三維流線座標法--兩流函數理論之發展與分析

科技部補助專題研究計畫成果報告 期末報告

三維流線座標法--兩流函數理論之發展與分析

計 畫 類 別 ： 個別型計畫

計 畫 編 號 ： MOST 105-2221-E-006-133- 執 行 期 間 ： 105年08月01日至106年07月31日

執 行 單 位 ： 國立成功大學水利及海洋工程學系（所）

計 畫 主 持 人 ： 唐啟釗

計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理：黃邱俊 碩士班研究生-兼任助理：周昱成 碩士班研究生-兼任助理：曾頌文

中　華　民　國　106　年　10　月　29　日

中 文 摘 要 ： 本研究探討三維流速場可使用兩個流函數進行流場幾何化處理。應 用「此兩等值流函數代表兩流面，與兩流面交線為流線」之概念

，介紹「三維流線與流面座標轉換法」，由流線之參數併合兩流面 之參數，構建三維曲線座標系統，可將流場物理問題轉換為數學幾 何問題，直接由指定之兩流函數值，反求流場之流線與流面位置。

本計畫分析曲面上曲線之幾何轉換性質，並考慮無黏性流體具有三 維無旋性與旋性運動之幾何化處理，同時推導渦度場影響流面間距 的關係；考慮黏性流體具有三維無旋性與旋性運動之幾何化處理。

此研究工作期能在流線座標法與兩流函數應用架構，以發展可分析 三維無分離流之通用計算模式。

中 文 關 鍵 詞 ： 三維流動、流面座標、流函數、座標轉換、渦度、向量勢函數 英 文 摘 要 ： In this project, the geometry treatment of two stream

functions for the three-dimensional (3D) flow is

investigated. Using the concept of streamline deducted from intersection of two stream surfaces in the 3D space, one constructs a general 3D coordinate system through

coordinate transformation by these two families of stream functions. Therefore, the flow problem is transferred to the geometry one in which the position of streamlines are solved instead. In the study, the analysis of geometry transformation properties of a curve in two intersecting surfaces is first examined. Then, both irrotational and rotational flows of an inviscid fluid are calculated in the 3D flow field. Meanwhile, we intend to clarify whether the influence of vorticity is essential on the gap of two neighboring stream surface. We herein build up a numerical model by using the formulation of streamline and two stream surfaces to analyze the general 3D flow without flow

separation considered.

英 文 關 鍵 詞 ： three-dimensional flow; Stream surface coordinates; stream functions; coordinate transformation; vorticity; vector potential

科技部補助專題研究計畫成果報告

（□期中進度報告/■期末報告）

三維流線座標法--兩流函數理論之發展與分析

Development and analysis of two streamfunctions theory for 3D streamline coordinate method

計畫類別：■個別型計畫 □整合型計畫 計畫編號：MOST 105-2221-E-006-133

執行期間： 105 年 8 月 1 日至 106 年 7 月 31 日 執行機構及系所：國立成功大學水利及海洋工程學系

計畫主持人：唐啟釗 共同主持人：

計畫參與人員：黃邱俊、周昱成、曾頌文

期末報告處理方式：

1. 公開方式：

■非列管計畫亦不具下列情形，立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢 2.「本研究」是否已有嚴重損及公共利益之發現：■否 □是

3.「本報告」是否建議提供政府單位施政參考 ■否 □是， （請 列舉提供之單位；本部不經審議，依勾選逕予轉送）

中 華 民 國 106 年 10 月 31 日

摘要

本研究探討三維流速場可使用兩個流函數進行流場幾何化處理。應用「此兩等值流函數 代表兩流面，與兩流面交線為流線」之概念，介紹「三維流線與流面座標轉換法」，由流線 之參數併合兩流面之參數，構建三維曲線座標系統，可將流場物理問題轉換為數學幾何問題，

直接由指定之兩流函數值，反求流場之流線與流面位置。本計畫分析曲面上曲線之幾何轉換 性質，並考慮無黏性流體具有三維無旋性與旋性運動之幾何化處理，同時推導渦度場影響流 面間距的關係；考慮黏性流體具有三維無旋性與旋性運動之幾何化處理。此研究工作期能在 流線座標法與兩流函數應用架構，以發展可分析三維無分離流之通用計算模式。

關鍵詞：三維流動、流面座標、流函數、座標轉換、渦度、向量勢函數

Abstract

In this project, the geometry treatment of two stream functions for the three-dimensional (3D) flow is investigated. Using the concept of streamline deducted from intersection of two stream surfaces in the 3D space, one constructs a general 3D coordinate system through coordinate

transformation by these two families of stream functions. Therefore, the flow problem is transferred to the geometry one in which the position of streamlines are solved instead. In the study, the

analysis of geometry transformation properties of a curve in two intersecting surfaces is first examined. Then, both irrotational and rotational flows of an inviscid fluid are calculated in the 3D flow field. Meanwhile, we intend to clarify whether the influence of vorticity is essential on the gap of two neighboring stream surface. We herein build up a numerical model by using the formulation of streamline and two stream surfaces to analyze the general 3D flow without flow separation considered.

