以國中幾何角度看圓錐曲線

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以國中幾何角度看圓錐曲線

廖偉恩

國立台中第一高級中學

Abstract

In this project, we study the conic section by the method of elementary geometry.

Surprisingly we finally achieve alternative proofs of the famous Brianchon’s theorem and Pascal’s theorem in projective geometry.

摘

摘摘要要要: 本文以國中所學的幾何角度來探討圓錐曲線的性質. 出乎原本預期的, 我們成功重新證明出了攝影幾何中著名的 Brianchon 定理和 Pascal 定理.

1 研研研究究究動動動機機機

高二的課程中, 由一個單元在探討圓錐曲線. 然而和國中所學的幾何不太一樣, 高中的圓錐曲線完全是放在座標平面上, 以解析方法去研究. 所以我們以不同的觀點, 利用國中所學的幾何知識, 去推導圓錐曲線的各樣性質.

2 研研研究究究目目目的的的

對圓錐曲線的各種性質, 給出一般的幾何證明. 最終目標是以純幾何證明出 Brianchon 定理和 Pascal 定理 (不用投影, 射影幾何, 解析方法).

3 研研研究究究過過過程程程

先定義橢圓, 拋物線, 雙曲線. 橢圓, 拋物線. 雙曲線的定義有很多種, 這裡採用的定義如下:

1. 橢圓: 平面上到兩定點距離合為定值的點集合.

2. 拋物線: 平面上到一定點與一線距離相等的點集合.

3. 雙曲線: 平面上到兩定點距離差為定值的點集合.

4. 圓錐曲線的切線定義採用阿波羅尼斯的定義: 與圓錐曲線交於一點且全在圓錐曲線外的直線.

(2)

由於拋物線 (一焦點在無限遠處的橢圓), 雙曲線 (一焦點到無窮遠, 最後從另一邊繞回來的橢圓) 的情形皆和橢圓類似, 這裡的圓錐曲線以橢圓作代表來說明研究過程.

首先討論光學性質: 為何會有光學性質? 如圖 1, F1, F2為兩交點. 過橢圓上一點 A 作切線. 由於切線上任一點 B 都在橢圓的外部 (定義), 因此:

F1A

+

F2A

<

F1B

+

F2B,

故知 A 是切線上到兩點 F1, F2距離和最小的點, 因此滿足光學性質. (若一道光自 F1打到 A, 反射後的光線會過 F2)

圖 1. 光學性質

如圖 2, 我們從極線和反演點的概念出發: 自圓錐曲線外部一個已知點 P 對橢圓作兩條切線, P 的極線即為這兩個切點 P1, P₂所在的直線上. 另外, 極線和連心線 (通過 P 和圓錐曲線中心 O 之直線, 拋物線時 O 在無窮遠, 故連心線視為過 P 且垂直準線的線, 以下皆同) 的交點 P⁰稱為 P 的反演點 (注意: 目前只定義 P 在圓錐曲線外部的情況).

圖 2. 極線與反演點圖 3. 定理 3.1 的證明

首先, 我們有以下定理:

定定定理理理 3.1. 對於圓錐曲線外一點, 反演點平分兩切點所形成的線段.

(3)

證證證明明明. 如圖 3, 假設橢圓的兩個焦點分別為 F1, F2,以 F1為圓心, 長軸為半徑畫一圓. 設 F1P1與 F1P2分別交圓於 C 和 D, 則 C, D 分別為 F2對 PP₁及 PP₂的對稱點 (光學性質), 我們有:

S_4PP₁_F₂

=

S_4PP₁_C, (1) S_4PP₂F₂

=

S_4PP₂D. (2) 另一方面, 考慮

4

PP1F1,

4

PP1O,

4

PP1F2, 由於它們底邊相同, 高成等差數列 (如圖四), 因此

2S_4PP₁O

= (

S_4PP₁F₁

+

S_4PP₁F₂

)

. (3) 同理我們有:

2S_4PP₂O

= (

S_4PP₂F₁

+

S_4PP₂F₂

)

. (4) 結合 (1), (3) 式及 (2), (4) 式, 得

2S_4PP₁O

= (

S_4PP₁F₁

+

S_4PP₁F₂

) = (

S_4PP₁F₁

+

S_4PP₁C

) =

S_4PF₁C, 2S_4PP₂O

= (

S_4PP₂F₁

+

S_4PP₂F₂

) = (

S_4PP₂F₁

+

S_4PP₂D

) =

S_4PF₁D. 又因為

4

PF₁C

∼ = 4

PF₁D (SSS) (如圖 5)

⇒

S_4PF₁_C

=

S_4PF₁_D,

∴

S_4PP₁_O

=

S_4PP₂_O, 即可推出

P₁P⁰

=

P₂P⁰.

