2 2

2 ² 圓心角、圓周角與弦切角

圓心角及其所對的弧

1

我們曾經學過弧的表示法與圓心角的概念，現在讓我們簡單的複習一下。

如圖 2-29，圓上的 A、B 兩點將圓周分成兩個 弧，小於半圓的弧稱為劣弧，以 AB 表示。大於半圓 的弧稱為優弧，通常會在弧上加一點 C，以 ACB 表 示。其中 AB 所對的圓心角為∠AOB，ACB 所對的圓 心角為∠1。

我們已經知道，若圓心角為 x°，則弧的長度等於圓周長的 x

360 。接下 來，讓我們來看看弧的度數與圓心角的關係。

如右圖，將一圓分成十二等分，試求劣弧 AB 所對的 圓心角∠AOB。

圖 2-29 B

A 1

C O

A

B

∠AOB＝ 4 O

12．360°＝120°

對應能力指標 9-s-07

如圖 2-31，若圓心角∠AOB＝x°，則：

1AB 的度數為 x°，簡記為 AB＝x°。 2AB 的長度＝圓周長． x

360 。 3扇形 OAB 的面積＝圓面積． x

360 。

如圖 2-30，把兩個量角器拼成一個圓，

可以觀察到，整個圓周被分成 360 等分的弧，

其中每一等分的弧所對的圓心角剛好是 1°。

我們稱 1 等分弧的度數為 1°，所以 x° 的圓心 角所對弧的度數為 x°。

如右圖，AB 的度數是 55°，試求其所對的圓心角∠AOB。

圖 2-30

O B

A

55°

簡單的說：

弧的度數就是該弧所對圓心角的度數。

根據上面的說明：

A O

B x°

圖 2-31

通常在同圓（等圓）中，表示兩弧長的關係時，即可省去「 長 」。 例如：AB＝CD，表示 AB 的長與 CD 的長相等，也表示兩弧的度數相等。

所以 AB 可以有三種意義：1 AB 本身；2 AB 的度數；3 AB 的長度，其意義 可由前後文的相關敘述分辨。

圓心角∠AOB＝AB 的度數＝55°

如右圖，正五邊形 ABCDE 的頂點均在圓 O 上，

試求 AB 的度數。

弧的度數與長度

例

1

由此可知：

1在同圓（等圓）中，度數相等的兩弧等長。

2在同圓（等圓）中，度數愈大的弧，其弧的長度愈長。

B C

D

E

O A

∵ABCDE 為正五邊形，

∴以 O 為頂點，可將正五邊形 ABCDE 分割成 5 個全等的等腰三角形。

　 圓心角∠AOB＝ 360˚

5 ＝72°

　 故 AB ＝∠AOB＝72°。　　

O

E F

D A

C B

如右圖，正六邊形 ABCDEF 的頂點均在圓 O 上，

試求 AB 的度數。

圓心角∠AOB＝ 360˚

6 ＝60°

故 AB ＝60°

搭配習作P28 基礎題1

1 等圓（同圓）中，如果兩圓心角相等，則它們所對的弦等長；反之亦然。

2 等圓（同圓）中，如果兩個小於180度的圓心角不相等，則較大的圓心角，

所對的弦也較長；反之亦然。

如圖 2-32，AB、CD 為圓 O 上的兩弦，若∠AOB＝∠COD，以 O 點為旋 轉點，將△AOB 以順時針方向旋轉到 OB 與 OD 重疊，此時 A 點與 C 點重疊，

因此 AB ＝ CD 。　　

如圖 2-33，AB、CD 為圓 O 上的兩弦，若∠AOB＜∠COD，以 O 點為旋 轉點，將△AOB 以順時針方向旋轉到 OB 與 OD 重疊，此時 A 點會落在 CD 上，連接 AC，因為∠CAD＞∠CAO＝∠OCA＞∠DCA，所以在 △DAC 中，由 大角對大邊可得 AB ＜ CD。

