寬頻網際網路群播通訊軟體發展與建構環境---子計畫III：預先保留機制設計及實作(II)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

子計畫三：預先保留機制設計及實作(2/2)

計畫類別： 整合型計畫

計畫編號： NSC91-2219-E-011-001-

執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學資訊管理系

計畫主持人： 賴源正

共同主持人： 龔旭陽，黃崇明，黃仁竑，童曉儒

報告類型： 完整報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 92 年 11 月 3 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

電信國家型計畫

寬頻網際網路群播通訊軟體發展與建構環境

子計劃三：

預先保留機制設計及實作(II)

計畫編號：NSC 91-2219-E-001-001 執行期限：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日

主持人：賴源正

台灣科技大學資訊管理學系

中華民國九十二年九月

中文摘要

為了提供許多新的多媒體網路應用之需求，立即式保留及預先式保留機制相繼被提 出。當使用者事先知道其連線起始時間、連線結束時間、以及使用頻寬等資訊，即可透 過預先保留機制做預留的動作，以避免當要求建立連線時因資源不足而被允入控制所拒 絕。預留頻寬的作法可使系統管理者能更有效的安排其資源，讓系統的頻寬使用率提升。

在此種機制下，由於立即式保留連線的優先權比預先式保留連線為低，因此當已保留頻 寬的預留連線真正啟動卻遭遇頻寬不足時，一些立即式保留連線會被中斷，亦即失去其 原有的服務保證，並改採盡力式服務。

以往諸多研究在計算立即式保留連線的中斷機率時，皆假設預先保留連線皆會在預 定的時間準時建立連線，但一般使用者的行為習性並不是如此；使用者可能提早或延遲 建立其預定的連線，因此本計畫在允許提前或延後建立預留連線時間的環境下，提出一 個能更準確的估計出立即保留連線的中斷機率，實驗結果也證實我們所提出的方法可更 精準的計算出此機率，如此可減低實際中斷情況的發生，確保其所要求的服務品質。

關鍵詞：預先式保留、立即式保留、允入控制、中斷機率、阻擋機率

Abstract

To satisfy the QoS (Quality of Services) requirements of many new multimedia applications, the mechanisms of immediate reservations and advance reservations were proposed. Users can make reservations in advance when they can provide the connection information, including its starting time, duration, and required bandwidth, in order to avoid they being rejected by the admission control because of the insufficient resources at connection establishment. The advance reservation can provide the network manager to control network resources efficiency, and thus increase the resource utilization. Because immediate reservation calls (IR calls) have lower priorities than book-ahead calls (BA calls), the former will be interrupted if no enough available bandwidth at the establishment of a BA call. The interrupted IR call will lose its QoS guarantee and then adopt the best-effort service.

In many previous studies, the interrupted probability of an IR call is calculated under the assumption that BA calls start their connections on time at their reserved instants. However, the general behaviors of users make this assumption be not true. Users may establish their connections ahead or behind the booked time. Thus, this project presents a more accurate way to estimate the interrupted probability of IR calls in the environment where BA calls with inexact connection arriving times. The results show that our calculation really gets a more correct interrupted probability of an IR call so that its actual interrupted probability is reduced and its QoS requirement is guaranteed.

Keywords: advance reservation, immediate reservation, admission control, interrupted

目 錄

1. 簡介 7

2. 背景 8

2.1 相關研究...8

2.2 IR calls 之允入控制...9

3. 新的允入控制機置 11

3.1 基本概念...11

3.2 允入控制演算法...15

4. 模擬結果 22

5. 多類預先保留環境下立即保留之允入控制 27

5.1 允入控制演算法...27

5.2 模擬結果...29

6. 模擬環境的探討 31

6.1 每一 BA call 有各自提前或延後的 standard deviation(δ)...31

6.2 BA calls 提前或延後的時間分佈為 uniform distribution...33

7. 對於延遲 BA calls 探討 36

8. IR calls 中斷機率計算之逼近方式 39

9. 考慮

T

10. 結論 50

參考文獻 51

圖目錄

2.1 IR call 在

T 要求建立連線時，可能發生頻寬不足的時間點

T 、

T 、

T 、

T ...9

µA=1、b =10、 B =100...13 3.3 standard deviation 對 OPA 計算方式的影響，其中(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I)=(1,1)、

