Cournot競爭下廠商區位選擇與社會福利之研究

東 吳 學 經 濟 學 系

碩士論文

指導教授：袁國芝 博士

Cournot 競爭下廠商區位選擇與 社會福利之研究

Cournot competition, location choice, and restricted social welfare

研究生：楊之昊 撰

中 華 民 國 1 0 3 年 7 月

I

謝辭

路，卻足以建構未來人生方向的藍圖，很感謝東吳大學經濟研究所在我大 學剛畢業對人生方向感到徬徨時，提供給了我一個好好探索自己、思考人 生方向的一個中繼站。而在這兩年的時間裡，東吳大學經濟研究所提供了 優良的教學品質、良好的念書環境，再加上親切的師長與聰穎的同學，使 我不管是在知識與思想方面皆成長了許多。

首先感謝我的指導教授袁國芝老師在我兩年的研究所生涯裡的傾囊 相授，不只是在論文上的提供了許多精闢的指導與建議，更有許多思考邏 輯上的啟發，每次的討論都使我獲益良多、茅塞頓開，不但帶領我的論文 順利完成，也使我了解了許多人生的智慧。我會銘記與袁老師每次的聊天 與討論，希望將來還能有機會再回來聽取老師的指教。

也要感謝碩士班同學們這兩年的互相砥礪與陪伴，這兩年的時間裡，

我們一起面臨了許許多多困難科目的考驗，在大家互相討論，互相鼓勵與 程度好的同學的不吝賜教下，使我順利地修過了所有的科目。而其中，要 特別感謝樓蘋這些日子的相伴，不但為了我完成論文的重要助力，也使我 的研究所生活非常的開心、快樂與充實。還有感謝立威在我有煩惱時聽我 訴苦，感謝彥慶、敬之、紘睿、孟霆、庭儀、佩吟、慶華、晉男，有了你 們的研究室，真的是充滿歡笑與輕鬆的氣氛。再來感謝同為袁老師指導學 生的彥寶、婉婷，我們一起開會，一起討論與分享對於彼此論文的想法，

那些都成為了我論文完成路上的助力。

最後，重要的是感謝我的父母的支持，我一直不是一個聽話，符合父 母期待的兒子，但是父母總是給予我無條件的支持與諒解，還有所有親朋 好友的鼓勵與期待，這些都是我能克服困難，努力不懈地去寫完論文的重 要力量。

II

感謝上帝，指引了我讀研究所這條道路，並且引領我順利的完成了學 業與論文，或許本篇論文並非改變世界的曠世巨作，但至少本篇論文改變 了我許多，本論文從無到有的過程中的每一步，皆是我絞盡腦汁，嘔心瀝 血所完成的，從觀察、分析現象，到模型計算與結論探討，甚至是以長篇 文字詳述自己的思想，都是前所未有的困難與挑戰，在面對這些挑戰與困 難的過程中，我真的學到了許多，或許對我們研究生來說寫論文最主要的 目的，並不是解決多大多困難經濟問題，而是從解決小問題的過程中學會 觀察問題、分析問題與解決問題的方法。再一次感謝這一切的一切。

楊 之 昊 謹誌於 東吳大學經濟研究所 中華民國一百零三年九月 城中 2622

III

摘要

的選址、產量與定價問題，以及廠商的均衡廠址對社會福利的影響。我們 發現，廠商的均衡場址會隨著市場規模的變化，而我們也解出在大市場的 均衡廠商家數如何隨著市場規模變化而調整，並且研究了在不同廠商家數 時市場規模如何引導廠商去選擇不同的市場生產。其次我們研究當社會計 畫者可以限制廠商設址卻不能限制廠商生產行為時，其對社會福利最適的 廠商廠址為何，並分析此一結果與廠商自由選擇廠址下的均衡的差異，我 們發現其社會福利的增加大部分來自於廠商利潤的變動，較小部分來自消 費者剩餘的變動。最後我們探討運輸成本與廠商進行跨區銷售的限制條 件。

關鍵字：古諾競爭、啞鈴模型、區位選擇、社會福利

IV

Abstract

This paper aims to analyze a Barbell model in which firms first choose

their locations and then produce and sell under Cournot competition, and study the relationship between social welfare and the equilibrium locations and productions. First we find that the firms’ equilibrium locations are influenced by the sizes of markets, and find the equilibrium number of firms in both markets. Second, we study the firms’ optimal locations under the assumption that firm’s location choices are limited by a social planner. We find the

increase in social welfare mainly comes the part of firms’ profit, rather than the part of consumers’ surplus. Finally, we discuss the restriction conditions for transportation cost and firms’ cross-selling.

Key Word：Cournot competition, Barbell model, Location choice, Social Welfare

V

目錄

第一章 緒論 ... 1

第二章 基本模型 ... 4

第三章 廠商區位及福利之討論 ... 6

3.1 兩家廠商 ... 6

3.1.1 最適區位分析 ... 6

3.1.2 福利分析 ... 7

3.2 三家廠商 ... 10

3.2.1 最適區位分析 ... 11

3.2.2 福利分析 ... 13

3.3 四家廠商下的社會福利分析 ... 16

3.3.1 最適區位分析 ... 17

3.3.2 福利分析 ... 19

3.4 模型一般化 ... 23

3.4.1 廠商最適分布 ... 23

3.5 不效率比例之討論 ... 25

3.5.1 兩家廠商 ... 26

3.5.2 三家廠商 ... 28

第四章運輸成本討論 ... 32

4.1 兩家廠商 ... 32

4.2 廠商家數一般化的運輸成本討論 ... 33

第五章 結論 ... 35

References ... 38

VI

圖目錄

圖 1:市場結構圖 ... 4 圖 2：兩家廠商架構下廠商 2 與社會計畫者設廠條件式的差異 ... 10 圖 3：三家廠商架構下廠商 3 與社會計畫者設廠條件式的差異 ... 16 圖 4：四家廠商架構下廠商 3、廠商 4 與社會計畫者設廠條件式之差異 23

1

第一章 緒論

在現實經濟世界中，廠商在空間中競爭的現象，是顯而易見的，小至 城市內廠商定位的競爭，大至國與國之間的產業內貿易下的定位競爭，我 們都可以看出設廠地點的選擇對於廠商的重要性。對於廠商來說，設廠位 置之所以重要，來自於運輸成本對利潤的影響，在空間中競爭的廠商所需 要考慮的成本將不再只有生產所需要的費用，運輸產品至市場的運輸費用 也是重要的成本，因此廠商將需要考慮最佳的設廠位置來使得自身利潤最 大化。

由於空間選擇對於廠商有如此的重要性，很早就有經濟學家觀察到此 現象，並開始做此方面的研究，最早提到有關空間競爭的論文，可以追朔 到 Hotelling, H. (1929)的論文，此篇論文對廠商在空間競爭中的行為模式，

提出了精闢的見解與分析，其模型架構的設定，也為後來欲研究此方面議 題的學者們提供了重要的研究方向與方法，此篇論文在空間競爭領域中做 出了卓越貢獻。

之後有許多學者延續 Hotelling 所提出的模型架構，做各方面的研究，

其中在 Anderson and Neven(1991)的一篇論文中，提出了在 Hotelling 的線 段城市模型中，消費者分布為對稱的情況下(消費者為均勻分配)，廠商使 用 Cournot 競爭的結果會使得廠商均聚集至市場的中心點。在這之後，有 許多的經濟學家嘗詴各種空間競爭方面的研究，詴圖去推翻廠商集聚至城 市中心的結果，Guptaetal(1997), Sarkaretal(1997), Pal (1998), Mayer(2000), Chamorro-Rivas(2000), Matsushima(2001), YuandLai(2003), Guptaet al.

(2004)。其中，Chamorro-Rivas(2000)的論文表明了，當某些市場不為雙頭 寡佔的情況下，廠商分部可能會產生分散的均衡，Guptaet al. (1997)則分析 了當消費者的分布不為均勻分配時的情況，發現假使消費者分布在城市中

2

心地段的密度足夠薄的話，將會產生一分散的均衡結果，Shimizu (2002) 則將模型擴展至可允許產品差異化，Chen and Lai (2008)使用 Cournot shipping model 來分析企業的區位劃分對社會福利的影響。

而在 Hwang and Mai (1990)的論文中，使用了啞鈴模型(barbell model)，

來分析廠商採取差別取價與不採取差別取價下的市場定位。啞鈴模型與 Hotelling model 的主要差別在於消費者的分布，Hotelling model 中消費者 均勻分布在一線段內，而啞鈴模型則是將消費者聚集至線段的兩端，而線 段中間完全沒有消費者。這裡值得一提的是，啞鈴模型可算是 Guptaet al.