Keywords: three-dimensional flow; Stream surface coordinates; stream functions; coordinate transformation; vorticity; vector potential

一、 前言

根據易家訓教授(Yih, CS, 1977)流體力學一書第 6 節所載，三維不可壓縮性流場之流速𝑉⃗ 可 表為兩個流函數 ,  梯度之向量積關係(他用 f, g 表示兩流函數符號)

V         . (1)

此式若應用於穩態可壓縮流動時，可在其左側速度項包含密度，仍可使用兩流函數表示此種 流場。當此兩流函數分別為定值= ,c₁  c₂時，在幾何上分別代表三維空間之兩等值曲面 (level surface)，在流力物理上則因其皆與速度向量平行故可稱為流面(stream surface)。兩流面 之法線向量各為與，因此式(1)描述：在此兩面交線上，與此兩向量同時正交之切向 向量為速度，既然流線切線與速度平行，所以兩流面之交線將產生流線(streamline)。因此，

可說, 兩流函數係由流線定義獲得，同時式(1)可自動滿足∇ ∙ 𝑉⃗ = 0之關係。然而，包含此 條流線之流面有無窮多個，所以只要兩線性獨立之流面即能定義出流線來。如此式(1)說明速 度向量平行於通過某點之切線(稱為流線streamline)，所以「兩曲面相交曲線」將產生流線。

這是第一種獲得兩流函數的概念或方法，因為三維流場使用流面以及流線的幾何方式來描 述，或可歸屬於「流場幾何化」的分析方法。

由於流線另亦可定義為「一條曲線之切線與速度向量平行」，如在卡氏座標(x, y, z),速度 向量可以分解為V ( , , )u v w 且設三個分量且皆不為0，當流線切線平行速度時，兩者之所有 分量將成等比率，因此滿足下列兩個聯立微分量關係

dx dy dz

u  v  w (2)

由此可分別積出兩個聯立的函數解( , , )x y z C₁和( , , )x y z C₂。此種用「人為方法」(易教 授用語)獲得兩個函數解，亦可說明三維流線與速度場可由「  兩函數解」所推得。上述說, 明兩流函數或可由兩流面相交之流線定義，或者也可由速度分量人為積分獲得。無論何種方 法，因式(1)可自動滿足流場之連續方程式  之關係，此兩函數自然可稱為流函數V 0 (stream function)，而其構成之曲面叫做流面(stream surface)，兩曲面交線稱為流線。易教授也 另外獲得重要結果，將兩對流面( ₁, ₂)與( ₁. ₂)所構成的方形流管之流量表示為兩流函數

之差值乘積

2 2

1 1 ( 2 1)( 2 1)

Q

 

⁽³⁾

在二維流動(或軸對稱流動)，單一流函數 (此時令 = z or )與流線(不包含式(2)之末項,且 w = 0 或圓周向速度為零)可相互「唯一」決定；當流線決定流函數時，允許相差一個常數(此常 數可由經過流場某任意點之流線，給定相應的流函數值來求得)。二維流場的流函數稱為 Lagrange 流函數，軸對稱流場的流函數稱為 Stokes 流函數。然而，三維空間上產生此條流線之 相交流面卻有無窮多個，所以只要包含同一流線之任兩流面，若能符合「線性獨立」 (即兩曲 面之法線向量不平行) 的關係，即能唯一定義出通過此點之該條流線來。如此，這種「三維流 場之流線不能唯一決定兩流函數」的特性，將衍生應用上的一些挑戰性與困擾，使得相關研究 變得不如二維或軸對稱流那般普遍，但若能巧妙善用此種性質，也將產生另外一種特殊的便利 性(參見 Yih, 1957 之討論)。本計畫的目的即利用「兩流函數產生三維流線」及「一維速度向量 平行流線的切線」的概念，使用「流線座標法」，發展出「兩流函數解析三維流場」的相關理 論；經由微分幾何的概念，推導出「曲線」在兩線性獨立「曲面」的向量函數關係，藉此構建 三維流場「幾何化」的基礎理論與模式；然後將實際應用此幾何化的流場理論模式，數值分析 幾種三維流況的實例，並驗證其可用性(例如誤差的控制、格網配置的技巧、以及計算效率的 評估等等分析)。

