4 微分的應用

4 ^{微分的應用}

4.3 ^{微分與圖形變化的關係}

導數 f’ 對 f 的影響？

導數 f‘ 對函數 f 圖形的影響

我們可以觀察一個函數大致上的走向：

可以發現，在 A 到 B 以及 C 到 D 的區段，我們在函數圖形 上做切線，其斜率均為正，也就是 f’(x) > 0 。

圖一

而在 B 到 C 之間的區段，其切線斜率均為負，因而有 f’(x) <

0 。

事實上我們有以下這樣的定理：

這件事情可以從均值定理證明：

f(p) – f(q) = f’(r)(p – q), r 在 (p,q) 上某一點 此時 f(p) – f(q) 的符號跟 f’(r) 相同。

導數 f‘ 對函數 f 圖形的影響

[定理] 遞增 / 遞減測試

(a) 若在 (a,b) 上 f’(x) > 0 ，則 f 在 (a,b) 上為遞增 (b) 若在 (a,b) 上 f’(x) < 0 ，則 f 在 (a,b) 上為遞減

範例一

判斷函數 f(x) = 3x⁴ – 4x³ – 12x² + 5 分別在哪些地方遞增與 遞減。

解:

先微分 f

(x) = 12x

因式分解後， f’(x) 的正負號由這三項 12x, x – 2, x + 1 來決 定，於是我們考慮以下不同區間：

區間

在 (-∞,-1) 上遞減

在 (0,2) 上遞減 在 (-1,0) 上遞增

在 (2,∞) 上遞增

範例一 / 解

可與實際圖形比較：

cont’d

區間

在 (-∞,-1) 上遞減

在 (0,2) 上遞減 在 (-1,0) 上遞增

在 (2,∞) 上遞增

導數 f’ 對函數 f 圖形的影響

從圖二中可以觀察出 f(0) = 5 是一個局部極大值，同時 f 的 値在 (-1,0) 為遞增，在 (0,2) 為遞減。

換句話說，其實我們會發現：當 f’(x) 從正號變為負號的同時，

也就是最大值發生的地方。於是我們有下面的推論：

[一次導數檢驗法]

假設 c 為 f 的臨界點。

(a) 若 f’ 在 c 附近左側為正，右側為負，則 f 在 c 有局部極大值。

(b) 若 f’ 在 c 附近左側為負，右側為正，則 f 在 c 有局部極小值。

(c) 若 f’ 在 c 附近並未變號，則 f 在 c 並非極大或極小值。

導數 f‘ 對函數 f 圖形的影響

一次導數檢驗極值是函數「遞增/遞減測試」的一個結果。

我們可以用下面的圖來幫助記憶一次導數檢驗：

局部極大值 局部極小值

圖三(a) 圖三(b)

導數 f’ 對函數 f 圖形的影響

無極值 無極值

圖三(c) 圖三(d)

以下是沒有極值發生的情況：

範例三

求以下函數在範圍內的極大與極小值

g(x) = x + 2 sin x

x 



先尋找 g 的臨界點，微分可得

g (x) = 1 + 2 cos x

計算 g

(x) = 0 的點，即 cos(x) = -1/2 之時，在區間上滿足

的點為 2





範例三 / 解

討論 g’ 的正負，於是可以得到在下列區間遞增遞減的情況：

於是可得





cont’d

區間

在 (0,2π/3) 上遞增 在 (2π/3, 4π/3) 上遞減 在 (4π/3,2 π) 上遞增

範例三 / 解

下圖為 g(x) 的實際圖形，同時可以驗正剛剛的計算：

cont’d

g(x) = x + 2 sin x

圖四

二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響

二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響

下圖五表示了定義在 (a,b) 上兩種不同的遞增函數，同樣連 結 A, B 兩點。

圖五(a) 圖五(b)

二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響

下圖六劃出了前面兩個曲線上的幾條切線。可以觀察到：

左圖，向上彎曲，函數圖形的切線都在圖形的下方；

右圖，向下彎曲，函數圖形的切線都在圖形的上方。

凹口向上 凹口向下

二次導數 f’’ 對函數 f 的影響

我們做以下的定義：

下圖的 CD 表示凹口向下 concave down 的區段， CU 表示 凹口向上 concave upward 的區段。

[定義] 在區間 [a,b] 上，

(1)若 f 的圖形均在切線上方，則稱 f 在 [a,b] 上凹口向上 (concave upward)。

(2)若 f 的圖形在 f 的切線下方，稱 f 在 [a,b] 上凹口向下 (concave down)。

二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響

在凹口向上的圖形中，我們會發現切線的斜率也逐漸遞增。

在此例中，我們發現 f’ 也是遞增。

若 f’ 可微，則 f’’ 為正 (非負)。

凹口向上的圖形

圖六(a)

二次導數 f’’ 對函數 f 的影響

同樣，在下圖這個例子中，切線斜率遞減。

因此 f’ 為遞減。若 f’ 可微，則 f’’ 為負 (非正)。

凹口向下

二次導數 f‘’ 對函數 f 的影響

我們有以下的凹向檢驗法 (concavity test)：

[函數凹向檢驗法]