(1997)論文中提到的非均勻分配的一個特殊案例，為一個中心地段的消費 者密度非常薄，兩端消費者密度很大的非均勻分配。啞鈴模型可被描述為 兩個城市，像是台北與高雄，以一條高速公路做連接，廠商在可在高速公 路邊或是兩端的城市內選擇設廠位置來將商品運輸至市場，銷售給消費者，

而啞鈴模型，亦可用來解釋兩個國家間的貿易狀況，不難看出，此假設在 現實中是合理的。

在 Liang,Hwang and Mai (2006)的論文中，分別解出了在啞鈴模型且市 場大小為不對稱的情況下，使用 Cournot 競爭與 Bertrand 競爭下的均衡產 量、交付價格與廠商的設廠位置，且進一步的比較了兩種競爭下的社會福 利，得出了一些有趣的結論。在此模型中廠商的均衡設廠位置，在市場不 對稱的情況很小的時候會分散至兩端，而當市場不對稱情況足夠大時將會 聚集至大市場。而社會福利比較的結果發現當運費足夠高時，Cournot 競 爭下的社會福利會大於 Bertrand 競爭下的社會福利。

了解了兩家廠商在兩城市空間競爭下的均衡行為與社會褔利比較後，

我們感到有興趣的議題有二，其一，當廠商家數擴展至 N 家廠商時所產生 的一般均衡解。其二，廠商空間競爭的結果是否具有效率性，假使沒有效 率性產生無效率的原因又是為何，其中必頇注意的是，本文所指的效率性，

3

皆非指柏拉圖效率，而是指能否達到受限制的社會福利極大，受限制的原 因是由於政府只能決定廠商設廠區位無法決定廠商的產量。因此此篇論文 的主要目的是探討廠商分布比例與市場對稱性大小的關係，和在市場大小 不對稱的啞鈴模型(barbell model)中，廠商空間競爭下均衡解的效率性，由 於之前文獻結果顯示 Cournot 競爭下的社會福利較容易比 Bertrand 競爭下 的社會福利大，因此我們只做 Cournot 競爭的探討，而通過探討效率性發 生的條件，我們或許可以對政府的空間政策給出政策建議。

4

第二章 基本模型

本文之市場分布為啞鈴模型，可視為是簡化後的 Hotelling 模型，如圖 (1)所示，假設市場線為一長度為 1 的線段，在此線段之兩個端點各有一個 市場，簡稱市場 A 與市場 B，市場 A 座標為 0，市場 B 座標為 1，而消費 者僅能在這兩個市場購買商品，無法移動。市場中存在有 n 家廠商，以數 字做區分，簡稱廠商 1、廠商 2、至廠商 n。每家廠商賣的均是同質性的商 品，且生產每一單位產品的成本為零，每家廠商皆可將廠址設置在此線段 的任意點上，可以想像成是一條高速公路連接兩個城市，而其中，第 k 家 廠商廠址的地點表示為𝑥k，舉例為下，第一家廠商的廠址為𝑥1，第二家為 𝑥2，更進一步的設定，在不失一般性的情況下，我們將廠址位於最左邊的 廠商定義為廠商 1，廠址位於廠商 1 右方距離最短的廠商定義為廠商 2，

為於廠商 2 右方距離最短的廠商定義為廠商 3，以此類推下，我們可知廠 址位於最右邊的廠商為廠商 n，以數學式表示為𝑥₁ ≤ 𝑥₂ ≤ ⋯ ≤ 𝑥_𝑛。市場 結構可以圖一表示：

圖 1:市場結構圖

為了表現出市場需求結構的不對稱，我們將市場 A 與市場 B 的需求曲線 設定為以下形式：

𝑞^𝐴 = 𝛾𝑎(1 − 𝑃^𝐴)

𝑞^𝐵 = 𝑎(1 − 𝑃^𝐵) (1)

5

其中𝑞^𝐴 = 𝑞₁^𝐴+ 𝑞₂^𝐴+ ⋯ + 𝑞_𝑛^𝐴、𝑞^𝐵 = 𝑞₁^𝐵 + 𝑞₂^𝐵 + ⋯ + 𝑞_𝑛^𝐵。

這裡的𝑞^𝐴代表的是市場 A 的總需求量，𝑞_𝑖^𝐴為市場 A 中，廠商 i 的銷售量，

𝑞_𝑖^𝐵為市場 B 中，廠商 i 的銷售量，而𝑃^𝐴與𝑃^𝐵為市場 A 與市場 B 的交貨價 格價格(delivered price)；其中 γ跟 𝑎均為正的常數，而這裡的 γ 是用來調 整市場相對規模的工具係數。在不失一般性的情況下，本文中我們假設市 場 1 的規模恆大於市場 2，以數學式的表示為 γ≥1 ，而當 γ=1 時，這兩 個市場為對稱市場。

假設任意廠商的廠址距市場 A 之距離為𝑥，距市場 B 之距離為1 − 𝑥, 產品之運送費率固定為𝑡。而每家廠商在兩個市場中，都玩古諾競爭，在給 定已知對手與自己的工廠廠址與對手的產量的情況下，選擇一個產量計畫 (quantity schedule)去極大化自己的利潤，每個廠商的利潤為兩個市場利潤 的總和，因此任意廠商 k 的利潤函數可寫為下式：

𝜋_𝑘 = *𝑞_𝑘^𝐴𝑃_𝐴− 𝑡𝑥_𝑘𝑞_𝑘^𝐴+ + *𝑞_𝑘^𝐵𝑃_𝐵 − 𝑡(1 − 𝑥_𝑘)𝑞_𝑘^𝐵+ (2) 在此模型中的廠商行為下，每家廠商面對一個兩階段的賽局。在這賽局的 第一個階段裡，每家廠商同時決定他們設置工廠的區位。在這賽局的第二 階段，則是在給定兩家工廠的廠址後，每家廠商同時決定銷售至兩市場的 產量。為處理此模型的賽局，我們使用逆向歸納法(backward induction)求 出此模型賽局的子賽局均衡(sub-game perfect equilibrium)。¹

而我們將社會福利定義為廠商利潤加上消費者剩餘，因此我們可將社 會福利函數定義為下：

ω = 𝜋₁+ 𝜋₂+ ⋯ + 𝜋_𝑛+𝑞_𝐴(1 − 𝑃_𝐴)

2 +𝑞_𝐵(1 − 𝑃_𝐵)

2 (3)

其中，^{𝑞1(1;𝑝1)}

2 代表的是市場 1 的消費者剩餘，^{𝑞2(1;𝑝2)}

2 代表的是市場 2 的消 費者剩餘。

1本文以上模型的設定皆參照 Liang, Hwang and Mai (2006)文中的模型假 設。

6

第三章 廠商區位及福利之討論

建立完基本模型後，開始求解此模型的均衡區位解，與討論均衡時廠 商自由選擇區位下的效率性是否存在，本文沿用 Hwang and Mai and Liang (1990)的分析方法，且延續文中的結果，先討論對兩家廠商下的均衡結果 的效率性，在擴展至三家與四家廠商。

3.1 兩家廠商

在 Hwang, Mai and Liang (1990)的文章中，已經討論過兩家廠商下的均 衡區位，因此本文於此不在多做贅述，只引用其結果。

3.1.1 最適區位分析

Hwang, Mai and Liang (1990)文章中的，對於在兩家廠商架構下區位分 析的主要結果顯示為下：

均衡產量表示如下 𝑞₁^𝐴 = .𝛾𝑎

3/ (1 − 2𝑡𝑥₁+ 𝑡𝑥₂) 𝑞₁^𝐵 = .𝑎

3/ ,1 − 2𝑡(1 − 𝑥₁) + 𝑡(1 − 𝑥₂)- 𝑞₂^𝐴 = .𝛾𝑎

3/ (1 + 𝑡𝑥₁− 2𝑡𝑥₂) 𝑞₂^𝐵 = .𝑎

3/ ,1 + 𝑡(1 − 𝑥₁) − 2𝑡(1 − 𝑥₂)- (4) 交貨價格表示如下

𝑃_𝐴 = 1 − (1

3) (2 − 𝑡𝑥₁− 𝑡𝑥₂) 𝑃_𝐵 = 1 − (1

3),2 − 𝑡(1 − 𝑥₁) − 𝑡(1 − 𝑥₂)- (5) 廠商 1 的均衡行為可以下式表示：

7

𝜋₁(𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 1) − 𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) = (4𝛾𝑎𝑡 9 ) {[1

𝛾− 1] − (𝑡 𝛾)}

< 0

(6)

