行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
應用函數近似法之管道聲場主動噪音控制器設計
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC94-2212-E-011-033-
執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日 執行單位： 國立臺灣科技大學機械工程系
計畫主持人： 黃安橋
計畫參與人員： 簡銘志、陳威帆、游清翰
報告類型： 精簡報告
報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 95 年 10 月 24 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
應用函數近似法之管道聲場主動噪音控制器設計
Adaptive Controller Design Based on Function Approximation Technique for the Control of Acoustic Field in a Duct
計劃編號：NSC-94-2212-E-011-033
執行期限：94 年 8 月 1 日至 95 年 7 月 31 日 主持人： 黃安橋 國立台灣科技大學機械系
計畫參與人員：簡銘志、陳威帆、游清翰 國立台灣科技大學機械系 摘要
本計畫提出一以 FAT 為基礎之適應控制 器，以補償普遍存在於一維管道聲場系統主 動噪音消除過程中之第二路徑效應。由於在 設計上免除了前置麥克風的架設，使得聲場 回饋問題亦一併解決。另外，本計畫中採用 嚴格的數學證明來確保閉迴路系統之穩定 度，這在許多主動噪音消除演算法中是無法 做到的。尤有進者，本計畫更進行了系統暫 態響應分析，並找出暫態性能的邊界，以做 為實際系統設計者之參考。在實驗結果中顯 示，所提出之控制器可大幅改善傳統 LMS 或 FXLMS 演算法的性能缺失。
關鍵詞：適應控制、函數近似、噪音控制 Abstract
An FAT-based adaptive controller is proposed in this project to compensate for the commonly encountered second-path effect in a one-dimensional acoustic field in a duct. Since the feedforward microphone is eliminated in the design, the notorious acoustic feedback problem is elegantly avoided. Besides, rigorous mathematical proof of the closed-loop stability is performed in the project to ensure consistent system performance. Furthermore, the transient performance analysis is also investigated as a reference to practical implementation considerations. In the experimental results, it is found that the proposed controller can indeed give significant performance improvement compared to the traditional LMS and FXLMS algorithms.
Keywords:
Adaptive control, Function approximation, Noise cancellation1. 簡介
一維管道聲場的噪音消除，通常以被動方 式(隔音或是吸音材料)，來阻絕或吸收噪音。
其噪音消除的性能和該噪音之頻譜息息相關。
一般而言，其對較高頻帶的噪音消除有較佳的 性能。若想使用被動式的方式來消除低頻噪 音，則必須花費大量的成本以及大體積的材 料。在工程實務上，對於 500Hz 以下的低頻噪 音，使用被動式的方法是不經濟的。另一種方 式是為主動噪音消除法，其常用於低頻噪音的 處理。此一概念係由 Lueg 在 1936 年所提出，
其原理為產生一與噪音反相的聲波，用以破壞 性干涉原噪音，以達到降低噪音的目的。主動 噪音消除有著低頻性能佳、體積小、重量輕及 設計彈性大等好處，因此對於低頻噪音，其仍 是較佳的選擇。