b =10、B =100、 P

T 時間點上之 BA call 會將其連線起始時間提前或延後的變動範圍路線...17

=100、

P =0.01...23

P ) 對各方法的影響，其中(

δ=0.1、B =100...24 4.3 BA calls 可將其連線起始時間提前或延後的分佈之δ ^{對各方法的影響，其中}

(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I)=(1,1)、b =10、B =100、

P =0.01、Runtime=100000...25

P =0.01...29

P )對各方法的影響，其中(

(µ_A,µ_I )=(1,1)、b =1~10、B =100、δ=0.1...30 5.3 在 十 類 BA calls 環 境 下 standard deviation ( δ ) 對 各 方 法 的 影 響 ， 其 中

(λ_A,λ_I)=(4,60)、(µ_A,µ_I)=(1,1)、b =1~10、B =100、

P

(µ_A,µ_I )=(1,1)、 b =10、 B =100、

P =0.01...32

6.2 Uniform distribution...33 6.3 normal distribution 與 uniform distribution 的轉換...34 6.4 BA calls 可提前或延後的時間分佈不同的環境下，λ_I對各方法的影響，其中λ_A=2、

(µ_A,µ_I )=(1,1)、b =10、B =100、δ=0.1、

P =0.01...34

P 對各方法的影響，其中

(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I )=(1,1)、b =10、B =100、δ=0.1...35 6.6 BA calls 可提前或延後的時間分佈不同的環境下，δ ^{對各方法的影響，其中}

(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I)=(1,1)、b =10、B =100、

P =0.01...36

(µ_A,µ_I )=(1,1)、b =10、δ=0.1、B =100、

P

P 對各方法的影響，其中

(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I )=(1,1)、b =10、δ=0.1、B =100...38 7.3 延遲的 BA calls 可事先告知其連線資訊的環境下，δ 對各方法的影響，其中

(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I)=(1,1)、b =10、B =100、

P =0.01...38

P =0.01...40

8.3

P 對各逼近方式與

B

P =0.01...42

8.5 λ_I^對MAPM 與 INT 的影響，其中λ_A=2、(µ_A,µ_I)=(1,1)、b =10、 B =100、δ =0.1、

P =0.01...43

8.6

P 對 MAPM 與 INT 的影響，其中(

δ=0.1...43

δ λ λ µ µ

P

P

P 對 MAPM 與 INT 的影響，其

中(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I)=(1,1)、b =10、B =100、δ =0.1...46 8.10 延遲的 BA calls 可事先告知其連線資訊的環境下，δ 對MAPM 與 INT 的影響，其

中(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I )=(1,1)、b =10、B =100、

P

δ=0.1、

P =0.01...49

P 對

B =100、

B

P =0.01...50

第 1 章 簡介

網路帶給人們快速及便利的資訊流通，目前網際網路已漸漸成為人們生活中不可或 缺的部分，使用人口的激增也使得在其上的商機無限，許多的多媒體應用紛紛推陳出新 [1]，然而以往網路應用都使用的盡力式(best effort)服務方式，此種方式由於連線間彼此 競爭頻寬，造成頻繁的擁塞以及變異性高的延遲，並無任何品質保證，因此服務品質 (Quality of Services, QoS)保證的概念被提出，用來確保一旦連線建立後有可預期的服務 品質，IETF 定出的兩種提供 QoS 服務的方式：整合性服務(Integrated Services)[2-5]及差 別性服務 (Differentiated Services)[6-9]。

然而目前提供整合性服務以及差別性服務等具有 QoS 機的保留方式都只能提供立 即性保留(immediate reservations)，亦即當使用者需建立一個具 QoS 的連線時，允入控制 隨即判斷系統頻寬使用情形，若不足則拒絕此連線要求，足夠則立即保留該連線要求的 頻寬，但如此會造成頻寬需求較大的連線(例如視訊會議、遠距教學等)要求不容易成功，

