gs} 是 I 的 Groebner 基底, 若且唯若 s(gi, gj)^G = 0 , ∀i 6= j

(證明省略)

這個意思是說, 假如 G = {g¹, g2, . . . , gs} 是 I 的 Groebner 基底, 則在理想 I 中, 把 基底中的任何兩個多項式的最高次項消掉而得的多項式, 會被 G 所整除。

我們利用這個技巧把一組多項式除了以後, 若餘式不等於 0, 那把餘式加進來變成基底的 一個多項式, 直到不管再怎麼除, 餘式都會等於 0, 此時, 我們便得到這組多項式所生成的理想 的 Groebner 基底了。

例如, 考慮 k[x, y] , 而多項式的順序用 grlex order , 設 f1 = x³ − 2xy, f² = x²y − 2y²+ x, I =< f1, f2 > , 則

因為 LT (s(f1, f2)) = LT (x³y

x³ (x³− 2xy) − x³y

x²y(x²y − 2y²+ x)) = LT (−x²)

= −x² 6∈< LT (f¹), LT (f2) >

所以, {f¹, f2} 不是一個 Groebner 基底。 因此, 我們想利用上述方法找出一個 Groebner 基 底。

首先, 我們必須要有 s(f1, f2) = −x² ∈ I,

所以, 我們令 f3 = −x² , 因此我們得到一個新的集合 F = {f¹, f2, f3}。

此時, s(f1, f2) = f3 , 所以, s(f1, f2)^F = 0。

但 s(f1, f3) = ^x_x³3(x³− 2xy) − (−^xx³²)(−x) = −2xy , 但 s(f¹, f3)^F = −2xy 6= 0, 因此, 我們再加入 f4 = −2xy , 得到 F = {f¹, f2, f3, f4},

此時, s(f1, f2)^F = s(f1, f3)^F = 0。

而 s(f1, f4)^F = y(x³− 2xy) − (−¹2x²)(−2xy) = −2xy² = yf4, 因此, s(f1, f4)^F = 0,

而 s(f2, f3) = (x²y − 2y²+ x) − (−y)(−x²) = −2y²+ x, 但是 s(f2, f3)^F = −2y²+ x 6= 0,

因此, 我們再加入 f5 = −2y²+ x , 得到 F = {f¹, f2, f3, f4, f5}, 此時, 我們發現 s(fi, fj)^F = 0 , ∀1 ≤ i < j ≤ 5,

因此, 我們得到 I 的 Grobner 基底為 {f¹, f2, f3, f4, f5}, 即 {x³− 2xy, x²y − 2y²+ x, −x², −2xy, −2y²+ x}。

但是這種計算 Groebner 基底的方法太過煩雜, 因此, 我們試著尋求比較好的一組 Groe- bner 基底。

我們知道, 假如 G 是 I 的一組 Groebner 基底, 那麼 < LT (G) >=< LT (I) > , 若 LT (p) ∈< LT (G − {p}) > , 則 < LT (G − {p}) >=< LT (G) >=< LT (I) > 所以, G − {p} 也是一組 Groebner 基底, 亦即可將原先 Groebner 基底內的多項式p 拿掉。 因此, 我可以定義 minimal Groebner 基底。

定義: 若 G 是多項式理想 I 的一組 Grobner 基底, 且滿足下列條件, 則稱 G 是 I 的一 組 minimal Groebner 基底:

(i) LC(p) = 1 , ∀p ∈ G (即基底的多項式, 領導係數都為1),

(ii) LT (p) 6∈< LT (G − {p}) > , ∀p ∈ G (即缺少其中一個, 就不能成為基底)。

以上例為例, {x³ − 2xy, x²y − 2y²+ x, −x², −2xy, −2y²+ x} 是一組基底, 但 LT (f1) = x³ = −x · LT (f³)

LT (f2) = x²y = −1

2x · LT (f⁴)