廠商 2 的均衡行為可以下式表示：

𝜋₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝜋₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0)

= (4𝛾𝑎𝑡

9 ) {𝑡 − [1 −1

𝛾]} < (>)0, 𝑖𝑓 1 −1

𝛾 > (<)𝑡

(7)

(6)式告訴我們，無論何種情況下，廠商 1 必定將廠址設於市場 A 內，而(7) 式說明了，在1 −¹

𝛾 > 𝑡的情況下廠商 2 會選擇將廠址設於市場 A，因此產 生兩家廠商聚集在市場 A 的結果，而在1 −¹

𝛾< 𝑡的情況下廠商 2 會選擇獎 廠址設於市場 B，導致兩廠商分別分散至兩市場的結果。

3.1.2 福利分析

為了討論本文的主題之一，也就是效率性，我們引入社會計畫者(Social planner)至模型中來做討論，我們假設社會計畫者的目標是極大化社會福利 (Social Welfare)，然而社會計畫者只能決定廠商設置工廠的地點，無法決 定廠商各自的生產量，而此假設這在現實中也是很合理的，我們可以看做 是政府將某些區域劃分為商業區或是工業區來限制或鼓勵廠商設置工廠 的地點，但政府無法強制規定廠商的生產量，廠商的生產量還是由市場競 爭來做決定。我們通過比較社會計畫者極大化社會福利所決定的設廠位置，

與由廠商自由選擇廠址與產量下的設廠位置，來分析廠商自由選擇位置與 產量去做競爭下的均衡解，是否是有效率的。

為求解此架構下的最適區位，我們先討論廠商的行為，對廠商來說，

由於無法決定各自的設廠地點，因此此賽局變成一階段賽局，在政府給定 每家廠商的設廠位置之後，廠商再根據自身的設廠地點，與對手的設廠地 點與產量，去決定運輸至兩市場的均衡產量。了解廠商的行為之後，接著

8

討論社會計畫者的行為，我們知道，社會計畫者以極大化社會福利為目標，

但只能決定廠商的廠址無法決定廠商的產量。

而此架構的解法為，先將廠商在社會計畫者給定了兩家廠商彼此的位 置，且對方產量為已知情況下的最適產量，帶入市場需求曲線中，得出市 場的交貨價格，再將交貨價格與兩家廠商的最適產量與總產量帶入至社會 福利函數(3)式中，再將社會福利函數對區位變數𝑥₁、𝑥₂做二次微分可得下 式：

𝜕²𝜔

𝜕𝑥₁² =𝜕²𝜔

𝜕𝑥₂² =11𝑎𝑡²(𝛾 + 1)

9 > 0 (8) 上式顯示了社會福利函數為𝑥₁、𝑥₂的凸函數，表示最適區位為角解，此解 會落在線段兩端端點的市場內。由以上結果與第二章基本模型的定義，我 們可知最適的廠商廠址位置，只存在有三種可能的均衡解，表示為下：

(𝑥₁, 𝑥₂) = (0,0), (0,1), (1,1) (9) 在這三種均衡解中我們可排除掉廠商 1 設廠於市場 B 的解，推導式為下：

ω(𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 1) − 𝜔(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1)

=−(𝑎𝑡(11𝑡 + 8𝛾 + 3𝑡𝛾 − 8)) 18 < 0

(10)

由(10)式我們可看出，社會計畫者將廠商 1 廠址設於市場 A 的社會福利恆 大於將廠商 1 廠址設於市場 B 的社會福利。由以上分析我們可以建立下述 命題。

命題(1)：在雙頭寡佔的架構下，對於社會計畫者來說，將廠商 1 的廠址設 於市場 A 內，永遠是使社會福利極大的最適區位。

在給定廠商 1 設於市場 A 的情況下，社會計畫者通過比較，廠商 2 廠 址定於市場 A 與廠址訂於市場 B 的社會福利的大小，來決定廠商 2 的廠址，

上述行為可表示成下式：

9

ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝜔(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0) =𝑎𝑡(3𝑡 − 8𝛾 + 11𝑡𝛾 + 8) 18

< (>)0, 𝑖𝑓 8𝛾 − 8

11𝛾 + 3 > (<)𝑡

(11)

(11)式顯示出當^8𝛾;8

11𝛾:3> 𝑡時社會計畫者將廠商 2 廠址設於市場 1 內與廠商 1

聚集的社會福利大於將廠商 2 廠址設於市場 B 內的社會福利，當^8𝛾;8

11𝛾:3< 𝑡 時，社會計畫者將廠商 2 廠址設於市場 2 內的社會福利大於將廠商 2 廠址 設於市場 1 內的社會福利，由上述分析我們可以建立下述命題：

命題(2)：在兩家廠商的架構下，當市場 A 的市場規模之倍數與運輸成本滿 足^8𝛾;8

11𝛾:3 > 𝑡時候，社會計畫者傾向將廠商 2 的廠址設於市場規模較大的市

場 A 內，而當市場 A 的市場規模倍數與運輸成本滿足^8𝛾;8

11𝛾:3< 𝑡，社會計畫 者會將廠商 2 廠址設於市場 B 內。

由命題(2)我們可發現，社會計畫者為使社會福利極大的最適區位與廠 商可自由決定區位下的均衡結果相似，差別只在於聚集條件式的不同。我 們將兩條件式做比較，其結果以下式表示：

11𝛾²− 8𝛾 − 3

(11𝛾 + 3)𝛾 − (8𝛾 − 8)𝛾

(11𝛾 + 3)𝛾 = 3(𝛾²− 1)

(11𝛾 + 3)𝛾 (12) 由於𝛾 > 1所以(12)必定大於等於零，顯示出，廠商 2 自由選擇廠址的情況 下，廠商選擇將廠址設於市場 A 的條件式，恆大於由社會計畫者為使社會 福利極大將廠商 2 廠址設於市場 A 的條件式。而其中條件式較大的涵義為，

給定任意一組市場規模與運輸成本的參數，較大的條件式較容易大於運輸 成本，因此也較容易造成聚集的結果。由上述分析我們可以建立下述命 題：

10

命題(3)：廠商 2 自由選擇區位下的聚集條件，比由社會計畫者選擇廠商 2 廠址下的聚集條件來的寬鬆。因此在某些參數組合下，廠商自由選擇區位 的結果將造成不效率性。

上述分析我們可以圖 2 表示，圖 2 左上方區塊為兩家廠商分別設廠至 大市場與小市場且社會計畫者也將兩家廠商廠址分別設於大小市場的情 況，因此是具有效率性的，而中間的區塊則是廠商聚集至大市場，但是社 會計畫者卻希望將兩家廠商分別設於大小市場內，因此為不具有效率性的 情況，下方的區塊則是廠商聚集至大市場且社會計畫者也將兩廠商聚集至 大市場內的情況，因次是聚集而有效率的。

值得一提的是，我們可看出，當γ = 1時，也就是兩市場為對稱市場時，

兩條條件式為等式，表示在對稱市場的情況下，以自由選擇位置與產量做 競爭的廠址定位將能使社會福利極大。

圖 2：兩家廠商架構下廠商 2 與社會計畫者設廠條件式的差異 3.2 三家廠商

討論完兩家廠商的結果後，我們得出了一些結果，我們發現廠商自由

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 7.25 7.5 7.75 8 8.25

廠商2廠址條件式 社會計畫者廠址條件式

分散有效率區

廠商聚集無效率區

聚集有效率區

γ t

11

選擇設廠區位的情形下存在有不效率的區段。而這章節我們希望能夠討論 當場商家數非偶數下的結果是否與 3.1 章的結果有所差異，舉例來說，在 兩家廠商選擇各自佔據一個市場的情況下，使第三家廠商利潤極大的廠址 位置會不會是位於兩市場的中間點?而在三家廠商的架構下，是否也存在 有不效率的區段?