因此一些研究提出預先保留(advance reservations)機制的功能來緩和此問題[10-14]，其主 要因素為這些應用通常可事先排定的特性，如此可在不違反連線服務品質的情況下，使 頻寬使用效能提升。

透過預先保留的機制，連線需提供連線起始時間、連線結束時間、要求頻寬等資訊 給允入控制以事先分配頻寬，使其在預期的時間中有足夠的頻寬可使用，我們稱此種利 用預先保留機制的連線為 Book-Ahead (BA) calls，而利用立即性保留機制的連線稱為 Immediate Reservation (IR) calls。因 BA calls 可提供較多的資訊給允入控制，因此通常也 較IR calls 有更高的優先順序，當 BA calls 要在預定的時間建立連線時，允入控制若發現 頻寬不足則中斷正在進行的IR calls，使其改採盡力式服務，此種同時提供預先保留以及 立即保留的允入控制，在 IR calls 要求建立連線時除了考慮目前頻寬是否足夠，進而還 需考慮系統內BA calls 已預約頻寬的狀況，以避免在未來的時間內這些 IR calls 因 BA calls 建立連線時頻寬卻不足的情況下而被中斷，亦即 IR calls 必須考慮本身的中斷機率 [15,16]，當其小於某個門檻值(threshold)時，才允許其建立連線。

相當多的論文皆提出此種計算中斷機率的計算方式，然而其所提的中斷機率計算方 式，乃在於其所計算範圍內的BA calls 皆會準時建立連線的情況下所求得的機率。然而 使用者可能比預定時間提前或延遲一段時間才建立連線，如此計算出的中斷機率就會有 所誤差。

本報告架構如下，第2 章簡單介紹論文[16]中的中斷機率計算方式，第 3 章中提出 可更精確地計算出中斷機率的允入控制，第4 章為模擬結果，在第 5 章中，我們則探討 多類BA calls 的環境並模擬其結果，第 6 章為本報告之中斷機率計算方式在不同環境下 之探討，在第7 章中考慮對於延遲的連線處理的影響，第 8 章提出一中斷機率計算之逼 近方式並與第3 章之方法做比較，第 9 章我們擴充笫 3 章的方式以考慮每個

T 時間的變

第 2 章 背景

第 2.1 節 相關研究

最早提出預先保留的觀念為論文[11]，論文[17,18]則提出在預先保留機制的架構 上，需透過agents 做預留頻寬的處理，如此作法的好處是 routers 不需記錄其預留的狀況，

實作方面則有ReRA( resource reservation in advance)模組[19]。

對於IR calls 及 BA calls 兩類之保留方式，目前大部分的論文將其區分為頻寬分割 [20,21]及頻寬共享[22]兩種方式；頻寬分割的概念乃是將頻寬分為獨立及互相不干擾的 兩部分，一部份供僅IR calls 使用，而另一部份則僅供 BA calls 使用，這類允入機制的作 法相當簡單，但其缺點為可能會造成某一類 calls 頻寬不足使用，但另一類的 calls 的頻 寬卻使用率過低。頻寬共享方式則可讓兩類的calls 共用頻寬資源，然 BA calls 通常較 IR calls 有更高的優先權，當已預約的 BA calls 欲開始連線時卻發現頻寬不足，某些 IR calls 就會被中斷。

由於BA calls 的優先權比 IR calls 高，因此可限制其 BA calls 最大頻寬容量，以避免 全部頻寬都被BA calls 佔用[23]。

為了讓已預約好的BA call 到時能有足夠的頻寬可使用，[22]提出在 BA call 開始連 線時間lookahead time 之前某個時刻起，系統開始為其保留頻寬，這段保留頻寬的時間 即稱為lookahead period。