因此, 可以去掉 f1, f2, 其它的則沒不能去掉, 因此, f3 = x², f4 = xy , f5 = y²− ¹2x, 是一組 minimal Groebner 基底。

很不幸的, 這種 minimal Groebner 基底也有無限多種可能, 例如, 設 a ∈ k , 則 f³ = x²+ axy, f4 = xy, f5 = y²− ¹2x, 也是一組 minimal Groebner基底。 因此, 我們再定義一 種 reduced Groebner 基底。

定義: 若 G 是多項式理想 I 的一組 Grobner 基底, 且滿足下列條件, 則稱 G 是 I 的一 組 reduced Groebner 基底:

(i) LC(p) = 1 , ∀p ∈ G (即基底的多項式, 領導係數都為1) (ii) ∀p ∈ G , p 的每個單項都不屬於 < LT (G − {p}) >

有了這個定義, 我們可以證明它是唯一的。

定理: 設 I 是一個多項式理想, 且限定某一種多項式次序, 則 I 有唯一一組 reduced Groebner 基底 (不同的次序 reduced Groebner 基底可能不相同)。

(證明省略)

上例, 我們可以算出: < f3 = x², f4 = xy, f5 = y² − ¹2x > , 就是理想 < f1 = x³− 2xy, f² = x²y − 2y²+ x > 的一組 reduced Groebner 基底。

在數學軟體 Mathematica 當中, 便有一個指令可以算出一組多項式理想的 reduced Groeb- ner基底, 它是以 lex order 為次序。 指令如下:

GroebnerBasis[{f¹, f2, . . . , fm}, {x¹, x2, . . . , xn}](按“Shift-Enter”)

其中, {f¹, f2, . . . , fm} 為一組多元多次多項式, {x¹, x2, . . . , xn} 為這些多項式的未知 數, 且 x1 > x2 > · · · > xⁿ 。 (要注意大、 小寫與空格, 最後按“Shift-Enter”執行命令)。

以上例為例, 若輸入

GroebnerBasis [{x^∧3 -2 x y, x^∧2 y-2 y^∧2+x, -x^∧2, -2 x y, -2 y^∧2+x}, {x,y}]

(按“Shift-Enter”) 它就會出現:

{y³ , -x + 2y² }

(注意: 結果與上式結果不同, 是因為所選用的 order 不同)

再如, 我們可以利用 Mathematica 求出 F1 : x²+ y + z − 1 = 0 , F² : x + y²+ z − 1 = 0 , F3 : x + y + z²− 1 = 0 的 reduced Groebner 基底: 若輸入

GroebnerBasis[{x^∧2+y+z-1, x+y^∧2+z-1,x+y+z^∧2-1}, {x,y,z}] (按“Shift-Enter”) 它就會出現:

{-z⁶ -z² (-1+4z-4z²), -2yz² -z² (-1+z² ), y-y² -z+z², 1-x-y-z² }

數學軟體 Maple 也有相類似的指令來求出 F1, F2, F3 的 reduced Groebner 基底: 若輸入 F:=[x^∧2+y+z-1, x+y^∧2+z-1, x+y+z^∧2-1]; (按 enter)

X:=[x, y, z]; (按 enter)

with(grobner); (按 enter) – (只需執行一次) grobner[‘qbasis’](F, X, ‘plex’); (按 enter) 它就會出現:

[x+y+z² -1, y² +z-y-z² , -z² +2yz² +z⁴ , 4z³ -4z⁴ +z⁶ -z² ]

五 . 求解

至此, 我們己經學會利用 Mathematica 和 Maple 去求任何一組多元多次多項式的 re- duced Groebner 基底。 這也就是說, 我們可以求出與任何一組多元多次方程組有相同的解的 特殊方程組。 現在, 我們就利用此方程組, 去找尋原方程組的解。

例如, 由 reduced Groebner 基底的演算法則, 我們知道, G1: −z⁶− z²(−1 + 4z − 4z²) = 0 G2: −2yz²− z²(−1 + z²) = 0 G3: y − y²− z + z² = 0 G4: 1 − x − y − z² = 0 的解和

