中華大學

(1)

中華大學

碩士論文

結合時間序列分析與卡曼濾波器之混貨製程控制

Mixed-Product Run-by-Run Process Control ： Combining Time Series and Extended Kalman Filter

系所別：機械工程學系碩士班學號姓名： M09708009

陳正文指導教授：陳俊宏

博士

中華民國九十九年七月

(2)

摘要

本論文針對混貨的半導體製程，發展出一套多重輸入輸出(multi-input multi-output, MIMO)批次控制技術。由目前習慣沿用單機、單產品與利用後量測值調整製程參數，

轉變成多機、多產品之批次控制，估計因為不同機台或產品所造成的製程干擾。文中利用變異數分析(ANOVA)與時間序列分析(time series analysis)對機台量測值的歷史資料建立機台製程模型，然後將時間序列之製程模型轉換為狀態空間形式，並利用擴張卡曼濾波器(extended Kalman filter)同時估計預測值與更新製程模型參數。最後使用 double exponentially weighted moving average (D-EWMA)與 time-varying D-EWMA 與本文所提出的方法做比較，由比較結果可知，本文所提出的方法有較好的預測效能表現。

關鍵詞：變異數分析、時間序列分析、擴張卡曼濾波器

(3)

Abstract

This thesis developed a technique for controlling MIMO (multi-input multi-output) mix-product semiconductor processes. The conventional run-to-run process control for single-tool and single-type-product processes was improved to that for mix-tool and mix-product processes through individually estimating the disturbances induced by tools and products. In this thesis, the ANOVA and the time series model of the measurements is constructed by history data and then the extended Kalman filter is used to estimate the disturbances and update the parameters of the time series model simultaneously. The simulation results demonstrate that the performance of the proposed method is better than Double Exponentially Weighted Moving Average (D-EWMA) and time-varying EWMA controllers that are adopted popularly in semiconductor process.

Keyword：ANOVA、time series model、extended Kalman filter

(4)

誌謝

離開高雄老家，待在新竹中華大學的日子已有7 年了，在寫這頁誌謝時，才發現到，7 年的時間一下子就過去了。在大學前，為人懵懵懂懂，人情義理是半點不知，

凡是以自己為中心，但在這7 年的日子裡，我學到了很多事，做人做事的道理，用了 7 年的時間，安安穩穩的學會了這些事，讓我覺得我是相當幸運的。

在 2 年的研究生活中，首先要感謝我的家人，沒有他們的支持，就沒有現在的成就。再來要感謝指導老師陳俊宏博士，從大學時代起就一直擔任我的導師，教會了我許許多多的事，並且在論文上不辭辛勞的細心指導，並且給於各個研究上的寶貴意見。除了學業與生活的感謝外，還要在感謝老師讓我考到的駕照能有用武之地。

研究期間，感謝許隆結博士及陳精一博士在課業與生活上的指點與教導。還要感謝邱弘興博士、翁偉泰博士和王宇傑博士在口試時對於論文提供的寶貴意見。

另外感謝學長郭子瑋，在我的論文上給予的我相當重要的幫助，並且不厭其煩的回答我如今想來相當愚蠢的問題，沒有學長的幫助，這篇論文不會順利的誕生。

再來就是要感謝實驗室的同學，許翔硯、黃俊嘉、龍治偉、李安城、藍煒智和張永杰在研究閒暇之餘帶給我歡樂。還有 CAE 研究室全體同仁，王仁宏、謝國章、陳建偉和許智宏，對於我不時的串門子行為給予最大之支持。並且感謝各位戰友於每個夜深人靜的夜晚所共同發出的激烈怒吼。

最後，再一次的感謝陪我度過這 7 年的每一個人，並獻上我最誠摯的謝意。

(5)

目錄

摘要... i

Abstract ... ii

誌謝...iii

目錄... iv

表目錄... vi

符號說明...viii

第1 章緒論... 1

1-1 研究動機 ... 1

1-2 文獻回顧 ... 2

1-3 研究目的與方法 ... 3

第2 章時間序列 (Time Series)... 5

2-1 自我迴歸過程(Autoregerssive Processes, AR) ... 6

2-2 移動平均過程(Moving Average Processes, MA)... 7

2-3 整合自我迴歸移動平均過程(Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA)... 7

2-4 Akaike’s Information Criterion (AIC)準則 ... 8

2-5 時間序列與狀態空間方程式之轉換 ... 9

第3 章變異數分析(ANOVA)模型 ... 11

3-1 ANOVA... 12

3-2 靜態變異數分析模型(Static ANOVA Model)... 13

3-3 動態變異數分析模型(Dynamic ANOVA Model)... 16

第4 章卡曼濾波器(Kalman Filter)... 17

4-1 狀態空間方程式簡介 ... 17

4-2 擴張卡曼濾波器之架構(Extended Kalman Filter) ... 19

(6)

第5 章電腦模擬與實驗驗證... 21

5-1 電腦模擬 ... 21

5-1.1 製程干擾模型 ... 21

5-1.2 ANOVA 模型... 22

5-1.3 預測 ... 27

5-2 實驗驗證 ... 41

第6 章結論... 48

參考文獻... 49

(7)

表目錄

表 1 製程原始截距... 23

表 2 各因子之效果... 23

表 3 ANOVA 分析截距... 23

表 4 MAPE 評估標準 ... 24

表 5 機台 1 製程干擾數列擬合階次、係數與 AIC 值... 27

表 6 機台 2 製程干擾數列擬合階次、係數與 AIC 值... 27

表 7 D-EWMA 與 Kalman filter 之比較 ... 28

表 8 D-EWMA 權重表... 34

表 9 time-varying D-EWMA 權重表 ... 34

表 10 三種預測方法比較值... 34

表 11 ARIMA(1,1,1)：ANOVA 分析截距 ... 37

表 12 ARIMA(1,1,1)：機台 1 製程干擾數列擬合階次、係數與 AIC 值... 37

表 13 ARIMA(1,1,1)：機台 2 製程干擾數列擬合階次、係數與 AIC 值... 38

表 14 ARIMA(1,1,1)：D-EWMA 權重表... 38

表 15 ARIMA(1,1,1)：time-varying D-EWMA 權重表 ... 38

表 16 ARIMA(1,1,1)：三種預測方法比較值... 38

表 17 CMP 各因子之效果 ... 42

表 18 CMP 製程截距分析表 ... 43

表 19 CMP 機台製程干擾數列擬合階次、係數與 AIC 值 ... 43

表 20 D-EWMA 權重表(CMP 機台)... 45

表 21 time-varying D-EWMA 權重表(CMP 機台)... 45

表 22 三種預測方法比較值(CMP 機台) ... 45

(8)