[11]則提出 BA calls 必需在 critical bookahead time 之前發出預約，其阻擋機率 (blocking probability)才不會太高，而其實驗說明 bookahead time 確實影響阻擋機率和網 路使用率。

在IR calls 的中斷機率計算方式上，[24]提出對多類型的 IR calls 做允入，每一類型 的IR call 有各自的流量特性及頻寬需求，此論文利用中央極限定理(central limit theorem, CLT) 的方法來評估中斷機率，以供允入控制判斷其允入與否的依據。

第 2.2 節 IR calls 之允入控制

圖2.1：IR call 在

T 要求建立連線時，可能發生頻寬不足的時間點

T 、

T 、

T 、

T

參考圖2.1，假設 BA calls 及 IR calls 各只有一類，要求頻寬分別為( b ,1)，頻寬總容 量 B ，IR calls 連線停留時間為µ_I^{，計算每一}IR call 將來會被中斷的機率

P 如下：

當有一新的IR call 在

T 時間欲建立連線，而此時已知系統已允入 m 條 IR calls，我

} ) ( )

1 ( 1

| min{ ₀

1

t T m b n t B

T

上述

n

T ，

i

l

)}

( ) (

| min{

)}

( )

1 ( 1 ) ( )

1 ( 1

| min{

1 1

1 1

−

−

−

−

>

≥

=

× + +

×

>

× + +

×

≥

=

i i

i i

i

T n t n T t

T n b m

t n b m

T t T

因此我們可算出在時間(

T ,

T )內必須離開

k 條 IR calls 才不致使此 IR call 於

T 被中

k 的計算方式如下：

B b T n m

k

我們可算出每一條已允入的IR call 在時間(

T ,

T )內不會離開的機率

x 為

) (T T₀ i

i

e

x

假設此IR call 在

T 會被中斷的機會為

p

T

T 仍

k 條，故

p

T

∑  −

 



= 

∑  −

 



× 

= ⁻

=

+

−

− −

=

1 0 1 1

0 (1 ) (1 )

)

( ^{i ki}

j

j m i j i j

m i j i k

i j

i

x x

j x m

j x x m

T p

上述的第一項

x 即為此 IR 在

T 仍存在的機率，後一項則為 m 條 IR calls 少於

k 條離

P 上，若只考慮

T 時間點此 IR call 會被

P

p

T

若考慮的時間點有 z 個，亦即在

T 、

T 、

T 、

T 、...、

T 上此

將所算出來的機率相加所得的值為此IR call 的中斷機率

P ，也就是

∑

=

= ^z

i i

I

p T

P

1

)

( ，稱為

Independent-Peaks Approximation(IPA)。不論使用哪一種方法，最後算出的 P 會檢查其是

P )，若超過則拒絕(block)，此 IR 若不超過則允入。

當然考慮越多IR call 會被中斷的時間點，則所算出來機率

P 就會更高也會更準確，

第 3 章 新的允入控制機制

第 3.1 節 基本概念

在同時支援立即保留及預先保留的機制下的允入控制設計上，BA calls 與 IR calls 可 共用資源，且並不限制BA calls 能使用的頻寬上限，一旦 BA calls 被允許，則在其預留 的這段時間保證有足夠的頻寬可使用。當已經事先預約的每一條 BA call 要開始建立連 線頻寬卻不足夠時，允入控制會依序將最晚允入的IR calls 開始中斷，直到釋出足夠的 資源讓此BA call 使用為止，而被中斷的 IR calls 則改採盡力式服務。此外，BA calls 必 須在夠早之前即提出預約要求或做預約修改，如此才不至於在計算每一新進來的IR call 將來會被中斷的機率時，會因為後來才允入或允許修改原始預約的BA calls 而造成頻寬 改變，讓計算時的環境與實際環境不同造成計算出來的機率值失真。

假設BA calls 及 IR calls 各只有一類，而 arrival process 為 Poisson (λ_A,λ_I)，連線停 留時間為Exponential distribution (µ_A,µ_I)，要求頻寬為( b ,1)，頻寬總容量 B ，此外假設 在同一時間上不會有同時兩個或兩個以上的BA calls 同時建立連線或結束連線，此假設 在一連續時間的系統中是相當合理的。