圖 2-32

圖 2-33 A

B

C

D

C（A）

O

D（B）

C A D（B）

A

C

D O

B

A

C

D

B

O O O

由上面的說明可知：

A B

O C

D

如圖，圓 O₁ 的半徑為 r₁，圓 O₂ 的半徑為 r₂， 若兩個圓心角∠AO₁B ＝∠CO₂D，

試求：1AB 長：CD 長的比值。

2AB ：CD 的比值。

半徑與弦、弧的關係

例

2

O₁ r₁

B A

D C

6

O₂ 10

A B

8

O₁ 如圖，已知 AB 長＝8，CD 長＝6，

圓 O₂ 的半徑為 10，

且∠AO₁B＝∠CO₂D，

試求圓 O₁ 的半徑。

O₂ r₂

D C

1設∠AO₁B ＝∠CO₂D＝x°，

　 2△AO₁B 和△CO₂D 中，

　　　∵∠AO₁B＝∠CO₂D，且 O1A

O₂C ＝ O1B O2D ＝ r1

r2， 　　　∴△AO₁B∼△CO₂D（SAS 相似），

　　　故 AB CD＝ r1

r2，

　　　即 AB ：CD 的比值為r1

r2。 故 AB 長：CD 長的比值為r1

r2

。 AB 長：CD 長＝（2πr₁． x

360 ^）：（2πr₂． x

360 ^）＝r₁：r₂

∵∠AO₁B＝∠CO₂D

∴AB 長：CD 長＝r₁：r₂ 8：6＝r₁：10

r₁＝40 3

故圓 O₁ 的半徑＝40 3

A Q

B C

圖 2-34

在右圖中， BC 所對的圓周角有哪些？

A

B O

C

A

B O

C

A

B O

C

圖 2-35

前面學過，圓心角的度數等於它所對弧的度數，那麼圓周角的度數和它所 對弧的度數有沒有類似的關係呢？

如圖 2-35，一圓的圓心和圓周角有三種位置關係：圓心在圓周角的一邊 上、圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部。