圖目錄

圖 1 ARIMA 模式建立流程圖 ... 6

圖 2 混貨生產時執行序示意圖... 11

圖 3 卡曼濾波器運算流程圖... 19

圖 4 產品與機台選擇機率圖... 21

圖 5 產品與機台各項截距圖... 22

圖 6 機台 1 製程干擾數列圖... 25

圖 7 機台 2 製程干擾數列圖... 25

圖 8 擬合時間數列流程圖... 26

圖 9 各權重之 MSE 圖(機台一)... 31

圖 10 各權重之 MSE 圖(機台二)... 32

圖 11 各折扣因子之 MSE 圖(機台一)... 33

圖 12 各折扣因子之 MSE 圖(機台二)... 33

圖 13 三種預測方法與原始資料之預測結果比較圖(機台一)... 35

圖 14 三種預測方法與原始資料之預測結果比較圖(機台二)... 35

圖 15 三種預測方法與原始資料之製程干擾預測比較圖(機台一)... 36

圖 16 三種預測方法與原始資料之製程干擾預測比較圖(機台二)... 36

圖 17 ARIMA(1,1,1)：三種預測方法與原始資料之預測結果比較圖(機台一) ... 39

圖 18 ARIMA(1,1,1)：三種預測方法與原始資料之預測結果比較圖(機台二) ... 39

圖 19 ARIMA(1,1,1)：三種預測方法與原始資料之製程干擾預測比較圖(機台一) .... 40

圖 20 ARIMA(1,1,1)：三種預測方法與原始資料之製程干擾預測比較圖(機台二) .... 40

圖 21 CMP 機台資料 ... 42

圖 22 三種預測方法與原始資料之預測結果比較圖(CMP 機台) ... 46

圖 23 三種預測方法與原始資料之製程干擾預測比較圖(CMP 機台) ... 46

(9)

符號說明

A ：晶圓研磨前之後度 A′ ：晶圓研磨後之後度 a ：截距 m

B：後移運運算元 b：斜率

C：常數

D ：截距實際值 i

D ：截距分析值 i

E：期望值運運算元 F：線性化狀態轉移矩陣

f ：非線性化狀態矩陣 H：線性化輸出矩陣

h

：非線性輸出函數 L：概似函數

I：單位矩陣

j：大於零之正整數 ( )k_i

K ：卡曼增益向量 k ：離散時間點 i

M：參數的數量 m：大於零之正整數 n：大於零之正整數

( )k_i

P ：狀態共變異矩陣

( )i

pj k ：產品 j 對製程模型截距貢獻的平均值

(10)

( )k_i

Q ：系統干擾之共變異矩陣 ( )_i

R k ：量測干擾之共變異數

s

：研磨時間

T ：製程目標值 m

t ：機台截距 i i( )i

u k ：控制輸入 ( )k_i

v ：量測干擾

i( )i

W k ：差分數列

i( )i

W k ：減去平均值後之差分數列

1, 2

i i

w w ：權重 ( )k_i

w ：量測干擾 ( )k_i

X ：系統狀態向量

i( )i

y k ：製程的輸出

ˆY ：機台產品間之差異向量 Z ：量測矩陣

ij( )ki

α

：個別觀察值 ˆ ( )_ij k_i

α

：擴張卡曼濾波器之估計值

：折扣因子

μ

：所有處理的總平均值

σ

i：變異數

τ

i：機台 i 對製程模型截距貢獻的平均值 Φ ：預測誤差的變異數 t

φ

ip：自我迴歸過程 p 階之係數

θ

iq：移動平均過程 q 階之係數

∇

：差分運運算元

上標：

d：差分次數

(12)

q：移動平均過程之階次

(13)

第 1 章緒論

1-1 研究動機

近十年來，RtR (run to run) 控制開始被漸漸導入應用在半導體產業。RtR 控制是一種對於製程與設備的控制方法，利用收集製程資料與即時量測資料修正線上製程配方，用以補償各式各樣的干擾，如製程偏移（shift）、漂移(drift)與變異（variations），

使製程輸出值迴歸目標值以降低製程變異而增進製程能力。

目前RtR 控制在半導體已經廣泛的被運用在半導體廠各種關鍵的製程中，如化學機械研磨（chemical Mechanical Polishing, CMP）、黃光製程(photolithography)、蝕刻製程(etch)、與化學氣相沈積（chemical vapor deposition, CVD）…等製程。但目前大部分 RtR 控制之研究與案例，皆假設在單一產品在單一機台上之控制，但在實際之晶圓廠中同時間有數十到數百種產品在同一條生產線上生產，且其主要客戶多為消費性電子產品之廠商，在目前市場短暫的生命週期下，許多的訂單都是以少量多樣的方式下單，甚至會出現在一批貨中有兩到三家客戶之產品混合生產，就算在製程較單純的記憶體廠商也有3-10 種產品，每一種產品更是包含了 20-50 層（layer），而每一層需要利用不同的製程步驟堆疊。這種一台機台需針對多產品、多層進行製程的情況被稱為高度混貨生產（high-mix production），在高度混貨的情況底下，傳統的單一機台單一產品控制，將會出現控制效能不足甚至控制失敗的情形產生。

為了改善這些缺失，本文首先利用變異數分析(ANOVA)建立混貨製程模型，在此假設製程干擾並不滿足高斯分佈，因此將干擾表示為 autoregressive integrated moving average model (ARIMA)的模型，控制器的部分則先將 ARIMA 的模型轉換為狀態變數形式，包括狀態方程式(state equation)與量測方程式(measurement equation)，

然後利用擴張卡曼濾波器進行預測與控制。

(14)

1-2 文獻回顧

近年來，多位學者提出有關製程式控制制方面研究，MacGregor [1]，Box 和 Kramer [2]，Box 和 Jenkins [3] 提出了 exponentially weighted moving average (EWMA) 控制器理論。Box 和 Jenkins 所提的 EWMA 控制器是將目標值與輸出值的差距，依其時點與現今時點的不同，給予一呈現遞減幾何分配的權重，也就是說，離現今時點越近的資料點，給予資料點的權重越大。Box 和 Jenkins 也證明當製程擾動呈現 IMA(1,1) (integrated moving average)型態時，EWMA 控制器是一 MMSE (minimum mean squared error)控制器。Tuckers 和 Faltin [4]，Vander Wiel 等[5]則提出了一應用連續製程產業 (algorithmic statistical process control)。半導體業界最先提到批間控制的理論係德州儀器公司的 Guldi 等[6]，探討利用氧化時間來控制氧化層的生長厚度。而後 MIT 研究群提出了批間控制器的理論與實驗結果[7-13]。Spanos 等[14]、Leang 等[15]、Moyne 等[16-20]、Mozumder 等[21]、Bulter 等[22]、Sullivan 等[23]、Mozumder 等[24]和 Stefani 等[25]亦隨後提出這類研究。其中 Butler 與 Stefani [22]所提出的 PCC (predictor corrector control)控制方法應用於具有漂移特性的製程，將製程平均值調整至目標值，