因相關期刊文獻甚少涉及此主題，而書籍文獻均為流力理論概念的引述，並無具體方法可 在已發表文獻中搜得。除了易教授(Yih)流力書的先驅討論外，坊間相關的流力書甚少討論到三 維流場是否存在流函數的議題，甚或可見誤認為「三維流場不存在流函數」的評論(Smiths, 2000 等，Smiths 是美國國家工程院士)。屏除這類的文獻，涉及此議題者有：如 Truesdell,1954, Airy, 1962; Milne-Thompson, 1968; Emanuel, 1994, Kundu & Cohen, 2004; Panton, 2005; Graebel, 2007;

Leal, 2007;也有多位建議用向量勢 (vector potential) 函數來表示三維不可壓縮流之速度場，即

𝑉⃗ = ∇ × Ψ⃗⃗⃗ 滿足連續方程式，由此也有些研究採用此種形式與渦度(vorticity)向量聯立求解，但 卻因向量勢包含三個分量並未簡化分析求解變數的程序，並未發展出有效的模式來。(註：此 處可理解到由式(1)之兩流函數可表為Ψ⃗⃗⃗ = 𝜓∇𝜒之關係)。也有認為速度向量改用非線流函數導 數相乘來表示，對強烈非線性問題未見其益(Graebel, 2007，他是 U. Michigan 退休教授，曾受 易教授指導博士論文，但不知是否是己意或易教授之看法；他也認為在邊界上Ψ⃗⃗⃗ 的條件是笨拙 的，似乎與Yih, 1957 本文看法不同)。但因相關文獻甚少，因而主持人追朔回易教授討論「兩 流函數應用於三維流場」之原文(Yih, 1957)，發現更早之文獻涉及此主題有兩位學者 Clebsch (1857)和 Prášil (1926)，經 google 學術搜尋此兩位作者原文並下載閱讀(均為德文，故只能由數 學式揣測其推導過程)，配合易教授所評述，前者雖導得滿足∇ ∙ 𝑉⃗ = 0之函數，但卻未能辨認此 兩函數為流場之流函數；後者雖考慮∇ ∙ 𝑉⃗ = 0 並用於無旋流，卻未建立式(1)之流速與流函數 關係。執行本計畫時更閱讀Truesdell 的經典書籍 The kinematics of Vorticity 發現早在向量分析 (如 Phillips, 1933 或 Brand, 1947)已有討論螺線(solenoidal)向量場V 可表為式(1)之形式(Truesdell 使用不同符號 c ，且亦導出旋量(curl)或 沿該向量線(vector line)的局部三正交座標之分量V 和vector sheet, vector tube。綜言之，兩流函數雖然「存在」於三維流場，但有「無法被唯一決 定」的爭議，猜測或許此困難是較少被後人應用的原因之一。同時 Google 亦搜尋出 Greywall (1985, 1988, 1991, 1993)也曾討論兩流函數不唯一的問題，並建議利用此特性來簡化兩流函數 所代表流面的幾何關係(遵從 Yih 之建議)，並由此兩族流面組合的幾何形狀，來構成三種不同 分類之流況。這是少數文獻中提及三維流線座標與兩流面的幾何轉換關係，Greywall 討論兩流 面以及流線座標的概念，使用(x, ψ, χ)座標應用於二維與三維內部勢流場的問題，與 von Mises 座標轉換(見下文敘述)一樣限制了流線間距分佈的控制，對求解邊界層流需要很密格線時，無 法獲得所需精度，而在無旋流區又必須維持過密格線而浪費資源。因為他未分析黏性流況，所 以渦度影響流線的效應未包含在模式中，應用上有很大限制。為了瞭解這些機制，以下先大略 介紹主持人近年使用二維「流線座標法」的基本概念(細節請參見下列參考文獻)，並適時比較 與三維座標法之差異，再討論本計畫之相關構想。

在二維穩態無黏性流場，單一流函數與速度場滿足連續方程式，切向及法線向加速度沿特 定流線的關係，在一般大學部流力教科書裡皆有討論，可見是普遍淺顯的基本理論。唯這些量

