國立台南二中 102 學年度適性班考試數學科試題

國立台南二中 102 學年度適性班考試數學科試題

一、多選題 (6 題 每題 7 分 共 42 分)

（ ）1. 設 A﹐B 為獨立事件﹐ 已知 P( ) A 1

2﹐ P(A  B) ²

3﹐ 則下列何者為真？ (1) P(B) ¹ 3 (2) P(A  B) ¹

4 (3) P(A  B) ¹

3 (4) P(B | A) ²

3 (5) P(A  B) ⁵ 6﹒

（ ）2.設 a﹐bR 且|a| > |b|﹐則下列何者正確﹖(1) a > b (2) |a| + b > 0 (3) a + |b| > 0(4) a (a + b) > 0 (5) (a + b)(a  b) > 0

（ ）3.設< a_n >﹐< b_n >為二等差數列且前 n 項和分別為 S_n與 T_n﹐若 S_n：T_n  (3n + 2)：(7n + 5)﹐則下 列選項何者正確？ (1) ^{3 4}

3 4

20 47

a a

b b

 

 (2) ^{2 5}

3 4

20 47

a a

b b

 

 (3) ^{5 11}

7 9

50 107

a a

b b

 

 (4) ⁸

8

53 124 a b  (5) ⁴

5

23 68 a

b  ﹒

（ ）4.設a , , b c為實數﹒若二次函數 f x( )ax²bxc的圖形通過(0, 1) 且與x軸相切﹐則下列選項 何者為真？ (1)a0 (2)b0 (3)c 1 (4)b²4 ca 0 (5)a  b c 0

（ ）5. 已知10個學測的數學成績x₁, x₂, , ₁₀ ( 10 )

x

2

的算術平均數為 分﹐標準差為7 3分﹒若令

2 2

1 2

( ) ( ) ( )

f x x (7)

x x x

   

90 f

x x

 

2 2 2

1 2 10

x x x

﹐則下列哪些選項正確﹖

(1) (2) 790 (3) f(6) f(7) (4)f(7) f(8) (5)f(8) f(9)

（ ）6. 設

f x

( )

ax

³

bx

²

cx



d

( )

為實係數三次多項式﹐則下列選項哪些是正確的？

(1)

y



f x

的圖形與 x 軸至少交於一點

(2)若 (2

f

 3)  7 2 3﹐則 (2

f

 3)  7 2 3 (3)若 2

 為方程式3

f x

( )0的一根﹐則3 | 且 ( 2

a

 ) | d (4)若方程式 ( )

f x

 有一實根為 0 與兩虛根﹐則0

a c   0

(5)若1與 2 之間有實數 x﹐使得

f x

( ) ﹐則 ( 1)0

f



f

(2) ﹒ 0 二、填充題 (14 格 每格 5 分 共 70 分)

1.有一等比數列共有 10 項﹐已知奇數項的和為 20﹐偶數項的和為 60﹐則此等比數列的公比為____________﹒

2.求(log49  log1627)(log916  log272)  ____________﹒

－ 1 －

3.求 f (x)  3x³  5x²  4x  2 的整係數一次因式為____________﹒

4.解不等式 log6

x  log

6(x²  7) < 1﹐得 x 的範圍為____________﹒

－ 2 － 5.將等比數列²

3﹐( )^{2 2}﹐ 3

2 3

)

( ﹐…逐項化成小數﹐首次在小數點以下第 4 位才開始出現不為 0 的數字為第 n 項﹐且該數字為 a﹐則數對 =____________﹒

3 ( , )n a

6.滿足 6  x  y  z  12 之非負整數解﹐x﹐y﹐z 共有____________組﹒

7.多項式 f (x)除以 x  1 得商式為 Q (x)﹐餘式為 4﹐且 Q (x)除以 x + 2 時﹐餘式為 5﹐則 f (x)除以 x + 2 的餘 式為____________﹒

8.由(1)﹐(2﹐3)﹐(4﹐5﹐6)﹐(7﹐8﹐9﹐10)﹐…﹐(56﹐57﹐58﹐…﹐66)中﹐任取二相異數﹐且此二數不 在同一括號內﹐共有____________種不同取法﹒

9.已知(log3x) (logax) = 1 之二根乘積為 ¹

18﹐則 a = ____________﹒

10.某國中舉辦闖關遊戲﹐每位參賽者要依序過三關﹐過關了才能繼續挑戰下一關﹒小明在第一､二､三關 被淘汰的機率分別為^{1 1 1}

5 3, , 2﹐且每一關過關與否不互相影響﹐則 (1)小明被淘汰的機率為____________﹒

(2)已知小明被淘汰了﹐則他是在最後一關被淘汰的機率為____________﹒

11.a﹐bR﹐若|ax + 1|  b 之解集合為{x |  2  x  12}﹐則( , )a b = ____________﹒

12.如圖﹐以紅､黃､綠､藍､黑五色塗 A﹐B﹐C﹐D 四區﹐顏色可重複使用﹐每區塗一色或不塗色﹐相鄰 二區不同色﹐且最多一區不塗色﹐共有____________種不同的塗法﹒

13.不等式 ¹ 1 x

x 

 之解為 ﹒

三、證明題 (1 小題，共 8 分)

1. 已知 f (x)  2x³  7x²  3x  3﹐證明：存在 p  R﹐0  p  1 使 f (p)  5p  1﹒

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國立台南二中 102 學年度適性班考試數學科答案卷

一、多選題 (6 題 每題 7 分 共 42 分)只錯一選項給 4 分

1. 2. 3. 4. 5. 6.

二、填充題 (14 格 每格 5 分 共 70 分)

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. (1) 10. (2) 11.

12. 13.

三、證明題 (1 小題，共 8 分)

1. 已知 f (x)  2x³  7x²  3x  3﹐求證：存在 p  R﹐0  p  1 使 f (p)  5p  1﹒

證明：

國立台南二中 102 學年度適性班考試數學科(解答)

一、多選題 (6 題 每題 7 分 共 42 分)只錯一選項給 4 分

1. 145 2. 245 3. 125 4. 135 5. 145 6. 14

二、填充題 (14 格 每格 5 分 共 70 分)

1. 3

2.

⁴⁹ 12

4.

7 x 3

3.

3x  1

5.

(18 , 6) 6. 399

7.

 11

8.

1925

9. 6

10. (1)

¹¹

15

10.(2)

⁴

11

11.

( ^{1 7},

5 5)

12. 680

13.

^{1 5} 1

2 x

   或 ^{1 5}

x 2



三、證明題 (1 小題，共 8 分)

1. 已知 f (x)  2x³  7x²  3x  3﹐求證：存在 p  R﹐0  p  1 使 f (p)  5p  1﹒

證明：令 g(x)  f (x)  (5x  1)  2x³  7x²  2x  4 ∵ g(0)   4﹐g(1)  3 ∴ g(0)g(1)  0 由勘根定理知存在 p  R﹐0  p  1 使 g(p)  0 即 f (p)  (5p  1)  0﹐即 f (p)  5p  1

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