第2 章中的計算方法乃是針對 BA calls 必須在預定時間到達所算出來的 IR call 中斷 機率，然而依使用者的行為習性，即使已預定了BA calls 的起始時間，但真正建立此 BA call 時仍會提前或延後，如此之前計算 IR call 中斷機率的算法並不正確。因此以下我們 針對在假設BA call 會提前或延後其建立時間的情況下，推導出新的 IR call 中斷機率公 式。

假設一個 BA call 會比預定時間提前或延後，而其提前或延後的時間為 Normal distribution，其分佈圖形如圖 3.1 所示，假設其 probability density function( pdf )表示為

)

P

)2

2( 1

2 ) 1

( ^δ

δ π

mean t

N

t e

P

− −

=

圖3. 1：Normal distribution 分佈圖形與其 standard deviation(δ)的關係圖

其中 mean 為 BA call 的預定連線起始時間，δ 為其 standard deviation，當 standard deviation(δ)越大，則 BA calls 會提前或延後的可能性就變大。由於我們假設結束時間不 變，故若 t 大於連線結束時間，表示取消預約。

當我們允許BA calls 可修改其連線起始時間時，自然會造成原始計算 IR call 被中斷 機率的環境改變，如圖 3.2(a)為系統原始頻寬預約情形，然而因 BA calls 連線起始時間 可提前或延後，且隨著可提前或延後時間的standard deviation 的增加，會讓原始預約情 形跟實際上其頻寬使用的情形差距更大，如圖3.2(b)、(c)。

由於計算中斷機率時的頻寬保留情形會與允入 IR call 後的實際上頻寬使用情形不 同，故經由 OPA 的中斷機率計算方式會產生誤差，如圖 3.3，整個模擬環境參數為 (λ_A,λ_I )=(2,60)、(µ_A,µ_I )=(1,1)、 b =10、 B =100、

P

OPA(NonMove)乃是在 BA calls 一定會在精確時間到達的情況下允入控制利用 OPA 方式 計算出來的

P 來做允入判斷時所產生出實際 IR 阻擋及中斷機率；而 OPA(Moveable)則是

P 來做允入判斷，其

(a)原始預約情形

(b)實際上使用情形，standard deviation=0.1

(c)實際上使用情形，standard deviation=0.5

圖3.2：頻寬預約及使用情形，其中 X 軸為時間、Y 軸為頻寬高度

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 standard deviation(δ)

IR Blocking Probability

OPA (NonMove) OPA (Moveable)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 standard deviation(δ)

IR Interrupt Probability

OPA (NonMove )OPA (Moveable)

圖3.3：standard deviation 對 OPA 計算方式的影響

其中(λ_A,λ_I)=(2,60)、(µ_A,µ_I )=(1,1)、 b =10、 B =100、

P

由圖3.3 中可看出，在 BA calls 可提前或延後的環境下，可提前或延後的 standard deviation 越大則 OPA 計算方式也就越不精準，也就是說實際 IR 中斷機率會比 OPA 計算 出的 IR 中斷機率高出很多，甚至超過門檻值

P 。此外，由於我們對於延遲的 BA calls

由於BA call 比預定時間提前或延後，會讓 OPA 在計算 IR 中斷機率時的計算環境與 實際使用情形的不同而造成計算值的誤差，然而若我們延伸OPA 方式去計算 IR call 會 被中斷的機率時，就需考慮所有可能會造成影響的BA calls，然而如果考慮的時間範圍 內有Y 條 BA calls 就有最多 Y! 種組合的排列情形，然後再計算每一種情形的