F1: x² + y + z − 1 = 0 F2: x + y²+ z − 1 = 0 F3: x + y + z²− 1 = 0

相同, 而 G1 只有一個未知數。 它是一元 n 次方程式的問題。 因此, 可將其因式分解:

G1 : −z⁶− z²(−1 + 4z − 4z²) = z²(z − 1)²(z²+ 2z − 1)

而求出 z = 0, 1, −1 ±√ 2。

再代回 G2 和 G3 求出 y, 最後代回 G4, 而得原方程組的解集合為:

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (−1+√

2, −1+√

2, −1+√

2), (−1−√

2, −1−√

2, −1−√ 2)}

五組答案。

現在問題來了。 求出一組方程組相對應的 reduced Groebner 基底的方程組, 便可以知道 原方程組的答案嗎? 它的解情形又如何呢?

我們知道三元一次方程式在空間中的幾何意義是一平面, 而三個三元一次方程組的解就是 它們在幾何上的交點, 所以, 它的解可能是空集合 (無解, 或沒有交點), 一組解 (一個點, 即解 是有限個), 或無限解 (即一直線, 或一個平面)。 因此, 一個多元多次方程組它的解也可能出現 無解, 有限組解, 或無限多組解的情形。

我們可以預想得到“全部”方程組的共同解一定是無解, 也就是由 1所生成的理想, 即 V (<

1 >) = φ (因為 f ∈ k[x¹, x2, . . . , xn], f = f · 1 ∈< 1 > , 所以 < 1 >= k[x¹, x2, . . . , xn] 為“全部”的多項式)。 但是反過來會對嗎? 這也就是說, 若一組方程組無解, 那它的 reduced Groebner 基底一定是 1 嗎? The Weak Nullstellensatz 定理剛好證明了這件事情:

定理: (The Weak Nullstellensatz 定理) 設 k 是一個代數封閉體 (例如, 複數 C)。 I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn], I =< f1, f2, . . . , fm > 是一個理想, 則 V (f1, f2, . . . , fm) = φ (即方程組 無解) 若且唯若 I 的 Reduced Groebner 基底是1, 即 I =< 1 > , 即 I = k[x1, x2, . . . , xn] (證明省略)。

例如, 求方程組

x + y + z + 1 = 0 x + y + z + 2 = 0

x²+ y²+ z²− 5 = 0 的解 用 Mathematica 算出 reduced Groebner 基底:

GroebnerBasis[{x+y+z+1,x+y+z+2, x^∧2+y^∧2+z^∧2-5},{x,y,z}] (按 Shift-enter) 發現結果為:

{1}, 所以這組方程組的解為無解。(前二個方程組平行一定無解)。

那一個方程組只有有限組解的話, 又是如何呢? 下面定理告訴我們一些端倪:

定理: 設 k 是一個代數封閉體 (例如, 複數 C)。 I ⊂ k[x¹, x2, . . . , xn] , I =< f1, f2, . . . , fm > 是一個理想, 則 V (f1, f2, . . . , fm) 為有限集合 (即方程組方為有限解) 若且唯若

∀i, 1 ≤ i ≤ m, ∃sⁱ ≥ 0, x^siⁱ ∈< LT (I) >

(證明省略)

這個定理告訴我們, 當我們用 Mathematica 算出一組多項式的 reduced Groebner 基底 時, 只要檢查一下每一個未知數的某次方 (含零次方) 是否都出現在基底的領導項上即可。 (如 此領導項中含次序最小未知數的方程式只有一個未知數, 便可求出這個未知數的解, 然後再求 出次序倒數第二個未知數的解, 以此類推, 便可求出所有的解)。 例如, 解

F1: x² + y + z − 1 = 0 F2: x + y²+ z − 1 = 0 F3: x + y + z²− 1 = 0 發現用 Mathematica 算出來的 reduced Groebner 基底為

