如何計算圓錐曲線的切線

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如何計算圓錐曲線的切線

羅驥韡

計算圓錐曲線的切線方程式, 一直是個難題, 尤其是對一般高中生的程度來說, 更何況針對不同的圓錐曲線 (橢圓、拋物線、雙曲線等) 而言, 又有不同的切線公式, 感覺上既不統一又難以記憶, 所以我在這裡要介紹一種算法, 一種統一的算法, 讓你不管面對何種圓錐曲線, 都可以直接應用的公式。

圓錐曲線方程式

在座標平面上, 我們知道, 不管是哪一種圓錐曲線, 都可以表示為以下的形式:

ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 例如:

(1) 橢圓: x² 4 +y²

1 = 1, 我們可以寫成: x²+ 4y²− 4 = 0。

(2) 拋物線: y² = 4(x − 1), 我們可以寫成: y²− 4x + 4 = 0。

(3) 雙曲線: x² 1 − y²

3 = 1, 我們可以寫成: 3x²− y²− 3 = 0。

當然上面所舉的例子都是所謂的「標準式」, 也就是這些圓錐曲線在座標平面上的位置都是經過特別安排的, 所以方程式會看起來特別漂亮簡潔。

一般說來, 如果圓錐曲線沒有在「標準位置」的話, 那麼它的方程式就會看起來有點複雜, 例如:

x²− 2xy + 3y²− 5x − 2y + 1 = 0, 它的圖形會像右圖一樣。

如何判斷一條通過特定兩點的線是不是切線呢 ?

例題1: 我在上面的圓錐曲線中, 再加入兩個點 A(3, 6) 與 B(10, 3), 那麼連接這兩點的直線到底是不是切線呢?

27

(2)

解答: 要回答這樣的問題, 我們可以利用直線的參數式來測試看看, 到底這個直線與圓錐曲線有幾個交點, 以下我們就來計算看看:

首先, 通過 AB 兩點的直線參數式為:

(x = 3 + 7t y = 6 − 3t

我們將這組點座標代入圓錐曲線方程式 x²− 2xy + 3y²− 5x − 2y + 1 = 0, 得到:

(3 + 7t)²− 2(3 + 7t)(6 − 3t)²− 5(3 + 7t) − 2(6 − 3t) + 1 = 0 化簡得:

118t²− 161t + 55 = 0 計算它的判別式可以得到:

(161)²− 4(118)(55) = −33 < 0

所以由判別式小於零, 我們可以知道上述的直線與圓錐曲線沒有任何交點(雖然圖形上看起來「好像」切到, 但事實上, 精確的計算告訴我們並沒有)。

一般說來, 要判斷一條通過特定兩點的線是不是切線, 都可以利用上述的方法來達成。既然這個方法這麼好用, 那麼我們何不利用這樣的思考模式, 發展出一些好用的公式或判斷的法則呢? 沒錯! 這正是我們這篇文章的目的, 所以我們就繼續往下探索看看吧!

探索切線的公式或準則

假設直線通過 A(x1, y¹)、 B(x², y²) 兩點, 圓錐曲線為 ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0, 那麼我們利用上述同樣的方法來計算看看, 直線參數式與圓錐曲線之間, 有沒有任何交點。

首先, 直線參數式為:

(x = x¹+ (x²− x¹)t y = y¹+ (y²− y¹)t

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然後, 我們將這組座標代入圓錐曲線方程式, 得到:

a[x¹+ (x²− x¹)t]²+ b[x¹+ (x²− x¹)t][y¹+ (y²− y¹)t] + c[y¹+ (y²− y¹)t]² +d[x¹+ (x²− x¹)t] + e[y¹+ (y²− y¹)t] + f = 0

如果我們將上面的計算式整理成 t 的二次式, 會得到:

[a(x²− x¹)²+ b(x² − x¹)(y²− y¹) + c(y²− y¹)²] · t²

+[2ax¹(x²−x¹)t]+bx¹(y²−y¹)+by¹(x²−x¹)+2cy¹(y²−y¹)+d(x²−x¹)+e(y²−y¹)] · t +[ax²1 + bx¹y¹+ cy1²+ dx¹+ ey¹+ f ] = 0

當然, 如果我們要計算這個二次式到底有沒有解, 還要計算它的判別式, 這時你或許會想: 天啊!