圓心在圓周角的一邊上 圓心在圓周角內部 圓心在圓周角外部

圓周角及其所對的弧

2

A B

E

D C

當兩弦相交的交點在圓周上，其所形成的角稱為 圓周角。如圖 2-34，∠BAC為圓周角，BC 為此圓周 角所對的弦，BC 為此圓周角所對的弧。

反過來說，B、C 兩點將一圓分成 BC 和 BQC，

若在 BQC 上任取一點 A，連接 AB、AC，則∠BAC 為 BC 所對的圓周角，因為 A 為 BQC 上任一點，所以同 一弧所對的圓周角有無限多個。

∠BAC 與∠BDC

對應能力指標 9-s-07

接下來，讓我們來看看，在這三種位置關係中，圓周角的度數和它所對弧 的度數之間的關係。

1當圓心 O 在圓周角∠A 的一邊上時：

如圖 2-36，連接 OC。

∵ OA ＝ OC ，∴∠C＝∠A。

又∠BOC＝∠C＋∠A（外角定理）， ∴∠BOC＝2∠A，

　故∠A＝ 1

2 ∠BOC＝1

2 BC。

2當圓心 O 在圓周角∠BAC 的內部時：

如圖 2-37，作直徑 AD，並連接 OB、OC。

根據 1的結果，可推得：

　 ∠BAD＝ 1

2 ∠BOD，∠CAD＝ 1

2 ∠COD，

＝ 1

2 ∠BOC＝1 2 BC 　 故∠BAC＝ 1

2 BC。

3當圓心 O 在圓周角∠BAC 的外部時：

如圖 2-38，作直徑 AD，並連接 OB、OC。

　 根據 1的結果，可推得：

　 ∠BAD＝ 1

2 ∠BOD，∠CAD＝ 1

2 ∠COD，

　 ∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝ 1

2 ∠COD－1

2 ∠BOD ＝1

2 ∠BOC＝1 2 BC 　 故∠BAC＝ 1

2 BC。

A

O

C B

圖 2-36

圖 2-37 A

C B D

O

圖 2-38 A

C O

D B 　∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝1

2 ∠BOD＋1

2 ∠COD

如右圖，已知 AB 長是圓周長的 1 4 ， 試求∠ACB 與∠ADB。

例

3

從上一頁的討論與說明可以得到：

1 一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓心角度數的一半。

2一弧所對的圓周角度數，等於此弧度數的一半。

3在同一圓中，一弧所對的所有圓周角的度數都相等。

　如圖 2-39，∠A₁＝∠A₂＝∠A₃＝ 1

2 BC。

A

D C B

圖 2-39 A₃ A₂ A₁

C O

B

思考，思考，再思考。 — 愛因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）

數學小語錄

∵ AB 長是圓周長的1 4 ， 　　∴ AB＝1

4 ．360°＝90°

　 又∠ACB 和∠ADB 均為 AB 所對的圓周角，

　 ∴ ∠ACB＝∠ADB ＝ 1

2 AB ＝45°

搭配習作P28 基礎題2

如右圖，△ABC 的頂點均在圓 O 上，

已知∠BAC＝45°，∠ABC＝100°， 試求∠BOC 與∠AOC。

由圓周角求圓心角

例

4

1∵∠BAC 為 BC 所對的圓周角，

　　　∴ BC＝2∠BAC＝2．45°＝90°， 　　　又∠BOC為 BC 所對的圓心角，

　　　∴∠BOC＝BC＝90°。

　　2∵∠ABC 為 ADC 所對的圓周角，

　　　∴∠ABC＝ 1

2 ADC，

　　 　 ADC＝2∠ABC＝2．100°＝200°

　　　又 ABC＝360°－ADC＝160°， 　　　故∠AOC＝ABC ＝160°。

如右圖，A、B、C 為圓上的七個等分點中的三個點，

試求∠ABC。 _B

A

D C

A

D

C B

O

∠ABC＝ 1 2 ADC

＝ 1 2．（ 4

7．360˚）

＝720˚

7

如右圖，A、B、C、D 為圓上四點，

已知∠BAD＝60°，BC＝90°，試求 CD 。

我們已經知道，一弧所對的圓周角度數，等於此弧 度數的一半，如圖 2-40 中，當 AB 為直徑時，AB＝180°， 故圓周角∠ACB＝ 1

2 AB＝ 1

2 ．180°＝90°。

　 又 ∠ACB、∠AEB 與∠AFB 皆為 AB 所對的圓周角，

　 ∴∠ACB＝∠AEB＝∠AFB＝90°。

B

D C A

A

C B E

F

O

也就是說：

半圓所對的圓周角是直角。

圖 2-40

如右圖，AC 為圓 O 的直徑，B 為圓周上一點，

若∠BAC＝40°，試求 AB。 ^A

C B O

CD＝BCD－BC ＝2∠BAD－90°

＝2．60°－90°

＝30°

∵ AC 為直徑

∴ABC＝180°

又∠BAC＝40°

∴BC＝80°

故 AB＝ABC－BC＝180°－80°＝100°

搭配習作P29 基礎題3

　　在上一節時學過，要畫出通過圓 O 上任一點 P 的切線，只要先連接 OP ， 再作通過 P 點且與 OP 垂直的直線即可。如果 P 點在圓 O 外，要如何畫出通過

P 點且與圓 O 相切的切線呢？我們可以利用「半圓所對的圓周角必為直角」 性

質，畫出過圓外一點的切線。

P

B O' O

A

O' O

A

P

B 圖 2-41

如右圖，P 為圓 O 外的一點，請利用尺規作圖，

畫出通過 P 點且與圓 O 相切的直線。

過圓外一點作圓的切線

例

5

P O

1連接 OP 。

　 2 以 OP 為直徑，作圓 O'，

　　 交圓 O 於 A、B 兩點。

　 3連接 PA 與 PB。

　 4則 PA 與 PB 即為所求。

　　在例題 5 中，連接 OA 、 OB ，如圖 2-41。在圓 O' 中，因為 OP 為圓 O' 的 直徑，由「 半圓所對的圓周角必為直角」知，∠OAP＝∠OBP＝90°，因此 PA 與 PB 都是圓 O 的切線。