隨後亦有相當多的論文針對具漂移特性製程進行研究[26-28]。Chen 等[29]則提出 age based D-EWMA 控制方法來估計製程真正漂移量，此法能應用於非等間距量測。Chen 等[30-31]針對金屬濺鍍製程的沈積率隨時間衰減的特性，結合時間序列與遞迴式最小平方法(recursive least squares, RLS)，以及時間序列(time series)與卡曼濾波器(Kalman filter)，發展二種控制器來預測與控制金屬沈積率，控制器不僅可有效預測與控制沈積率與應用於等間距與非等間距抽樣量測，同時具有隨著濺鍍靶材的更換自動調整製程模型的功能。

除了單一輸入輸出(SISO)的製程式控制制，最近有些學者投入多輸入輸出 (MIMO)製程式控制制的研究，例如 multivariate EWMA [32]、multivariate D-EWMA [33]、整合 multivariate EWMA 與 multivariate SPC [34]以及應用類神經於 CMP 的製程式控制制[35]。Wu 等[36]亦曾針對半導體黃光製程，利用能量(dose)與焦距(focus)作

(15)

為製程參數，控制顯影的關鍵尺寸(critical dimension, CD)。文中首先利用實驗設計與反應曲面法建立射出顯影機台之製程模型，並提出兩種非線性估計器(NMEWMA, DMTMV)來估計顯影製程輸出的關鍵尺寸，以及利用最小變異控制器作批次控制。此外，Sun 等[37]利用實驗設計與反應曲面法建立射出成形機台之製程模型，然後利用動態模型調變控制器(dynamic-model-tuning controller)以及 EWMA 控制器對射出產品的品質指標作批次控制。

上述研究皆是針對單一執行序(single thread)的半導體製程，近年有部分學者針對半導體混貨製程發展各種控制方法，例如 Zheng 等 [38] 針對以產品為基準 (product-based)以及機台為基準(tool-based)的 EWMA 控制器，探討其分別應用於混貨製程的穩定性及效能，Pasadyn 等[39]利用卡曼濾波器來控制半導體混貨製程。Firth 等[40]提出 just-in-time adaptive disturbance estimation（JADE）這套理論來解決高度混貨的問題，將SISO 混貨製程干擾視為各個產品、機台和其他可能干擾源的線性組合，

模擬的結果雖然比單一執行序EWMA (single threaded EWMA)控制器更有效能，但因其假設SISO 混貨製程模型不會隨著時間而漂移，對於漂移製程並不適用。Ma [41-42]

等利用變異數分析(ANOVA)建立混貨製程模型，並分別假設干擾為高斯分佈利用卡曼濾波器推導控制法則，或將干擾表示為ARIMA 的模型來推導半導體混貨製程的控制法則。Ai 等[43]探討混貨產品在同一機台循環生產的情況，發現在前幾個循環如果使用 D-EWMA 控制器，在更換產品時會產生大誤差，因而提出稱之為

「drift-compensatory approach」的方法來解決此種問題。王立夫[44]、張偉麒[45]、蔡順安[46]、Chen 等[47]和 Chen 等[48]利用兩個品質函數分別尋找各個產品、機台和其他可能干擾源的位移和飄移的最佳預測值來解決製程有大量漂移的情形，並分別就製程量測值未能即時量測或抽樣量測時，如何改良控制器做探討。

1-3 研究目的與方法

前述之文獻已有對混貨製程式控制制做出相關探討，而本文則嘗試以另一種方法

(16)

解決混貨製程變異，並減少混貨製程中因製程干擾所造成之製程變異，以及多機台或多產品的影響下，所造成製程良率的下降。在本文中假設機台干擾具有相關性的隨機程式(correlated stochastic process)，且產品對製程的干擾為常數，故預計利用動態變異數分析建立模型，然後將相關性的隨機程式擬合時間序列，為了利用卡曼濾波器預測製程干擾，將時間序列轉換為狀態空間(state space)形式，希望能對干擾為具有相關性的隨機程式的混貨製程，提高其控制效能。

(17)

第 2 章時間序列 (Time Series)

所謂時間序列意指隨時間連續觀察所產生有順序的觀測值之集合。對於製程而

言，時間序列即為隨時間連續觀測之量測值之集合。在處理時間序列資料時，傳統計量模式所使用的迴歸方法雖然簡便，但對序列資料之自我相關以及誤差項的處理並不夠嚴謹。而ARIMA 模式，即可針對前述缺失作一改善[49-50]。而 Box 與 Jenkins[3]

所提出的ARIMA 模式為利用變數本身之落後值，以及當期與過去隨機誤差項，加權後以解釋變數本身之變動。Box 與 Jenkins 所提出之模式建構程式為一種試誤遞迴過程(trial and error iterative process)，如圖 1 所示，以下針對此建構模式程式加以說明。

1.資料蒐集

針對需進行時間序列分析之資料，蒐集整理成歷史時間序列資料，或在製程方面，現場製程機台與量測機台的資料，蒐集整理成歷史資料。

2.製程模式的建立

在進行時間序列分析之前，必須確定時間序列是否為恆定(stationary) ，如此才可以以一個固定係數的方程式來進行估計及預測。ARIMA(p,d,q)模式的建構第 一步需先決定差分(differences)的階次 d；接著再決定自我迴歸之落差期數，同時 也需決定移動平均期數，若落差 p 期，則記為 AR(p)，若落差 q 期，則記為 MA(q)。

將蒐集整理完成之時間序列資料予以繪圖，判定時間序列資料是否恆定，若否，

則加以差分直至數列恆定，並據以決定模式階次。此外，再計算序列資料之自我相關函數(autocorrelaton function, ACF)、偏自我相關函數(partial autocorrelation function, PACF) ，以及延伸之自我相關函數 (extend autocorrelation function, EACF)，來決定數列之落差期數。

3.製程模式之參數估計

時間數列模型其變數必須不會隨時間的經過而發散、呈現不穩定的特性，如此才能用固定係數的方式加以預測或估計。換句話說，任何屬時間數列的資料必須具有恆定（stationary）的特性，模型的分析與估計才具有意義。對於模式裡的

