4 微分的應用
4.3 微分與圖形變化的關係
導數 f’ 對 f 的影響?
導數 f‘ 對函數 f 圖形的影響
我們可以觀察一個函數大致上的走向:
可以發現,在 A 到 B 以及 C 到 D 的區段,我們在函數圖形 上做切線,其斜率均為正,也就是 f’(x) > 0 。
圖一
而在 B 到 C 之間的區段,其切線斜率均為負,因而有 f’(x) <
0 。
事實上我們有以下這樣的定理:
這件事情可以從均值定理證明:
f(p) – f(q) = f’(r)(p – q), r 在 (p,q) 上某一點 此時 f(p) – f(q) 的符號跟 f’(r) 相同。
導數 f‘ 對函數 f 圖形的影響
[定理] 遞增 / 遞減測試
(a) 若在 (a,b) 上 f’(x) > 0 ,則 f 在 (a,b) 上為遞增 (b) 若在 (a,b) 上 f’(x) < 0 ,則 f 在 (a,b) 上為遞減
範例一
判斷函數 f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 5 分別在哪些地方遞增與 遞減。
解:
先微分 f
(x) = 12x
3 – 12x2 – 24x = 12x(x – 2)(x + 1) 。因式分解後, f’(x) 的正負號由這三項 12x, x – 2, x + 1 來決 定,於是我們考慮以下不同區間:
區間
在 (-∞,-1) 上遞減
在 (0,2) 上遞減 在 (-1,0) 上遞增
在 (2,∞) 上遞增
範例一 / 解
可與實際圖形比較:
cont’d
區間
在 (-∞,-1) 上遞減
在 (0,2) 上遞減 在 (-1,0) 上遞增
在 (2,∞) 上遞增
導數 f’ 對函數 f 圖形的影響
從圖二中可以觀察出 f(0) = 5 是一個局部極大值,同時 f 的 値在 (-1,0) 為遞增,在 (0,2) 為遞減。
換句話說,其實我們會發現:當 f’(x) 從正號變為負號的同時,
也就是最大值發生的地方。於是我們有下面的推論:
[一次導數檢驗法]
假設 c 為 f 的臨界點。
(a) 若 f’ 在 c 附近左側為正,右側為負,則 f 在 c 有局部極大值。
(b) 若 f’ 在 c 附近左側為負,右側為正,則 f 在 c 有局部極小值。
(c) 若 f’ 在 c 附近並未變號,則 f 在 c 並非極大或極小值。
導數 f‘ 對函數 f 圖形的影響
一次導數檢驗極值是函數「遞增/遞減測試」的一個結果。
我們可以用下面的圖來幫助記憶一次導數檢驗:
局部極大值 局部極小值
圖三(a) 圖三(b)
導數 f’ 對函數 f 圖形的影響
無極值 無極值
圖三(c) 圖三(d)
以下是沒有極值發生的情況:
範例三
求以下函數在範圍內的極大與極小值
g(x) = x + 2 sin x
0 x
2
解:先尋找 g 的臨界點,微分可得
g (x) = 1 + 2 cos x
計算 g
(x) = 0 的點,即 cos(x) = -1/2 之時,在區間上滿足
的點為 2
/3 以及 4
/3 。範例三 / 解
討論 g’ 的正負,於是可以得到在下列區間遞增遞減的情況:
於是可得
3.83 為局部極大值
2.46 為局部極小值cont’d
區間
在 (0,2π/3) 上遞增 在 (2π/3, 4π/3) 上遞減 在 (4π/3,2 π) 上遞增
範例三 / 解
下圖為 g(x) 的實際圖形,同時可以驗正剛剛的計算:
cont’d
g(x) = x + 2 sin x
圖四
二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響
二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響
下圖五表示了定義在 (a,b) 上兩種不同的遞增函數,同樣連 結 A, B 兩點。
圖五(a) 圖五(b)
二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響
下圖六劃出了前面兩個曲線上的幾條切線。可以觀察到:
左圖,向上彎曲,函數圖形的切線都在圖形的下方;
右圖,向下彎曲,函數圖形的切線都在圖形的上方。
凹口向上 凹口向下
二次導數 f’’ 對函數 f 的影響
我們做以下的定義:
下圖的 CD 表示凹口向下 concave down 的區段, CU 表示 凹口向上 concave upward 的區段。
[定義] 在區間 [a,b] 上,
(1)若 f 的圖形均在切線上方,則稱 f 在 [a,b] 上凹口向上 (concave upward)。
(2)若 f 的圖形在 f 的切線下方,稱 f 在 [a,b] 上凹口向下 (concave down)。
二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響
在凹口向上的圖形中,我們會發現切線的斜率也逐漸遞增。
在此例中,我們發現 f’ 也是遞增。
若 f’ 可微,則 f’’ 為正 (非負)。
凹口向上的圖形
圖六(a)
二次導數 f’’ 對函數 f 的影響
同樣,在下圖這個例子中,切線斜率遞減。
因此 f’ 為遞減。若 f’ 可微,則 f’’ 為負 (非正)。
凹口向下