(或幾何關係)均定義為流場位置座標之函數，與此處討論的「流線座標法」略有不同。二維「流 線座標法」簡言之就是：二維座標系統的其中一族座標線為流線族(稱其為-線族，而另一族座 標線則稱為-線族)，將該流線族的位置(x, y)轉換為求解變數的方法。如此，流場問題即可以 轉變為幾何問題，我們稱此為流場幾何化的轉換。當沿某條-座標線(亦即=constant 由不同常 數代表不同流線)，其流函數 = ()=constant。此流函數值可在上游指定，因此反過來求解 x

= x(, ), y = y(, )。但事實上可以進一步簡化為：給定 x = x()的關係，僅需求解 y = y(, )。

此處稱其為「擴充型von Mises 轉換」。

Von Mises 在 1927 提出類似的座標系統(x, ) 經由幾何轉換關係用來求解穩態可壓縮性邊 機翼邊界層流內之速度場u(x, )，這與 Blasius 平板邊界層相似轉換關係有點類似，但求解因 變數(dependent variable)不是流函數，而是將流函數(或流線)變為自變數(independent variable)。

使用這種 von Mises 轉換的好處是可以處理機翼的曲面(邊界流線)而無須使用高階邊界層方程 式，同時因x 是計算域中指定的座標值，因此不須求解，所以最後計算流線位置時只需沿特定

值計算 y 值即可。這種轉換方法在於無法控制流線之間距，可能形成需要較細間隙的流線(譬 如在流場變數變化較大區域如邊界層內有高解析度需求)精度不足；而在無需細間隙流線處(如 遠場近乎均勻速度分布區域)則形成不當耗費計算資源的情形。上述 Greywall 的三維流線與流 面座標亦具有相同缺點。

主持人曾將二維von Mises 轉換擴充為上列建議簡化方式，因此就可使用格網生成技巧經 由 = ()和流場渦度 = (, )來適當控制格線解析度，獲得較精確的計算結果，這些技巧 也是由-模式 (為渦度)的研究發展出來，有興趣細節者請參考主持人之相關文獻。應用擴充 型von Mises 轉換的好處是將物理流場域轉換為幾何參數域，而且所有內部固面物體(不可穿透 邊界)均為流線座標線。由某特定流函數值與流線(或兩流線之流函數差值等於流量)之幾何轉換 關係，反求流線位置。一旦流線獲得，流場的變數都可獲得，例如速度向量可由局部流線之流 函數差值獲得；然後壓力可由沿流線使用 Bernoulli 方程算得；切向與向心加速度可由速度與 壓力場算得。這樣的關係仍可非常簡易地擴充到三維流場。

若考慮二維通用(general) 的問題為非穩態(unsteady)流，則包含二維流線的座標系為(, ;) 可對應到二維流域的流線位置(x, y; t)；若欲考慮旋性(irrotational)流則需考慮流場渦度 = (,

;)的影響。渦度在二維流場有兩個生成來源：一是由上游沿流線對流傳輸(convective transport) 進入計算區域；另一來源則因黏性效應由固面邊壁無滑溜條件生成，然後由對流傳輸與黏性擴 散傳輸(diffusive transport)進入流場。因二維流場之渦線不會扭曲或拉長，前者若為非黏性流況，

將不會受到黏性擴散作用，則依據 Helmholtz 渦度傳輸方程式可知：沿流線之渦度保持守恆。

如為二維黏性流動則上述兩種渦度生成源皆為邊界條件，流場內部的渦度傳輸分布由渦度傳輸 方程式統御。但因沿流線座標分解對流傳輸方向僅有一維流動方向，因此甚易數值處理。即使 是非穩態流線位置隨時間遞移，在流線上的流體質點隨時間變位的關係亦甚易求得，此種技巧 可參考主持人更早期應用於波流-計算模式，此處本段尾端列出幾篇文獻可供參考。在流場 中渦度是重要影響流線間距分佈的因子之一，相對而言，壓力並未出現於渦度傳輸方程式，主 因是均勻密度的流體，壓力作用在質點中心，不會產生旋轉效應；若是層變(stratification)密度 流，此時質點中心偏離體積中心點，因此將會是第三種渦度重要生成源，本研究將不考慮此種 效應。反而三維流動因渦線扭曲或拉長(縮短)而影響渦度傳輸(無論是否考慮黏性效應皆會如 此)，但仍然可用完整之渦度傳輸方程式計算渦度向量。本研究發現三維流面兩流函數等值面 (level surface)的間距受渦度向量顯著影響，是創新的發現。