(18)

參數θ、

φ

可利用最大概似函數(maximum likelihood function)來求得。若時間序列的模式為非線性時，不能利用一般的最大概似函數來估計模式中的參數，必須採用非線性的反覆求解過程來估計模式中的參數。

4.模式檢核

完成模式參數估計後，必須對模式進行適切性檢核。診斷時，乃利用原始實際值與模式預測值之間的差距，即殘差值(residual value)，進行序列殘差值的自我相關程度檢定。

圖2 模式建立流程

圖 1 ARIMA 模式建立流程圖

2-1 自我迴歸過程(Autoregerssive Processes, AR)

AR 過程為當期觀測值與所有前期觀測值之迴歸組成，即

1 2

( ) ( 1) ( 2) ( ) ( )

估計參數

診斷模式是否正確

利用正確的模式來做預測或控制動作

是否

(19)

其中

ξ

_i表示觀測值，C 為常數，

φ

為權值，

ε

_i為白噪音(white noise)，其中k 為針對第_i i 種模型抽樣後重新排序的批次序號。故 (2.1) 式可稱為 p 階自我迴歸過程 (autoregerssive process of order p, AR(p))。藉由後移運運算元 B (backward operator)來 表示(2.1)式可得

^p

i p

B

i

B

i

B

i p

B

φ = − φ − φ − − φ

(2.3) 則(3.2)式可表示為

( ) ( ) ( )

i p B i ki C i ki

φ ξ

= +

ε

(2.4) 故(3.4)式即為 AR(p)之通式。

2-2 移動平均過程(Moving Average Processes, MA)

MA 過程其意義為當期觀測值是由當期及過去干擾值之線性組合，即

1 2

( ) ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( )

(2.5)

模式中之係數θ亦稱為震動影響或記憶函數(shock-effect or memory function)，此即表 示干擾影響會持續 q+1 個時期後消失。(2.5)式稱之為 q 階移動平均過程(moving average process of order q, MA(q))。(2.5)式使用移動平均這個名稱僅說明 MA(q)過程為 數個

ε

_i( )k_i 之移動線性組合而已，並非真正的移動平均，此乃因權數之和不等於1。

2-3 整合自我迴歸移動平均過程 (Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA)

將上述 AR、MA 合併後可得一(p,q)階整合自我迴歸移動平均過程(mixed

(20)

autoregressive moving average process of order(p,q))，其形式為：

( ) ( ) ( ) ( )

i p B i ki C i q B i ki

φ ξ

= +

θ ε

(2.6)

事實上前述之AR(p)與 MA(q)皆為 ARMA 之特例，在擬合資料時 ARMA 模式會比單 獨使用AR 或 MA 模式來的精簡。並且 ARMA 包含了 AR 之平穩型與 MA 之可逆轉 (invertibility)兩者之特性，即當

φ

_{i p}( ) 0B = 之根落於單位圓外時，ARMA(p,q)為平穩

型。當

φ

_{i p}( ) 0B = 之根落於單位圓外時，ARMA(p,q)則具有可逆轉性。

許多時間數列之型態看起來好像沒有固定的平衡水準(level)，即不考慮數列之平

均水準，則可窺出數列某一期間之觀測值形狀很相似於另一期間觀測值之形狀，如此之時間數列稱為平衡水準上不同之無定向型時間數列。ARIMA 即指在原始數列所產生之無定向過程，可能經取差分變換後轉變成在水準之上之平穩型過程。即是說，可以將這種過程，經由差分後，以ARMA 模式來代表。而某些情況下，需要取一次以上之差分，方能將無定向型數列轉換成平穩數列。

定義差分運運算元(difference operator)

∇

為 ( ) ( ) ( 1) (1 ) ( )

i ki i ki i ki B i ki

ξ ξ ξ ξ

∇ = − − = − (2.7)

其中

∇

與後移運運算元 B 之關係為

∇ = − 1 B

，所以，高階之差分可以表示為

2 (1 B) , ,2 ^d (1 B)^d

∇ = − ∇ = − 。

一般而言，欲獲得無定向性時間數列之模式，係假設原始數列經取第

d

次差分

(d> 後可轉為平穩型數列，則可以 ARIMA 模式來表示。如此之模型稱之為(p,d,q)0) 階之整合自我迴歸移動平均模型(autoregressive integrated moving average model of order(p,d,q))。

2-4 Akaike’s Information Criterion (AIC)準則

假設一組資料可以一個含有 M 個參數的統計模式來擬合，作為評估模式擬合的

品質，Akaike 於 1973 年提出一種判定準則，其定義為[51]：

(21)

AIC= −2ln( L) 2M + M (2.8)

其中 M 是參數的數量，L 是概似函數。

對於ARMA 模式且還有 n 個有效觀測值之數列，其對數形式之概似函數為

2 2

ln ln 2 1 ( , , ) 2 ^a 2 _a

L n

πσ

S

φ θ

c

= − −

σ

(2.9)

對參數

φ θ

, ,c 與

σ

_a²取(2.9)式為最大，則可得

ˆ2

ln ln (1 ln 2 ) 2 ^a 2

n n

L= −

πσ

− +

π

(2.10)

上式中的第二項為常數，故AIC 可簡化為

ˆ2

AIC=nln

σ

_a +2 M (2.11)

為了選取模式之最適階次，常會以數組不同之階次作為測試，將這數組階次分別求得AIC 值後，選擇最為接近 0 的 AIC 值之階次，即為模式之最適階次。

2-5 時間序列與狀態空間方程式之轉換

在此小節將說明如何將時間序列模型轉換為狀態空間形式。假設時間序列模型

為ARIMA(p,d,q)過程，若令 m=max(p+d,q+1)，則可將 ARIMA(p,d,q)模型寫為

1

( ) ( ) (1 )(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( )

p d

i i i i ip i i

q

i ip i i i i i

B k B B B k

B B k B k

φ ξ φ φ ξ

θ θ ε θ ε

≡ − − − −

= − − − ≡ (2.12)

或

1 1 1

( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)

i i i

i i i im i i i i i i i im i i

k k

k k m k k k m

ξ

ϕ ξ ϕ ξ ε θ ε θ ε

₋

=

= − + + − + − − − − − +

X

(2.13)

(22)

令狀態X( )k 表示為 _i

( ) ( 1) 1 ( )

m i im i i im i i

X k =

ϕ ξ

k − −

θ ε

₋ k (2.14)

1 1

( ) ( 1) ( 1) ( )

j i ij i i j i ij i i

X k =

ϕ ξ

k − + X ₊ k − −

θ ε

₋ k (2.15)