它的係數已經如此複雜了, 我們竟然還想去計算它的判別式? 就算我們真的花了九牛二虎之力把它算出來了, 難道我們還會想去記憶它或應用它嗎? 的確, 我們是遇上了瓶頸, 我們遇到變數符號太多太長、複雜難以處理的窘境。然而, 正是因為面對這樣的窘境, 才讓數學家了解到: 必須開發新的符號與新的運算規則, 讓我們可以繞過複雜計算的深淵, 繼續邁向推理解題的大道。

以下我們就來介紹這個新的利器。

開發新的運算符號

首先, 我們先來介紹一種「表格式乘積加總法」:

在左邊的表格中, 2 所在的那一橫列與 3 所在的那一直行, 對到了數字 5, 這時我們規定: 2 、 3 、 5要乘起來, 也就是會得到 2 × 3 × 5 = 30

我們在左表中, 又多放了一些數字上去, 現在我們要計算 2 ×3×5 和 1 × 4 × 6, 並把它們加總起來, 所以其實我們要計算的是:

2 × 3 × 5 + 1 × 4 × 6 = 30 + 24

0 0 0 0 24 24 -8 30 0 在這個例子中, 我們填上所有的數字, 並利用上

面說明的方式將所有的乘積全部加起來。首先, 我們先將左側的數字 0, 1, 2 和上側的數字 1, 3, 4 乘到格子裡, 可以得到右表中的數字:

(4)

最後, 我們只要將表格中所有的數字加起來, 那麼所得到的數字就是我們想要計算的總和, 也就是: 24 + 24 − 8 + 30 = 70

這就是我們所說的「表格式乘積加總法」。

當然, 如果你學過「矩陣」乘法, 你會知道我們這裡所謂的「表格式乘積加總法」, 其實可以用矩陣來表示。例如: 上面所舉的最後一個例子, 可以利用矩陣乘法:

[0 1 2]







−1 − 2 7

0 8 6

−4 5 0











 1 3 4







來表示。

不過, 如果你沒學過矩陣, 那也沒關係, 請繼續看我們以下的討論就可以了。

我們這裡為什麼要介紹這樣「怪異的加總法」呢? 主要是因為這種加總法剛好跟圓錐曲線的方程式有某種巧妙的連結。請看以下的例子:

在左表中, 如果我們運用「表格式乘積加總法」, 那麼我們會得到:

−x²− 2xy + 8y²+ 3x + 11y + 0 請讀者注意看: 這剛好是圓錐曲線方程式

ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0

等號左邊的形式, 這也正是為什麼我們要介紹這種加總法的原因。

如果我們在表格中設定了像左表一樣的數字 (請注意裡面的 b 2、 d

2、 e

2 ), 那麼我們就會得到與圓錐曲線一般式 (等號左邊)一模一樣的形式:

ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f

最後, 為了靈活運用這樣的計算法, 我們把最通用的形式寫出來, 並且徹底研究這種運算法的規則, 才能順利地用於後面的解題推理中。但是, 我們總不能每次都用畫表格的方式來表現, 所以在這裡我們假設:

M =







a b c d e f g h i







P = (x¹, y¹, z¹) Q = (x², y², z²)

並且, 我們規定新的符號:

[P, Q]^M

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就代表左表所表示的「表格式乘積總和」, 也就是:

[P, Q]^M = ax¹x²+ bx¹y²+ cx¹z² +dy¹x² + ey¹y²+ f y¹z² +gz¹x²+ hz¹y²+ iz¹z²

新符號的定義

[P, Q]^M =

x2 y2 z2

x¹ a b c y¹ d e f z¹ g h i

= ax¹x²+ bx¹y²+ cx¹z² +dy1x2 + ey1y2+ f y1z2

+gz¹x²+ hz¹y²+ iz¹z²

究竟這樣的新符號有什麼漂亮的運算規則呢? 請看以下的說明:

新符號的運算性質

假設我們除了上述的新符號之外, 我們也引用一般的「向量加法」與「純量積」的運算概念, 也就是下列的運算規則:

(1) 若 P = (x¹, y¹, z¹), Q = (x², y², z²), 則 P + Q 代表 (x¹+ x², y¹+ y², z¹+ z²) (2) 若 P = (x, y, z), t 為實數, 則 tP 代表 (tx, ty, tz)。

那麼, 我們所使用的新符號就會有以下的運算規則:

假設 P = (x¹, y¹, z¹)、 Q = (x², y², z²)、 R = (x³, y³, z³), t 為實數, 則有 (1) 加法分配律:

[P + Q, R]^M = [P, R]^M + [Q, R]^M 或 [P, Q + R]^M = [P, Q]^M + [P, R]^M (2) 純量積:

[tP, Q]^M = t[P, Q]^M = [P, tQ]^M

(6)

一般而言, 「交換律」並不成立, 也就是 [P, Q]^M = [Q, P ]^M 通常是錯的, 但如果 M 是

「對稱」的, 那麼交換律也會是正確的。但我們說 M 是「對稱」的, 指的是什麼意思呢? 在這裡我舉個例子:

左表中, 數字 1、 4、 7 所在的位置, 我們術語上稱為矩陣的「主對角線」, 在這主對角線的兩側的「格子對」 (如圖中紅色的箭頭所指的三對格子) , 如果都各自相同, 那麼我們就說: 這個矩陣是「對稱」的。

左表中, 如果我們假設:

M =







a b/2 d/2 b/2 c e/2 d/2 e/2 f







P = (x, y, 1)

那麼, 圓錐曲線的方程式

ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 就可以寫成:

[P, P ]^M = 0

這裡的 M 就是一個典型的「對稱矩陣」。從現在開始, 我們將這個矩陣稱為圓錐曲線的「係數矩陣」。

因此, 如果 M 是「對稱」的, 那麼我們的新符號就擁有了「交換律」:

(1) [P, Q]^M = [Q, P ]^M

以上所說的運算性質, 會在下面的討論中一直出現, 但我們將這些性質的證明放到本文最後的附錄中, 因為雖然這些證明很重要, 但並不是我們要討論的重點, 所以介紹完新的符號後, 我們趕快回到原來的問題上吧!

我們原來的問題是: 如果直線通過 A = (x1, y¹)、 B = (x², y²) 兩點, 那麼它與圓錐曲線:

ax²+ bxy^cy²+ dx + ey + f = 0 到底會不會相交? 在什麼條件下, 它才會變成切線?

豁然開朗的切線準則

我們前面有提到, 如果點 (x, y) 在圓錐曲線 ax²+bxy+cy²+dx+ey+f = 0 上面, 那麼這個點座標代入方程式當然會等於零, 如果我們用「表格式乘積加總法」來表示的話, 那會得到:

(7)

= 0

所以, 如果 A 的座標為 (x, y), 那麼我們希望用 A 來代表 (x, y, 1), 這樣的話, 我們就可以用更簡短的方式來表示一個點是否在圓錐曲線上了, 也就是:

A(x, y) 在 ax² + bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 上可以寫成:

= [A, A]^M = 0, 其中 M =







a b/2 d/2 b/2 c e/2 d/2 e/2 f







(1) 我們就不妨把 A(x, y, 1) 稱為是 A(x, y) 的「擴充座標」吧! (註: 比較正式的說法是「齊次座標」)

所以假設我們說 B 點的座標為 (4, 5), 那麼 B 就表示是 (4, 5, 1), 其餘請以此類推。好! 我們已經做完所有的準備工作了, 現在讓我們正式開始繼續切線的推理工作吧!

