行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
實質選擇權與合作賽局在聯合投資策略之應用
The Application of Real Option and Cooper ative
Games in J oint Investment Str ategy
計畫類別：□個別型計畫 □整合型計畫 計畫編號：NSC90－2416－H－011－001
執行期間： 90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日 計畫主持人：林丙輝
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：國立台灣科技大學企業管理系
中 華 民 國 91 年 10 月 21 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
實質選擇權與合作賽局在聯合投資策略之應用
The Application of Real Option and Cooper ative Games in J oint Investment Str ategy 計畫編號：NSC 90-2416-H-011-001
執行期限：90 年 8 月 1 日至 91 年 7 月 31 日
計畫主持人 ：林丙輝 國立台灣科技大學企業管理系 計畫參與人員：侯榮俊 國立台灣科技大學企業管理系 中文摘要
對於參與聯合投資的成員而言，參與者依 其規模可能有大有小，大廠與小廠間的互動關 係就形成一個賽局，某些策略是合作的，但是 合作時的利益與個別利益衝突時，個別廠商又 會以自身的利益為重，此時大廠與小廠間的投 資決策就可能陷入「囚犯困境」。
本研究採用實質選擇權的評價方法與觀 念，建立一套可行的模式，以解決聯合投資 時，大廠與小廠可能發生的「囚犯困境」。不 同於目前的大部份文獻，僅將焦點投注在各種 實質選擇權方法上評估的差異，本研究真正落 實選擇權的內涵，由大廠與小廠簽定契約產能 的方式，小廠給付一定權利金給大廠，取得產 能選擇權。由於投資成本分攤方法選擇影響選 擇權價值之決定，因此對於聯合投資之利益與 成本分配之特性亦一併探討。
本研究在實際應用部份雖以汽電共生投 資為例，但所使用之模式與方法可以應用至其 他項目投資，解決類似的問題。
關鍵詞：實質選擇權、合作賽局、囚犯困境、
賽局理論 ABSTRACT
Regarding the participants in the joint investment, the interaction between large manufactories and small manufactories becomes a game. Some strategies in the game are cooperative. However, when conflicts occur between cooperative benefit and individual benefits, individual manufactories will focus on its own benefits. Then the investment decision between large and small-sized manufactories might be facing the so-called “Prisoner’s Dilemma”.
This research use the method and concept of real option valuation to develop a feasible model to resolve the “Prisoner’s Dilemma” that might happen to both large and small-sized manufactories in making joint investment decisions. The way is that small-sized manufactories sign up a capacity contract and
pay the premium to large-sized manufactories, and then obtain the capacity options. Since the method of investment cost allocation will influence the value of options, the characteristic of benefit and cost allocation of joint investment will be discussed in the simultaneously.