主動噪音消除的傳統方法，一般都有聲場 回饋、第二路徑效應及控制器的適應性不良等 問題。在常見的雙麥克風架構中，前饋麥克風 會受到控制喇叭的影響，而造成控制器性能的 降低，此種情形便稱為“聲場回饋”。而“第二路 徑”指的是控制喇叭與誤差麥克風的動態行 為，以及控制喇叭至誤差麥克風間的管道動態 和時間延遲。第二路徑中的“時間延遲”使得當 控制聲波送出後，尚需經過一段傳遞時間，誤 差麥克風才能感測到控制後的誤差聲壓訊號，
此種迴授延遲極易造成閉系統的不穩定。在控 制器適應性方面，由於噪音會受到來自管壁及 末端阻抗的影響，也會受到溫度與氣流速度變 化、氣體黏滯性與高頻截斷以及系統非線性特 性與不確定性而影響其物理性質，因此，對於 無法適應環境的控制器，便常會因為環境的變 化而導致控制性能惡化。任何控制器設計，應 考量其環境適應性。
在一維管道聲場的主動噪音控制，常見的 控制器設計方式可分為模式匹配法及適應控 制法。其中，模式匹配法需求得精確的系統 參數，才可進行控制器設計，如 Hull[2]便是 利用此法來發展控制器，其在架構上使用了 一組前饋麥克風，利用一維聲場的動態方程 式推導狀態空間式，在假設所有的系統參數 皆為已知的情形下，使用極點配置法(pole placement)來設計回饋控制器，使得極點皆落 在左半面。在這之前的研究，極大部分的控 制器皆為適應性濾波器，Hull 算是很早使用 現代控制理論於此類問題的學者，但其所使 用之數學模型依舊未考慮聲場回饋之問題。
Hu[3,4]則是利用推導的管道聲場數學模型，
假設在邊界反射值為已知或是在噪音振幅為 未知但頻率為已知的條件下設計回授控制 器，並利用 Nyquist 準則來分析系統閉迴路穩 定度，該方法在架構上只需一組誤差麥克 風，便能在控制喇叭的位置製造出一全反射 的聲場邊界，以阻止噪音往下游傳遞。而 Hu 與 Lin[5]在控制架構上使用兩組前饋麥克 風，利用推導之管道聲場數學模型，在假設 兩組麥克風及控制喇叭的位置為已知的情形 下設計前饋控制器，並在文中探討其控制器 的穩定性。在實際應用時，上述的控制器對 於系統識別時的誤差以及溫度與氣流速度等 環境條件改變，並沒有良好的適應能力，因 此消音性能易受環境與操作條件影響。
在適應控制部份，早期對 ANC 的研究皆 以信號處理的角度來設計適應性濾波器。
Burgess[1] 在 1981 年 將 LMS(Least Mean Square)的演算法以有限脈衝響應(FIR)濾波 器應用於 ANC 問題。但 LMS 並沒有考慮聲 場回饋與第二路徑效應的問題。Widrow[12]
則針對 LMS 控制器，提出 FXLMS (Filtered-X LMS)適應性演算法，在架構上需要前饋麥克 風及誤差麥克風，雖解決第二路徑效應，但 在使用前需求得第二路徑的轉移函數，此條 件降低該演算法的適應性，且依舊沒有解決 聲場回饋問題。但由於其演算法簡單，架構 上較穩定，目前 FXLMS 仍是 ANC 領域中最 常使用的方法。Oppenheim[6]在 1994 年提出 僅利用單一感測器進行適應性主動式噪音控 制的方法，此法利用前饋麥克風將量測到的
聲壓減去聲場回饋訊號，便可得到純噪音訊號 來調整其適應控制器的參數，有效解決了聲場 回饋問題。但其使用前仍須求得致動器到前饋 麥克風間的管道轉移函數，此舉仍舊減低演算 法的適應性，且在其文中並沒有進行系統穩定 度分析。
由以上得知，上述的各種適應性 ANC 法 則通常欠缺嚴謹的閉迴路穩定性證明，且仍需 仰賴系統部分的數學模型。但在實作時，精密 的系統參數並不容昜取得，且系統之非線性效 應與時變特性通常左右了該模型之適用範圍。
對此，本計畫提出一以 FAT 為基礎之適應控制 器[7-9]來處理 ANC 問題，在控制器設計過程 中，除了致動器到誤差麥克風之延遲時間須為 已知外，其他系統參數皆不須精確獲得，由於 該時間延遲假設為已知，因此可有效的補償第 二路徑效應。另外，在硬體架構上，本計畫提 出之方法不需要前饋麥克風，因此可避免聲場 回饋之問題，且可簡化硬體之實現。最後本計 畫以 Lyapunov 理論証明閉迴路系統為漸近穩 定，並提供系統之時域暫態性能分析。
2.數學模型建立
本節針對一基本一維聲場建立數學模型，
該模型適用於管道內聲波作單向傳遞之情形。
2.1 管道聲場[9,11,13]
對於一維聲場而言，可以只考慮
x
方向，其波動方程式可寫成
2 2 2
2
1
t p c x
p
(1) 其中
p ( t x , )
為聲壓，而c
為聲速。(1)式的通解可 寫成d’Alembertsolution 如) ( ) ( ) ,
(
1 2c t x c f t x f t x
p
(2)上式可以解釋為一個向右傳遞的波
f
1加上一個 向左傳遞的波f