如右圖，兩平行直線 L₁ 和 L₂ 在圓上截出 AC 和 BD，試說明 AC＝BD。

平行線截等弧

例

6

動動腦

1如右圖，連接 BC 。

　　 2∵L₁ L₂，∴∠1＝∠2（內錯角相等）。

　　　3∠1＝1

2 AC，∠2＝1

2 BD，

　　　 故 AC ＝BD。

C A D

B L₁ L₂

C A D

B

1

2

L₁ L₂

由例題 6 可知：

若兩直線平行，則此兩平行線在圓上所截出的兩弧度數相等。

如右圖，兩直線 L₁ L₂，且 L₂ 與圓相切於 C 點，

請問 AC 和 BC 是否相等？

A

C D

B

A

C B L₁

L₂ O

如右圖，若 AC 和 BD 的度數相等，

試說明 AB CD 。

作直徑 CD。

∵C 為切點，∴CD⊥L₂。 又 L₁ L₂，∴CD⊥L₁。 故 CD 為 AB 的垂直平分線，

則 AC ＝BC， 即 AC ＝BC。

連接 BC

∵AC＝BD，∴∠1＝∠2 故 AB CD

A

C D

B

1

2

A

C B L₁

L₂ O

D

如右圖，ABCD 為圓 O 的內接四邊形，

試說明∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°。 圓內接四邊形對角互補

例

7

如圖 2-42，在圓上依序任取 A、B、C、D 四點，

連接 AB、BC、CD、DA，則四邊形 ABCD 稱為圓 O 的 內接四邊形，而圓 O 稱為四邊形 ABCD 的外接圓。

接著，我們來學習圓內接四邊形的一些性質。

A

D

C B O

圖 2-42

∵∠A 所對的弧為 BCD，∠C 所對的弧為 BAD，

∴∠A＋∠C ＝1

2 BCD＋ 1 2 BAD ＝ 1

2（BCD＋BAD）

＝ 1

2．360°

＝180°

同理，∠B＋∠D＝180°。

A

D

C

B O

由例題 7 可知：

圓內接四邊形的對角互補。

圓內接四邊形

3

搭配習作P29 基礎題4／P29 基礎題5 對應能力指標 9-s-07

1如右圖，ABCD 為圓 O 的內接四邊形，

已知 AD BC ，∠DCE＝105°， 試求∠A 與∠B。

2如右圖，ABCD 為圓 O 的內接四邊形，

∠1 為∠BCD 的外角，試說明∠A＝∠1。

A D

C E O

B

105°

A D

C E O

B

1

由隨堂練習可知：

圓內接四邊形的任一外角，等於其相鄰內角的對角。

∵ AD BC ，且∠DCE＝105°，

∴∠D＝105°，∠BCD＝75°，

又 ABCD 為圓 O 的內接四邊形

∴∠A＝180°－∠BCD＝105°

∠B＝180°－∠D＝75°

∵ABCD 為圓 O 的內接四邊形

∴∠A＋∠BCD＝180°

又∠1 為∠BCD 的外角

∴∠1＋∠BCD＝180°

故∠A＝∠1。

接下來我們來學習，弦切角的度數與它所夾弧的度數之間的關係。

E

D

B A C

圖 2-43

D

F O

E

B A C

圖 2-45

從上面的說明可知：

弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。

　　一圓上的弦切角可因弦是否通過圓心，而有下列兩種情況：

1弦 CD 通過圓心：

如圖 2-44，CD 為直徑，因此 CD 為圓周的 一半， 也就是 CD＝180°，又 C 為切點，

∴∠ACD＝∠BCD＝90°， 故∠ACD＝∠BCD＝1

2 CD。

D

B A C

圖 2-44 O

2弦 CD 不通過圓心：

如圖 2-45，過 C 點作直徑 CE，

承 1 知∠BCE＝ 1

2 CDE，∠ACE＝1

2 CFE，

∠ACD＝∠ACE ＋∠DCE＝ 1

2 CFE ＋1 2 DE 　 ＝1

2（CFE＋DE）＝1 2 CED 故∠BCD＝1

2 CD，∠ACD＝ 1

2 CED。

∠BCD＝∠BCE－∠DCE＝ 1

2 CDE－ 1 2 DE 　 ＝1

2（CDE－DE）＝ 1 2 CD　

弦切角及其所夾的弧

4

弦與切線在圓周上所形成的交角稱為 弦切角。如圖 2-43，切線 AB 與弦 CD 交 於 C 點，∠BCD 與∠ACD 即為弦切角，且 CD 為弦切角∠BCD 所夾的弧，而 CED 為 弦切角∠ACD 所夾的弧。