Although cogeneration investment is used as a real example in this research, the model and the method can be applied in other varieties of investments.
Keywor ds: Real Options, Cooperative Games, Prisoner’s Dilemma, Game Theory 1. 研究背景及目的
對於參與聯合投資的成員而言，參與者依 其規模可能有大有小，大廠與小廠間的互動關 係就形成一個賽局，某些策略是合作的，但是 當合作時的利益與個別利益衝突時，個別廠商 又會以自身的利益為重，此時大廠與小廠間的 投資決策就可能陷入「囚犯困境」，如果大廠 與小廠都認為未來前景樂觀，聯合投資效益最 大，就會參加投資；如果有一方認為對方較有 利，對自己不利，就可能不參加投資，更何況 對於未來預測，是否能準確掌握，值得商榷。
前面曾提及產能必須在執行專案前確定，因此 大廠在推動該項專案時，是否應一併考慮小廠 的產能需求？如果不考慮，小廠將來成長空間 受限；但是如果納入後，實際成效確不如當初 預估，對大廠而言，投資效益就打折扣。
本文的主要內容包括：1.以投資廠商的角 度，探討聯合投資專案中各廠商之投資成本及 利益分配問題；2.對於聯合投資所可能發生的
「囚犯困境」問題，加以分析，並提出可行的 解決方案；3.如果大廠與小廠之間簽定契約產 能，分析雙方認為合理的產能選擇權價格，建 立一套評估模式；4.本文將以在工業區內聯合 投資汽電共生設備的實際案例，做為解析問題 或評估模式的參考樣本。
2. 聯合投資策略與困境分析
潛在參與聯合投資的任一成員，在決定參
加前，會自行評估其究竟投資與否，評估的結 果，可能有四種情形：
1. 所有個別廠商認為參加聯合投資的效益大 於成本，因此會參與聯合投資。
2. 領導廠認為參加聯合投資的效益更高，但其 他小廠認為不符合投資效益。
3. 沒有領導廠前提下，部份廠商認為藉由聯合 投資可以符合效益，部份認為不符效益，因 此符合效益者會結盟，產生類似領導廠商。
4. 所有個別廠商認為參加聯合投資的效益小 於成本，因此不會參與聯合投資。
上述的投資策略中，第一與第四種情形是 比較明確的，因為所有成員的決策是一致的，
第一種情形對參與者而言，是一種合作賽局，
成員所面對的是成本如何分攤的問題；第四種 情形下，並不會產生聯合投資的問題。困境的 發生主要是第二或第三種情形，第二種情形的 前提是有領導廠商，領導廠商的生產規模較其 他廠大，通常有能力獨自興建大型公用設備，
如果有其他小廠願意聯合投資，對於其生產效 益更大。至於自行評估不符合投資效益的小 廠，對此公用設施雖有需求，但可能因投資成 本太高，改採外購或委外處理方式，可能比參 加聯合投資的效益更大，所以採取不參加投資 的策略。
第二種情形對參與者而言，是一種兼具合 作與非合作的賽局，成員除了面對成本如何分 攤的問題以外，利益的均衡亦是相當重要。由 於大型公用設備的設計，通常有產能上的限 制，無法隨時更改，以免延誤工期或增加成 本，影響投資效益，況且當設備建置完成開始 使用後，更不可能為小廠再停工修改，因此在 決 策 執 行 前 要 先 確 定 小 廠 是 否 加 入 聯 合 投 資，以考慮小廠所需要的產能。領導廠為了儘 量發揮生產效益，產能愈大的設備，經濟規模 會更明顯，亦即單位生產成本較低，因為當產 能擴增一倍，投資成本毋須增加一倍，不僅生 產成本降低，連單位投資成本也可以降低，因 此領導廠會朝此目標努力。但其所面對的困境 是設備已包含小廠的產能設計，而小廠卻因為 擔心未來不確性，再加上本身資訊較不完全，
風險承擔能力較小，而放棄參加聯合投資或是 猶豫不決，領導廠的投資效益將大打折扣。
3. 解決困境的模式
為了解決上述第二種與第三種情形的困 境問題，應該由領導廠與小廠簽定契約產能的 方式，小廠給付一定權利金給領導廠，取代投 資成本，取得產能選擇權。領導廠執行投資決 策時，必須將小廠所需之產能涵蓋，至於權利 金多寡，應考慮各自分攤部份風險，以彌補預
測錯誤所發生的風險，並且藉由聯合投資達到 降低投資成本的目的。
基於各自分攤部份風險原則，且領導廠 希望小廠加入聯合投資，小廠為滿足自己的需 求，因此產能選擇權Oi的金額應比其參與投資 所應分攤的成本小，且所得到的效益應比支付 的權利金大，其參加投資的條件如下：
Oi < Ii，但Vi > Oi (1) 對領導廠而言，如果小廠加入聯合投 資，則其生產更具規模經濟，生產成本可以降 低，但是在成本效益衡量下，其可以接受之權 利金應符合下列(3)或(4)式之條件：