3.2.1 最適區位分析

一樣使用逆向歸納法求出此模型賽局的子賽局均衡，先求均衡產量，

在給定已知兩家廠商工廠地點的條件下，將廠商利潤函數對產量變數作微 分，得出廠商極大化利潤的均衡產量，表示如下：

𝑞₁^𝐴 = .𝑎𝛾

4/ (𝑡𝑥_𝐵 − 3𝑡𝑥₁+ 𝑡𝑥_𝐶 + 1) 𝑞₂^𝐴 = .𝑎𝛾

4/ (𝑡𝑥_𝐴− 3𝑡𝑥₂+ 𝑡𝑥_𝐶 + 1) 𝑞₃^𝐴 = .𝑎𝛾

4/ (𝑡𝑥_𝐴− 3𝑡𝑥₃+ 𝑡𝑥_𝐵 + 1) 𝑞₁^𝐵 = .𝑎

4/ *1 − 3𝑡(𝑥₁− 1) + 𝑡(𝑥₂− 1) + 𝑡(𝑥₃ − 1)+

𝑞₂^𝐵 = .𝑎

4/ *1 − 3(𝑡𝑥₂− 1) + 𝑡(𝑥₁− 1) + 𝑡(𝑥₃ − 1)+

𝑞₃^𝐵 = .𝑎

4/ *1 − 3𝑡(𝑥₃− 1) + 𝑡(𝑥₁− 1) + 𝑡(𝑥₂ − 1)+ (13) 再將兩家廠商的均衡產量帶入市場需求曲線後，可解出兩個市場的交貨價 格，表示如下：

𝑃^𝐴 = 1 −1

4(3 − 𝑡𝑥₁− 𝑡𝑥₂− 𝑡𝑥₃) 𝑃^𝐵 = 1 −1

4(3 − 𝑡(1 − 𝑥₁) − 𝑡(1 − 𝑥₂) − 𝑡(1 − 𝑥₃)) (14) 將解出的交貨價格與均衡產量帶入利潤函數後，對區位變數 x 作二次微分 可得下式：

12

𝜕²𝜋₁

𝜕𝑥₁² =𝜕²𝜋₂

𝜕𝑥₂² =𝜕²𝜋₃

𝜕𝑥₃² =9𝑎𝑡²(𝛾 + 1)

8 > 0 (15) 上式顯示了利潤為 x 的凸函數，表示最適區位為角解，此解會落在線段兩 端端點的市場內。而依照模型的定義，我們可知廠商的廠址位置，只存在 有四種可能的均衡解，表示為下：

(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃) = (0,0,0), (0,01), (0,1,1), (1,1,1) (16) 在這三種均衡解中我們可排除掉廠商 1 設廠於市場 B 的解，推導式為下

𝜋₁(𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1) − 𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1)

=−3𝑎𝑡

16 (3𝑡 + 2𝛾 + 𝑡𝛾 − 2) < 0

(17)

(17)式顯示出，無論在任何情況下廠商 1 廠址位於市場 B 的利潤均小於市 場 A。

我們也可排除掉廠商 2 設廠至市場 B 的解，推導式為下：

𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1) − 𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1)

= (3𝑎𝑡

16) (𝑡 − 2)(γ − 1) < 0

(18)

(18)式可看出出廠商 2 廠址設於市場 B 的利潤也必定小於廠址設於市場 A 的利潤。

由以上分析我們可以建立下述命題：

命題(4)：再三廠商的架構下，廠商 1 與廠商 2 的最適廠址位置必定位於市 場 A 內。

在給定上述命題的條件下，討論廠商 3 的行為模式，表示如下：

𝜋₃(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝜋₃(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

= (3𝑎𝑡

16) (𝑡 − 2𝛾 + 3𝑡𝛾 + 2) < (>)0 𝑖𝑓 2𝛾 − 2

3𝛾 + 1> (<)𝑡

(19)

由(19)式我們可看出當 ^2𝛾;2

3𝛾:1 > 𝑡 時，廠商 3 設廠於市場 A 的利潤會大

13

於設廠於市場 B 的利潤，最適廠址為市場 A，當 ^2𝛾;2

3𝛾:1< 𝑡時，廠商 3 設 廠於市場 A 的利潤會小於設廠於市場 B 的利潤，廠商 4 的最適廠址位置為 市場 B。根據上述的分析，我們可建立下述命題：

命題(5)：在三家廠商的架構下，當市場 A 的市場規模倍數與運輸成本滿足

2𝛾;2

3𝛾:1> 𝑡的時候，廠商 3 會將廠址設於市場規模較大的市場 A 內，而當市 場 A 的市場規模之倍數與運輸成本滿足^2𝛾;2

3𝛾:1< 𝑡，廠商 3 會將廠址設於市 場 B 內，與廠商 1 與廠商 2 分散。

3.2.2 福利分析

本節我們討論三家廠商下的效率性，為求效率性，我們需要先解出社 會計畫者的均衡行為，首先我們先將廠商的均衡產量，與交貨價格帶入社 會福利函數之中，在對區位變數𝑥₁、𝑥₂、𝑥₃做二次微分，得出下式：

𝜕²𝜔

𝜕𝑥₁² =𝜕²𝜔

𝜕𝑥₂² =𝜕²𝜔

𝜕𝑥₃² =23𝑎𝑡²

16 (𝛾 + 1) > 0 (20) 由(20)式我們發現，社會福利函數也為𝑥₁

、

、

而在這四種均衡解之中我們一樣可將廠商 1 設廠於市場 B 的結果排除，推 導式為下：

𝜔(𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1) − 𝜔(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1)

=−𝑎𝑡

32 (23𝑡 + 10𝛾 + 13𝑡𝛾 − 10) < 0

(21)

(21)式顯示出對社會計畫者來說，將廠商 1 廠址設於市場 B 的社會福利恆

14

小於將廠商 1 場址設於市場 A 的社會福利。

而社會計畫者將廠商 2 廠址設於市場 B 的解也可排除，推導式為下：

ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1) − ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1)

= (5𝑎𝑡

32) (𝑡 − 2)(𝛾 − 1) < 0

(22)

由上式我們可發現，對社會計畫者來說，將廠商 2 廠址設於市場 B 的社會 福利恆小於將廠商 2 廠址設於市場 A 內，由(21)(22)兩式的分析我們可建 立下述命題。

命題(6)：對於社會計畫者來說，將廠商 1 與廠商 2 的廠址設於市場 A 內，

永遠是使社會福利極大的最適區位。

在給定廠商 1 與廠商 2 的廠址位於市場 A 的情況下，社會計畫者對於 廠商 3 廠址設置的行為模式可以下式表示：

𝜔(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝜔(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

= 𝑎𝑡

32(13𝑡 − 10𝛾 + 23𝑡𝛾 + 10) < (>)0 𝑖𝑓 10𝛾 − 10 23𝛾 + 13

> (<)𝑡

(23)

由式子(23)我們可觀察到，當^10𝛾;10

23𝛾:13 > 𝑡時，社會計畫者將廠商 3 廠址設置

於市場 B 的社會福利，會小於將廠商 3 廠址設置於市場 A 的社會福利，而 當^10𝛾;10

23𝛾:13 < 𝑡時，社會計畫者將廠商 3 的廠址設置於市場 B 的社會福利會大

於將廠址設於市場 A。由(23)式分析結果我們可建立下述命題：

命題(7)：在四家廠商的架構下，當市場 A 的市場規模倍數與運輸成本滿足

10𝛾;10

23𝛾:13> 𝑡的時候，社會計畫者傾向將廠商 3 廠址設於市場規模較大的市場

A 內與廠商 1 與廠商 2 聚集，而當市場 A 的市場規模倍數與運輸成本滿足

15 10𝛾;10

23𝛾:13< 𝑡時，社會計畫者會將廠商 3 廠址設於市場 B 內。

由命題(7)我們可發現，社會計畫者的使社會福利極大的最適區位與廠 商可自由決定區位下的均衡解果相似，差別在於條件式的不同。將廠商 3 行為模式的兩條件式做比較，其結果以下式表示：

2𝛾 − 2

3𝛾 + 1−10𝛾 − 10

23𝛾 + 13 ≥ 0 (24)

上式一樣顯示了，廠商自由選擇區位的情況下，廠商 3 聚集至市場 A 的條 件式恆大於由社會計畫者選擇區位下，廠商聚集的條件式。由上述分析我 們可以建立下述命題：

命題(8)：廠商 3 自由選擇區位下的聚集條件，比由社會計畫者選擇廠商 3 區位下的聚集條件來的寬鬆。因此在某些參數組合下，廠商自由選擇區位 的結果將造成不效率性。

以上分析可由圖 3 表示，圖 3 左上方區塊為三家廠商中，兩家廠商設廠至 大市場與而一家廠商設廠於小市場且社會計畫者也將兩家廠商廠址設於 大市場一家設於小市場的情況，因此是具有效率性的，而中間的區塊則是 廠商聚集至大市場，但是社會計畫者卻希望將兩家廠商設於大市場一家設 於小市場內，因此為不具有效率性的情況，下方的區塊則是廠商聚集至大 市場且社會計畫者也將三家廠商廠址聚集至大市場內的情況，因此是聚集 而有效率的。

而其中當γ = 1時，兩條件式相等，也就是說當市場不存在不對稱的形 況下，廠商自由選擇位置下的均衡設廠地點，將會是使社會福利極大的設 廠地點，具有效率性。此結果與兩家廠商時的結果相同。