. . . . 通過 A = (x1, y¹)、 B = (x², y²) 兩點的直線參數式為:

(x = x¹+ (x²− x¹)t = (1 − t)x¹+ tx² y = y¹+ (y²− y¹)t = (1 − t)y¹+ ty² 我們也可以寫成這樣:

"

x y

#

= (1 − t)

"

x¹ y¹

# + t

"

x² y²

#

如果我們把 (x, y) 稱為 P , 那麼會有:

P = (1 − t)A + tB

事實上, 對於「擴充座標」 P (x, y, 1) 來說, 下面的式子也是對的:

P = (1 − t)A + tB

(8)

也就是: 



 x y 1





= (1 − t)





 x¹ y¹ 1





 + t





 x² y² 1





 是對的 (請讀者自行檢驗) 。

現在, 如果我們要檢查 AB 直線上的動點 P 是不是在圓錐曲線上, 我們只要檢查:

[P , P ]^M = 0 對不對就好。

但因為:

P = (1 − t)A + tB 所以, 我們要檢查:

[(1 − t)A + tB, (1 − t)A + tB]^M = 0 有沒有解?

接著我們整理 (利用新符號的運算性質) : [(1 − t)A + tB, (1 − t)A + tB]^M

= (1 − t)²[A, A]^M + 2t(1 − t)[A, B]^M + t²[B, B]^M

=

[A, A]^M − 2[A, B]^M + [B, B]^M

· t²+

− 2[A, A]^M + 2[A, B]^M

· t +

[A, A]^M 之前, 我們對這個 t 的二次式有沒有解束手無策, 現在有了新的符號幫忙下, 如虎添翼, 我們不僅用新符號重新算出這個二次式, 這一次我們更要計算出它的判別式, 請繼續看下面判別式的計算:

− 2[A, A]^M + 2[A, B]^M²

− 4

[A, A]^M − 2[A, B]^M + [B, B]^M

[A, A]^M

= 4

[A, B]²M − [A, A]^M[B, B]^M

從上式, 我們得到一個非常重要的結果, 也是本文最主要的結果, 當:

[A, B]²M − [A, A]^M[B, B]^M = 0 時

判別式為零, 此時意味著: 直線AB 與圓錐曲線的交點只有一個, 這個交點就是切點, 此直線就是切線。因為這個「切線準則」太重要了, 所以我們重新再敘述一遍:

(9)

切線準則

若通過 A(x¹, y¹) 與 B(x², y²) 的直線為圓錐曲線 ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 的切線, 則

「擴充座標」 A(x¹, y¹, 1) 、 B(x², y², 1) 會擁有以下的切線準則:

(1) [A, B]²M − [A, A]^M[B, B]^M = 0.

之前我們完全無法處理的判別式, 現在竟然化為如此簡短的數學式, 可見新符號的威力真是驚人!

切線準則的應用

現在讓我們舉幾個例子來看看如何使用這個超強的「切線準則」。

例題2: A(3, −2) 在雙曲線 x²− y²+ x − 2y − 12 = 0 上。請問經過 A 點的切線方程式是什麼?

解答: 假設 P (x, y)為切線上的一點, 那麼通過 A 與 P 的直線, 事實上就是切線本身, 既然如此, 那麼 A 與 P 就會符合「切線準則」:

[A, P]²M − [A, A]^M[P, P]^M = 0 但因為 A 本身在雙曲線上, 所以: [A, A]M = 0 因此, 我們可以得到: [A, P]M = 0

也就是:

經整理可得: ⁷₂x + y −¹⁷² = 0

或者你也可以寫成 7x + 2y = 17, 這就是經過 A 點的切線方程式。

. . . .