其中 j<m，

θ

₀ = − ，則狀態向量1 X ( ) (_i k_i = X_i₁( ), ,k_i X_im( ))k_i ^T可表示為下面的形式：

1

1 -1

1 1

1 0 1

( ) ( 1) - ( )

0 1

- 0

i i i i

m

m m

k k k

ϕ

θ ε ϕ

θ

ϕ ϕ

₋

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= − +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Χ Χ

(2.16)

而輸出方程可表示為

( )

定義一製程中所使用的機台與產品的排序為一執行序，可將各執行序視為獨立製程，

以便於控制器控制製程輸入。假設混貨製程如圖2 所示，在兩個機台生產兩種產品，

造成製程變異的種類有機台與產品，則製程共有四個執行序，即在機台1 生產產品 1 (P1T1)或 2 (P2T1)和在機台 2 生產產品 1 (P1T2)或 2 (P2T2)共四種執行序。

圖 2 混貨生產時執行序示意圖

藉由上述執行序之概念，假設一製程中有機台 i 生產 j 個產品的模型為：

( ) ( ) ( ) ( )

i i i i i i j ki i i

y k =b u k + +t p +

η

k (3.1)

其中 y 為製程的輸出，b 為製程模型的斜率，u 為製程的輸入，t 為製程機台的截距，

p 為製程產品的截距，其中k 為針對第 i 種機台抽樣後重新排序的批次序號， ( )_i j k 為_i 第k 批次時所生產的產品序號。_i

η

_i( )k_i 為製程干擾，可表示為ARIMA(p,d,q)的隨機程 式:

Product 1

Product 2

Tool 1

Tool2

P1T1

P2T1

P1T2

P2T2

(24)

1

( ) ( ) (1 )(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( )

p d

i i i i ip i i

q

i ip i i i i i

B k B B B k

B B k B k

φ η φ φ η

θ θ ε θ ε

≡ − − − −

= − − − ≡ (3.2)

3-1 ANOVA

變異數分析（analysis of variation , ANOVA）是一種統計分析的方法，和迴歸分析類似，都是用來研究自變數(independent variable)與因變數(dependent variable)間的關係。

變異數分析是用來檢定三個或三個以上的母體平均數是否相等的方法，或檢定因子（factor）對因變數是否有影響。主要係將一組資料的變異，依可能發生的變異來源，分割為數個部份，亦即每一部份均可歸因於某原因（變異來源）。測度這些不同的變異來源，可瞭解各種變異是否有顯著差異；若有差異，則表示某因變數來源對資料具有顯著的影響作用。而ANOVA 的前提假設為：

(1)常態性假設(normality)。

(2)同質性假設(homogeneity)。

(3)獨立性假設(independence)。

這些假設理論上都可利用原始數據一一加以檢定。如果三個母體的平均數相等，

則我們將預測三個樣本平均數會非常接近。事實上，此三樣本平均數愈靠近，愈能支援母體平均數為相等的結論。換句話說，樣本平均數間的差異愈大，則愈能支援母體平均數為不相等的結論。

ANOVA 的論理是以建立共同母體變異數(

σ

²)的二獨立估計值為依據。其中一個估計值是以樣本平均數間的變異為準，而另一個估計值則以各樣本內的資料變異為準。藉著此二共同母體變異數估計值的比較，判定樣本平均數是否相等。由於其方法利用到變異數的比較，所以稱為變異數分析。

事實上，在實際問題中，影響反應值的因子並不會只有一種，可能會有二種，甚至更多個因子會影響反應值，所以如果只考慮一因子之影響，並不妥當。本文中以製

(25)

程之機台與產品作為影響反應值的因子，因此所使用之變異數分析乃是以二因子作為基本考量。

考慮二因子變異數分析模式如下：

_{( )}

=1,2, , ( ) ( ) =1,2, , =1,2, ,

ij i i j ki ij i

i i

k p k j j

k k

α

= + +

μ τ

+

ζ

(3.3)

i j k i j i j k

k bn an k

α α α α α α α α

= =

− = − + − +

∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑

(3.6) 簡記作:SST=SSA+SSB+SSE。

第 nk個機台生產第 mk種產品，其製程模型可假設為[40,41]

y k( )=bu k( )+a^tool( )n_k +a^prod(m_k)+

ε

( )k (3.7)

其中 b 為製程輸入 ( )u k 對輸出 ( )y k 影響的斜率，a^tool( )n_k 與a^prod(m 為相對於機台與_k) 產品的製程模型截距，

ε

( )k 為製程干擾。如果假設各種產品會對模型截距造成不同的偏移且非時變的，而機台的影響為隨機的，則可將(3.7)式針對不同產品重新排序得到下式

y k( )_m =bu k( )_m +a_m+

ε

( )k_m (3.8)

其中k 為針對第 m 種產品抽樣後重新排序的批次序號。(3.8)式可用一般常用的_m

EWMA 控制器求得下一批次的截距估計值與輸入變數如下：

( ) ( ( ) ( )) (1 ) ( 1)

m m m m m m

a k =

λ

y k −bu k + −

λ

a k − (3.9) ( )_m T^m a k^m( )^m

u k b

= − (3.10)

其中λ 為折扣因子(discount factor)，Tm為第 m 種產品的製程目標值。

為了有效鑑別機台與產品的影響，在得到輸出y k 後，將之扣除( ) bu k 後，可以( ) 利用變異數分析將(3.7)式重新表示為

( ) ( ) ( )

k k

n m

y k −bu k = +

μ τ

+ p +

ε

k (3.11) 其中

μ

為各種產品與機台組合截距的總平均值， , 1, ,

nk nk n

τ

= ，為所有產品在第 n

個機台生產平均值與總平均的差， , 1, ,

mk k

p m = m，為所有機台生產第 m 種產品平 均值與總平均的差，且滿足

∑

= n =

i i 1

τ

0，

∑

= m =

i

pi 1

0 (3.12) 在實際情形，干擾來源不僅只有目前使用的機台與產品，還包括其他影響因子如上一道製程使用的機台等，此處為簡化製程模型，將這些因子皆包括在

ε

(k)。(3.11) 式的矩陣形式可表示為(3.13)式

(27)

1 1 1 1

1

1, , 1, ,

1, , 1, , 1

1 ˆ

1

k k k k

n n n m m m

n

n n n m m m

m

p

p μ τ

ϑ ϑ ϑ ϑ

β τ

ϑ ϑ ϑ ϑ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Y Z

(3.13)

矩陣Z 有 n+m+1 行，且滿足

1

2

1

n ij j

+

=

∑ ^Z =

^， ¹

2

1

n m ij j n

+ +

= +

∑ ^Z =

^(3.14)