二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響
我們有以下的凹向檢驗法 (concavity test):
[函數凹向檢驗法]
(1)若在區間 [a,b] 上, f’’(x) > 0 ,則在 [a,b] 上 f 為凹口向上。
(2)若在區間 [a,b] 上, f’’(x) < 0 ,則在 [a,b] 上 f 為凹口向下。
範例四
下圖八是一個地區內養蜂房中的蜜蜂數量族群數。
試觀察: (a) 族群變化率的增減,以及 (b) 何時有最高的變 化率。試求 (c) 在哪些區間上族群數量的圖形凹口為向上及 向下。
蜜蜂數量 (千隻)
範例四 / 解
觀察當 t 增加時曲線斜率的變化,可以知道:一開始增加的 速率較為緩慢,爾後斜率漸漸增強。至第十二週時,達到最 大的速率。而在此後增加速率便逐漸遞減。
最後當族群數量大概到 75000 左右時,速率漸漸減少至 0 。 在第十二週是一個臨界點,十二週前圖形為凹口向上,之後 則為凹口向下。
二次導數 f’’ 對函數 f 的影響
我們可以針對前述範例中,第十二週這個轉變,定義凹 口轉向的臨界點:
另外,回顧前面的極值判別法:如果可以保證凹口沒有 變化,則處在凹口向上區段的臨界點,為極小值;凹口 向下區段的臨界點,為極大值。
[定義] 函數圖形 y = f(x) 上一點 P 被稱為反曲點 (inflection point) ,表 示 f 在 P 點附近為連續,且 f 的函數圖形在此點前後有凹口轉向的變 化。
[二次導數判別法] 若 f’’ 在 c 附近連續,則
(1)若 f’(c) = 0 且 f’’(c) > 0 ,則 f 在 c 有局部極小值。
(2)若 f’(c) = 0 且 f’’(c) < 0 ,則 f 在 c 有局部極大值。
範例六
討論曲線 y = x4 – 4x3 的趨勢,凹向,以及局部的極大、極 小值,並利用此資訊刻劃出此函數圖形。
解:
考慮函數 f(x) = x4 – 4x3 ,計算微分:
f (x) = 4x
3 – 12x2 = 4x2(x – 3)\
f (x) = 12x
2 – 24x = 12x(x – 2)其導數為 0 的臨界點為 x = 0 以及 x = 3 ,當 x > 3 時函數為 遞增,當 x < 3 時函數為遞減。
範例六 / 解
我們利用二次導數判別法,代入 x = 0 及 x = 3 :
f (0) = 0 f (3) = 36 > 0
於是 f
(3) = 0 且 f (3) > 0 ,可以推得 f(3) = –27 是一個局部
極小值。但另一方面 f
(0) = 0 ,二次導數判別沒有辦法使用。(可能
是極大值、極小值或者都不是)。cont’d
範例六 / 解
但由一次導數檢定, f 只在 x = 3 前後斜率有變號,而在 x = 0 前後斜率均為負數,因此可知 f(x) 在 x = 0 並非極大值或 極小值。
另一方面,可能的反曲點: f’’(x) = 0 在 x = 0 或 x = 2 時,
我們可以判斷在這些點之間的符號:
cont’d
區間 凹向
凹向上 凹向下 凹向上
範例六 / 解
由上表可以知道,在 x = 0 與 x = 2 都有凹向的改變。
於是圖形上點 (0, 0) 是反曲點,函數圖形在這點從凹向上轉 變為凹向下。
而 (2, –16) 也是反曲點,函數圖形在此點從凹向下轉變成凹 向上。
在與 x = 3 處為局部極小值一起考 慮,我們可以大概描繪出右圖的函 數圖形。
cont’d
反
曲
點
二次導數 f’’ 對函數 f 的影響
備註:
(1) 再次提醒二次導數判別法不能用在 f’’(c) = 0 的地方,這 裡可能出現極大或極小或者反曲點。
(2) 有些一次導數的臨界點上,二次導數可能不存在,於是 如果要判別極值,還是只能從切線斜率的變化來判斷。
有些情況甚至計算二次導數比較困難,使用一次導數判 別較為簡單。
範例七
描繪出函數 f(x) = x2/3(6 – x)1/3 的圖形。
解:
首先計算出此函數的一次導數與二次導數:
判別一次導數的臨界點:f
(x) = 0 的點有 x = 4 ,而 f
(x) 不 存在的點有 x = 0 以及 x = 6 。區間
在 (-∞,0) 為遞減 在 (0,4) 為遞增 在 (4,6) 為遞減 (6,∞) 為遞減
範例七 / 解
從上圖表我們可以看出,一次導數在 x = 0, x = 4 有變號。
在 x = 0 時由負轉正,因此 f(0) = 0 是局部極小值。
在 x= 4 時由正轉負,因此 f(4) = 25/3 是局部極大值。
但在 x = 6 附近的一次導數沒有符號的改變,因此 f(6) 並非 極大或極小。
cont’d
範例七 / 解
觀察二次導數的表示式,注意到 x4/3
0 其實是恆正,因此決定正負號的項跟 (6 – x) 有關,因此當 x < 0 時, f
(x) < 0 ;
而當 x > 6 時, f’’(x) > 0 。因此 f(x) 在區間 ( , 0) 及 (0, 6) 為凹口向下,而在區間 (6, ) ,為凹口向下。
實際有改變凹向的反曲點在 x = 6 ,為 (6, 0) 。
cont’d
範例七 / 解
大致上的圖形繪製如下:
注意到在點 (0,0) 與 (6,0) 時,一次導數並不存在,其切線實 際上是鉛質切線。
cont’d
圖十二