綜言之，三維流線座標法亦是上述觀念的推廣，只不過考慮的流線必須包含在兩流面上。

因此二維流場幾何化是平面-曲線的幾何轉換，相對簡單，只需一個參數即可；而三維流場的 幾何化是在兩族獨立曲面上的曲線之幾何轉換，除了包含-曲線外尚需構成曲面的另一個參數

或。空間曲線增加的幾何性質需要額外考慮，如平面曲線的法線向量變為空間曲線的主法線 (principal normal)與雙法線(binormal)兩個向量、空間曲率(curvature)增加扭率(torsion)的考量、

原本平面曲線之協變covariant 基向量、抗變 contravariant 基向量和米度張量、協變導數等都變 得更複雜。平面曲線的角度原本可以相加(如兩平面向量合成仍在原來平面上)，到了空間變成 無法直接相加，這也會嚴重影響座標微分關係。除了上述曲線的性質外，尚需考慮曲面的幾何 性質(如切面、曲面法線與曲線法線不同，曲面有兩種獨立方向之曲率等等)這些都是很具挑戰 性的問題。這些問題原本安排兩年工作時程進行，但因僅通過第一年研究計畫之補助，在此一 年期間之工作成果報告於此，並未能完整完成所有研究構想。

二、 數學列式

2.1 三 維 流 場 模式 — 兩流 函數 在卡 氏 座 標的應 用

不可壓縮性黏性流體流動滿足Navier-Stokes 方程式可寫為

V=0 (4)

2 V V V p

gz V

t   



 

          (5)

式中流體質點性質為 p=壓力，=密度，z=高程，g=重力加速度，=運動黏度，定義渦度為

  . V (6)

由式(5)可見：穩態時(1)無旋性流體可獲得 Bernoulli 方程式；(2) 無黏性流體沿流線或沿渦線 均可獲得Bernoulli 方程式。同時，由此式亦可分辨旋性流與黏性流兩者對動量方程式之影響。

若未考慮自由液面流動時，重力項可併入壓力構成測壓(piezometric pressure)處理即可。

Helmholtz 渦度傳輸方程式可由式(5)取旋度(curl)獲得：

(V ) 0

t

   

      

 (7)

其中第二項可分解為：−∇ × (𝑉⃗ × 𝜔⃗⃗ ) = (𝑉⃗ ∙ ∇)𝜔⃗⃗ − (𝜔⃗⃗ ∙ ∇)𝑉⃗ ；前者表示沿流線渦度之變化，後 者表示沿渦線速度之變化。兩流函數, 與速度向量𝑉⃗ 之關係如前式(1)所示，滿足連續方程式 (4)。這些方程式如果使用卡氏座標(x, y, z)時，連續方程式、速度與渦度兩向量產生繁複的分量 關係(以下皆使用座標下標代表對其微分，卡氏座標系的運算子以區別於一般坐標系 )。如

x y z 0

V u v w

     (8)

連續方程式由兩流函數之定義自然滿足，無須贅言；但速度場及渦度場在卡氏坐標系分別為

( )

( )

( )

y z z x

x y z z x x z

x y z x y y x

i j k i

V j

k

   

        

      



      

 

, (9)

y z z x z x x z x y y x

i j k

V x y z



           

  

  

  

  

(10)

因此可看出，雖然三維流場未嘗不能使用兩個流函數來建立流場求解模式，但上列之後兩式當 使用兩個流函數分解在三維卡氏座標系來表示流場時，比二維流場的簡便形式顯得過於繁瑣，

尤其是渦度傳輸尚須與式(7)聯立(三個分量的向量式)，以建立    模式包含五個變數

系統求解，比使用原始變數V p模式的包含四個變數求解，更不具實用價值。若使用一般曲 線座標系統而不限制其幾何條件，則其轉換至卡氏座標的關係式甚至更為繁瑣，或許這就是鮮 少被運用於一般三維流場的主因。要解決這個問題，必須使用坐標系的特殊幾何關係來簡化流 場物理模式，以獲得最佳的數值處理關係式。這就是使用流線或流面座標的基本目的。