∑=
+
= n
i i
t N I I
I
1
) 0
( , i = 1… n (2)
i i
i O P
I < + ∆ , i = 1… n (3)
0 1
1
)
(N O P V
I
n
i i n
i i
t < ∑= + ∑= ∆ + , (4) (2)式中之 It(N)表示聯合投資總成本，I0 是領導廠商的投資成本，Ii是其他小廠加入投 資應負擔的成本。當小廠支付權利金給領導廠 後，取得產能使用權利，總投資成本由領導廠 全數負擔，所以(3)式是領導廠評估是否將小廠 產能納入設計的成立條件，ΔPi表領導廠因為 第i個小廠加入，可以減少之生產成本，當領 導廠自個別小廠收到之權利金 Oi及因為小廠 加入使得其更具規模經濟所降低之成本ΔPi之 和大於因增加產能所需投入的額外投資成本 時，領導廠是符合成本效益的考量，(3)式的評 估標準對領導廠是較有利的，而對小廠則是較 嚴格的。
由於產能擴充的投資成本不是以等比方 式增加，而是達到某種程度後，投資成本呈遞 減方式，因此當產能超過此一標準後，不僅額 外的產能投資成本更低，生產的經濟規模也更 有效率，對領導廠而言，(4)式相較於(3)式是比 較寬鬆的評估標準，即領導廠自身的投資效益 V0、所有小廠的權利金收入總和及可降低之總 成本三項加總後之和，需大於總投資成本。
第二種投資情形，因為有領導廠商存 在，因此其選用(3)式評估標準的順序會優先(4) 式，而第三種投資情形，因為沒有領導廠商存 在，因此會選用(4)式的評估標準，較不可能選 用(3)式。
4. 投資成本的分攤與估計
由於投資成本分攤方法選擇影響選擇權 價值之決定，從投資策略中可以得知，除了第 四種情形外，其他三種都與合作賽局有關，因 此先介紹賽局理論，再探討聯合投資之利益與 成本分配之特性，及其成本分攤方法。
賽局理論(Game Theory)為探討利益衝突
情形下的一種數學分析理論，旨在研究參與者 (Player)的決策對彼此間互動的關係。在賽局中 有許多種可能狀況，每種狀況所產生的結果可 能都不同，參與者依其偏好或認為較有利的條 件做決策，以求產生對其本身最有利的結果；
某些變數可由參與者掌握，但有些則不能，因 此資訊完全與否亦是達成目標之關鍵。
von Neumann 在 1921 年首先以具體的 數學模式對於策略加以分析，於 1928 年及 1937 年的報告中證實了「大中取小」(Minimax)定 理，奠定了賽局理論的基礎。1950 年 Tucker 發展出「囚犯的困境」 (Prisoner's Dilemma)以 及 Nash 在 1950 年與 1950 年提出的「納許均 衡解」( Nash Equilibrium)，對現代的非合作賽 局理論奠定基礎；同一時期，Nash 和 Shapley 在談判賽局(Bargaining)以及 Shapley 和 Gillies 對於核心(Core)的探討，都提出重要的結論，
對 於 合 作 賽 局 的 理 論 貢 獻 匪 淺 。 1966 年 Harsanyi 將 賽 局 分 為 合 作 賽 局 (Cooperative Game) 與 非 合 作 賽 局 (Non-Cooperative Game)，其關係如同個體經濟與總體經濟，是 一種互補的關係。以下為其定義及差異之比 較：
1. 合作賽局：容許參與的成員事先洽商、溝通 或協調，並訂立有約束力的合同或承諾。參 與者較注重最有利的聯盟形成之方式及參 與者之間報酬(Payoff)之分配等問題。
2. 非合作賽局：參與者事先無法互相交換情報 或資訊，亦無法溝通協商。個別參與者較注 重策略的選擇及遊戲規則的訂定與對抗的 過程細節；參與者對彼此間的「均衡」狀態 如何達成？使賽局結果成某種穩定狀態的 問題較關心。
在 n 人的合作賽局中，若以效用(utility) 的觀點來看，可區分為兩種：一是效用可轉換 的 n 人合作賽局；另一為效用不可轉換的 n 人合作賽局。本文主要討論的是效用可轉換的 n 人 合 作 賽 局 模 式 。 首 先 我 們 先 定 義 聯 盟 (coalition)及特徵函數(characteristic function)。
定義 1
令 N = {1 , 2 ,....,n} 為 n 個 參 與 者 (players)所組成的集合，則任何 N的非空子集 合，稱為聯盟(coalition)，以 S 表示。
定義 2
特徵函數(characteristic function) v 是定 義於N的所有子集之一為實數函數，代表聯盟 中的成員為了達成共同目的所能創造出來的 最大利益。
在可轉換效用的 n 人合作賽局下，可將 任一聯盟的價值以特徵函數值(characteristic