圖 4 圖 5

如圖 6, 考慮 OP 與橢圓的一個交點 Q, 過 Q 的切線分別交 PP1於 PP2於 A, B,令 A⁰, B⁰ 為其反演點 (可知 A⁰ 為 AO 與 P1Q 的交點且 B⁰ 為 BO 與 P2Q 的交點). 由定理 3.1 我們可知:

P₁A⁰

=

A⁰Q, (5) P₂B⁰

=

B⁰Q. (6)

(4)

在三角形 PP1Q中考慮截線 AO, 由孟式定理得:

P₁A AP

×

^PO

OQ

×

^QA

0

A⁰P₁

=

1.

配合 (5) 式得:

P₂B BP

=

^OQ

PO. (7)

同理我們也有:

P1A AP

=

^OQ

PO. (8)

由 (7), (8) 我們得知AB

k

P₁P2, 即:

定定定理理理 3.2. P 的極線平行於過 Q 的切線.

圖 6. ABkP₁P₂ 圖 7

另一方面 (如圖七), 由於 AQ

k

P1A⁰⁰, 又 A⁰是線段 P₁Q 的點, 因此 AP1A⁰⁰Q為平行四邊形 (A⁰⁰為 OA⁰與 P1P⁰交點).

OQ

PO

=

^P¹^A

AP

(

由 (8)

)

=

^A

00Q

AP

(∵

AP1A⁰⁰Q為平行四邊形

)

=

^A

00P⁰

AQ

(4

QA⁰⁰P

∼ 4

PAQ

)

=

^OP

0

OQ, 交叉相乘即得:

定定定理理理 3.3. OQ²

=

OP⁰

×

OP.

現在我們引進共軛直徑的概念. 由定理二可知, 考慮圓錐曲線內任一條弦 AB, 此弦中點的與圓錐曲線中心的連線交圓錐曲線於 C, 則弦 AB 必平行於過 C 之切線. 亦即:

(5)

定定定理理理 3.4. 圓錐曲線內所有平行的弦, 其中點都在同一條直線上.

稱此線為這些平行弦的共軛直徑. (如圖 8)

圖 8. 共軛直徑

再配合定理 3.3, 我們可以定義反演點與極線, 當給定點在圓錐曲線內的情況: 給定圓錐曲線內一點 P, 其反演點 P⁰ 為

−→

OP上滿足 OP

×

OP⁰

=

OQ²的點 (其中 Q 為直線 OP 與橢圓的交點, 若為拋物線則為 PQ

=

QP⁰). 而極線即為過反演點 P⁰且平行於 OP 共軛直徑的直線. 可知, 若 P 的反演點為 P⁰,則 P⁰的反演點為亦為 P. 特別的, 當 P 在圓錐曲線周上時, P 的反演點就是自己, 極線就是過 P 的切線.

定定定理理理 3.5. 若 P 的極線過 Q, 則 Q 的極線也過 P.

在證明定理 3.5 之前, 先證明一個引理 (如圖 9):

引引引理理理. 若圓錐曲線與三角形的三邊都相切, 則分別將三個頂點與其對應邊上的切點相連, 此三線共點.

圖 9. AD, BE, CF 共點圖 10. 引理的證明

引理的證明 (如圖 10): D, E, F 分別為 BC, CD, AB 上的切點. 由於 OA 過 FE 之中點, 因此:

S_AOF

=

S_AOE.

(6)

同理我們也有:

S_BOD

=

S_BOF, S_COE

=

S_COD. 考慮西瓦定理:

AF FB

×

^BD

DC

×

^CE

EA

=

^S^AOF

S_BOF

×

^S^BOD

S_COD

×

^S^COE S_AOE

=

1, 故 AD, BE, CF三線共點, 引理得證.

圖 11. E, F, P 三點共線

回到定理 3.5 (如圖 11), Q 為 P 的極線 P1P2上一點, Q 的兩條切線交 PP1於A, B,交 PP₂於 C, D. 考慮三角形 AP2B與三角形 DP1C, 因為 AD, P2P₁, BC交於一點 (Q), 由笛沙格定理得: E, F, P 三點共線.

又由引理知: PF 過 AD 上的切點, PE 過 BC 上的切點. 因此知道 EF 就是 Q 的極線, 所以 Q 的極線過 P, 定理 3.5 得證. (事實上, 上述只證了 Q 在圓錐曲線外部之情況, 再配和笛沙格定理可知 Q 在圓錐曲線內部也成立)

由於 AP₁P₂DPQ 構成完全四邊形, 立即可得: QGP1P₂成調和四元組, 因此我們得到:

定定定理理理 3.6. 過一點 P 作一直線與圓錐曲線交於 A, B, AB 和 P 的極線相交於 Q, 則 P, Q 調 和分割 A, B.