對應能力指標 9-s-07

如右圖， DE 與圓 O 相切於 B 點，

已知∠CAB＝60°，試求∠CBE。

例

8

如右圖，∠ABC 為圓 O 的一個弦切角，

若∠ABC＝50°，試求 AB 的度數。

∵∠CAB 為圓周角，

　 ∴∠CAB＝ 1

2 BC。

　 又∠CBE 為弦切角，

　 ∴∠CBE＝ 1

2 BC，

　 故∠CBE＝∠CAB＝60°。

C A

B O

C A

E

D B

O

由例題 8 知：

如圖 2-46，∠BAC 為圓周角，∠BCD 為弦切角，

則∠BAC＝∠BCD＝1

2 BC。

圖 2-46 A

B

C D

∵∠ABC 為弦切角

∴AB＝2∠ABC＝100°

搭配習作P30 基礎題6

如右圖，兩圓外切於 P 點，AB 與 CD 交於 P 點，試說明 AC

BD。

弦切角的應用

例

9

如右圖，AB 為圓 O 的弦，BC 與圓 O 切於 B 點，

若∠AOB＝70°，試求∠ABC 、∠ADB。

A C D

B O

如右圖，AB 為圓 O 的直徑，L 為通過 C 點的切線，

若∠ACE＝32°，試求∠D。

D B O

A

E C L

1如右圖，過 P 點作兩圓的公切線 L。

∠A＝1

2 CP ＝∠1 　 ∠B＝1

2 PD ＝∠2 2又∠1＝∠2（對頂角），

∴∠A＝∠B，

故 AC // BD（內錯角相等）。

A

D

C B

P

A L

D

C B

P

1 2

AB＝∠AOB＝70°

∠ADB＝ 1

2 AB＝35°

∠ABC＝∠ADB＝35°

AC＝2∠ACE＝64°

∵ AB 為直徑

∴ACB＝180°

BC＝ACB－AC＝180°－64°＝116°

∠CDB＝1

2 BC＝58°

如右圖，過 D 點作 DE

AB 交圓於 E 點，

∴AE＝BD＝30°（兩平行線截兩等弧）

∵ DE AB，∴∠1＝∠2（同位角）

∠2＝1

2 EAC＝1

2（AE＋AC）

＝1

2（BD＋AC）＝1

2（30°＋80°）＝55°

∴∠1＝55°

解二 如右圖，連接 AD。

∵∠1 為△APD 的外角，

∴∠1 ＝∠3＋∠4 ＝ 1

2 BD＋1 2 AC ＝ 1

2（BD＋AC）

＝ 1

2（30°＋80°）

＝55°

如右圖，AB 和 CD 兩弦交於圓內一點 P，

已知 AC＝80°，BD＝30°，試求∠1。

求圓內角的度數

例

10

C A

B

1

D

P

C A

B

1 2

D E

P 若兩弦交於圓內一點，則這兩弦所形成的交角稱為

圓內角。如圖 2-47，AB、CD 分別為圓 O 的兩弦，且 AB 與 CD 交於 P 點，則∠APC、∠BPC、∠BPD、∠APD 皆為圓內角。

A

D P C

B 圖 2-47

圓內角與圓外角

5

C A

B

1 4 3

D

P

∠3 和∠4 所對的弧 分別為 BD 和 AC

搭配習作P30 基礎題7 對應能力指標 9-s-07

如右圖，A、B、C、D 為圓上十二個等分點中的四個點，

其中 P 為 AB 與 CD 的交點，

試求 AC 、BD 和∠APC。

A

D P C

B 由例題 10 知：

圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。

A

D C P

B

A

D

P C

B

A

D

P C

B 圖 2-48

沒有不能解決的問題。 — 韋達（Franciscus Vieta，1540-1603）

數學小語錄

如圖 2-48，若 PA、PB 為圓的割線或切線，且交於圓外一點 P ，則∠P 稱為圓外角。

AC＝ 2

12 ．360°＝60°

BD＝ 3

12 ．360°＝90°