{−z⁶− z²(−1+4z−4z²), −2yz²−z²(−1+z²), y−y²− z+z², 1−x−y−z²} 發現領導項有 −x, −y², −z⁶ , 亦即每個未知數都出現, 所以只有有限組解。

至於有多少個解? 我們也可由下列推論來估計:

推論: 設 k 是一個代數封閉體 (例如, 複數 C)。 I ⊂ k[x¹, x2, . . . , xn] , I =< f1, f2, . . . , fm > 是一個理想, 若 ∀i, 1 ≤ i ≤ m, sⁱ ≥ 0, x^siⁱ ∈< LT (I) > , 則 V (I) 的個數 (方程 組的解) 最多只有 s1s2· · · s^m 個。

(次序倒數第一個的未知數最多只有 sm 個, 求出後再求倒數第二的未知數的解, 所以最多變成 只有 sm−1sm 個, 以此類推)

例如, 最先舉的例子 F1 = 0, F2 = 0, F3 = 0 的解只有五組, 少於 1 × 2 × 6 = 12 組。

當然, 一個方程組若不是無解, 也不是有限組解, 那它一定是有無限多組解了。 但無限組解 可能有好幾種情形, 例如, 空間中三個平面的交集是無限多解的情形, 就可能是一直線或一平面, 因此, 這種情形較為複雜 (它可能是兩平面的聯集, 也可能是一條曲線和一平面的聯集等等), 在 此不加說明。 有興趣的話, 以後再談。

最後, 其實科技發達的今天, Mathematica 和 Maple 內己寫好了一個求多元多次方程組 的指令, 可以讓我們輕易的求出多元多次方程組的解。

我們在 Mathematica 下了下面的指令:

Solve [{x^∧2+y+z-1==0,x+y^∧2+z -1==0, x+y+z^∧2-1==0},{x,y,z}] (按 Shift-enter) 即可求出其解。

在 Maple 上打下指令:

solve ({x^∧2+y+z-1=0,x+y^∧ 2+z-1=0,x+y+z^∧2-1=0},{x,y,z}); (按 enter)

也可求出其解。

至於, 無解, 或者無限組解的情形, 我們也可以利用 Mathematica 的 Solve 或 Maple 的 solve 去觀察它的解。 讀者有興趣, 可以把方程式稍加改變, 然後利用 Mathematica 的 Solve 或 Maple 的 solve 觀察其顯示的結果。

六 . 結語

至此, 我們已了解代數上一個很重要的觀念—一個理想的 Groebner 基底—。 由這個基 底, 我們便可以了解一個方程組的意義, 也就是說它的解, 是無解, 有限多組解 (最多又有幾個, 甚至求出其解), 或是無限多解。

當然, 我們也了解如何利用數學軟體 Mathematica 的 GroebnerBasis 和 Maple 的 grobner[‘qbasis’] 算出一組多項式的 Groebner 基底, 以及利用 Mathematica 的 Solve 和 Maple 的 solve 求出一組多元多次方程組的解。

腦筋動得快的讀者, 或許會想到, Mathematica 的 Solve 和 Maple 的 solve 既然可以求 多元多次方程組的解, 應該也可以求一元多次方程式的解。 沒錯, 這兩個函數的確有這種功能, 讀者不妨試試。 它們會儘可能的把一元多次方程組的解求出來。

參考文獻

1. 洪維恩, Mathematica 入門指引, 松崗電腦圖書資料股份有限公司, 1994。

2. Cox, D., Little, J., & O’Shea, D., Ideals, Varieties and Algorithms, An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer-Verlag New York,Inc., 1992.

3. Wolfram Research Inc., Mathematica, the software of Wolfram Research Inc., 1994.

4. Waterloo Maple Inc., Maple V release 5, the software of Waterloo Maple Inc., 1997.

—本文作者任教於台北市立師院數學資訊教育學系—