function value)表示。即對於任何一個合作聯盟 S而言(其中S ⊆N)，v(S)係表示其聯盟S的成 員合作可以創造出來的合作利益。且要求 v 滿足
v
v N v S
S N
( )
( ) max ( )
∅ =
= ⊆ 0 ,
即當聯盟S為空集合時，合作利益為零；當所 有參與者結合成一大聯盟N時，v(N)代表全體 成員共同合作時所能創造的最大利益。由於眾 人合作的目的乃在追求更大的利益，因此本研 究 假 設 特 徵 函 數 v(S) 具 有 「 超 可 加 性 (super-additivity property)」：若T⊆N 代表一個 與S無交集之聯盟，則
v S( ∪ T) ≥ v S( ) + v T( )
上式代表當聯盟 S 與 T 合作後其所穫得的利益 不會少於 S 與 T 分別獨立運作時所獲得之利益 的和。
關於分配的原則，除了考慮公平性與效 率性之外，同時也要考慮合作成員間誘因問 題，使聯盟成員能夠為整個合作團體貢獻，以 維持聯盟的穩定性，避免瓦解，所以一個理想 的分配方式，至少應滿足下列幾個特質：
1. 效 率 性 (efficiency) 或 稱 群 體 理 性 (group rationality)：對於利益分配的方式，最基本 的要求是要能夠把全體所創造的利益完全 分配完畢，即所有參與者所得的報酬會等於 大聯盟所創造的利益，此即表示具群體理 性。以數學式表示為：
Xi v N
i N
=
∑∈ ( )
其中Xi為第 i 個參與者所分配到的利益。
2. 個人理性(individual rationality)：當個體參與 合作時，其最初的本意乃是希望透過共同合 作以增加本身的利益，因此利益的分配，必 須使個體所得到的利益比獨自行動時所得 到的利益為大，否則此個體就不願參與合 作。所以對於任何一個參與者 i ，其合作後 的利益分配 Xi 不應少於自己單獨行動的報 酬 v({i})。因此為使合作進行順利，所有參 與者皆具個人理性，以數學式表示為：
Xi ≥v i({ }) , ∀ ∈i N
3. 利益增添原則：當合作團體願意讓某一個成 員加入時，則表示此成員的加入對於合作團 體的利益有所幫助，否則此合作團體不會同 意該成員加入。所以對於任何一個成員而 言，為了不讓此成員的分配而損及其他成員 的利益，而產生成員間交差補貼的現象，所 以每個參與者 i 的分配不得超過其成員加 入合作團體時所能產生的貢獻，定義每個成 員的邊際貢獻，以Mi表示為：
Mi= v(N) -v( N- { i }) 則利益增添原則可表示為：
N i , M
Xi ≤ i ∀ ∈
4. 聯盟理性(coalition rationality)：適當的利益 分配方法，除了要能夠使參與合作的成員不 會片面地脫離合作團體之外，也不希望團體 中 的 成 員 經 由 協 議 而 形 成 較 小 的 合 作 聯 盟，小聯盟通常會因擴張自己的利益而損害 整個合作團體，使得團體利益遭侵蝕，造成 合作團體有瓦解或分裂的傾向。因此對於合 作團體中的任一小聯盟S而言，其參與者所 分得的利益總和，不應小於該參與者直接結 成聯盟所能創造出的利益，以數學式表示：
N S , S v X
S i
i ≥ ∀ ⊆
∑∈
) (
滿足上述四個性質的解，係一個穩定的 利益分配方式所必須具備的基本條件，在合 作賽局理論中稱為核心解(core solution)。理 想的分配方式，除了應滿足上述核心解的條 件外，亦應具備下述兩個性質：
5. 虛位競賽者(dummy player principle)：對於任 何合作的參與者而言，有時很難辨別出個體 對於此合作貢獻的大小，依據虛位競賽者原 則，如果個體成員對於團體利益的增加沒有 貢獻者，就不能分享利益增加的好處，以數 學式表示為：
若 v(S∪{ i }) = v(S) ,i∈ −N S則Xi = 0 同時，對於合作成果沒有額外貢獻的參 與者，則應該只能分享其獨自行動時所能得 到的利益，以數學式表示為：
如 果 v N( )−v N( −{ })i =v i({ }) , 且
v S( ∪{ })i =v S( )+v i({ }) , i∈N S- 則 Xi = v({ i })
6.單調性(monotonicity)：對於合作賽局每一個 參與者而言，如果某個參與者的營運效率提 高，而使共同利益增加時，該參與者在聯盟 中所應該分得的利益應該增加或不比原來 少，否則將會打擊參與者對於增加合作績效 的意願。所以單調性的意義是指如果合作成 員所屬團體的合作利益增加時，則分配給每 位合作參與者的利益不應該減少，以數學式 表示為：令 Xi ,Xi分別代表第 i 個成員在 特徵函數為 v 及 v 時所得之分配利益，
若
v S( ) > v S( ) , S⊂ N