但是其行向量獨立個數為 n+m-1，如果將 (3.12)式的拘束條件加入(3.13)式可得下式：

ˆ

ˆ 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 1

β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

′=⎢ ⎥= ′ =⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎣ ⎦

Y Z

Y Z β (3.15)

為了利用卡曼濾波器預測與控制，假設製程干擾

ε

( )k 為白噪音(white noise)，(3.15)式可以改寫成以下狀態(state)與量測(measurement)方程式

1

t+ = t + t

β Tβ w (3.16)

ˆ

t

′ = ′

t

+

t

Y Z β v

(3.17)

其中w 與_t v 為獨立、均值為 0 的高斯雜訊且共變異矩陣為 Q 和 R，T 為單位矩陣。_t 相對於總平均值、機台和產品的截距向量預測值可經由卡曼濾波器求得：

1

1 1 1

ˆ_t = ˆ_{t t}₋ + _{t t}₋ _t′^T _t⁻ (ˆ_t′− _t′ˆ_{t t}₋ )

β β P Z Φ Y Z β (3.18)

其中

1

1 1 1

T

t t t t t t t t t

−

− − ′ ′ −

= −

P P P Z Φ Z P (3.19)

1 T

t = + ′ t t− t′

Φ R Z P Z (3.20)

ˆ 1

(Y Z βˆ_t′− ′_t _{t t}₋)為預測誤差。下一批次的輸入值可由下式求得：

, ,

,

ˆ ˆ

k k

k t t n t m

t k

T p

u b

μ τ

− + +

= (3.21)

(28)

如果製程干擾

ε

( )k 為白噪音(white noise)，(3.11)式稱為靜態變異數分析模型(static ANOVA model)。

3-3 動態變異數分析模型(Dynamic ANOVA Model)

上文所述之靜態變異數分析模型並非所有製程皆能適用，如果機台干擾為具有相關性的隨機程式

ξ

_i( )k_i ，並假設產品對製程的干擾為常數，則針對機台 i 的製程資料 可改寫成以下動態變異數分析模型(dynamic ANOVA model)：

( ) ( ) ( ) ( )

i i i i i i j ki i i

y k −b u k = + +

μ τ

p +

ξ

k (3.22) 其中 k_i為機台 i 的生產批次序號，

μ

為製程模型截距的平均值， j k 為第 k( )_i _i批次時所生產的產品序號，

τ

_i和p 為機台 i 與產品 j 對製程模型截距貢獻的平均值，且同樣_j 必須滿足：

∑

= n =

i i 1

τ

0，

∑

= m =

i

pi 1

0 。 (3.23) 一般而言，

ξ

_i( )k_i 可表示為ARIMA(p,d,q)的隨機程式

1

( ) ( ) (1 )(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( )

p d

i i i i ip i i

q

i ip i i i i i

B k B B B k

B B k B k

φ ξ φ φ ξ

θ θ ε θ ε

≡ − − − −

= − − − ≡ (3.24)

其中 B 為後移運運算元，

ε

_i( )k_i ∈N(0,

σ

_i²)為變異數

σ

_i²，均值為0 的白噪音，1,

φ

_i₁

φ

_ip 和

θ

_i₁, ,

θ

_ip為多項式

φ

_i( )B 和

θ

_i( )B 的係數。

在(3.22)式得知

μ

、

τ

_i、 _{( )}

j ki

p 之後，可將(3.22)式寫成下式：

( ) ( ) ( ) _{( )}

i ki y ki i b u ki i i i pj ki

ξ

= − − − −

μ τ

(3.25)

由(3.25)式中可得 ( )

ξ

_i k_i ，然後將之擬合並求得合適之ARIMA 隨機程式，以做為時間序列轉換成空間狀態方程式，從而得到卡曼濾波器之方程，即可藉由卡曼濾波器作預測。

(29)

第 4 章卡曼濾波器(Kalman Filter)

卡曼濾波器是利用狀態空間方程式之特性所發展出的遞迴估計系統狀態方法。整體而言卡曼濾波器具有以下之特點：

(1)卡曼濾波器之解是一個適合在電腦上計算的遞迴方程式。

(2)對於數據可以逐一的即時處理，並基於目前與前一刻計算出的狀態估計值運用遞迴方式算出下一個狀態的估計值。

(3)系統方程可以是時變的動態系統，輸入之訊號或數據之型態可以是非平穩的。

(4)可應用於各種線性或非線性問題。

以下將介紹狀態空間方程式及卡曼濾波器之架構。

4-1 狀態空間方程式簡介

狀態空間模式是一系統分析中相當實用的研究工具[52]，其假設是：一系統的狀

態乃現在與過去之資訊所構成之最小變數集合，而此系統未來的行為將完全受到此集合與未來新輸入變因之影響。使用狀態空間模式之優點為：

(1)狀態空間可使不可觀測之變數併入可觀測模型中，並加以估計。

(2)狀態空間方程可使用卡曼濾波器求得參數估計值。

一個線性離散時間系統之狀態空間方程式可由狀態方程式與輸出方程式之組合

來表示[52]，即

(k_i + =1) (k_i+1, ) (k_i k_i+ + Γ1) (k_i+1, )k_i k_i

X F X w( ) (4.1)

( 1) ( 1, ) ( 1) 1

i ki ki ki ki ki

ξ

+ =H + X + +v( + ) (4.2)

(4.1)式為狀態方程式，代表系統中狀態的變化，(4.2)式為輸出方程式，代表由系統狀態產生變化後系統的輸出。其中X 代表系統狀態向量 (n× ，1)

ξ

_i為第 i 製程之系統輸 出向量(m× ，F 為 k 到 k+1 時期之狀態轉移矩陣， Γ 為干擾輸入矩陣 (1) n n× ，H 為)

(30)

觀測矩陣(m n× ；w 與 v 分別為系統干擾向量 ( 1)) n× 以及量測干擾向量 (m× ，並為1) white-noise，且與系統狀態 X 三者互相獨立，具有以下性質：

[ _i ^T( )]_i ( , )_i _i _i, _i 0

E w( )wk j =Q

δ

k j Q 0, ≥ ∀k j ≥ (4.3) [ _i ^T( )]_i ( , )_i _i _i, _i 0

E v( )vk j =R

δ

k j R≥0, ∀k j ≥ (4.4) [ 0 ^T( )] 0,_i [ 0 ( _i 1)] 0 _i 0

E X( )w k = X( )vE ^T k + = ∀ ≥k (4.5) [ _i ^T( _i 1)] 0 _i, _i 0

E w( )vk j + = ∀k j ≥ (4.6) 則與(4.1)式與(4.2)式相對之卡曼濾波器形式為：

初始值設定為

_i

+ 1)