2.2 流函數與流面座標

使用流線座標(, ,  ) =( ¹, ², ³) 讓流線只沿軸變化，或使用流面座標指定兩族流面，

其中一族流面只允許值與值變化(而使 為常數)，而另一族流面只允許值與值變化(而使

 為常數)。我們可稱此兩流面分別為-曲面，-曲面(對應於卡氏坐標系的 x-y 平面等名 稱)或稱為 -等位面(level surface)與 -等位面。所以在每條流線上格點之位置(x, y, z)均可由 下列參數式描述

( ), ( , , ), ( , , )

xx  y y    zz    (11) 因此，由此關係可大幅簡化Jcobian 為 J x_(y z_{ } y z_{ }),而式(8)(9)(10)各可簡化如下：首 先因連續方程式可寫為協變導數(covariant derivative)形式

1 1

,1 ( ) / 0

V V JV _ J

    (12)

只存在一個速度協變分量V V g¹ ₁的微分。由此可定義出兩函數分別取為 = (),  = (),因 此抗變速度分量可寫為

1 /

V  _{ } J (13)

然後，渦度向量可分解為  ¹g₁²g₂³g₃₂g²₃g³再根據定義獲得

1 1 1 2 1 3 1

13 ,2 12 ,3 11 ,3 11 ,2

(g V g V ) / ,J g V / ,J g V / ,J

        (14)

32 1 33 1 22 1 23 1

2 J(g V ,2 g V ,3), 3 J(g V ,2 g V ,3),

       (15)

上式三渦度分量中，每個分量右側皆包含一或兩個交叉協變導數。代入抗變速度分量時只需依 據兩流函數之幅數分項微分即可。而因每條曲線需要一參數描述故取為；每族流面(曲面)需要 兩參數表示，故兩組參數分別取為(ξ, )與(ξ, )，曲線及曲面點 P 之位置向量設為𝑟 ，因此兩族 流面分別為

1. ξ-曲面(=常數)族：切向量為其協變基向量g₁r ,_ g₃ r_ 而法線向量為抗變基向量

2 ( _x, _y, _z)

g       最後一式代表此基向量分解為卡氏分量之關係。

2. -曲面(=常數)族：切向量為其協變基向量g₁r ,_ g₂ r_而法線向量為抗變基向量

3 ( _x, _y, _z)

g       亦分解為卡氏分量。

因為我們使用非正交座標，所以兩組基向量不會重合。使用正交座標看來可使兩組基向量平行 (而重合)，但在曲線座標系統會形成非常不便的非線性幾何關係，所有流面之方向必須隨流線 之彎曲而改變以維持正交性(曲面的方向常以等值面的梯度表示如上兩曲面含之抗變基向量 g2和g³)因而生成流線座標時，必須符合正交性之非線性幾何關係，求解時必須反覆疊代，反 而形成計算上很大的限制與負擔。流線的幾何位置計算類同格網生成，唯其控制函數不但受流 面(流函數差值)影響，亦受流場變數影響。幾何恆等式中，因使用式(11)第一式，因此若 x()已 知時

2 11 1

0 xg x_ f x_

   (16)

可算得 f¹  ，但求解 y, z 時必須聯立 ²

2y0

 (17)

2z0

 (18)

式中曲面Beltrami 參數形之 Laplacian 運算子(Airy, 1989 或 Stoker, 1989 )定義為

11 22 12 13 23

2 g _ g _ g33 _ 2g _ 2g _ 2g _ f1 _ f2 _ f3 _

                  

其中 f 與² f 相當複雜，以下是數值計算使用之參考公式 ³

1 _i / ( ) _i

j ij ij ij

i

f Jg g J J g

J  ^{ }

   

 (19)

1 11 12 13 11 12 13

( ) / ( ) ( ) ( )

f  g J_ g J_g J_ J g _  g _  g _ ,

2 12 22 23 12 22 23

( ) / ( ) ( ) ( )

f  g J_ g J_ g J_ J g _  g _  g _ ,

3 13 23 33 13 23 33

( ) / ( ) ( ) ( )

f  g J_ g J_ g J_ J  g _  g _  g _

1 2 3

/ ^j_j , / ^j_j , / ^j_j , J_ J   J_ J   J_ J   速度梯度為

1 1

,2 ( / 12) / ,

V  _ ^ _ _ J_ J   ^ J V¹_,3 _^ _ _(J_ /J ¹₁₃)^/ ,J (20) 代入式(14)(15)求得渦度與 f 與² f 之關係，可以直接使用數值方法求解，看來三維流場的複³ 雜性就在於此，而不如二維之簡單關係。而流場中在流面邊界產生渦度是經由無滑溜條件生成 也與式(14)(15)有關，至於渦度向量如何在三維流場中擴散則與式(7)有關。壓力計算當然與 式(5)相關。所以這些統御方程式皆須在流線與流面座標上進行轉換。