(10)

經過上面這個例題的探討, 我們發現一個漂亮的現象, 那就是:

過切點的切線方程式

若 A(x0, y0) 在圓錐曲線 ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 上, 則通過 A 點的切線方程式為:

[A, X]^M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 也就是切線方程式為:

現在, 我們將這個公式應用到所有圓錐曲線的標準式上, 你會發現: 所有我們熟知的標準式切線公式 (如果你曾經記憶過的話) , 會一一出現。請看:

²

y = 1

雖然上面我們列出了所有的標準式的切線公式, 但我們這樣做只是為了要向你說明: 我們的「切線準則」是通用的, 你可以用於任一類型的圓錐曲線, 而不是要你去背誦上面這些看起來都不太一樣的切線公式。

. . . . 上面我們一直把重心擺在解決如何計算圓錐曲線上一點的切線, 但是如果要計算通過圓錐曲線外一點的切線時, 那麼又該如何呢? 請看下面的例子:

例題3: 請計算通過 A(1, 1), 並與橢圓 x²+ 2y² = 1 相切的切線方程式。

注意: A 點在橢圓外! 所以會有兩條切線。

解答: 假設 P(x, y) 為切線上的一點, 那麼根據

「切線準則」, 我們可以得到:

[A, P]²M − [A, A]^M[P, P]^M = 0. 其中:

[A, P]^M =

x y 1 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 −1

= x + 2y − 1

[A, A]^M = 1²+ 2 × 1²− 1 = 2 註 : 就是將 A(1, 1) 直接代入 x²+ 2y²− 1 [P, P]^M = x² + 2y²− 1 註 : 就是將 P(x, y) 直接代入 x²+ 2y²− 1

因此,

(x + 2y − 1)²− 2(x²+ 2y²− 1) = 0

(12)

整理可得:

x²− 4xy + 2x + 4y − 3 = 0

最後我們作因式分解(我們知道答案是兩條直線, 所以應該可以分解成兩條直線方程式) : (−4x + 4)y + (x²+ 2x − 3) = 0

−4(x − 1)y + (x − 1)(x + 2) = 0 (x − 1)(−4y + x − 2) = 0

因此:

x − 1 = 0 或 x − 4y + 3 = 0

最後這兩個方程式都是直線方程式, 而且也是 P(x, y) 必須符合的條件, 所以這兩條直線就是切線!

例題 4: 請計算通過 A(2, −3), 並與拋物線 x² = 4y 相切的切線方程式。注意: A 點在拋物線外! 所以會有兩條切線。

解答: 假設 P(x, y) 為切線上的一點, 那麼根據「切線準則」, 我們可以得到: [A, P]²M − [A, A]^M[P, P]^M = 0

其中:

[A, P]^M =

x y 1 2 1 0 0

−3 0 0 −2 1 0 −2 0

= 2x − 2y + 6

[A, A]^M = 2²− 4(−3) = 16 [P, P]^M = x²− 4y

因此,

(2x − 2y + 6)²− 16(x²− 4y) = 0 整理可得:

3x²+ 2xy − y²− 6x − 10y − 9 = 0 最後我們作因式分解:

3x²+ (2y − 6)x − (y²+ 10y + 9) = 0 3x²+ (2y − 6)x − (y − 1)(y + 9) = 0 [x + (y + 1)][3x − (y + 9)] = 0

(13)

因此:

x + y + 1 = 0 或 3x − y − 9 = 0 最後這兩個直線方程式, 就是切線!

. . . . 一般說來, 如果一個點在圓錐曲線之外, 那麼它會擁有兩條切線, 但還有另外一條線跟這個點也有密切的關係, 這條線叫做「極線」, 請看以下的探討:

極線的探討

例題5: 已知 A(3, 2) 在橢圓 x²+ 2y²− 4y = 4 的外面, 且通過 A 點的切線 (有兩條) 與橢圓分別交於 C、 D 兩點, 請計算出 CD 直線的方程式。

解答: 因為 AC 直線與 AD 直線都是切線, 所以由「切線準則」知:

[A, C]²M − [A, A]^M[C, C]^M = 0 [A, D]²M − [A, A]^M[D, D]^M = 0 但因為 C、 D 都在橢圓上, 所以:

[C, C]^M = 0 [D, D]^M = 0 因此我們可以知道:

[A, C]^M = 0 [A, D]^M = 0

雖然目前我們還不知道 C、 D 的點座標, 但由這兩個方程式, 我們知道 C、 D 同時符合下面這個方程式:

[A, X]^M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 然而這個方程式本身就是一個直線方程式, 請看:

[A, X]^M =

x y 1 3 1 0 0 2 0 2 −2 1 0 −2 −4

= 3x + 2y − 8

(14)

所以, 既然 C、 D 同時符合這個方程式, 那麼 CD 直線方程式當然就是: 3x + 2y = 8 . . . . 經由上面這個例題的探討, 我們得到一條特殊的直線, 這條直線我們稱為「極線」, 這是一條通過兩切點的直線。我們將這個重要的結果整理如下:

極線公式

若 A(x0, y⁰) 在圓錐曲線 as²+ bxy + cy + dx + ey + f = 0 外面, 通過 A 點的兩條切線交圓錐曲線於 C、 D 兩點, 則我們稱 CD 直線為 A 點的「極線」, 且其方程式為:

[A, X]^M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 也就是極線方程式為:

此時, 我們也稱 A 點為 CD 直線的「極點」。

如果你還記得前面的「過切點的切線方程式」公式的話, 你會發現: 這兩個公式不是一模一樣嗎? 是的, 的確沒錯! 是一模一樣。當 A 點在圓錐曲線外時, 這個公式會產生「極線」, 但當 A 點到達圓錐曲線上時, 它就會變成「切線」!

其實, 透過上面的極線公式, 我們可以得到一種特殊的對應關係, 也就是一個「極點」對應到一條「極線」, 更特殊的是: 一個「切點」對應到一條「切線」, 這種對應關係非常有意思, 所以我們打算繼續往下探討, 但是因為以下的探討需要用到「矩陣」與「齊次座標」的觀念, 因此如果你沒有學過這些觀念, 那麼也許你只能先跳過下面這一段!

以下的討論, 僅提供給學過「矩陣」與「齊次座標」的讀者!

極點與極線、切點與切線的探索

在更深入討論之前, 我們先利用「矩陣」與「齊次座標」的語言, 再將前面的結果重新敘述一遍:

(15)

假設:

A=





 x⁰ y0

z⁰







為座標平面上定點A 的齊次座標

M=







a b/2 d/2 b/2 c e/2 d/2 e/2 f







為圓錐曲線的係數矩陣

X=





 x y z







為座標平面上動點X 的齊次座標

由前面的討論, 我們有下面的結果:

(1) 若 A 在圓錐曲線上, 則 A^TMA= 0。

(2) 若 A 為極點, 則 A^TMX = 0 為極線方程式, 我們也可以說 A^TM 為極線的齊次座標。

(3) 若 A 為切點, 則 A^TMX = 0 為切線方程式, 我們也可以說 A^TM 為切線的齊次座標。

若我們假設 u = A^TM 是一條極線 (或切線) 的齊次座標, 則我們可以推論:

u = A^TM ⇒ uM⁻¹ = A^T

⇒ A = (uM⁻¹)^Tu^T = M⁻¹u^T 所以我們有以下結果:

(1) 若 u 為極線 (切線)齊次座標, 則 M⁻¹u^T 為極點 (切點)齊次座標。

如果 u 是切線齊次座標的話, 那麼 M⁻¹u^T 就是切點, 也就是說 M⁻¹u^T 在圓錐曲線上, 因此我們可以推得: (M⁻¹u^T)^TM(M⁻¹u^T) = 0

也就是: uM⁻¹u^T = 0

所以我們又有了一個很特殊的結果:

切線齊次座標方程式

如果 u 是切線齊次座標的話, 那麼 u 符合方程式: uM⁻¹u^T = 0

(16)

這個「切線齊次座標方程式」有很漂亮的應用, 但在應用它之前, 我想先說說 M 與 M⁻¹。

M=







a b/2 d/2 b/2 c e/2 d/2 e/2 f







可以說是圓錐曲線的「齊次座標」, 怎麼說呢? 且讓我來舉的例子:

比方說, 如果我們把橢圓方程式 x²+2y²−4y = 4 乘以 3 倍, 會得到 3x²+ 6y²−12y = 12, 但它還是同一個橢圓方程式啊! 也就是說: 兩個「係數矩陣」







1 0 0 0 2 − 2 0 − 2 − 4





 與







3 0 0 0 6 − 6 0 − 6 − 12







, 它們的作用其實是一模一樣的!

