大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷

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大學入學考試中心指定科目考試研究用試卷

數學考科

(數學甲卷一)試題第一部分

作答時間：70 分鐘作答方式：

˙選擇題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液

˙非選擇題用黑色或藍色原子筆，直接作答於試題所標示的答案欄內

祝考試順利

本試卷之著作權屬於財團法人大學入學考試中心基金會

本試卷 (含參考答案 )預定於 97年 6月 4日

公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

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壹、單選題 ( 1 8 分 )

說明：第1-3題，選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。答對得6 分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣1.5分，倒扣到本大題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 有五個選項的某單選題，在作答此題的考生中，有40% 的考生確知答案，有 60% 的考生猜答案；假設考生猜中答案的機率為 1

5，隨機從答對此題的考生中選一位考生，

則此考生確知答案的機率為下列哪一個選項？

(1)

5

2

(2)

5

3

(3) 4

5 (4)

13

10

(5)

25 13

2. ∆ABC為直角三角形，其中 ∠ 為直角。令 G 為 ABCA ∆ 的重心， O 為 ABC∆ 的外心。若 X

OG⋅X

AB= αX AB⋅X

AB，則下面哪個選項是 α 的值？

(1) 1

3 (2) 1

6 (3) 0 (4) 1

− (5) 3 1

− 6

3. 設 α β, 為非零的實數，且 cos(α β− ) , cos , cos(α α β+ )是公比為 r (r≠0)的等比數列。請問滿足上述條件的公比 r 有幾種可能？

(1) 滿足上述條件的 r 不存在 (2) 一種可能

(3) 二種可能 (4) 三種可能 (5) 四種可能

(3)

貳、多重選擇題(32 分)

說明：第4-7題，每題有4個選項，其中至少有一個選項是正確的。請選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得2分；每答錯一個選項，倒扣2分，完全答對得8分。整題未作答者，不給分亦不扣分。若在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣2分。

倒扣到本大題之實得分數為零為止。

4. 假設 ,A B 為兩個二階方陣，試問下列敘述哪些是正確的？

(1) 若 A² =B²，則 A B= 或者 A= − B (2) 若 A 為零矩陣，則 A 必為零矩陣 ²

(3) 若 A 為可逆矩陣且 A²=B²，則 B 亦為可逆矩陣 (4) 若 1 0

AB 0 1

=  

 ，則 B A B² =

5. 在一次測驗中有一道解聯立方程式的問題如下：

0 0 0 x y

y z x z

− =

 − =

 − =



某生將方程組中的某一個負號看成正號，而後完全沒有發生任何計算錯誤。試問此生可能得到的結果為：

(1) 無解 (2) 恰有一組解 (3) 有無限多組解

(4) 與原方程組有相同的解

6. 空間中二個球面 Γ Γ 與 xy 平面相交出半徑分別為 1, 2 的圓，且此二圓的圓心皆₁, ₂ 在點 (2 , 4 , 0) 。請問下列哪些選項是正確的？

(1) 二個球面的球心與點 (2 , 4 , 0) 這三個點共線 (2) Γ 的半徑必定小於 ₁ Γ 的半徑 ₂

(3) yz 平面至少跟其中一個球面相交

(4) 原點 (0 , 0 , 0)O 至少位於其中一個球面的內部

(4)

7. 坐標平面上滿足方程式 ₄ ₄ ⁴ ⁴ ₄ ( )²₂ 4log ( ) log ( ) log

4( ) x y x y x y

x y

− = − + −

+ 的點 (x y, ) 可能在下列哪些象限？

(1) 第一象限 (2) 第二象限 (3) 第三象限 (4) 第四象限

參、選填題(24 分)

說明：1.第A-C題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(8-17)。

2.每題完全答對得8分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 坐標平面上兩點 (1, 0)A= 、B=(0 , 2)，在第一象限中滿足 X PA⋅X

PB ≤ 的 P 點所形0

成區域的面積是

○

⁸

^＋ ○

⁹

○

¹⁰

^π

^。

B. 某甲到遊樂場玩擲銅板計分遊戲，遊戲時要一次擲出五個公平的銅板。如果出現正面的個數少於出現反面的個數，就必須要重擲，直到擲出正面的個數多於反面的個數為止。此時如果出現三個正面得12 分，出現四個正面得 18 分，出現五個正面得 30 分。求某甲玩此遊戲得分的數學期望值是

○

¹¹

○

¹² ^分。

C. 已知三次函數 f x( )=x³−2x²−20x+70的圖形與二次函數 g x( )=x²+4x a+ （其中

a 為實數）的圖形只有一個交點。求 a 的範圍為： a > 98 或 a <

○

¹³

○

¹⁴

○

¹⁵

^。

(5)

(卷一)試題第二部份(共 26 分)

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、二），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末。

一、 f x 為實係數三次多項式， ( ) 0( ) f x = 的三根依大小順序為 1, 0 , a− ，並且滿足

1 ( ) 0

a f x dx

− =

∫

，求 a =？ (13 分)

二、以z w

,

表示非零複數，並以 z , w , z w+ 分別表示 , ,z w z w+ 的絕對值 已知 z w+ = +z w ，求證 z w

z = w 。(13 分)

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