實際應用於模式計算時，使用正整數域作為( , , )   格線，這些整數也可以作為程式陣列 的指標而直接對應到浮點變數之記憶儲存位置，因此流面座標法相當生成格網，一旦格網依據 上游流場位置xx(_min)x₀ 分配適當的速度分布與流函數值V¹   ( ) ( ) /J  f( , )  ,就 可在所欲計算之垂直面(  平面)指定 x 座標，再直接使用式(17)(18)計算y, z 座標生成流 面座標。欲考慮黏性流場只需考慮再固體面因無滑溜條件而生成渦度與其傳輸方程式(7)來計 算流域內渦度分布，此模式因此可如此建立。此模式最關鍵處即在計算 f 與² f 值以控制解析³ 度，與隔網生成的技術相同，但此時流場的特性已經被包含在此兩函數分布值中。Laplace 方 程的 Beltrami 參數形無論在二維或三維流場都相同容易，因此數值處理方法參見主持人過去 之研究，在此不再贅言。

計算例

對流線座標的計算例過去二維的流場研究已在歷次科技部計畫報告中呈現，三維流場以 兩族流函數作為流面座標的計算例，將直接投稿期刊，不在此報告中列出。

結論

本文討論流面座標與兩流函數的幾何與流場關係，這是極有潛力的數值模式方法。三維流 場經由幾何化後成為一維流線或二維流面的幾何位置計算，一旦獲得這些幾何位置，流場的速 度與壓力自然可直接獲得。因受限科技部計畫工作核准的年限，因此後續研究結果將不再於此 報告呈現。

參考文獻

1. Airy, R.(1989) “Vectors, Tensors, and the Basic equations of fluid mechanics,” Dover Pub.

2. Clebsch, vHA. (1857) Ü ber eine allgemeine Transformation der hydrodynamischen Gleichungen, J. Reine Angewandte Math., 293-312.

3. Eisenhart, LP. (1960) A treatise on the differential geometry of curves and surfaces, Dover.

4. Emanuel, G. (1994) Analytic fluid dynamics, CRC Press.

5. Flugge, W., 1972, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer-Verlag, NY.

6. Graebel, WP. (2007) Advanced fluid mechanics, Academic Press.

7. Greywall, M. S. (1991) Computation of three-dimensional flows using two stream functions, National Institute for Aviation Research, The Wichita State University, NIAR Report 91-27.

8. Greywall, M. S. (1993) Streamwise computation of three-dimensional flows using two stream functions, J. Fluids Engrg., ASME, 1993, 115, 233-238.

9. Kundu, PK. & Cohen, IM. (2004) Fluid mechanics, Academic Press.

10. Leal, LG. (2007) Advanced transport phenomena, Cambridge Univ. Press.

11. Millne-Thomson, LM. (1968) Theoretical hydrodynamics, Macmillan, (Dover, 1996).

12. Panton, RL. (2005) Incompressible fluid, Wiley.

13. Prasil, F. (1926) Technische Hydrodynamik, Juluis Springer, Berlin.

14. Smiths, AJ. (2000) A physical introduction to fluid mechanics, Wiley.

15. Stoker, JJ. (1969). Differential Geometry, John Wiley & Sons, Inc.

16. Truesdell, C (1954). The kinematics of vorticity, Indiana Univ. Press.

17. Yih, CS (1957) Stream functions in three-dimensional flows, La Houille Blanche, 3, 445-450 (Selected papers by C-S Yih, Vol II, World Scientific).

18. Yih, CS (1977) Fluid Mechanics: A Concise Introduction to the Theory, West River Press, Ann Arbor.

科技部補助專題研究計畫成果報告自評表

請就研究內容與原計畫相符程度、達成預期目標情況、研究成果之學術或應用價 值（簡要敘述成果所代表之意義、價值、影響或進一步發展之可能性） 、是否適 合在學術期刊發表或申請專利、主要發現（簡要敘述成果是否有嚴重損及公共利 益之發現）或其他有關價值等，作一綜合評估。

