9 微分方程式

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9 ^{微分方程式}

9.2 ^{方向場與歐拉法}

方向場與歐拉法

很不幸的是，若給定任意的微分方程式，我們通常沒辦法解 或者給出解的實際表示式。

在這一節裡會提到，即使沒辦法解得實際的解函數，我們也 可以利用方程式藉由圖形(方向場)或者數值上的計算(歐拉法) 來得到逼近的解。

方向場

方向場

假設我們想知道以下這個初始值問題的解圖形：

y 

目前我們仍不知道方程式解的函數或者公式是什麼，我們怎 麼從方程式來描述解的行為？

前面章節中我們曾有這樣的經驗，例如族群成長模型中 P’(t) = k P(t)

我們可以從觀察方程式，得知 P’ 是否為遞增或者遞減，來 預測短時間內的行為。

方向場

在這個例子中，方程式 y



圖一

y  = x + y 的某個解函數曲線

在 (x

,y

) 的斜率 為 x

+y

在 (x

,y

)

的斜率

為 x

+y

方向場

由初始條件我們知道解函數必定會通過 (0, 1) ，而從方程式 我們知道解函數曲線在此點的斜率為 0 + 1 = 1 。因此在這 個點附近，一小部分的解會很靠近通過 (0, 1) ，以 1 為斜率 的直線，如下圖所示

圖二

從 (0, 1) 附近開始的解函數曲線

在 (0, 1) 的斜率為

0 + 1 = 1

方向場

作為描述解函數曲線的方向指引，我們在 x-y 平面上的點 (x,y) 都劃上直線段，其斜率均為 x + y。

這樣的圖形我們稱為方向場 (direction field) ，如下圖三所示

y  = x + y 的方向場

方向場

利用方程式我們可以繪製出平面上的各個位置的「解的方 向」，例如在 (1, 2) 上，斜率為1 + 2 = 3 。

方向場可以提供我們對解函數曲線走向的趨勢。當我們觀察 解函數若通過某個點，我們便可以透過方向場得知函數接下 來變化的方向。

現在我們便可以從 (0,1) 開始，藉由 方向場刻劃出小部分函數的圖形，

再慢慢沿著方向場擴張，試圖逼進 真正的解圖形，如右圖四。

圖四

經過 (0, 1) 的解函數圖形

方向場

注意到我們在刻劃曲線時，就是大致上按照著方向場的方向 移動，在極小部分的線段看起來像是平行在周遭的方向場線 段。

若假設我們有這樣的一階微分方程

y 

其中 F(x,y) 式給定的 x, y 雙變數函數表示式。

此時方程式便給了我們線索：解的函數曲線在 (x,y) 點上的 斜率為F(x,y) 。我們可以繪製在 x-y 平面上通過若干點 (x,y) 以 F(x,y) 為斜率的短直線，此時我們便可以得到這個微分方 程式的方向場。

範例一

(a) 劃出方程式 y



²

²

(b) 利用 (a) 的結果劃出該方程式通過原點的解函數曲線

解:

(a) 我們先挑出幾點來計算 y’ ，如下：

範例一 / 解

接著開始描繪出 0 附近 x-y 平面的方向場

cont’d

圖五

(b) 從原點開始，沿著方向場的短線方向畫出曲線如下。

並左右延伸得到整條曲線。

範例一 / 解

圖六

cont’d

方向場

在介紹歐拉法之前，我們再舉一個物理上的例子。

下圖是一個簡單的迴路，包含了一個電源 E ，電阻 R 以及 電感 L 。假設電源產生的電動勢為 E 伏特，產生的電流大小 為 I(t) 安培。

圖九

開關

方向場

同時假設電阻為 R 歐姆，電感為 L 亨利

。

由歐姆定律，電阻兩邊的電位差為 RI 。而電感兩邊的電位 差為 L(dI/dt)。整個迴路的電位差剛好要等於電動勢 E 。於 是我們有

這是一個 I(t) 的一階微分方程式。

方向場

觀察到方程式表示式中，沒有時間變數 t 直接參與其中，電 流的變化主要只跟電流與電壓本身有關。這類的方程式

y 

方程表示式中只與 y, y’ 有關，與變數 t 無關的方程式，我們 稱為自守方程式 (autonomous equation) 。

這種方程式的特性便是其方向場只跟 y 座標有關。

也因此若我們知道一個自守型方程的解，由於方向場只跟 y 座標有關，所以將解函數圖形左右平移後得到的圖形，所代 表的函數也還會是解。

歐拉法

歐拉法

有了方向場之後，除了圖形上的解之外，我們更進一步想要 得到數值上的結果。

在上一節中，我們應用方向場在初始值問題：

y 

方程式告訴我們在初始點 (0,1) ，有 y

(0) = 0 + 1 = 1 ，因此

於是我們在 x = 0 的附近，有一個初步的線性逼近：

L(x) = x + 1

19 19

歐拉法

如下圖所示，我們利用在 (0,1) 的切線來逼近解函數曲線。

歐拉法的想法便是類似利用方向場決定函數曲線的方向一樣，

第一步利用切線逼近解函數曲線，延伸後到了新的點，便藉 由方向場得到新的切線方向，再做延伸。依此類推。

歐拉法的第一步逼近

解曲線

歐拉法

下圖十三是當我們從 (0,1) 沿著切線方向延伸，但在 x = 0.5 處停止。(從 x = 0 走到 x = 0.5 的設定距離，我們稱為步距 stepsize)

由於 L(0.5) = 1.5 ，我們有 y(0.5)  1.5 。因此 L(x) 從 x = 0 到 x = 0.5 的部分，就是歐拉法的第一步逼近。接著我們以 (0.5, 1.5) 做為新的起始點。

以 0.5 為步距的歐拉法逼近

歐拉法

接著由方程式 y

(0.5) = 0.5 + 1.5 = 2 ，於是第二步我們可以

y = L

(x) = 1.5 + 2(x

另外當我們縮小步距為 0.25 ，第二步以後的逼 近也較步距為 0.5 時更 貼近解函數圖形，如右 圖所示。

圖十四

以 0.25 為步距的歐拉法逼近解

歐拉法

一般來說，歐拉法是這樣做的：

從給定初始值出發，沿著方向場延伸。

接著在給定步距之處停止，沿著方向場的新方向再延伸。

再依此類推。

歐拉法實際上並沒有辦法得到精確的解，但可以縮小步距得 到足夠逼近的解。

歐拉法

以下為前幾張使用不同步距歐拉法得到的圖形，與實際解圖 形的比較。

對一個一階初始值問題 y



₀

₀

x

₁

₀

₂

₁

歐拉法

接下來，我們進行實際的計算。

由方程式，在 (x

₀

₀



₀

₀

₁

y ₁

₀

₀

₀

同樣下一個在 x = x

₂

y ₂

₁

₁

₁

因此我們得到一個迭代式

y

斜率 F(x

,y

)

歐拉法

範例三

利用歐拉法，在設定步距為 0.1 的情況下，記算以下初始值 問題的逼近值

y 

y(0) = 1

考率 h = 0.1 ， x

₀

₀

y ₁

₀

₀

₀

y ₂

₁

₁

₁

y ₃

₂

₂

₂

範例三 / 解

持續計算我們可以得到下列表的數值

cont’d

歐拉法

若我們想得到更精確的結果，我們可以考慮縮小步距。

注意到歐拉法的逼近值在步距縮小時，似乎會收斂到某些值。

步距 y(0.5) 的逼近值 y(1) 的逼近值

歐拉法

下圖畫出了歐拉法在步距分別為 0.5, 0.25, 0.1, 0.05, 0.02, 0.01, 0.005 時的逼近曲線。

我們可以看出來當步距縮小，曲線會越來越往上方移動貼近 解函數曲線。

圖十六

歐拉法得到的解逼近