(1)若在區間 [a,b] 上， f’’(x) > 0 ，則在 [a,b] 上 f 為凹口向上。

(2)若在區間 [a,b] 上， f’’(x) < 0 ，則在 [a,b] 上 f 為凹口向下。

範例四

下圖八是一個地區內養蜂房中的蜜蜂數量族群數。

試觀察： (a) 族群變化率的增減，以及 (b) 何時有最高的變 化率。試求 (c) 在哪些區間上族群數量的圖形凹口為向上及 向下。

蜜蜂數量 (千隻)

範例四 / 解

觀察當 t 增加時曲線斜率的變化，可以知道：一開始增加的 速率較為緩慢，爾後斜率漸漸增強。至第十二週時，達到最 大的速率。而在此後增加速率便逐漸遞減。

最後當族群數量大概到 75000 左右時，速率漸漸減少至 0 。 在第十二週是一個臨界點，十二週前圖形為凹口向上，之後 則為凹口向下。

二次導數 f’’ 對函數 f 的影響

我們可以針對前述範例中，第十二週這個轉變，定義凹 口轉向的臨界點：

另外，回顧前面的極值判別法：如果可以保證凹口沒有 變化，則處在凹口向上區段的臨界點，為極小值；凹口 向下區段的臨界點，為極大值。

[定義] 函數圖形 y = f(x) 上一點 P 被稱為反曲點 (inflection point) ，表 示 f 在 P 點附近為連續，且 f 的函數圖形在此點前後有凹口轉向的變 化。

[二次導數判別法] 若 f’’ 在 c 附近連續，則

(1)若 f’(c) = 0 且 f’’(c) > 0 ，則 f 在 c 有局部極小值。

(2)若 f’(c) = 0 且 f’’(c) < 0 ，則 f 在 c 有局部極大值。

範例六

討論曲線 y = x⁴ – 4x³ 的趨勢，凹向，以及局部的極大、極 小值，並利用此資訊刻劃出此函數圖形。

解:

考慮函數 f(x) = x⁴ – 4x³ ，計算微分：

f (x) = 4x

\

f (x) = 12x

其導數為 0 的臨界點為 x = 0 以及 x = 3 ，當 x > 3 時函數為 遞增，當 x < 3 時函數為遞減。

範例六 / 解

我們利用二次導數判別法，代入 x = 0 及 x = 3 ：

f (0) = 0 f (3) = 36 > 0

於是 f

(3) = 0 且 f (3) > 0 ，可以推得 f(3) = –27 是一個局部

但另一方面 f

(0) = 0 ，二次導數判別沒有辦法使用。（可能

cont’d

範例六 / 解

但由一次導數檢定， f 只在 x = 3 前後斜率有變號，而在 x = 0 前後斜率均為負數，因此可知 f(x) 在 x = 0 並非極大值或 極小值。

另一方面，可能的反曲點： f’’(x) = 0 在 x = 0 或 x = 2 時，

我們可以判斷在這些點之間的符號：

cont’d

區間 凹向

凹向上 凹向下 凹向上

範例六 / 解

由上表可以知道，在 x = 0 與 x = 2 都有凹向的改變。

於是圖形上點 (0, 0) 是反曲點，函數圖形在這點從凹向上轉 變為凹向下。

而 (2, –16) 也是反曲點，函數圖形在此點從凹向下轉變成凹 向上。

在與 x = 3 處為局部極小值一起考 慮，我們可以大概描繪出右圖的函 數圖形。

cont’d

反

曲

點

二次導數 f’’ 對函數 f 的影響

備註：

(1) 再次提醒二次導數判別法不能用在 f’’(c) = 0 的地方，這 裡可能出現極大或極小或者反曲點。

(2) 有些一次導數的臨界點上，二次導數可能不存在，於是 如果要判別極值，還是只能從切線斜率的變化來判斷。

有些情況甚至計算二次導數比較困難，使用一次導數判 別較為簡單。

範例七

描繪出函數 f(x) = x^2/3(6 – x)^1/3 的圖形。

解:

首先計算出此函數的一次導數與二次導數：

判別一次導數的臨界點：f

(x) = 0 的點有 x = 4 ，而 f 

區間

在 (-∞,0) 為遞減 在 (0,4) 為遞增 在 (4,6) 為遞減 (6,∞) 為遞減

範例七 / 解

從上圖表我們可以看出，一次導數在 x = 0, x = 4 有變號。

在 x = 0 時由負轉正，因此 f(0) = 0 是局部極小值。

在 x= 4 時由正轉負，因此 f(4) = 2^5/3 是局部極大值。

但在 x = 6 附近的一次導數沒有符號的改變，因此 f(6) 並非 極大或極小。

cont’d

範例七 / 解

觀察二次導數的表示式，注意到 x^4/3



決定正負號的項跟 (6 – x) 有關，因此當 x < 0 時， f

(x) < 0 ；

因此 f(x) 在區間 ( , 0) 及 (0, 6) 為凹口向下，而在區間 (6, ) ，為凹口向下。

實際有改變凹向的反曲點在 x = 6 ，為 (6, 0) 。

cont’d

範例七 / 解

大致上的圖形繪製如下：

注意到在點 (0,0) 與 (6,0) 時，一次導數並不存在，其切線實 際上是鉛質切線。

cont’d

圖十二