以及 (k_i+1)

P 。如此可計算下一個狀態變異矩陣

P ( k

_i

+ 2 k

_i

+ 1)

之預測值，依此類推。

(31)

圖 3 卡曼濾波器運算流程圖[52]

4-2 擴張卡曼濾波器之架構(Extended Kalman Filter)

擴張卡曼濾波器(extend Kalman filter，EKF)是將卡曼濾波器估算法更進一步的延伸，可將系統未知的參數視為狀態並加以估計，或是處理非線性製程狀態估計。一個狀態空間隨機離散非線性系統可表示為：

(k_i+ =1) f[ ( ), ( ), ]k_i k_i k_i ∀ ≥k_i 0

X X w (4.14)

( 1) [ ( 1), ( 1), 1] 0

i ki h ki ki ki ki

ξ

+ = X + v + + ∀ ≥ (4.15)

X 為系統狀態向量 (n× ， f 與1)

h

為非線性向量函數，

ξ

_i為第 i 製程之系統輸出向量 (m× ；w 與 v 與其他之假設皆與上一節相同。所以(4.14)式與(4.15)式在每一個時期1) 作泰勒展開後，取其一次項之線性化狀態空間方程可寫為：

初始值P(0)ÆP(k ) _i

X (0) → X ^ˆ ( ) k

_i 0Æk _i

計算

P ( k

_i

+ 1 ) k

_i

( 1) ( 1) ( 1) v( 1)

i ki ki ki ki

ξ

+ =H + X + + + (4.17)

其中

( ) ˆ( ), ( ) 0

[ ( ), ( ), ]

( ) ( )

i i i

i

i X k X k w k

f k w k k

k k ₌ ₌

=∂

∂ F X

X (4.18)

( 1) ˆ( 1 ), ( 1) 0

[ ( 1), ( 1), 1]

( 1)

i i i i

i i i

i

i X k X k k v k

h k v k k

k k

_{+ =} ₊ _{+ =}

∂ + + +

+ = ∂ +

H X

X

(4.19)

( ) ˆ( ), ( ) 0

[ ( ), ( ), ]

( ) ( )

i i i

i

i X k X k w k

f k w k k

k w k ₌ ₌

=∂

∂

Γ X (4.20)

_i

+ 1 ) k

_i

P I K H P

(4.24)

ˆ (0) 0, (0) var (0)= =

X P X (4.25)

其計算流程與4-1 節相同

(33)

第 5 章電腦模擬與實驗驗證

在本章中，第一節利用時間序列分析法建立半導體混貨製程模型，第二節說明利用ANOVA 模型分析截距並使用擴張卡曼濾波器作預測之流程，第三節分別利用擴張卡曼濾波器、D-EWMA 與 time-varying D-EWMA 控制方法比對效能。

5-1 電腦模擬

5-1.1 製程干擾模型

為了驗證ANOVA 模型的效能，因此本文以(3.1)式作為基本模型。混貨製程模擬 [42]假設為兩個機台(1,2)，每個機台包含三個項目(1,2,3)，如(5.1)式所示：

( ) ( ) ( ) ( ) 1, 2 , ( ) 1, 2,3

i i i i i i j ki i i i

y k −b u k = +t p +

η

k i= j k = (5.1) 其中每一批次執行序的選擇由各項出現的機率決定，共四個執行序。各個項目出現的機率如圖4。

圖 4 產品與機台選擇機率圖 P1：0.3

P3：0.4

T1：0.5

T2：0.5

P1T1：0.15 P2T1：0.15

P2T2：0.15 P3T2：0.20 P2：0.3

P1T2：0.15 P3T1：0.2

(34)

其中斜率 b 與製程的輸入 u 為常數，設定為：

1 2 1 2

[ , ] [1,1.3] , [ , ] [1,1]b b = u u = (5.2) 機台截距t 與產品截距_i _{( )}

j ki

p 設定如下圖 5 所示：

圖 5 產品與機台各項截距圖

並且假設機台製程干擾

η

_i( )k_i 滿足於ARIMA(0,1,1)。(3.2)式之 ARIMA(p,d,q)隨機程式 可改寫成下式：

0 1 1

(1−

φ

_iB )(1−B)

η

_i( ) (1k_i = −

θ

_iB ) ( )

ε

_i k_i (5.3)

其中

ε

_i( )k_i ∈N(0,0.2 )² 且[ , ] [0.5,0.2]

θ θ

₁ ₂ = 。完成所有設定後，產生500 個批次的輸出值作為歷史資料，並預測後100 個批次的輸出值。

5-1.2 ANOVA 模型

產品1 產品2 產品3

分析截距

分析原始誤差分析原始誤差分析原始誤差機台1 11.51 11 4.6% 15.39 15 2.6% 22.36 22 1.6%

機台2 13.73 13 5.6% 17.62 17 3.6% 24.58 24 2.4%

在表 2 中，得知量測值經由 ANOVA 分析後，可得到各因子之效果。然後將之整理成表3，其中，分析項為 ANOVA 分析後之截距，原始項為原始設定之截距，誤差項為分析截距與原始截距的平均絕對誤差率(mean absolute percentage error,

(36)

MAPE)。為了判定 ANOVA 分析後所得知截距是否為可信任的，故以平均絕對誤差率作為判定。平均絕對誤差率表示如下：

MAPE=

1 n

i i

D D D n

=

∑ −

(5.5)

其中

D

_i為截距實際值，

D

_i為截距分析值，n 為樣本數。

對於平均絕對誤差率值之準確率，Lewis [53]並提出表4的評估準則。

表 4 MAPE 評估標準平均絕對誤差率(%) 準則說明

<10 高精確預測

10-20 優良預測

20-50 合理預測

>50 不準確預測

透過表 4 之評估準則，表 3 中各項截距之平均絕對誤差率皆小於 10%，因此其 ANOVA 分析之截距乃是可以信任的。而在本文中，使用 ANOVA 分析出之截距乃是一個初步的估計值，因此對於 ANOVA 的前提假設(常態性假設、

同質性假設、獨立性假設)，在此並不多加探討。

分析出模型之截距後，即可得(3.25)式，由(3.25)式可知其製程模型的製程干擾

i( )ki

ξ

。其製程干擾之數列如圖6、圖 7 所示。為了分析並建立製程干擾之數學模型，

依據第三章之建立時間序列模型方法，先將製程干擾歷史資料作一次差分後，由ACF 與 PACF 圖形以及計算各種不同階次組合之 AIC 值來確定製程干擾歷史資料之最佳模型。數據處理過程如圖8 所示。