∠APC＝ 1

2（BD＋AC）＝ 1

2（90°＋60°）＝75°

如右圖，兩割線 PA、PC 交於圓外一點 P，

已知 AC＝144°，BD＝60°，試求∠P。

求圓外角的度數

例

11

A

C D B P

如右圖， 過 D 點作 DE AB ，

∴AE＝BD＝60°（兩平行線截兩等弧），

∵ DE AB ，∴∠P＝∠1（同位角）

又∠1＝1

2 EC＝ 1

2（AC－AE）

＝1

2（AC－BD）＝1

2（144°－60°）＝42°

∴∠P＝42°

解二 如右圖，連接 AD 。 ∵∠3 為 △ADP 的外角，

∴∠P＝∠3－∠2 ＝ 1

2 AC－1 2 BD ＝ 1

2（AC－BD）＝1

2（144°－60°）＝42°

A

C D E

B P

1

A

C D B P

2

3

B D

C A P

如右圖，A、B、C、D 為圓上十二個等分點中的四個點，

P 為 AB 和 CD 的交點，試求 AC、BD 與 ∠P。

∠2 和∠3 所對的弧 分別為 BD 和 AC

AC＝ 4

12．360°＝120°

BD＝ 1

12．360°＝30°

∠P＝ 1

2（AC－BD）＝1

2（120°－30°）＝45°

如右圖，PA 與 PD 交於圓外一點 P，

其中 PA 為圓的割線，PD 為圓的切線，

且與圓切於 C 點。若 AC ＝140°，

BC＝80°，試求∠P。

求圓外角的度數

例

12

如右圖，連接 AC 。 ∵∠1 為 △ACP 的外角，

∴∠P ＝∠1－∠2 ＝ 1

2 AC － 1 2 BC ＝70°－40°

＝30°

A

B

C P D

A

B

C P D

2

1

圓外角的度數等於所對的兩弧度數差的一半。

由例題 11、例題 12 與隨堂練習可知：

如右圖，PA 和 PB 分別與圓切於 A、B 兩點，

並交於圓外一點 P，若 ACB＝240°，試求∠P。

∠1為弦切角

∠2為圓周角

B

P A

C 連接 AB ，

∵∠1為△ABP 的外角，

∴∠P＝∠1－∠2＝1

2（ACB－AB）

＝1

2（240°－120°）＝60°

B

P A

C

1 2

!弧的度數與長度：

1弧的度數等於該弧所對圓心角的度數。

2等圓（同圓）中，度數相等的兩弧等長。

3等圓（同圓）中，度數愈大的弧，其弧的長度愈長。

@圓心角與弦關係：

1 等圓（同圓）中，如果兩圓心角相等，則其所對的弦等長；反之亦 然。

2 等圓（同圓）中，如果兩個小於 180 度的圓心角不相等，則較大的圓 心角所對的弦較長；反之亦然。

#圓周角：

1一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓心角度數的一半。

2一弧所對的圓周角度數，等於此弧度數的一半。

3在同一圓中，同一弧所對的所有圓周角的度數都相等。

4半圓所對的圓周角必為直角。

$圓內接四邊形：

1 如圖 2-49，在圓上依序任取 A、B、C、D 四點，

連接 AB 、BC 、CD 、DA ，則四邊形 ABCD 為圓 O 的內接四邊形，圓 O 為四邊形 ABCD 的外接圓。

2圓內接四邊形的對角互補。

3圓內接四邊形的任一外角，等於其相鄰內角的對角。

%平行線截等弧性質：

若兩直線平行，則此兩平行線在圓上所截出的兩弧度數相等。

重點回顧

圖 2-49 A

D

C B O

^弦切角：

1弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。

2 如圖 2-50，∠A 為圓周角，∠BCD 為 弦切角，則∠A＝∠BCD＝ 1

2 BC。

&圓內角：

圓內角的度數等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。