2 。假設聲波為諧波，則聲壓) , ( t x
p
有著下式的複數解：) ( )
(
e
e ) ,
( x t A
j t kxB
j t kxp
(3)其中
A, B
為複數係數，
為角頻率，而k c
則 為波數。另一方面，一維聲場的運動方程式可 表示為t p
v
0
1
(4)
其中
v
為粒子移動速度，
0 為空氣平衡密 度。求解上式，則可得粒子速度之解為
( ) ( )
0
e 1 e
j t kx j t kxB c A
v
(5)若參考位置為
x x
0，則對於向右傳遞的波，其聲壓與粒子速度可表示為
( )
00 ) (
1 e ) , (
e ) , (
x A x
t c x v
A t x p
kx t j kx t j
(6a) 而對於向左傳遞的波，便可表示為
( )
00 ) (
1 e ) , (
e ) , (
x B x
t c x v
B t x p
kx t j kx t j
(6b) 由於喇叭可假設為一無質量的活塞置於管道 之參考位置
x
0處，故其表面之質點速度可表 示如下t j
S t x t q x
v e
2 ) , ) ( ,
(
0
0 (7a)t j
S t x t q x
v e
2 ) , ) (
,
(
0
0 (7b)其中
S
為活塞面積，q
為單極性面聲源的複數 聲源強度。另外，(6)式中的係數A
與B
可以 由(7)式的初始條件解得。由(6a)式與(7a)式，可解出在
x x
0時，係數A
為S t x c q
A 2
) , (
0
0
(8)由(6b)式與(7b)式，則可解得在
x x
0時，係數B
為S t x c q
B 2
) , (
0
0
(9)將(8)式代入(6a)式，(9)式代入(6b)式，則(6) 式中的聲壓解便可重新整理如下
0 ) 0 (
0
e
2 ) , ) (
,
( x x
S t x c q t x
p
jtkx
(10a)0 ) 0 (
0
e
2 ) , ) (
,
( x x
S t x c q t x
p
jtkx
(10b) 有了聲壓傳遞的方程式，以下我們將針對實 驗系統建立其數學模型。2.2 消音機制
本計畫所採用之一維主動噪音控制系統 架構如圖一所示，在
x 0
處之噪音聲源，其 複數聲源強度為)
0,
(
n
x t
xq
，而控制聲源置於a
x
處，其複數聲源強度為q
u( x , t )
xa，以下標n
代表噪音，下標
u
代表控制聲音。假設控制聲源往管道上游傳遞的波不會反彈，也不會被誤 差麥克風所量得，則在
x b
處的麥克風量得的 噪音聲壓p
n ( t b , )
及控制聲壓p
u ( t b , )
可分別表示成
) ( 0
) ( 0
2 e ) , ) (
, (
2 e ) , 0 ) (
, (
a b k t u j u
kb t n j n
S t a c q t b p
S t c q t b p
(11)
(11)式可以解釋成，噪音聲壓
p
n ( t b , )
為一個振幅S t c q
n2 ) , 0 (
0 的聲波，先延遲了b c
的時間後，才傳 達到誤差麥克風；而另外p
u ( t b , )
則為一個振幅S t a c q
u2 ) , (
0 的 控 制 聲 波 ， 其 延 遲 時 間為( b a ) c
。利用聲波線性疊加原理，便可得 到噪音聲壓及控制聲壓在x b
處的麥克風所量 得的合成聲壓p ( t b , )
為
c a j b t j u c t a j n
a b k t u j kb t n j
u n
t a q t
S q c
S t a c q S
t c q
t b p t b p t b p
) ) (
0 (
) ( 0
) ( 0
e e ) , ( e
) , 0 2 (
2 e ) , e (
2 ) , 0 (
) , ( ) , ( ) , (
(12)上式可解釋成一個振幅為
( 0 , ) 2
0
q t
S c
n
的波，先延遲 了t
1 a c
的時間後到達x a
處，再與另外一個振 幅為( , )
2
0
q a t S
c
u
的波疊加，最後合成的波再延遲c a b
t
2 ( )
時間，便傳遞至誤差麥克風，此壓力 波p ( t b , )
可利用誤差麥克風量測與回授。為了稍 後 控 制 器 設 計 的 需 要 ， 將 ( 1 2 ) 式 表 示 成 ( ) ( )
) ,
( b t A N t t
2u t t
2p
(13)其中
0 2
0
S
A c
，( ) ( 0 , ) e
( c)t a j n
t q t
N
及u ( t ) q
u( a , t ) e
jt。 (13)式即為本章應用於一維管道聲場的數學模 型，其符號亦標註於圖一中。3. 控制器設計