_i k_i ，

ξ

_i(k_i− ， (1)

ξ

_i k_i− …為製程干擾數列，將其作一次差分，使數2)

列成為平穩數列，差分後的數列可表示為 W k ，_i( )_i W k_i( _i− ， (1) W k_i _i− 2)

其中

W k_i( )_i =

ξ

_i( )k_i −

ξ

_i(k_i− = −1) (1 B) ( )

ξ

_i k_i

將差分數列W k 減去_i( )_i W k 之平均值_i( )_i

μ

_W 後，再利用時間序列擬合，即可得到製程干擾時間數列之模型。

由上述所得之歷史資料擬合後的階次、係數與 AIC 值整理在表 6 表 7。表 5 中機

台1 製程干擾資料批次數為 236 個，表 6 中機台 2 製程干擾資料批次數為 264 個。

製程干擾歷史資料

ξ

_i( )k_i

i( )i

W k 一次差分

減去平均值

μ

_W

i( )i

W k

利用時間數列擬合數列W k_i( )_i

(39)

表 5 機台 1 製程干擾數列擬合階次、係數與 AIC 值機台1

φ

₁ _θ _AIC

(0,1,1) 0.48756 -65.47 (1,1,1) -0.06887 0.43281 -65.26 資料批次數：236

表 6 機台 2 製程干擾數列擬合階次、係數與 AIC 值

機台2

φ

₁

θ

AIC

(0,1,1) 0.21832 -48.44 (1,1,1) -0.42274 0.23993 -50.44 資料批次數：264

依據2-4 節所知，擬合後之數列已選擇 AIC 越接近 0 越為合適。由表 5、表 6 中可知，機台1 擬合後之模式以選擇 ARIMA(1,1,1)較為合適，機台 2 擬合後之模式以選擇ARIMA(0,1,1)較為合適。

5-1.3 預測

在半導體方面，已有一些學者[26]將 EWMA 控制器用來預測濺鍍製程，進而控

制沈積時間，使輸出厚度在目標範圍內。在處理製程漂移現象上D-EWMA 已被證明比EWMA 控制器之效能來的好[54]，因此將 D-EWMA 作為比較性能的控制器之一，

並將D-EWMA 與擴張卡曼濾波器兩者做一比較，如表 7 所示。其中若製程模型為非線性時變方程，則擴張卡曼濾波器可以適用；在權重的部份，卡曼增益功能類似於 D-EWMA 之權重，但擴張卡曼濾波器能夠隨製程狀態調整大小，D-EWMA 則否。另一個最大特點為擴張卡曼濾波器是以狀態空間方程式衍生出之狀態估計方法，所以將製程干擾與量測干擾都加入考慮，而D-EWMA 只考慮量測干擾，與實際製程情況有

(40)

所出入。除了D-EWMA 外，為了增加其可信度，另外再加上 time-varying D-EWMA 控制器作比較。time-varying D-EWMA 與 D-EWMA 的差異性在於 time-varying D-EWMA 在權重的選擇上多了一個折扣因子，藉由使用折扣因子以增強 D-EWMA 對參數的估計，使預測值較為快速的得到目標值，並且更快的達到控制的效果。

表 7 D-EWMA 與 Kalman filter 之比較

估計器類型 D-EWMA extended Kalman filter

適用範圍線性方程式線性或非線性方程式

參數類型系統參數為固定值系統參數可變動

gain 權值(weighting)為固定隨製程而改變

誤差項只有一個量測誤差項考慮系統干擾以及量測誤差

參數估計無有

上節已擬合製程干擾數列

ξ

_i( )k_i 之時間序列，在此以機台1 為例。機台 1 之擬合製程干擾數列

ξ

_i( )k_i 時間序列模型為ARIMA(1,1,1)，因此可以將(2.12)式改寫為下式：

1 1 1

1 1

(1−

φ

_iB )(1−B) ( ) (1

ξ

_i k_i = −

θ

_iB ) (

ε

_i k_i−1) (5.6) 假設製程干擾

ξ

_i( )k_i =X( ) { ( ),k_i = X k₁ _i X k₂( )}_i ，並將(3.14)式與(3.15)式改寫成下二式：

X k₁( ) (1_i = +

φ ξ

₁) (_i k_i− +1) X (₂ k_i− +1)

ε

_i( )k_i (5.7)

2( )_i _i1 _i( _i 1) _i1 _i( )_i

X k = −

φ ξ

k − −

θ ε

k (5.8)

因此可以將(5.6)式轉換成狀態空間形式：

¹

1 1

1 1 1

( ) ( 1) ( )

0

i

i i i i

i i

k

φ

k k

φ θ ε

⎡ + ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦ − + ⎢ ⎣ − ⎥ ⎦

X X

(5.9)

批次處

中 華 大 學

中 華 大 學

碩 士 論 文

結合時間序列分析與卡曼濾波器 之混貨製程控制

Mixed-Product Run-by-Run Process Control ： Combining Time Series and Extended Kalman Filter

系 所 別：機 械 工 程 學 系 碩 士 班 學號姓名： M09708009

陳正文 指導教授：陳 俊 宏

博 士

中 華 民 國 九十九 年 七 月

摘要

Abstract

誌謝

目 錄

表 目 錄

圖 目 錄

符號說明

h

s

α

α

α

α

α

α

α

α

ε

ζ

η

δ

γ

ξ

ˆ ( )

k

( ) k

( ) k

μ

σ

τ

φ

θ

∇

第 1 章 緒論

1-1 研究動機

1-2 文獻回顧

1-3 研究目的與方法

第 2 章 時間序列 (Time Series)

φ

2-1 自我迴歸過程(Autoregerssive Processes, AR)

ξ

φ ξ

φ ξ

φ ξ

ε

ξ

φ

ε

( ) (

) ( ) ( )

k

C

B

B

B

k

k

ξ = + φ + φ + + φ ξ + ε

( ) 1

B

B

B

B

φ = − φ − φ − − φ

φ ξ

ε

2-2 移動平均過程(Moving Average Processes, MA)

ξ

ε

θ ε

θ ε

中華大學

中華大學

碩士論文

結合時間序列分析與卡曼濾波器之混貨製程控制

系所別：機械工程學系碩士班學號姓名： M09708009

陳正文指導教授：陳俊宏

博士

中華民國九十九年七月

目錄

表目錄

圖目錄

第 1 章緒論

第 2 章時間序列 (Time Series)

2-3 整合自我迴歸移動平均過程 (Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA)

第 3 章變異數分析(ANOVA)模型