接著我們來比較兩家廠商與三家廠商架構下的不效率區段，推導式為下：

16

( 3𝛾²− 3

(11𝛾 + 3)𝛾) − ( 16𝛾²− 16

(3𝛾 + 1)(23𝛾 + 13))

=31𝛾⁴+ 138𝛾³+ 8𝛾²− 138𝛾 − 39 (11𝛾 + 3)𝛾(3𝛾 + 1)(23𝛾 + 13) ≥ 0

(25)

我們可以發現一個有趣的結果，兩家廠商架構下的不效率區段，大於三家 廠商下的不效率區段。換句話說，比起兩家廠商，三家廠商競爭結果下的 均衡設廠位置，更貼近於使社會福利極大下的設廠位置，這代表的是當市 場上競爭的廠商家數越多時，越容易使得社會福利極大，這個結果似乎符 合經濟直覺。

圖 3：三家廠商架構下廠商 3 與社會計畫者設廠條件式的差異

3.3 四家廠商下的社會福利分析

在討論完兩家與三家廠商的情形之後，我們發現兩個結果，首先第一 點，我們發現無論是兩家廠商還是三家廠商，社會計畫者使社會福利極大 的最適廠址依舊是位於線段兩端的市場內，與廠商極大化自己利潤下的最

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5 5.75 6 6.25 6.5 6.75 7 7.25 7.5 7.75 8 8.25 8.5 8.75 9

廠商3廠址條件式 社會計畫者廠址條件式

聚集有效率區 廠商聚集無效率區 分散有效率區

t

γ

17

適廠址相同，但是使廠商聚集至同一市場或是分散至兩邊市場的條件並不 相同，因此在某些參數組合下，廠商極大化自己利潤下的最適廠址與社會 計畫者極大化社會福利下的廠址不相同，造成不效率性的產生。第二點，

我們比較了兩家廠商下與三家廠商下不效率區域的大小，我們發現，三家 廠商下的不效率區域小於兩家廠商下的不效率區域，當廠商家數越多時效 率性越高似乎是符合直覺與經濟理論的結果。但是兩家廠商與三家廠商下 的最適區位均只會發生一種分散情況，因此也只會產生一段不效率區，並 沒有討論到當廠商最適區位的不效率情況為複數下的結果，因此本節我們 以四家廠商的例子來討論當廠商有複數的分散情況時，不效率區域的型 態。

3.3.1 最適區位分析

延續前面章節的討論方式，一樣使用逆向歸納法求出此模型賽局的子 賽局均衡將解出的交貨價格與均衡產量帶入利潤函數後，對區位變數 x 作 二次微分可得下式：

𝜕²𝜋₁

𝜕𝑥₁² =𝜕²𝜋₂

𝜕𝑥₂² =𝜕²𝜋₃

𝜕𝑥₃² =𝜕²𝜋₄

𝜕𝑥₄² =32𝑎𝑡²(𝛾 + 1)

25 > 0 (26) 上式顯示了利潤為𝑥₁

、

、

、

(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, 𝑥₄) = (0,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,1,1), (0,1,1,1), (1,1,1,1) (27) 在這五種均衡解裡，與前面章節相同，我們可排除掉廠商 1 的均衡廠址在 市場 B 的情況，此結果的推導式為下：

𝜋₁(𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1) − 𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1)

=−8𝑎𝑡

25 (2𝑡 + 𝛾 + 𝑡𝛾 − 1) < 0

(28)

18

由(28)式，我們可發現，無論在任何情況下廠商 1 廠址位於市場 B 的利潤 均小於市場 A。

我們也可排除掉廠商 2 設廠至市場 B 的解，推導式為下：

𝜋₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1) − 𝜋₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1)

=−8𝑎𝑡

25 (𝑡 + 𝛾 − 1) < 0

(29)

(29)式可看出出廠商 2 廠址設於市場 B 的利潤也必定小於廠址設於市場 A 的利潤。由以上(29)(28)式結果我們可建立下述命題：

命題(9)：在任何的情況下，廠商 1 與廠商 2 的最適廠址均位於市場 A 內。

在給定上述命題的條件下，廠商 3 的行為模式可以下式表示：

𝜋₃(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1) − 𝜋₃(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0, 𝑥₄ = 1)

=8𝑎𝑡

25 (𝑡𝛾 − 𝛾 + 1) < (>)0 𝑖𝑓 1 − 𝛾

−𝛾 > (<)𝑡

(30)

由(30)式我們可得知廠商 3 的均衡行為，當^1;𝛾

;𝛾 > 𝑡時，廠商 3 設廠於市場 A 的利潤會大於設廠於市場 B 的利潤，因此廠商 3 的最適廠址為市場 A，

而當^1;𝛾

;𝛾 < 𝑡時，廠商 3 設廠於市場 A 的利潤會小於設廠於市場 B 的利潤，

則廠商 3 的最適廠址則為市場 B。

接著討論廠商 4 的行為模式，可以下式表示：

𝜋₄(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0, 𝑥₄ = 1) − 𝜋₄(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0, 𝑥₄ = 0)

=8𝑎𝑡

25 (𝑡 − 𝛾 + 2𝑡𝛾 + 1) < (>)0 𝑖𝑓 1 − 𝛾

−2𝛾 − 1 > (<)𝑡

(31)

分析(31)式，我們發現，當 ^1;𝛾

;2𝛾;1> 𝑡時，廠商 4 設廠於市場 A 的利潤 會大於設廠於市場 B 的利潤，最適廠址為市場 A，而當 ^1;𝛾

;2𝛾;1< 𝑡時，廠商 4 設廠於市場 A 的利潤會小於設廠於市場 B 的利潤，廠商 4 的最適廠址位

19

置為市場 B。根據上述兩式的分析，我們可建立下述命題：

命題(10)：當市場 A 的市場規模倍數與運輸成本滿足 ^1;𝛾

;2𝛾;1> 𝑡的時候，廠 商 3 與廠商 4 會選擇設廠於大市場的市場 A 內，但當市場規模倍數與運輸 成本逐滿足 ^1;𝛾

;2𝛾;1< 𝑡且^1;𝛾

;𝛾 > 𝑡時廠商 4 會傾向設廠於小市場的市場 B，而 當滿足^1;𝛾

;𝛾 < 𝑡時，廠商 3 也會隨著廠商 4 將廠址設於小市場的市場 B。

3.3.2 福利分析

接著，我們分析社會計畫者的均衡行為，我們將均衡產量與交付價格帶入 至社會福利函數內，再對區位變數 x 作二次微分之後，可得下式：

𝜕²ω

𝜕𝑥₁² =𝜕²ω

𝜕𝑥₂² =𝜕²ω

𝜕𝑥₃² =𝜕²ω

𝜕𝑥₄² =39𝑎𝑡²(𝛾 + 1)

25 > 0 (32) 由(32)式我們發現，社會福利函數也為𝑥₁

、

、

、

與 3,3,1 節相同，依照模型的假設下，社會福利者的最適廠址位置依舊只 有 3.3.1 節的五種均衡解。

在這五種均衡解之中，對社會計畫者來說，依舊可以排除掉廠商 1 設 廠於市場 B 的結果，推導式為下：

ω(𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1) − ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1)

=−3𝑎𝑡

50 (13𝑡 + 4𝛾 + 9𝑡𝛾 − 4) < 0

(33)

(33)式顯示出對社會計畫者來說，將廠商 1 廠址設於市場 B 的社會福利恆 小於將廠商 1 場址設於市場 A 的社會福利(註解)。

而社會計畫者將廠商 2 廠址設於市場 B 的解也可排除，推導式為下：

20

ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1) − ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1)

=−𝑎𝑡

50 (17𝑡 + 12𝛾 + 5𝑡𝛾 − 12) < 0

(34)

由上式我們可發現，對社會計畫者來說，將廠商 2 廠址設於市場 B 的社會 福利恆小於，將廠商 2 廠址設於市場 A 內，由(33)(34)兩式我們可建立下 述命題：

命題(11)：對於社會計畫者來說，將廠商 1 與廠商 2 的廠址設於市場 A 內，

永遠是使社會福利極大的最適區位。

在給定廠商 1 與廠商 2 的廠址位於市場 A 的情況下，社會計畫者對於 廠商 3 廠址設置的行為模式可以下式表示：

ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1, 𝑥₄ = 1) − ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0, 𝑥₄ = 1)

= 𝑎𝑡

50(5𝑡 − 12𝛾 + 17𝑡𝛾 + 12) < (>)0 𝑖𝑓 −12𝛾 + 12

−5 − 17𝛾 > (<)𝑡

(35)