則 Xi ≥Xi , ∀ ∈i S
瞭解好的分配方法應具備哪些特性以 後，本文將採用合作賽局經常被使用且特性較 佳的 Shapley Value 、MCDO (The Marginal Cost Direct Overhead Method) 與 ACA (The
Alternative Cost Avoided Method) 等 三 種 方 法，估計與分攤投資成本，然後再從中擇一最 適者，做為投資效益評估與範例說明。
5. 投資效益估計與投資時機決策
投資效益將可能因產業景氣變化而受影 響，是一種隨機擴散過程，尤其是公用事業設 備除了供給投資參與者生產所需外，亦可以提 供服務給非投資成員，以求取最大利潤，而對 於投資成員的經營者，必須將投資報酬分享給 股東，因此可能有現金股利發放，故其投資效 益現值變化，應符合下列之 Wiener 隨機擴散 過程：
dz dt V q
dV
i
i = (α − ) +σ
本文的投資案例，為利於實務推廣與理 解，在範例分析中將採用數值分析法。本文將 採用有限差分法(Finite Difference Methods) 三項決策(Trinomial Tree)數值分析模型。
6. 範例分析
CSRC 是工業區中的一家廠商，以其目前 的產能，剛好可以投資汽電共生設備，雖然效 益不夠大，但為了擴充產能，因此邀請其鄰近 廠商 FY 與 LCR 共同商議是否聯合投資汽電共 生設備，以解決電力與蒸汽需求問題。目前 FY 與 LCR 製程所需蒸汽是向 CSRC 購買，電力 都是由台灣電力公司供應，如果要參加聯合投 資汽電共生設備，要先各自評估投資或維持現 狀，何者效益最高？
三家廠商初步評估聯合投資汽電共生設 備，資金成本率為 8%，各家每年可以得到的 效益包括蒸汽、電力與節省跳電損失。相對地 其每年自行投資與聯合投資所需的成本組合 與 10 年總成本現值，包括燃料、水、折舊…
等變動與固定成本，由收益與成本資料可以計 算出每年現金流量及 10 年現金流量現值。
三家廠商所面臨的投資策略如本文第二 節所述，聯合投資汽電共生設備對三家廠商表 面雖是合作賽局，但是廠商仍以各自利益為優 先考量，這也是目前商場上，企業經營的寫 照，「既合作又競爭」。首先各廠商會針對自 己的投資效益進行評估，然後再擬定投資策 略，而評估投資效益的第一步，必須釐清各自 的收益與成本分攤，收益的部份除「跳電損失」
估計較不可靠外，蒸汽與電力係製程所需，比 較明確；但是成本分攤就複雜許多，又因為成 本分攤多寡與投資效益息息相關，所以選定合 理且大家都可以接受的成本分攤方法攸關聯 合投資是否能順利進行關鍵之一。
(1) 資成本分攤
汽電共生設備的耐用年限約為 10 年，各 廠商的資金成本為 8%，無風險利率為 5%，由 於石化工業為傳統工業，波動幅度不大，僅 5%
左右，經營者每年配發給股東的股利率約為 4%。依據第四節所述的成本分癱方法計算未來 10 年聯合投資的總成本現值為 1,007 百萬元。
對 CSRC 而言，最有利的方法是 MCDO 法；
對 LCR 而言，最有利的也是 MCDO 法；但是 MCDO 法對 FY 最不利，由於 FY 是三家廠商 中規模最小者，較無議價能力，就初步評估，
其自行投資 NPV 為負，不值得，因此仍需考 慮參加聯合投資，所以各廠商採取妥協方案，
各退一步，選取次佳的 ACA 法結果做為評估 投資效益的成本參考。
從總流量現值可以得知，參加聯合投資 的效益顯然比表四獨自投資高出許多，但是正 的現金流量是否能符合投資效益，必須進一步 再評估。三家廠商聯合投資汽電共生設備總額 為 600 百萬元，依照 ACA 法，各廠商應分攤 的投資設備金額可估計。
(2) 資效益估計
依照 Trigeorgis 實質選擇權理論，採用實 質選擇權評估的投資價值等於 NPV 加選擇權 價值，而選擇權價值最低為 0，因此結果通常 會大於 NPV。FY 認為其規模最小，議價能力 低，最好保守因應，儘量穩健，應該以選擇權 方法與 NPV 兩者同時參考，雖然選擇權方法 較精確，但 NPV 較穩健。利用 Explicit Finite Difference Method 估計投資效益，十年收益現 值(V)為 117 百萬元，投資設備成本(I)為 150 百萬元。
FY 以三項決策(Trinomial Tree)數值分析 的結果，得知投資價值(C)為正的 2 百萬元，應 該值得參加聯合投資，而投資時機可以遞延，
但估計有風險存在，且 NPV 為負的 33 百萬元 ( V-I = 117-150 )；再者 2 百萬元的誘因太小，
為了謀取最大利益，增加談判籌碼，FY 可以 暫時不表示參加或故意表示不參加，持觀望態 度，等待其他廠商的意見。