為了與本文提出之 FAT 適應控制器做比 較，本章另外介紹了二種演算法，分別為 LMS [12]及 FXLMS[12]的適應性演算法。
3.1 LMS (Adaptive Least Mean Square)
LMS 有著聲場回饋、第二路徑效應及穩定 度証明等問題。實際上以單頻(pure tone)的噪音 源對 LMS 進行模擬以及實驗時，雖某些頻率 會有很好的表現，但在其他頻率則會有發散的 情況出現，此時只要改變控制器的正負號，便
可維持原有的性能，此現象為回授時間延遲 所引起。為了解決第二路徑效應，Widrow 提 出了 FXLMS 演算法，將在下一小節中介紹。
3.2 FXLMS (Filtered-X LMS)
由於演算法簡單，架構上較穩定，目前 FXLMS 仍是 ANC 領域中最常使用的方法。
但是，FXLMS 演算法仍存在聲場回饋問題，
其雖考慮了第二路徑效應，付出的代價卻是 須額外估測第二路徑轉移函數，雖可利用系 統鑑定的方式來求得此轉移函數，但此舉的 確降低了此演算法在複雜管道聲場系統下的 適應能力，而且 FXLMS 與 LMS 皆多缺乏系 統穩定度的証明。針對上述 FXLMS 的缺點，
在下一小節中，我們將介紹本章提出的 FAT 適應控制器。
3.3 FAT 適應控制器設計
本文所提出之一維聲場適應控制迴路可 以先前的圖一表示之。對於實際系統而言，
(13)式中的噪音
N (t )
是未知且快速時變，而複 雜且時變的管道聲場使得第二路徑並非只有 回授時間延遲那麼單純。本計畫提出之 FAT 適應控制器在架構上僅需一組誤差麥克風，避免了聲場回饋之問題，亦可有效補償第二 路徑效應。以下則為控制器之推導，若選擇 輸入為
) ˆ ( ) ( ) ˆ ( )
( t t
2N t t
2u t N t
u
(14)其中
N ˆt ( )
為N (t )
的估測值，利用函數近似法 [7-9]，則(13)式及(14)式中的函數N (t )
及N ˆt ( )
可 以表示如下：) ( )
( t t
N
wTz (15a)
t
t
N ˆ
wˆ
Tz (15b) 其中w
n為未知之常數權重向量，wˆ
n為 其估測值，z( t )
n為正交基底向量，而n
為基 底函數之項數。將(14)式代入(13)式，並利用 (15)式可得)
~ (
) ( ˆ ) (
)]
ˆ ( ) ( [ ) , (
2 2
2 2
t t A
t t A
t t N t t N A t b p
T T T
z w
z w
w (16)
其中w
~
w
wˆ
。(16)式即為 regressor form，由 於 z(t )
內 之 各 元 素 為 正 交 ， 故0 w
( b , t ) 0 iff ~
p
。為証明閉迴路系統之穩定度並求得近似函數的權重估測法則，選取一
個 Lyapunov 候選函數如下
w Q w
w
~ ~
2 ) 1 ( ~ A
TV
(17)其中Q
R
nn為正定矩陣，將V
對時間t
取一次微 分可得w Q w
~
Tˆ
A
V
(18)若選擇估測權重之適應律如下
) ( ) , ˆ
Q1p ( b t
zt t
2w
(19)便可得
0 ) , (
)]
~ ( [
) ( ) ,
~ (
2 2 2 2
2
t b p
t t A
t t t b p A V
T T
z w
z
w(20) 此即表示
w ~ L
，亦即p ( b , t ) L
。此外，當V 0
時，表示
p ( b , t ) A
w~
Tz( t t
2) 0
，即w~
0，根據 La Salle Theorem [10] ， 我 們 可 推 論
b t as t
p ( , ) 0
。本章提出之 FAT 適應控制器，在硬體架構 上只需要誤差麥克風來回授聲壓
p ( t b , )
的，若假 設控制聲源到誤差麥克風的延遲時間t
2為已 知，即可保証誤差噪音會漸近收斂，並確保閉 迴路系統穩定度。3.4 FAT 適應控制器之暫態性能分析
為進一步了解暫態之控制性能，本小節將 進行系統之暫態分析。將(16)式對時間取微分 可得
)
~ ( ) ˆ ( ) , (
' b t A t t
2A t t
2p
w
Tz
wTz
(21) 將(19)式帶入上式可得
2 2 2 22 2 1
min
2 2
1 2
)
~ ( ) ( ) ( ) , (
)
~ ( ) ( ) ( ) , ( ) , (
t t A t t t
b p A
t t A t t t
t t b p A t b p
T T T T
z w z
Q
z w z
Q z
(22)由於w
~ L
、z( t t
2) L
，若p
0 p ( b , t
0)
，根據 comparison lemma[10]，則可求得p ( t b , )
在t t
0之 邊界如下
( ) ( ) sup ( ~ ( ) )