由(35)式我們可發現，當^;12𝛾:12

;5;17𝛾 > 𝑡時，社會計畫者將廠商 3 廠址設置於市

場 B 的社會福利，會小於將廠商 3 廠址設置於市場 A 的社會福利，而當

;12𝛾:12

;5;17𝛾 < 𝑡的情況下，社會計畫者將廠商 3 的廠址設置於市場 B 的社會福

利會大於將廠址設於市場 A。

接著討論社會計畫者設置廠商 4 廠址的行為模式，可以下列推導式表 示：

ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0, 𝑥₄ = 1) − ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0, 𝑥₄ = 0)

=3𝑎𝑡

50 (9𝑡 − 4𝛾 + 13𝑡𝛾 + 4) < (>)0 𝑖𝑓 −4𝛾 + 4

−9 − 13𝛾 > (<)𝑡

(36)

由(36)式我們看出，當^;4𝛾:4

;9;13𝛾 > 𝑡時，社會計畫者將廠商 4 的廠址設置於市

場 B 的社會福利會小於將廠址設置於市場 A 的社會福利(註解)，當

21

;4𝛾:4

;9;13𝛾 < 𝑡時，社會計畫者將廠商 4 廠址設置於市場 B 的社會福利，會大

於將廠址設置於市場 A 的社會福利。由(35)(36)兩式我們可建立下述命題：

命題(12)：在四家廠商的架構下，當市場 A 的市場規模倍數與運輸成本滿 足^;4𝛾:4

;9;13𝛾 > 𝑡時，社會計畫者依舊傾向將廠商 3 與廠商 4 的廠址聚集至市場

規模較大的市場 A 內，而當市場 A 的市場規模倍數與運輸成本滿足

;4𝛾:4

;9;13𝛾 < 𝑡且^;12𝛾:12

;5;17𝛾 > 𝑡時，社會計畫者會將廠商 4 廠址分散設於市場 B 內，

廠商 3 廠址設於市場 B 內，而當滿足^;12𝛾:12

;5;17𝛾 < 𝑡時則將廠商 3 與廠商 4 的 廠址皆分散設於市場 B 內。

由命題(12)我們可發現，社會計畫者的使社會福利極大的最適區位與 廠商可自由決定區位下的均衡解果相似，差別在於條件式的不同。將廠商 3 行為模式的兩條件式做比較，其結果以下式表示：

1 − 𝛾

−𝛾 −−12𝛾 + 12

−5 − 17𝛾 = 5𝛾²− 5

𝛾(5 + 17𝛾) > 0 (37) (37)式顯示出廠商 3 自由選擇廠址的情況下，使得廠商選擇將廠址設 於市場 A，與廠商 1 和廠商 2 聚集的條件式，恆大於由社會計畫者為使社 會福利極大將廠商 3 廠址設於市場 A 與廠商 1 和廠商 2 聚集的條件式。接 著再將廠商 4 行為模式的條件式做比較，推導式為下：

1 − 𝛾

−2𝛾 − 1− −4𝛾 + 4

−9 − 13𝛾 = 5𝛾²− 5

(2𝛾 + 1)(9 + 13𝛾) ≥ 0 (38) 上式一樣顯示了，廠商自由選擇區位的情況下，廠商 4 聚集至市場 A 的條 件式恆大於由社會計畫者選擇區位下，廠商聚集的條件式。條件式較大的 涵義為，給定任意一組市場規模與運輸成本的參數，較大的條件式較容易 大於運輸成本，因此也較容易造成聚集的結果。由上述分析我們可以建立

22

下述命題：

命題(13)：廠商 3 自由選擇區位下的聚集條件，比由社會計畫者選擇廠商 3 區位下的聚集條件來的寬鬆。因此在某些參數組合下，廠商自由選擇區位 的結果將造成不效率性。

以上的分析可由圖 4 來表示，圖 4 最左上角的區塊為，兩家廠商設廠 於大市場兩家廠商設廠於小市場且具有效率性的情況，中間第二個區塊則 是廠商 3 想將工廠設於市場 A 內，而社會計畫者希望將廠商 3 的工廠設於 小市場內，因此為不效率的部分，而第三個區塊則是廠商 3 設廠於大市場 且社會計畫者也將廠商 3 的場址設於大市場內的情況，第四個區塊則是四 家廠商皆將廠址設於大市場內，而社會計畫者希望將三家廠商設於大市場，

一家廠商設於小市場，所以是不效率的，第五個區塊則是四家廠商皆將廠 址設於大市場內，而社會計畫者也將四家廠址設於大市場內的情況，是有 效率的。

接著我們比較四家廠商與三家廠商的不效率區段，推導式為下：

{ 5𝛾²− 5

𝛾(5 + 17𝛾)+ 5𝛾²− 5

(2𝛾 + 1)(9 + 13𝛾)} − { 16𝛾²− 16

(3𝛾 + 1)(23𝛾 + 13)} > 0 (39) 上式結果我們可發現，四家廠商的不效率區間大於三家廠商的不效率 區間，這顯示出了一個有趣的結果，與上一截我們所得出的結論相反，廠 商家數越多反而使得發生不效率性的機率越高。

23

圖 4：四家廠商架構下廠商 3、廠商 4 與社會計畫者設廠條件式之差異

3.4 模型一般化

這節我們詴著將廠商家數擴展至 N 家，以討論此模型一般化下的均衡 交貨價格、廠商個別的均衡產量、廠商自由選擇區位下的廠址分布和社會 計畫者使社會福利極大的廠址分布。

3.4.1 廠商最適分布

假設市場中的廠商家數擴增至 n 家時，為解廠商在自由選擇區位下的 最適分布，我們需要討論第 k 家廠商的行為方程式與第 k+1 廠商的行為方 程式，因為當第 k 家廠商選擇設廠於市場 A 且第 k+1 家廠商選擇市場 B 時，即可求得該外生參數組合下廠商的最適分布。

先求出一般均衡下的交貨價格，表示如下：

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

廠商4廠址條件式 社會計畫者廠商4廠址條件式

廠商3廠址條件式 社會計畫者廠商3廠址條件式

有效率區

無效率區

有效率區 無效率區 有效率區

t

γ

24

𝑃_𝐴 = 𝑡

𝑛 + 1(∑ 𝑥_𝑖

𝑘;1

𝑖<1

+ 𝑥_𝑘 + ∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖<𝑘:1

) + 1 𝑛 + 1

𝑃_𝐵 = − 𝑡

𝑛 + 1(∑ 𝑥_𝑖

𝑘;1

𝑖<1

+ 𝑥_𝑘 + ∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖<𝑘:1

) +𝑛𝑡 + 1

𝑛 + 1 (40)

再解出第 k 家廠商的均衡產量，表示如下：

𝑞_𝑘^𝐴 = 𝑎𝛾

𝑛 + 1(𝑡 ∑ 𝑥_𝑖

𝑘;1

𝑖<1

− 𝑛𝑡𝑥_𝑘 + 𝑡 ∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖<𝑘:1

+ 1)

𝑞_𝑘^𝐵 = −𝑎

𝑛 + 1(𝑡 ∑ 𝑥_𝑖

𝑘;1

𝑖<1

− 𝑛𝑡𝑥_𝑘 + 𝑡 ∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖<𝑘:1

+ 𝑡 − 1) (41) 得出均衡交貨價格與第 k 家廠商的均衡產量之後，帶入第 k 家廠商的利潤 函數，對區位變數 x 做二次微分得到下式：

2𝑎𝑛²𝑡²(𝛾 + 1)

(𝑛 + 1)² > 0 (42)

(42)式顯示出，第 k 家廠商的利潤函數必為 x 的凸函數，因此廠商 k 的最適廠址產生角解，落在線段兩端點的市場內。由(42)式得出的結果，

我們來討論第 k 家廠商的行為模式，令第 1 至第 k-1 家廠商的均設置於市 場 A，第 k+1 廠商至第 n 家廠商的均設置於市場 B，而廠商 k 的行為方程 式表示如下：

𝜋_𝑘(𝑥_𝑘 = 0) − 𝜋_𝑘(𝑥_𝑘 = 1)

=𝑎𝑛𝑡(2𝑡 + 2𝛾 − 2𝑘𝑡 + 𝑛𝑡 − 2𝑘𝑡𝛾 + 𝑛𝑡𝛾 − 2) (𝑛 + 1)²

(43)

由(43)式我們可得知廠商 k 的行為如下，當(43)式大於零時，廠商 k 會將廠址設於市場 A 內，小於零時會將廠址設於市場 B 內。而由前述我們 可得知我們要討論的為廠商 k 設廠於市場 A 內的情況，因此我們可得條件 式如下：