LCR 以三項決策(Trinomial Tree)數值分 析的結果，得知投資價值(C )為正的 241 百萬 元 ， 且 NPV 為 正 的 221 百 萬 元 ( V-I = 429-208)，投資時機可以遞延，投資價值(C ) 會更大。由於參加聯合投資的效益，不管是 NPV 或選擇權方法，都非常好，因此 LCR 會 立即參加聯合投資汽電共生設備。
CSRC 為了擴充產能，同時解決製程中排 出的廢氣，以避免環境污染，因此對於聯合投 資汽電共生最積極，其各項參數值分別為V = 560，I = 242， r = 5%，σ = 5%，q = 4%，Δ
t = 1，T = 10。CSRC 三項決策(Trinomial Tree) 數值分析的結果，投資價值(C )為正的 341 百 萬元，且 NPV 為正的 318 百萬元( V-I = 560-242)，表示投資時機可以遞延，但擴充產 能為其當務之急，因此 CSRC 會立即參加聯合 投資，並扮演主導的角色，因為在三家廠商的 評估結果中，其效益最大；更何況又有產能擴 充計劃與環保問題需解決，而 FY 與 LCR 除了 跳電的風險外，並無環保問題，急迫性遠不如 CSRC，所以 CSRC 是聯合投資汽電共生設備，
潛在最有可能的領導廠商。
(3) 資策略與困境解決
聯合投資的策略分為四種，CSRC、FY 與 LCR 三家廠商的情形類似第二種，CSRC 的 生產規模較其他廠大，有能力獨自興建汽電共 生設備，LCR 願意參加聯合投資，如果 FY 也 願意參加，甚至其他廠商，對於其生產效益更 大。但是 FY 雖對電力與蒸汽皆有需求，因為 參 加 聯 合 投 資 效 益 太 低 ， 維 持 現 狀 蒸 汽 向 CSRC 購買，電力則向台電公司購買，雖然必 須忍受跳電損失風險，FY 認為以目前參加聯 合投資所需投入的資金仍比跳電損失的代價 高，所以採取傾向不參加投資的策略。
另一方面，FY 也瞭解如果放棄此投資機 會，將來產能需要擴充時，現在所採取外購的 方式，主動權在他人，且因自己規模較小，談 判籌碼少，如果他人無法配合，將迫使成長機 會受阻，可能因小失大，因此 FY 會陷入兩難 的困境。
對於領導廠 CSRC 而言，為了儘量發揮生 產效益，產能愈大的設備，經濟規模會更明 顯，亦即單位生產成本較低，因為當產能擴增 一倍，投資成本毋須增加一倍，不僅生產成本 降低，連單位投資成本也可以降低，因此領導 廠及參與聯合投資的成員會朝此目標努力。以 FY 目前的產能估計，只要其加入投資，CSRC 的生產成本至少可以降低 10%以上，為了達成 互利，解決困境，CSRC 提議與 FY 簽定契約 產能的方式，FY 給付一定權利金給 CSRC，取 代其應分攤的投資設備成本，取得產能選擇 權，CSRC 執行投資決策時，必須將 FY 所需 的產能涵蓋，並提供 FY 製程所需。
依據(1)式的原則，FY 所給付的權利金應 低於其分攤的投資設備金額 150 百萬元，且最 少應低至其總流量現值 117 百萬元(Vi )以下，
如果愈少愈好。
若不考慮 FY，CSRC 與 LCR 兩家聯合投 資設備的總額為 520 百萬元，加入 FY 後，投 資設備的總額為 600 百萬元，增加 80 百萬元，
CSRC 會依(3)式評估額外投入 80 百萬元(Ii)
後，所得到的權利金與降低的生產成本的總收 益應大於 80 百萬元。CSRC 與 LCR 兩家聯合 投資時，CSRC 的總生產成本現值為 446 百萬 元，FY 加入後至少可以降低成本 10%約為 45 百萬元(ΔPi)，依(3)式計算結果，CSRC 可以 接受之權利金(Oi)至少為 45 百萬元。
(3)式的評估標準對 CSRC 是較有利的，
由於產能擴充的投資成本不是以等比方式增 加，而是達到某種程度後，投資成本呈遞減方 式，因此當產能超過此一標準後，不僅額外的 產能投資成本更低，生產的經濟規模也更有效 率，對 CSRC 而言，(4)式相較於(3)式是比較寬 鬆的評估標準，即其自身的流量現值、所有小 廠的權利金收入總和及可降低之總成本三項 加總後之和，必須大於總投資設備成本。
按照(4)式原則計算 CSRC 可以接受之權 利金，會比(3)式更低，CSRC 與 LCR 兩家聯 合投資設備的總額為 520 百萬元，CSRC 應分 攤的投資設備金額 280 百萬元，加上 FY 的產 能，須額外再投入 80 百萬元，因此其設備總 投資額I0為 360 百萬元，可以降低成本 10%約 為 45 百萬元(ΔPi)，總流量現值V0為 350 百萬 元(966-446=350)，所以可以得出 CSRC 可以接 受之權利金(Oi)至少應大於ΔPi + V0 –Oi = 350 + 45 – 360 = 35 (百萬元)
