數學傳播 30卷1期, pp. 45-48
圓錐曲線的光學性質
張海潮 · 王靖雅 · 洪碧霞
在好幾個高中教科書的版本裡處理圓錐曲線的光學性質時, 都是先求切線, 學生要經過許 多的代數運算, 算出切線的直線方程式, 再利用餘弦或兩條線夾角來證明圓錐曲線的光學性質。
現在我們的辦法是直接用幾何圖形的方式, 不用經過很多的代數運算, 就可以直接從圖形 看出來。
壹 . 橢圓光學性質的證明:
一. 作圖 :
(1) 作一半徑為 2a 的圓, 令其圓心為 O。
(2) 半徑上取一定點 P , 在圓上任取一點 R, 連接 RP 。 (3) 作 RP 的中垂線 l, l 交 RP 於 M 點, 交←→
OR 於 Q 點, 則 QP = QR, 因此 QO+QP = QO+ QR = OR = 2a。
(4) 因 R 為圓上一動點, 所以由 R 決定出的 Q 點所形成的軌跡皆會滿足 QO + QP = 2a。
因此所作出的圖形為橢圓, 且焦點為 O、P 兩點。
二. 證明 : l 為過此橢圓上 Q 點的切線。
想法:要證明 l 為橢圓上 Q 點的切線, 只要證明 l 只通過橢圓上唯一一點 Q。 假設 l 交此 橢圓於 Q、Q′ 兩點, 則 Q′P = Q′R (l 為 P R 的中垂線), 所以 Q′O+ Q′P = Q′O+ Q′R >
OR = 2a (兩邊和大於第三邊), 與假設矛盾。 所以 Q′ 不可能在橢圓上, 故 l 為過 Q 點的切 線。
三. 證明橢圓的光學性質 :
因為∠1 =∠3 (對頂角),∠1 =∠2, 所以 ∠2 = ∠3, 得證。
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貳 . 拋物線光學性質的證明:
一. 作圖 :
(1) 給定一直線 L 及一定點 P (P 6∈ L)。
(2) 在 L 上任取一點 R, 過 R 作一垂直 L 的射線←→
RO, 連接 RP 。 (3) 作 RP 的中垂線 l, l 交 RP 於 M, 交 ←→
RO 於 Q, 則 RQ = QP 。
(4) 因為 R 為一動點, 所以由 R 決定出的 Q 點所形成的軌跡皆會滿足 RQ = QP 。 因此所 作出的圖確實為一拋物線, 且 P 為此拋物線的焦點, L 為其準線。
二. 證明 : l 為過此拋物線上 Q 點的切線。
想法 :要證明 l 為橢圓上 Q 點的切線, 只要證明 l 只通過拋物線上唯一一點 Q。 假設 l 交此拋物線於 Q、Q′ 兩點, 過 Q′ 作一垂直線交 L 於 D 點。 因為 Q′P = Q′R > Q′D (直角 三角形斜邊大於兩股), 與假設矛盾, 所以 Q′ 不可能在拋物線上, 故 l 為過 Q 點的切線。
三. 證明拋物線的光學性質 :
因為∠1 =∠3 (對頂角),∠1 =∠2, 所以 ∠2 = ∠3, 得證。
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參 . 雙曲線光學性質的證明:
一. 作圖 :
(1) 作一半徑為 2a 的圓, 令其圓心為O。
(2) 在右半圓外取一定點 P , 右半圓上任取一點 R 使得 OR 不垂直於 RP 。 (3) 作 RP 的中垂線 l, l 交 RP 於 M, 交 ←→
OR 於 Q, 則 QP = QR, 因此 OQ − QP = OQ− QR= 2a。
(4) 因 R 為一動點, 所以由 R 決定出的 Q 點所形成的軌跡皆會滿足 OQ − OR = 2a。 因此 所作出的圖形為雙曲線的右半支, 且焦點為 O、P 兩點; 同理以 P 為圓心, 作一半徑為 2a 的圓, 取 O 為圓外一點, 以同法可作出雙曲線的左半支。
二. 證明 : l 為過此雙曲線上 Q 點的切線。
想法 :要證明 l 為橢圓上 Q 點的切線, 只要證明 l 只通過雙曲線上唯一一點 Q。 假設 l 交此雙曲線於 Q、Q′ 兩點, 則 Q′P = Q′R, 所以 OQ′ − Q′P = OQ′− Q′R < OR= 2a。
(兩邊差小於第三邊), 與假設矛盾, 所以 Q′ 不可能在雙曲線上, 故 l 為過 Q 點的切線。
三. 證明雙曲線的光學性質 :
因為∠1 =∠3 (對頂角),∠1 =∠2, 所以 ∠2 = ∠3, 得證。
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—本文作者張海潮為台大數學系退休教授, 王靖雅為師大附中實習老師, 洪碧霞為中山女高實 習老師—