e
) )
~ ( ( e
e ) , (
2 2 ] 2
, [ 2 1 2 2 1
min
) ( ) ( ) ( 0
2 2 2 ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( 0
0 0 2 22 1 min 0
2 2 2 min 1
2 0 2 2 min 1
t t t
t p
d t t A p
t b p
t t T
t t t t A
t t
t t t A
t t t t A
T T T
z w z
Q
z w
z Q
z Q
z Q
(23)
由(23)式得知當加入 FAT 適應控制器後，聲壓 波形於暫態時將限制在一已知邊界內，並且由 前一節的結果可以保証其穩態之收斂性。
4. 實驗結果
FAT 的實驗結果將與 LMS 及 FXLMS 做 比較，LMS 與 FXLMS 之實驗參數設定請詳 見[9]。我們選取傅利葉級數來作為正交基底 函數，而 FAT 控制器之參數與初始條件則設 定為Q1
I以及wˆ ( 0 ) 0 0 0 0
T。圖三為針 對 150Hz 之單頻噪音，在加入控制器後所量 得之時域音壓曲線，而圖中的虛線即表示原 150Hz 噪音之振幅。從該圖中可發現，FAT 適應控制器能有效抑制噪音源傳來之噪音，且其噪音消除性能明顯優於另外兩者。另一 方面，從實驗結果可驗證，由於 FXLMS 考 慮了第二路徑，其性能的確優於傳統 LMS。
為比較各個控制器對不同頻率噪音之消除性 能，我們也根據前述兩項評估指標，來繪出 性能比較之長條圖。利用實驗結果所繪製之 長條圖分別整理於圖四與圖五中，圖中愈高 的長條代表噪音抑制能力愈好，而未繪出 者，即代表控制器在該頻率時，其輸出曲線 發散，無法消除該頻率之噪音。從圖四與圖 五可明顯的看出，在各個噪音頻率下，FAT 適應控制器之平均噪音消除與主頻噪音消除 能力皆優於 LMS 與 FXLMS，此即表示本計 畫提出之 FAT 適應控制器有較佳的性能。
5 結論
一維管道聲場主動噪音控制常見的問題 為聲場回饋、第二路徑效應及控制器的適應 性不良等。對於模式匹配所設計的控制器，
在複雜多變的系統中並沒有適應的能力。而 某些傳統適應性濾波器雖解決聲場回饋或是 第二路徑效應，但使用前需要額外求得部份 系統參數，此舉降低了演算法的適應性，且 由於系統鑑定時易存有建模誤差，控制性能 亦會因此而劣化，另外，傳統適應性濾波器 也多無穩定性分析，故無法確保閉迴路系統 之控制性能。對此，本計畫針對上述之一維 管道聲場導出以 FAT 設計之適應控制器，在 假設致動器到誤差麥克風的延遲時間為已知 的條件下，即可避免聲場回饋之問題，而對 於第二路徑效應亦可提供有效之補償。由於 此控制器之推導並不需要精確之數學模型，
因 此 極 有 利 於 硬 體 實 現 。 最 後 本 計 畫 以 Lyapunov 法証明閉回路系統為漸近穩定，並
提供系統之時域暫態分析。由實驗結果証明所 提出之 FAT 適應控制器有較佳的性能表現。
References
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圖一 一維聲場示意圖
Error Microphone
Control speaker
qu Noise
Speaker
zP2 duct
Control Speaker
) , ( tb
z pP1
) (t u ) (t N
Adaptive Controller qn
0
x a b x
Parameter Update Law
圖二 硬體架構示意圖
0 2 4 6 8 10
-0.1 0 0.1
FAT
0 2 4 6 8 10
-0.1 0 0.1
Pressure(bar)
LMS
0 2 4 6 8 10
-0.1 0 0.1
Time (sec)
FXLMS
圖三 150Hz 噪音之噪音抑制曲線(虛線為原 噪音振幅)
平均噪音消除
0 5 10 15 20 25 30
100 150 200 250 300 350 400 frequency (Hz)
dB
LMS FXLMS FAT適應控制器
圖四 各控制器對各頻率噪音的平均噪音消 除能力比較圖
主頻噪音消除
0 10 20 30 40
100 150 200 250 300 350 400 frequency (Hz)
dB
LMS FXLMS FAT適應控制器
圖五 各控制器對各頻率噪音的主頻噪音消除 能力比較圖
個人電腦 A/D
A D/
Speaker amplifier
Control speaker
Noise speaker
Microphone
m 03 . 0
m 315 . 0
m 04 . 1 m 68 . 0
Signal amplifier