T 時間點

T 時間點的中斷機率

時我們只考慮預定在

T 時間點上會起始的

第 3.2 節 允入控制演算法

我們提出可允許BA calls 提前或延後建立其預定連線時間之允入控制如下：

一、針對BA calls 之允入控制

1. 當有一新的 BA call 提出預留要求 : 此 BA call 需給定頻寬要求( b )、連線起始

時間(

t

t

連線起始時間是否大於一能做預留的最小間隔(lookahead time)，也就是判斷此 BA call 是否在夠早的時間之前提出預留要求，若是，其次檢查

t

t

2. 當有一已經事先預約頻寬的 BA call 提出取消預約的要求：允入控制直接允許，

並將

t

t

3. 當有一已經事先預約頻寬的 BA call 提出修改預約資訊的要求：允入控制根據 BA call 發出要求的時間距離連線起始時間是否大於 lookahead time，若是，則 判斷其要求是否允許，否則直接拒絕其要求；在此 BA call 可修改的預約資訊 有頻寬要求(

b )、連線起始時間(

t'

t'

t

t

start

t'

t'

b 是否會超過頻寬總容量 B ，若不會超過

4. 當有一已經事先預約頻寬的 BA call 提出建立連線要求：(1) 允入控制檢查若其 發出要求的時間小於原始預約連線起始時間

t

t

求；(2) 若其發出要求的時間等於或大於

t

5. 當有一事前已被允入之 BA calls 真正連線時：檢查此被允許的 BA call 頻寬要求

b 加上目前系統已使用頻寬是否會超過頻寬總容量 B ，若不會則直接允入，若

6. 然而若已事先預約頻寬的 BA call 在其要求連線起始時間沒有準時建立連線，

允入控制仍然保留其預約的頻寬。

二、針對IR calls 之允入控制

1. 當有一新的 IR call 提出建立連線要求時，給定頻寬要求的資訊，允入控制依照 目前預先保留連線已使用的頻寬，加上立即保留連線已使用的頻寬，再加上此 新連線的頻寬是否會超過頻寬總容量 B ，若超過則拒絕此 IR call 之要求，若沒 有則允入控制計算其會被中斷機率，若機率小於門檻值(

P

否則拒絕此IR call 之建立連線要求。

2. IR calls 會被中斷的機率計算方式：

和上述OPA 一樣，我們假設 BA calls 及 IR calls 各只有一類，而連線到達 程序為 Poisson process (λ_A,λ_I )，連線停留時間為 Exponential distribution (µ_A,µ_I )，要求頻寬為( b ,1)，頻寬總容量 B ，此外，BA calls 將連線起始時間 提前或延後的時間機率分佈為Normal distribution，且其 standard deviation 皆為 δ。

由於積分運算為連續的時間，因此我們重新定義第二章的公式以符合我們 的需求。令在時間 t 時，必須在時間(

T , t )內離開多少條 IR calls 才可讓此 IR call

k

B b t n m

t

k

同時我們也可以算出每一條已允入的IR call 在時間(

T ,

t )內會離開的機率

) (t

x

) ( ₀

)

(

t e

x

因此在時間 t 時，假設需離開的已允入 IR calls 條數為 l ，此新的 IR call 會 被中斷的機率為

p

t

∑  −

 



= ⁻

=

+ 1 −

0

)] 1

( 1 [ )]

( [ )

, ( ^l

i

i m

i

x t

t i x l m

t p

在正常情況下

l

k

k

首先我們必須知道，當只考慮

T 時間點上之 BA call 會將其連線起始時間

T 時間點上之

P

T 、standard deviation 為

圖3.4：

T 時間點上之 BA call 會將其連線起始時間提前或延後的變動範圍路線

間點為

T 上轉變成在其他時間點上，然而我們知道

T 之前的時間不可能成為

T 時間點往左計算時，我們可將

DefauleT 。

而當在

T 上之

T 一直往後移，直到其 BA call 右移後造成頻寬減少但還是

此外，由於我們假定不會有兩條或兩條以上的BA calls 同時建立連線或結 束連線，也就是每次有頻寬上升或下降只會差一條 BA call 的頻寬，因此第一 個IR call 會被中斷的時間點上的頻寬高度就都會和