𝑘 <2𝑡 + 2𝛾 + 𝑛𝑡 + 𝑛𝑡𝛾 − 2

2𝑡 + 2𝑡𝛾 (44)

25

接著我們討論，第 k+1 廠商的行為模式，將均衡產量與交貨價格帶入 第 k+1 廠商的利潤函數內，對區位變數 x 做二次微分得出下式：

2𝑎𝑛²𝑡²(𝛾 + 1)

(𝑛 + 1)² > 0 (45)

(45)顯示出相同的結果，第 k+1 家廠商的利潤函數也為 x 的凸函數，所以 依舊產生角解。

由(45)式得出的結果來討論第 k+1 家廠商的行為模式，假設第一家廠 商至第 k 家廠商都位於市場 A 且第 K+2 家廠商都位於市場 B 的情況下，

第 K+1 家廠商的行為方程式如下：

𝜋_𝑘:1(𝑥_𝑘:1 = 1) − 𝜋_𝑘:1(𝑥_𝑘:1 = 0)

=𝑎𝑛𝑡(2𝑘𝑡 − 2𝛾 − 𝑛𝑡 + 2𝑡𝛾 + 2𝑘𝑡𝛾 − 𝑛𝑡𝛾 + 2) (𝑛 + 1)²

(46)

由於我們要討論的為第 k+1 家廠商設廠於市場 B 的情況，因此我們可得條 件式如下：

k >2𝛾 + 𝑛𝑡 − 2𝑡𝛾 + 𝑛𝑡𝛾 − 2

2𝑡 + 2𝑡𝛾 (47)

由(44)式與(47)式，我們可得出模型一般化下的廠商最適分布比率為下式：

(1 − 𝑡)𝛾 − 1 (1 + 𝛾)𝑡𝑛 +1

2<𝑘

𝑛 < 𝑡 + 𝛾 − 1 (1 + 𝛾)𝑡𝑛+1

2

(48)

(48)式所代表的意涵為，在給定某組外生參數(𝛾

、

、

3.5 不效率比例之討論

本文前面幾個章節，討論了不效率發生的條件與不效率區段的大小，

本節接著分析不效率區段內，社會計畫者分散廠商能使社會福利增加的原 因。

26

3.5.1 兩家廠商

我們將廠商 1 位於市場 A 且廠商 2 位於市場 B 的社會福利，減去兩家 廠商均位於市場 A 的社會福利，算出社會計畫者分散廠商所能增加的社會 福利，推導式為下：

ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0) = 𝑎𝑡

18(3𝑡 − 8𝛾 + 11𝑡𝛾 + 8) (49) 由於是要討論落於不效率區段內的情況，因此必頇滿足下列兩個條件 式：

𝑎𝑡

18(3𝑡 − 8𝛾 + 11𝑡𝛾 + 8) > 0 ⇒ 𝑡 > 8𝛾 − 8 3 + 11𝛾 4𝑎𝑡(𝑡𝛾 − 𝛾 + 1)

9 < 0 ⇒ 𝑡 <𝛾 − 1

𝛾 (50)

接著將分散下的產量、價格、利潤減去聚集下的產量、價格、利潤，

得出下列推導式，本文之後皆以∆代表廠商 i 從市場 B 遷移至市場 A 時，

各項均衡值的變量：

∆𝑞^𝐴 = 𝑞^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑞^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0) = −𝑎𝑡𝛾 3

∆𝑞^𝐵 = 𝑞^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑞^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0) = 𝑎𝑡 3

∆q₁^𝐴 = q₁^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑞₁^𝐴(𝑥₁= 0, 𝑥₂ = 0) =𝑎𝑡𝛾 3

∆q₂^𝐴 = q₂^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑞₂^𝐴(𝑥₁= 0, 𝑥₂ = 0) =−2𝑎𝑡𝛾 3

∆q₁^𝐵 = q₁^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑞₁^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0) =−𝑎𝑡 3

∆q₂^𝐵 = q^𝐵₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑞₂^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0) =2𝑎𝑡 3

∆𝑃^𝐴 = 𝑃^𝐴(𝑥₁= 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑃^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0) = 𝑡 3

∆𝑃^𝐵 = 𝑃^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑃^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0) =−𝑡 3

27

∆𝜋₁ = 𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0)

=𝑎𝑡(3𝑡 + 2𝛾 + 𝑡𝛾 − 2) 9

∆𝜋₂ = 𝜋₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝜋₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0)

=4𝑎𝑡(𝑡𝛾 − 𝛾 + 1) 9

∆𝑐𝑠𝐴 = 𝑐𝑠𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑐𝑠𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0)

=𝑎𝑡𝛾(𝑡 − 4) 18

∆𝑐𝑠𝐵 = 𝑐𝑠𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 1) − 𝑐𝑠𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0)

= −𝑎𝑡(3𝑡 − 4) 18

(51)

其中 csA 與 csB 分別代表的是市場 A 與市場 B 的消費者剩餘，由上述 式子，可了解社會計畫者將廠商 2 設於市場 B 下，各項變量的變化量，其 中，由(3)式我們可知社會福利是由四個部分組成的，廠商 1 的利潤與廠商 2 的利潤加上市廠 A 與市場 B 的消費者剩餘，而這四項裡面，使社會福利 增加的增加項為廠商 1 的利潤與市場 B 的消費者剩餘，而使社會福利減少 的減少項為廠商 2 的利潤與市場 B 的消費者剩餘。為了討論使社會福利增 加的主要原因，我們需要比較廠商影響社會福利增加的部分與消費者剩餘 影響社會福利的部分，因此將廠商 1 與廠商 2 個別所增加的利潤相加，減 去市場 A 與市場 B 的消費者剩餘變化量的加總，可得下式：

𝑎𝑡

9 *(3𝑡 + 2𝛾 + 𝑡𝛾 − 2) − (4𝑡𝛾 − 4𝛾 + 4)+ −^𝑎𝑡

18*(4 − 3𝑡) − (𝛾𝑡 − 4𝛾)+

= 𝑎𝑡

18(9𝑡 + 8𝛾 − 5𝑡𝛾 − 16)

(52)

接著由(52)式推導出廠商增加的利潤總和大於兩市場內消費者剩餘增 加總合的條件式，顯示如下：

9𝑡 + 8𝛾 − 5𝑡𝛾 − 16 > 0 ⟹ 𝑡 >16 − 8𝛾

9 − 5𝛾 (53)

由(53)式我們可看出，當市場 A 的市場規模的倍數為兩倍以上時，運

28

輸成本只要大於等於零，廠商總利潤增加的幅度大於兩市場內消費者剩餘 的增加幅度，而其中，廠商總利潤的增加的因素是由於廠商 1 利潤的大幅 度增加，因為廠商 2 的利潤永遠為負。由上述分析我們可以建立下述命題：

命題(14)：兩家廠商的架構下，在𝛾 > 2的情況下，社會計畫者將廠商 2 設 置於市場 B 使得社會福利增加的原因，大部分來至於廠商總利潤的增加，

而不是來自於消費者剩餘的增加，其中又以市場 A 內的廠商利潤增加最 多。

3.5.2 三家廠商

這節分析三家廠商下，社會計畫者將廠商 3 設於市場 B 的情況下，能 使社會福利增加的原因，與前節處理手法相同，先求出社會福利的增額，

推導式為下：

ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − ω(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=𝑎𝑡(13𝑡 − 10𝛾 + 23𝑡𝛾 + 10) 32

(54)

由於是要討論三家廠商的架構下，落於不效率區段內的情況，因此必 頇滿足下列兩個條件式：

𝑎𝑡(13𝑡 − 10𝛾 + 23𝑡𝛾 + 10)

32 > 0 ⇒ 𝑡 >10𝛾 − 10 13 + 23𝛾 3𝑎𝑡(3𝑡 − 2𝛾 + 3𝑡𝛾 + 2)

16 < 0 ⇒ 𝑡 <2𝛾 − 2

3 + 3𝛾 (55)

接著解出產量、價格、利潤與消費者剩餘的變量，表示如下：

∆𝑞_𝐴 = 𝑞_𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝑞_𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

= −𝑎𝑡𝛾 4

29

∆𝑞_𝐵 = 𝑞_𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝑞_𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=𝑎𝑡 4

∆q₁^𝐴 = q₁^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝑞₁^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=𝑎𝑡𝛾 4

∆q₂^𝐴 = q₂^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝑞₂^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=𝑎𝑡𝛾 4

∆q₃^𝐴 = q₃^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝑞₃^𝐴(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

= −3𝑎𝑡𝛾 4

∆q₁^𝐵 = q₁^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝑞₁^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=−𝑎𝑡 4

∆q₂^𝐵 = q^𝐵₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝑞₂^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=−𝑎𝑡 4