(4)式所計算出的權利金為 35 百萬元，較 (3)式所得到的 45 百萬元低 10 百萬元，主要是 因為除了考慮 FY 加入的效益外，還有 CSRC 本身的效益。由上可以得知，CSRC 如果希望 FY 加入聯合投資，其可接受的權利金介於 45 至 117 百萬元間，FY 如果無法取得 CSRC 的 成本資料，以降低成本的 10%為可接受之權利 金(117×90% = 105)，仍是合理推論。FY 之所 以傾向不參加聯合投資的原因，主要在於投資 成本太高，而不是沒有需求，所以當其應支付 的成本降低至某種水準，就有誘因參加聯合投 資，其所面對的困境就能順利解決，不管對於 領導廠或小廠均是雙贏的策略。
7. 結論
一般對於聯合投資各成員究竟應分攤多 少成本，基本上皆採取比較簡單的處理方式，
例如依收益或產能需求的比例做為成本分攤 的參考；另一種常見的方式是籌組另一家公 司，出資比例的原則，仍是按產能需求為標準 居多。如此的分攤邏輯比較容易理解，方法也 比較簡單，但卻不是最公正的，從前述的文章 中，可以發現聯合投資所牽涉的問題，表面雖 屬合作賽局，但某些層面，又是非合作賽局，
使得問題更複雜，因此實務上不容易推廣。文 中所介紹的分攤方法是以成員加入投資後的
邊際貢獻為基準，貢獻大者，應享有較多利 益，而不是以平均法為原則，因此分攤的結果 比較公平。
目前有關實質選擇權的大部份文獻，僅 將 焦 點 投 注 在 各 種 選 擇 權 方 法 上 評 估 的 差 異，而本文是真正落實選擇權的內涵，由大廠 與小廠簽定契約產能的方式，小廠給付一定權 利金給大廠，代替投資設備成本，取得產能選 擇權，增加投資可行性，進而創造雙贏的局 面。以選擇權的觀念，解決「囚犯困境」的問 題，乃是創新的做法；再者，台灣地區以中小 企業為主，與其他工業國家擁有世界知名企業 的經營型態不同，因此關於探討聯合投資的相 關文獻亦不多，尤其是結合實質選擇權與賽局 觀念的研究，仍相當稀少。
本文雖以聯合投資汽電共生設備的實際 案例，做為解析問題或評估模式的參考樣本，
以增加可操作性與實務運用，而文中所探討的 觀念或模式亦可用於解決類似問題，例如焚化 爐或廢水處理等工程。
8. 參考文獻
Arrow, K. and R.C. Lind, "Uncertainty and the Escalation of Public Investment Decisions", American Economic Review, 60, No. 3, 1970, p.p.
364-378.
Aumann, R. J. and M., Maschler, " Game Theoretic Analysis of a Bankruptcy Problem from the Talmud ", Journal of Economic Theory, 36, 1985, pp. 195-213.
Bennett, E., " The Aspiration Approach to Predicting Coalition Formation and Payoff Distribution in Sidepayment Games ", International Journal of Game Theory, 12, 1983, pp. 1-28.
Boyle, P. P., “ A Lattice Framework for Option Pricing with Two State Variables”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol.23, No.1, 3.1988, pp. 1-12.
Cox, J., S. Ross, and M. Rubinstein, “ Option Pricing: A Simplified Approach”, Journal of Financial Economics, 7, 10.1979, pp. 1-12.
Gately, D., "Sharring the Gains from Regional Cooperation:a Games Theoretic Application to Planning Investment in Electic Power", International Economic Review, 15, No.1, 1974, pp. 195-208.
Hamlen, S.S., Hamlen, W. A and J.T. Tschirhart,
"The Use of the Generalized Shapley Allocation in Jiont Cost Allocation", Accounting Review, 55, 1980, pp.269-287.