1. 請就研究內容與原計畫相符程度、達成預期目標情況作一綜合評估

■ 達成目標

□ 未達成目標（請說明，以 100 字為限）

□ 實驗失敗

□ 因故實驗中斷

□ 其他原因 說明：符合預期成果

2. 研究成果在學術期刊發表或申請專利等情形：

論文：□已發表 □未發表之文稿 ■撰寫中 □無 專利：□已獲得 □申請中 □無

技轉：□已技轉 □洽談中 □無 其他：（以 100 字為限）

3. 依學術成就、技術創新、社會影響等方面，評估研究成果之學術或應用價值

（簡要敘述成果所代表之意義、價值、影響或進一步發展之可能性） ，如已有 嚴重損及公共利益之發現，請簡述可能損及之相關程度（以 500 字為限）

本計畫歸屬流體力學基礎研究，使用「兩流函數表示三維流場」與「流線由兩流面相交構成 的座標方法」，經由座標轉換，將三維流場物理問題轉化為微分幾何問題。經由本研究期望 可建立有效率之通用數值模式，以分析三維流場問題。由基礎學術研究工作逐漸擴充應用到 實際工程問題，並改進數值分析技術，以提升工程分析能力。

105年度專題研究計畫成果彙整表

計畫主持人：唐啟釗 計畫編號：105-2221-E-006-133- 計畫名稱：三維流線座標法--兩流函數理論之發展與分析

成果項目 量化 單位

質化

（說明：各成果項目請附佐證資料或細 項說明，如期刊名稱、年份、卷期、起 訖頁數、證號...等） 　　　　　　　

國 內

學術性論文

期刊論文 0

研討會論文 0 篇

專書 0 本

專書論文 0 章

技術報告 0 篇

其他 0 篇

智慧財產權 及成果

專利權 發明專利 申請中 0

件

已獲得 0

新型/設計專利 0

商標權 0

營業秘密 0

積體電路電路布局權 0

著作權 0

品種權 0

其他 0

技術移轉 件數 0 件

收入 0 千元

國 外

學術性論文

期刊論文 0

研討會論文 0 篇

專書 0 本

專書論文 0 章

技術報告 0 篇

其他 0 篇

智慧財產權 及成果

專利權 發明專利 申請中 0

件

已獲得 0

新型/設計專利 0

商標權 0

營業秘密 0

積體電路電路布局權 0

著作權 0

品種權 0

技術移轉 件數 0 件

收入 0 千元

參 與 計 畫 人 力

本國籍

大專生 0

人次

碩士生 3 3.5

博士生 0

博士後研究員 0

專任助理 0

非本國籍

大專生 0

碩士生 0

博士生 0

博士後研究員 0

專任助理 0

其他成果

（無法以量化表達之成果如辦理學術活動

、獲得獎項、重要國際合作、研究成果國 際影響力及其他協助產業技術發展之具體 效益事項等，請以文字敘述填列。）　　

科技部補助專題研究計畫成果自評表

請就研究內容與原計畫相符程度、達成預期目標情況、研究成果之學術或應用價 值（簡要敘述成果所代表之意義、價值、影響或進一步發展之可能性）、是否適 合在學術期刊發表或申請專利、主要發現（簡要敘述成果是否具有政策應用參考 價值及具影響公共利益之重大發現）或其他有關價值等，作一綜合評估。

1. 請就研究內容與原計畫相符程度、達成預期目標情況作一綜合評估

■達成目標

□未達成目標（請說明，以100字為限）

　　□實驗失敗 　　□因故實驗中斷 　　□其他原因 說明：

2. 研究成果在學術期刊發表或申請專利等情形（請於其他欄註明專利及技轉之證 號、合約、申請及洽談等詳細資訊）

論文：□已發表　□未發表之文稿　■撰寫中　□無 專利：□已獲得　□申請中　■無

技轉：□已技轉　□洽談中　■無 其他：（以200字為限）

3. 請依學術成就、技術創新、社會影響等方面，評估研究成果之學術或應用價值

（簡要敘述成果所代表之意義、價值、影響或進一步發展之可能性，以500字 為限）

本計畫歸屬流體力學基礎研究，使用「兩流函數表示三維流場」與「流線由兩 流面相交構成的座標方法」，經由座標轉換，將三維流場物理問題轉化為微分 幾何問題。經由本研究期望可建立有效率之通用數值模式，以分析三維流場問 題。由基礎學術研究工作逐漸擴充應用到實際工程問題，並改進數值分析技術

，以提升工程分析能力。

4. 主要發現

本研究具有政策應用參考價值：■否　□是，建議提供機關

（勾選「是」者，請列舉建議可提供施政參考之業務主管機關）

本研究具影響公共利益之重大發現：□否　□是　

說明：（以150字為限）