所以, 如果兩個「係數矩陣」只差一個 (非零的) 倍數, 那麼它就會代表同一個圓錐曲線, 這也就是為什麼我們說 M 算是圓錐曲線的「齊次座標」了!

因此, 雖然「切線齊次座標方程式」寫成 uM⁻¹u^T = 0, 但因為 M⁻¹ 與 adj(M) 只差一個倍數, 所以我們在真正計算的時候, 其實直接利用 adj(M) 就可以了。

註: adj(M) 是 M 的「古典伴隨矩陣」(classical adjoint)。也就是:

若 M =





 a b c d e f g h i







, 則 adj(M) =





 +

e f h i

−

d f g i

+

d e g h

−

b c h i

+

a c g i

−

a b g h +

b c e f

−

a c d f

+

a b d e







T

下面我們就來看看如何應用這個「切線齊次座標方程式」!

切線齊次座標方程式的應用

例題6: 請計算出橢圓 x²+ 2y²− 4y = 4 上斜率為 2 的切線 (有兩條) 。

解答: 因為切線斜率為 2, 我們可以將切線設為: 2x − y + k = 0, 也就是我們可以將切線的「齊次座標」 (也就是它的係數) 設為:

u= [2 − 1 k]

(17)

再來, 經由橢圓的「係數矩陣」:

M=







1 0 0 0 2 − 2 0 − 2 − 4





 我們可以計算出:

M⁻¹ ≡ adj(M) =







−12 0 0 0 4 2 0 2 2







因為 u 為切線的「齊次座標」, 所以符合: uM⁻¹u^T = 0, 因此我們可以得到:

整理得:

k²− 2k − 26 = 0 k = 1 ± 3√

3 因此我們所求的切線為:

2x − y + 1 ± 3√ 3 = 0

. . . . 從上面這個例子可以看到, 利用 M⁻¹ (或者 adj(M)), 我們可以計算出已知斜率的切線方程式。所以讓我們再看另一個例子來說明如何計算圓錐曲線標準式的切線。

例題7: 已知橢圓 x² a² + y²

b² = 1 的切線斜率為 m, 請計算其方程式。

解答: 橢圓標準式的「係數矩陣」為:

M=







1/a² 0 0 0 1/b² 0 0 0 − 1







(18)

所以:

M⁻¹ ≡ adj(M) =







−1/b² 0 0 0 −1/a² 0 0 0 1/a²b²







假設切線方程式為: mx − y + k = 0, 也就是假設 u = [m − 1 k], 因此根據:

uM⁻¹u^T = 0 我們有:

−m² b² − 1

a² + k² a²b² = 0 所以推得:

k² = a²m²+ b² k = ±√

a²m²+ b²

因此, 我們可以推得已知斜率的橢圓切線公式: y = mx ±√

a²m²+ b²

. . . . 經由上面這個例子的啟發, 我們可以看得出來, 其實每個「標準式」的切線都可以利用相同的方法計算出來。下面我們就列出所有圓錐曲線 (橢圓、雙曲線、拋物線) 標準式的切線公式 (如果斜率是已知的話) , 但詳細的計算過程, 請讀者自行驗證。

已知斜率的切線公式

類型標準式 ^M 計算^uM⁻¹^u^T= 0 所得切線方程式

橢圓或雙曲線

x² A +y²

B = 1 y= mx ±√

Am²+ B

拋物線

(上下型) x²= 4cy y= mx − cm²

拋物線

(左右型) y²= 4cx y= mx + c

m

(19)

當然, 跟前面一樣, 我們列出這個公式表, 並不是要讀者去背誦它, 我們的目的還是在展示最重要的一個觀念: 「切線齊次座標方程式」是通用的, 而且它不是只能用在標準式而已喔!