∆q₃^𝐵 = q^𝐵₃(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝑞₃^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=3𝑎𝑡 4

∆𝑃^𝐴 = 𝑃^𝐴(𝑥₁= 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1)

− 𝑃^𝐴(𝑥₁= 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0) = 𝑡 4

∆𝑃^𝐵 = 𝑃^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1)

− 𝑃^𝐵(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0) = 𝑡 4

∆𝜋₁ = 𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝜋₁(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=𝑎𝑡(3𝑡 + 2𝛾 + 𝑡𝛾 − 2) 16

∆𝜋₂ = 𝜋₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝜋₂(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=𝑎𝑡(3𝑡 + 2𝛾 + 𝑡𝛾 − 2) 16

30

∆𝜋₃ = 𝜋₃(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1) − 𝜋₃(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0)

=3𝑎𝑡(𝑡 − 2𝛾 + 3𝑡𝛾 + 2) 16

∆csA = csA(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1)

− csA(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0) =𝑎𝑡𝛾(𝑡 − 6) 32

∆csB = csB(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 1)

− csB(𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, 𝑥₃ = 0) =−𝑎𝑡(5𝑡 − 6) 32

(56)

由(56)式，我們可了解社會計畫者將廠商 3 設於市場 B 下，各項變量 的變化量，一樣，由(3)式我們可知社會福利是由五個部分所構成的，廠商 1、廠商 2 與廠商 3 的利潤加上市場 A 與市場 B 的消費者剩餘，而這五項 變量裡面，使社會福利增加的增加項為廠商 1 與廠商 2 的利潤與市場 B 的 消費者剩餘，而使社會福利減少的減少項為廠商 3 的利潤與市場 B 的消費 者剩餘。為了討論使社會福利增加的主要構成要素，是廠商利潤增加的部 分亦或是消費者剩餘增加的部分，我們需比較廠商利潤增加部分與消費者 剩餘增加部分的大小，將廠商利潤增加部分加總，減去消費者剩餘變化部 分加總，可得下式：

廠商利潤的總增額，推導式為下：

𝑎𝑡(3𝑡 + 2𝛾 + 𝑡𝛾 − 2)

16 +𝑎𝑡(3𝑡 + 2𝛾 + 𝑡𝛾 − 2) 16

+3𝑎𝑡(𝑡 − 2𝛾 + 3𝑡𝛾 + 2) 16

=𝑎𝑡(9𝑡 − 2𝛾 + 11𝑡𝛾 + 2) 16

(57)

兩市場內消費者剩餘的總增額為下：

𝑎𝑡𝛾(𝑡 − 6)

32 +−𝑎𝑡(5𝑡 − 6)

32 =𝑎𝑡(𝑡𝛾 − 6𝛾 − 5𝑡 + 6)

32 (58)

接著從推導出，兩市場內的廠商所增加的利潤總額大於兩市場內消費者剩 餘增額的條件式，以下式表示：

31

𝑎𝑡(9𝑡 − 2𝛾 + 11𝑡𝛾 + 2)

16 −𝑎𝑡(𝑡𝛾 − 6𝛾 − 5𝑡 + 6) 32

=𝑎𝑡(23𝑡 + 2𝛾 + 21𝑡𝛾 − 2) 32

(59)

條件式為下：

𝑎𝑡(23𝑡 + 2𝛾 + 21𝑡𝛾 − 2)

32 > 0 ⇒ 𝑡 > 2 − 2𝛾

23 + 21𝛾 (60) 由(60)式可發現當市場 A 的𝛾 > 1，在任何運輸成本下，廠商利潤影響 社會福利增加的幅度皆大於消費者剩餘影響社會福利增加的幅度，其中，

使廠商利潤增加的絕大部分原因是，位於市場 A 內的廠商利潤大幅度的增 加。由上述分析，我們可以建立下述命題：

命題(15)：在三家廠商的架構下，大部分的時候，社會計畫者將廠商 3 設 置於市場 B 所增加的社會福利大部分來自於廠商利潤總和增加的部分，而 非消費者剩餘增加的部分。

命題(14)與命題(15)顯示出一個有趣的結果，由於之前的某些文獻顯示 出，社會計畫者使社會福利極大的手段，常常會使消費者剩餘增加，廠商 利潤減少，而加總起來的效果使得社會福利增加。而此模型結果卻顯示出，

在加入區域空間的架構下，社會計畫者使社會福利極大的手段，反而使廠 商利潤增額的加總，大於消費者剩餘增額的加總，換句話說就是社會計畫 者通過增加廠商的利潤來使得社會福利極大，這是與過往某些文獻不太一 樣的結果。

32

第四章運輸成本討論

本文前面章節的命題都是建立在運輸成本足夠低的情形之下，我們發 現假使運輸成本高於市場價格，廠商將不會再往另一市場輸送任何產品，

市場內的廠商變成只在市場內競爭，無視另外一個市場，廠商的行為變成 選擇進入哪個市場去做寡佔或是獨佔競爭。

4.1 兩家廠商

Liang,Hwang and Mai (2006)文中並沒有討論到運輸成本的限制，因此 我們本章節我們從兩家廠商的情況開始討論。首先從運輸成本限制開始討 論：

我們知道假使運輸成本大於市場價格，則廠商會選擇不運輸產品至另一市 場，可以下是表示：

𝑡 > 𝑃^𝐴 ⇒ 𝑡 > 1 −1

3(2 − 𝑡𝑥₁− 𝑡𝑥₂) = 1 3 − (𝑥₁+ 𝑥₂)

(61) t > 𝑃^𝐵 ⇒ 𝑡 > 1

3 − *(1 − 𝑥₁) + (1 − 𝑥₂)+ (62) 由 3.1.1 節的區位分析我們可知兩家廠商下，只存在有兩種均衡解，我們 對兩種均衡解分別做討論。

首先討論廠商 1 廠商 2 廠址均設於市場 A 的情況，由於兩家廠商均設 廠於市場 A 內，所以沒有任何一家廠商輸送產品至市場 A，因此不用討論 (55)式的情況。接著討論兩家廠商輸送產品至市場 B 的情況，我們將𝑥₁ = 0 與𝑥₂ = 0帶入(56)式，解出t > 𝑃^𝐵 = 1，這代表的是只要運輸成本小於 1，

兩家廠商都會選擇輸送產品至市場 B。由上述分析我們可以建立下述命 題：

33

命題(16)：在兩家廠商的架構下，當兩家廠商均聚集至市場 A 時，兩家廠 商的均衡行為不會受到運輸成本的影響。

接著討論廠商 1 場址設於市場 A 與廠商 2 廠址設於市場 B 的情況，將 𝑥₁ = 0與𝑥₂ = 1帶入(55)式與(56)式，解出t > 𝑃^𝐴 = 𝑃^𝐵 =¹

2，這顯示當運輸 成本大於¹

2時兩邊的廠商將不會在往另一邊的市場運輸產品。由上述分析我 們可建立下列命題：

命題(17)：在兩家廠商架構下，當廠商 1 廠址設於市場 A 且廠商 2 廠址設 於市場 B 時，假使運輸成本大於¹

2的則兩個市場將變成單獨的獨佔市場，

兩市場內的廠商皆不會往另一市場運輸產品。

4.2 廠商家數一般化的運輸成本討論

上一節分析了兩家廠商架構下，廠商不去做運輸的運輸成本條件跟均 衡解，本節一般化廠商家數，進而討論一般化模型下廠商不運輸的運輸成 本條件與不運輸下的均衡解。

使得廠商不運輸的運輸成本條件式，推導為下

t > 𝑃^𝐴 ⇒ 𝑡 > 1 − 1

𝑛 + 1(𝑛 − 𝑡 ∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖<1

) ⇒ 𝑡 > 1

(𝑛 + 1) − ∑^𝑛_𝑖<1𝑥_𝑖 (63)

t > 𝑃^𝐵 ⟹ 𝑡 > 1 − 1

𝑛 + 1(𝑛 − 𝑡 ∑ 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖<1

) ⇒ 𝑡 > 1

(𝑛 + 1) − *𝑛 − ∑^𝑛_𝑖<1𝑥_𝑖+ (64) 由(57)與(58)式顯示出，當場商數量越多時，運輸成本越容易高於輸送商品 的運輸成本底線。由上述分析我們可已建立下述命題：

34

命題(18)：當廠商數量越多時，廠商越容易不運輸產品至另一市場，此時 市場會形成兩個單獨的寡佔市場，區位因素將不在影響廠商的行為。

命題(18)顯示出，此模型比較適合討論寡佔競爭的情況，不適合討論 完全競爭的情況。