T 相同，且在該點時間之前

k

T

(1) 在只考慮有頻寬變動的時間點下，也就是有 BA call 建立連線或結束連線 的時間點，先找到

T

t

T

m

b

n

t

B

T 為止，如圖 3.5 所示之

L

T

L

L

L ,

L

L

L )、(

L ,

L

T ,

L )。以

T 為基礎由

(2) 若所判斷的區間( P , Q )，其

n

P

n

T

T 時間點上的

dt t P T k t

p

Q

P

) ( )) ( , ( ₁

∫

事實上因為

k

P

k

dt t P P k t

p

Q

P

) ( ) 1 ) ( ,

∫ ( +

在此，我們將

DefauleT 重新記錄為 P 的時間。

(3) 當所判斷的區間( P , Q )，其

n

P

n

T

DefauleT ，因此 BA call

)) ( , (

)

(

t dt p DefaultT

k T

P

Q

P

N ×

∫

(4) 接著我們考慮往後移的情況，我們從

T 依序往右移區分出有頻寬變動所

t

T

R

R

R

R

R )、

R ,

R

R

t

T 開始，由左至右判斷每個區間，每個區間可為

(5) 當所判斷的區間(U ,V )，其

n

U

n

T

T 的 BA call 將其連線起

dt t P T k U p

V

U

∫ ( , ( ₁)) N( )

(6) 當所判斷的區間(U ,V )，其

n

U

n

)) ( , ( )

(

t dt p U k T

P

tend

U

N ×

∫

(7) 當所判斷的區間(U ,V )，其

n

U

n

T

時間點，找尋時間點 G=min{

t

t

V

k

t

k

) (

T

k

)) ( , ( )

(

t dt p G k T

P

V

U

N ×

∫

若找不到此 G 點，則其後所有區間內其 IR call 會被中斷的機率值皆為 0。

(8) 將所算出來的機率值全部相加，即為此新進來的 IR call 會被中斷的機率

P 。

舉例說明，如圖3.4 所示，由時間點

T 往左判斷每一個區間，當 t 的變動

L

T

n

L

n

T

L ,

T )時間範

p t k T P

t dt

T

L

) ( )) ( ,

1 (

1

∫ 1 ，我們可找到此種BA call 移動的 範圍內會成為第一個IR call 會被中斷的時間點的例子還有(

L ,

L )；若 BA call

L ,

L )時間內，

n

L

n

T

L 時間點上，因此，此 BA call 在這範圍內

2

T k L p dt t P

L

L

∫ N ，同樣的我們可找出此類

型的時間範圍為(

L

L )、(

L ,

L

T ,

L )，BA call 在這些範圍內所造成的

IR call 中 斷 機 率 分 別 為 () * ( ₃, ( ₁))

3

4

T k L p dt t P

L

L

∫

5

T k L p dt t P

L

L

∫

)) ( , (

* )

( _{3 1}

5

0

T k L p dt t P

L

T

∫

由時間點

T 往右判斷每一個區間，當 BA call 的變動範圍在(

T ,

R )時間

n

T

n

T

連線起始時間的移動而移動，因此，此IR call 在(

T

R

p t k T P

t dt

R

T

) ( )) ( ,

1 (

1

∫ 1 ，同樣的我們可找出此類型的時間範圍為

(

R

R )，在此範圍內所算出來的中斷機率為

p t k T P

t dt

R

R

) ( )) ( , (

3

2

∫

的變動範圍在(

R

R

n

R

n

T

R ，因此，當 BA call 的變動範圍在此時間範圍

內時所算出的IR call 會被中斷的機率為 () * ( ₂, ( ₁))

2

1

T k R p dt t P

R

R

∫

移動範圍在(

R ,

R )時間內時，

n

R

n

R 之後的

R ，故從

R 之後的區間(

R ,

t

不需再判斷，直接以 ( ) * ( ₃ ( ₁))

3

T ,k R p dt t P

tend

R

∫

此新的IR call 會被中斷的機率

P 。

圖3.5：Normal distribution 之分佈