下面我們再展示一個更神奇的例子給你看。如果我們不知道圓錐曲線本身的方程式, 但知道它的某些切線方程式, 我們甚至可以反推出這個圓錐曲線是誰, 請看!

例題8: 如右下圖, 我們連接 (1, 0), (0, 9)、 (2, 0), (0, 8)、 · · · , (9, 0), (0, 1) 等直線。假設這些直線都是某個圓錐曲線的切線, 請問這個圓錐曲線的方程式是什麼?

解答: 從右圖這些連接線的連接法, 我們可以知道它們的截距式為:

x 1 +y

9 = 1 x

2 +y 8 = 1 ...

x 9 +y

1 = 1 它們可以統一寫成:

x m + y

n = 1, 其中 m + n = 10

換句話說, 我們可以假設這些線的「齊次座標」為:

u= [u v 1], 其中 u = − 1

m, v = −1 n 這樣一來, 因為 m + n = 10, 所以可以推得:

−1 u − 1

v = 10 10uv + u + v = 0

而且如果這些線都是某個圓錐曲線的切線, 那麼它們會符合切線「齊次座標」的方程式:

uM⁻¹u^T = 0 但我們知道: 10uv + u + v = 0, 所以可以推得:

M⁻¹ =







0 5 1/2 5 0 1/2 1/2 1/2 0







(20)

最後我們可以得到:

M ≡ adj(M⁻¹=







−1/4 1/4 5/2 1/4 − 1/4 5/2 5/2 5/2 − 25







≡







1 − 1 − 10

−1 1 − 10

−10 − 10 100







也就是原來的圓錐曲線方程式為:

x²−2xy +y²−20x−20y +100 = 0

進一步的分析讓我們知道它是一個「拋物線」, 如上圖。

. . . .

附錄

(新符號運算性質的證明)

假設 P = (x1, y¹, z¹)、 Q = (x², y², z²)、 R = (x³, y³, z³), t 為實數, 則有 (1) 加法分配律:

[P + Q, R]^M = [P, R]^M + [Q, R]^M 或 [P, Q + R]^M = [P, Q]^M + [P, R]^M (2) 純量積:

[tP, Q]^M = t[P, Q]^M = [P, tQ]^M

證明我們先證明加法分配律。假設:

M =







a b c d e f g h i







(21)

則:

[P + Q, R]^M =

x³ y³ z³ x¹+ x² a b c y¹+ y² d e f z¹+ z² g h i

= a(x¹+ x²)x³+ b(x¹+ x²)y³+ · · · + i(z¹+ z²)z³

= ax¹x³+ bx¹y³+ · · · + iz¹z³ + ax²x³ + bx²y³+ · · · + iz²z³

=

x³ y³ z³ x¹ a b c y¹ d e f z¹ g h i

+

x³ y³ z³ x² a b c y² d e f z² g h i

= [P, R]^M + [Q, R]^M

另一邊的加法分配律請讀者自行驗證。

. . . . 接下來, 我們再證明「純量積」。

[tP, Q]^M =

x² y² z² tx¹ a b c ty¹ d e f tz¹ g h i

= atx¹x²+ btx¹y²+ · · · + itz¹z²

= t(ax¹x²+ bx¹y²+ · · · + iz¹z²)

= t ·







x² y² z² x¹ a b c y¹ d e f z¹ g h i







= t[P, Q]^M

另一邊的純量積也請讀者自行驗證。

. . . .

參考文獻

1. Brannan, D. A., Esplen, M. F. and Gray, J. J., Geometry, Cambridge, p.166-173.

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本文作者任教台北市立陽明高中數學科

如何計算圓錐曲線的切線

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