工程數學二2012 第二次大考參考答 17:00-19:00 June 4, 2012 陳正宗終身特聘教授 為求統一起見，對於傅利葉級數與傅利葉轉換等遵守以下的定義
Fourier Transform
( ) ( ) i x F f x e dx
， f x( ) 21 F( ) e di x
1. (a) 若有兩個函數 f(x)與 g(x)，均為奇函數，
( ) ( )
f x g x 為奇或偶函數。(5%) 畫圖說明或證明均可(5%) Sol：
奇函數加奇函數等於奇函數 例如：sinxsin x2sin x
(b) 若有兩個函數 f(x)與 g(x)，均為週期為 2 之奇函數，
請問 f(x)g(x1)為奇函數還是偶函數？(5%) 畫圖說明或證明均可(5%) Sol：
g(x)為週期 2 的奇函數，g(x-1)為 g(x)週期函數向右平移 1，還是為奇函數，
因此 奇函數乘奇函數等於偶函數。
(c) 若有兩個函數 f(x)與 g(x)，均為週期為 2 之奇函數，
請問 f x( 1) g x( )為奇函數還是偶函數？(5%)畫圖說明或證明均可(5%) Sol：
f(x)為週期 2 的奇函數，f(x+1)為 f(x)週期函數向左平移 1，還是為奇函數，
因此、奇函數乘奇函數等於偶函數。
2. 有一週期性函數，週期為2，定義為 f(x)x2 (-1<x<1)。
(a) 該函數為偶函數還是奇函數？(5%) 請求出該函數的實數傅利葉級數表達式？(10%) Sol：
(a-1) 偶函數。 (a-2)
1 24 2( 1) cos( ) 3
) 1 (
n
n n x
x n
f
(b) 利用(a)的結果， 1 1 1
1 ?
4 9 16
。(5%)
Sol：
要利用x=0 去算
12 )
1 ( 16
1 9 1 4 1 1
0 ) 1 4 ( 3
) 1 0 (
2
1 2
1 1 2 2
n
n n
n
n f n
(c) f )(x 2x，請求出 f ' x( )的傅利葉級數。(5%)。請問這個表達式等於直接將問題(a)的表達式 逐項微分的答案嗎？(5%)
Sol：
(c-1) f '(x) x2
1
) 4sin(
) 1 (
n
n n x
n
。 (c-2)會一樣。
3. 有一週期為2的函數
x 2 0
2 x 2 1
2 x
0 x f
/
/ /
/ )
(
當 當
當
。
(a) 求出 f(x) 實數(5%)與複數(5%)傅利葉級數。
Sol：
2 ) 1 sin(
2 , , 1 0 ,
2 ) 2 sin(
2 , 1
0 0
n c n
c n b
a n
a n n n
1
) cos 2 ) 2 sin(
2 ( ) 1 (
n
n nx x n
f
0
2 ) 1 sin(
2 ) 1 (
n n
einx
n x n
f
(b) 運用(a)之結果與 Parsevel’s 恆等式， 12 12
1 ?
3 5
。(5 %)
Sol：
2 2 2 2
1 2 2
1 2 2
2 1 2 2 2
1
2 2 2
0 2
7 1 5
1 3 1 1 8
] ) 1 ( 1 2[ 1 1 8
) cos 1 2( 1 1 8
2 ] 4 sin
2) (1 2 [
] ) (
2 [ )
(
n
n n
n n
n n
n n n
n n
b a a
dx x f
(c) 如果將題目定義的 f(x)微分，我們會得到 f )(x 0，當x 不等於-/2 或是/2 時。請問我們 將(a)之結果直接逐項微分，會得到 f )(x 0這樣子的結論嗎？(5%)
Sol：
不會
(d)
0 / 2
( ) 1 / 2 / 2 0 / 2
x
g x x
x
當 當
當
求出 g(x) 的傅利葉轉換 (5%) 求出 g(x) 的兩次傅利葉轉換 (5%)
Sol：
(d-1)
sin 2 ) 2
1 ( )
( /2 /2 /2
2 / 2
/ 2 /
g x e i xdx e i xdx i e i x i e i ei
(d-2)
x x x x
g x
g
,2 0
2 , 2
2 , 2 0 ) ( 2 )}}
( { F { F
4. 說 出 五 種 譜 (5%) 何 謂 converge in the mean ? (5%) 何 謂 Gibbs 現 象 ? (5%) 何 謂 Stokes transformation ? (5%) 何謂 Cesaro sum (5%) 說出主要精神 即可。
Sol：
(4-1)族譜、音譜、食譜、棋譜、頻譜 ∙∙∙。
(4-2)傅立葉級數在描述函數不連續處時，該點的值為左右之值的平均值，這就是 converge in the mean。
)) ( ) ( 2( ) 1
(x f x f x f
(4-3)考慮方波
0 1 1
1 0 ) 1
( x
x x
f ，可得
1
] 1 , 1 [ )
1 2 1sin(
2 1 ) 4
(
n
on x x n n
x
f ，即使
n 趨近無窮大，誤差項在不連續處總是存在，且超出幅度約 18%，稱為吉布斯現象。
(4-4) 對於不連續函數時，傅立葉級數逐項微分可能會少項，所以應用 Stokes 轉換來對 )
( ' x
f 做傅立葉級數展開。
(4-5) 發散級數求和，低階項數權重越高，高階項數權重越低，以此類推。
5. 請 將 ( ) cos( )
f x x4 展 成 實 數 與 複 數 Fourier 級 數 (10%) 並 以 Parseval’s 定 理 計 算
2 2
0
( ) ? f x dx
(10%) Sol：
(5-1)
級數展開 複數
級數展開 實數
Fourier 4 )
2 4 ( 2 4 )
2 4 ( 2
4 ) 2 4 ( 2 4 )
2 4 ( 2
) 2 (
1 2 ) 2 2(
1 2
2
Fourier 2 sin
cos 2 2
2
4) sin(
sin 4) cos(
cos 4) cos(
) (
ix ix
ix ix
ix ix ix
ix
i e i e
i e i e
e i e
e e
x x
x x
x x
f
0 1 1
2 2
0, ,
2 2
a a b an 0 , bn 0 ,n2,3,4
1
1 1 2 2 2 2
( ) ( )
2 2 2 2 4 4
n n n
c a ib c i i
1
1 1 2 2 2 2
( ) ( )
2 2 2 2 4 4
n n n
c a ib c i i (5-2)
Parseval’s 定理:
Real: 2 2 02 2 2 2 2
0 1
2 2
( ) [2 ( )] [0 (( ) ( ) )]
2 2
p
n n
n
f x dx p a a b
Complex:
P
n n
i i
i C i
C p dx x
2 f
0
2 )]
4 2 4 ( 2 4 )
2 4 ( 2 4 )
2 4 ( 2 4 )
2 4 [( 2 2 2
)
(
n=1 n=-1
2 2
0 cos ( ) 4
p x dx
check 三路 均通 羅馬
Exam2012-2-sol.doc by Chen J T