Harsanyi, J. C., " A General Theory of Rational Behavior in Game Situations ", Econometrica , Vol. 34 , 1966, P.616.
Ingersoll , J. and S. Ross, “Waiting to Invest:
Investment and Uncertainty”, Journal of Business, Vol 65, No. 1, 1992, pp. 1-29.
Hull, J. and A. White, “ Valuing Derivative Securities Using the Explicit Finite Difference Method”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol.25, No.1, 3.1990, pp. 87-99.
Hull, J. and A. White, “ The Use of Control Variate Technique in Option Pricing”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, Vol.23, No.3, 9.1988, pp. 237-251.
Kalai, E. and M. Smorodinsky, " Other Solution to Nash's Bargaining Problem ", Econometrica, 43, 1975, pp.513-518.
Kalai, E., " Nonsymmetric Nash Solution and Replications of Tow-Person Bargaining ", International Journal of Game Theory, 6, 1977, pp.129-133.
Kester, W.C., “Today’s Options for Tomorrow’s Growth. “Harvard Business Review, 62, No. 2, 1984, pp. 153-160.
Kulatilaka, N. and L. Trigeorgis, “ The General Flexibility to Switch: Real Options Revisited ”, International Journal of Finance, 6, No. 2, 1994, pp. 778-798.
Littlechild, S.C. and C.F. Tompson, "Aircraft Landing Fees:a Game Theoretic Approach", Bell Jouranl of Economic,Vol.8, 1977, pp. 186-205.
Luce, R. D. and H. Raiffa, Games and Decisions-Intriduction and Critical Survey,Nwe York,1985.
Margrabe, W., “The Value of an Option to Exchange One Asset for Another”, Journal of Finance, 33, No. 1, 1978, pp. 177-186.
Majd, S. and R. Pindyck, “Time to Build Option Value and Investment Decision” , Journal of Financial Economics, 18, No. 1, 1987, pp. 7-27.
McDonald, R. and D. Siegel, “Investment and the Valuation of Firms when There is an Option to Shut Down”, International Economic Review, 26, No. 2, 1985, pp. 331-349.
Myers, S.C. and S. Majd, “Abandonment Value and Project Life”, Advances in Futures and Options Research, 4, 1990, pp. 1-21.
Nash, J. F., " The Bargaining Problem ", Econometrica, 28, 1950, pp.155-162.
Nash, J. F., " Equilibrium Points in n-person Games " Proceed-ings of the National Academy of Sciences, 36, 1950, pp.48-49.
Paddock, J., D. Siegel and J. Smith, “Option Valuation of Claims on Physical Assets: The Case of Offshore Petroleum Leases”, Quarterly Journal of Economics, 103, No. 3, 1988, pp.
479-508.
Pindyck, R., “Irreversible Investment Capacity Choice and the Value of the Firm”, American Economic Review, 78, No. 5, 1988, pp. 969-985.
Roth, A. E., " The Evolution of the Labor Market for Medical interns and residents: A Case Study in Game Theory ", Journal of Political Economy, Vol.92, 1984, pp.991-1016.
Schmeidler, D.,"The Nucleolus of a Characteristic Function Game", SIAM Journal of Applied Mathematics, Vol.17, 1969, pp.
1163-1170.
Shapley, L.S. "A Value for n-person Game In Contributions to the Theory of Games", Annals of Mathematics Studies, 28, ,1953, pp. 307-317.
Straffin, P.D. and J.P.Heaney,,"Game Theory and the Tennessee Valley Authonty", International Journal of Game Theory, 1981, pp. 35-43.
Smit, H. T. J. and L. A. Ankum, “A Real Options and Gametheoretic Approach to Corporate Investment Strategy under Competition”, Financial Management, 22, No. 3, 1993, pp.
241-250.
Trigeorgis, L., “ The nature of option interactions and the valuation of investments with multiple real options.” Journal of Financial and Quantitative Analysis, 28, No. 1, 1993, pp.1-20.
Trigeorgis, L., “Real Options and Interations with Financial Flexibility”, Financial Management, 22, No. 3, 1993, pp. 202-224.
Trigeorgis, L., Real Option-Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation, MIT Press, Cambridge Massachusetts, 1996.
von Neumann, J., and O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior, Princeton University Press, 1944.
Williams, M. A., "An Empicial Test of Cooperative Game Solution Concepts", Behavioral Science, 33, 1988, pp.224-237.
Young, H. P., Okdda, N. and T. Hashimoto,
"Cost Allocation in Water Resources Development ", Water Resources Research, 18, 1982, pp. 463-475.
8