(7)

圖 12. QGP1P₂成調和四元組

圖 13. 定理 3.6

利用定理 3.6, 我們可以證明定理 3.7:

定定定理理理 3.7. 過圓錐曲線外一點 P 作兩直線與圓錐曲線分別交於 A, B 和 C, D, AC 和 BD 交 於 S, AC 和 BD 交於 R, 則 RS 為 P 的極線 (如圖 13).

證證證明明明. 考慮完全四邊形 ABCDPS, 我們有:

PEAB為調和四元組, PFDC為調和四元組.

由定理六知 E, F 皆在 P 的極線上, 故 RS 為 P 的極線.

(8)

圖 14. 定理 3.7

定理 3.7 直接給出了高斯作切線的方法的證明了: 如何只用直尺作出圓錐曲線外一點對圓錐曲線的切線?

另外一方面, 配合定理五及定理七, 我們還有以下結論:

定定定理理理 3.8. 若一個圓錐曲線與四邊形 ABCD 四邊都相切, 切點分別為 E, F, G, H, 則 AC, BD, EG, HF 四線共點.

圖 15. 定理 3.8

證證證明明明. (如圖 15) 設 I 為 EG 和 FH 的交點. 延長 EH, FG 交於 J, 由定理七得知 I 在 J 的極線上. 又由於 A 的極線 EH 和 C 的極線 FG 皆過 J, 由定理五知 AC 為 J 的極線, 故 I 在直線 AC上. 同理可得 I 在直線 BD 上, 故定理 3.8 得證.

由定理 3.8, 我們就可以證明著名的 Brianchon 定理了!

定定定理理理 3.9. Brianchon 定理: 圓錐曲線外切六邊形三條對角線必共點.

證證證明明明. (如圖 16) 設六個頂點分別為 A1, A2, A3, A₄, A5, A6,六個切點分別為 B1, B2, B3, B4, B5, B6. 由定理 3.8 知道 B2B3, B1B4, A2A4共點 (令為 P). 考慮

4

A2B2C和

4

A4B3D, 由笛沙格定理的 A, Q, E 共線, 及 Brianchon 定理得證.

(9)

圖 16. Brianchon 定理

再由 Brianchon 定理來導 Pascal 定理: 對六邊形 B1B2B3B4B5B6來說, 三組對邊的交點 P₁, P₂, P₃分別為 A1A₂A₃A₄A₅A₆三條對角線的極點. 舉例來說, P1為 B2B₃和 B5B₆的交點, 因 A₃的極線 B₂B3過 P₁, A6的極線 B₅B6也過 P1, 所以 A3A6為 P1的極線. Brianchon 定理說 A3A₆, A1A₄, A2A₅共點 (Q), 所以 P1, P2, P3共線 (Q 的極線).

定定定理理理 3.10. Pascal 定理: (圓錐曲線) 內接六邊形中, 三條對邊的交點共線.

因此我們成功的以國中幾何的方法證明出了 Brianchon 定理和 Pascal 定理! (用到的迪沙格定理可用孟氏定理證明. )

4 未未未來來來展展展望望望

此處證明了射影幾何中重要的 Brianchon 定理和 Pascal 定理, 我想繼續探討是否亦可以用國中幾何的方法來證明彭賽列閉合原理. 在三天的競賽過程中, 對彭賽列閉合原理的證明有了一些進展, 我們已經可以證明出最基本的三角形情況!而多邊形情形還有待探討.

對彭賽列閉合原理三角形的情況：如圖 17. 設 A, B, C 皆在圓錐曲線 c1上, 且其三邊分別與圓錐曲線 c2相切. 對於圓錐曲線 x1上另外三點 D, E, F, DE, EF 與圓錐曲線 c2相切, 我們要證明 DF 也與圓錐曲線 c2相切.

首先由帕斯卡定理得 J2, J3, J5共線. 接著, 由帕普斯定理得 J2, J₄, J5共線. 再一次帕普斯定理得 J2, J4, J1共線. 合併上三式得 J2, J3, J1共線. 最後, 對六邊形I1I2J3I4I3I2, 因布里昂雄定理, DF 也與圓錐曲線 c2相切. 這就證明了彭賽列閉合原理三角形的情況. 期待多邊形的情況也可用類似解法做出來.

(10)

圖 17. 彭賽列閉合原理

參參參考考考文文文獻獻獻

[1] 黃家禮;

hh

_幾何明珠

ii

, 2000 年, pp. 224-236.

[2] 海因里希-德里;

hh

_{100個初等數學問題}

ii

, 1999 年.

以國中幾何角度看圓錐曲線