如圖 2-51，∠APC＝1

2 （AC＋BD）。

*圓外角：

圓外角的度數等於所對的兩弧度數差的一半。

圖 2-50 A

B

C D

給我最大快樂的，不是已懂的知識，而是不斷的學習；

　　　　　　　　不是已有的東西，而是不斷的獲取；

　　　　　　　　不是已達到的高度，而是繼續不斷的攀登。

— 高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）

數學小語錄

圖 2-52 圖 2-53 圖 2-54

圖 2-51 A

B D

C

P

P B

C

A A

P

B D

C D

A

B

P C

∠P＝ 1

2 （AB－CD） ∠P＝1

2 （AB－AC） ∠P＝1

2 （ADB－ACB）



1 試求下列各小題中圓心角∠1。

2 如右圖，若 AB 長為圓 O 周長的 1 8 ， 　 試求∠AOB、∠APB 和∠AQB。

3 如圖，已知圓 O 上 A、C 兩點，試完成下列問題：

　1在 AP 上找出一點 B，使得∠ACB 為銳角。

　2在 AP 上找出一點 D，使得∠ACD 為直角。

　3在 AP 上找出一點 E，使得∠ACE 為鈍角。

自 我 評 量 2-2

53°

1

112°

O

A O B

1

AB 為直徑

1  2 

P

B

Q A

O

∠1＝180°－53°＝127°

C

A P

O AB 的度數＝1

8 ．360°＝45°

∴∠AOB＝45°

∠APB＝∠AQB＝22.5°

∠1＝112° ∠1＝180°－53°＝127°

C

A O B D E P

5如右圖，AC 為圓 O 的一弦，AB 切圓 O 於 A 點，已知∠CAB＝38°， 試求∠COA、∠CDA。

4 如右圖，圓內接四邊形 ABCD 為平行四邊形，試求∠A。

A D

C B

C

B D

A O

∵ABCD 為平行四邊形

∴∠A＝∠C，∠B＝∠D 又 ABCD 為圓內接四邊形

∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°

故∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

∵ AB 切圓 O 於 A 點，∠CAB＝38°

∴∠CDA＝∠CAB＝38°

∠COA＝2∠CAB＝2．38°＝76°

6如右圖，圓內兩弦 AB、CD 交於 E 點，若∠BAC＝50°，∠ABD＝60°，

試求∠1、∠2及∠3。

C B

D A

1 E

2 3

Q C P

B A

7如右圖，PQ 和圓切於 C 點，PA 交圓於 A、B 兩點。若 AC＝160°，

BC＝80°，試求∠ACQ、∠A 和∠P 。

∠2＝∠CAB＝50°

∠1＝∠ABD＝60°

又 AD＝2∠ABD＝120°，BC＝2∠CAB＝100°

∴AC＋BD＝360°－AD－BC＝140°

故∠3＝ 1

2（AC＋BD）＝ 1

2．140°＝70°

∠ACQ＝1

2 AC＝80°

∠A＝1

2 BC＝40°

∠P＝1

2 （AC－BC）＝40°

公切線

日常生活中存在著一些公切線的例子，例如：圖 2-55 中腳踏車的鏈 條，連接兩個圓形的齒輪，這條鏈條在兩個切點之間的那一段就是兩圓的 外公切線，而這兩個齒輪滾動的方向是一致的。又如圖 2-56 中，滑輪和皮 帶的組合，可以把動力從引擎傳到機器上，而這條皮帶在兩個切點之間的 那一段是兩滑輪的內公切線，此時兩個輪子滾動的方向則相反。

此外，在運送下半部為圓柱體的醬油瓶時，常將醬油瓶緊密的綁在一 起，如圖 2-57 所示，藍色線段即為公切線。

數學萬花筒

×÷

－

圖 2-55

圖 2-56

圖 2-57