實數系的建構
林琦焜
— 導數真正是甚麼? — 答: 極限
— 積分真正是甚麼? — 答: 極限
— 無窮級數 a1+ a2+ a3+· · · 真正是甚麼? — 答: 極限 這就導致了底下的問題
— 極限是甚麼? — 答: 數 所以最終的問題是:
— 數是甚麼?
— Augustin Cauchy (1789−1846) —
§1. 前言
西元 1872年是不平凡的一年, 這一年, 有好幾位 (五位! Weierstrass, Dedekind, M´eray, Heine, Cantor) 數學家同時提出了實數系統建構的理論。 他們不約而同地出版他們的著作討 論困惑人們 2500 年之久的無理數問題, 他們出發點不同, 方法也各異, 但他們都把有理數當做 已知的東西, 從而描述實數系統。 他們描述的方法雖異, 但從數學的結構觀點來看, 所描述的卻 是同樣的東西。 他們的目標是: 在不預先假設無理數存在的條件下, 建立一個令人滿意的無理 數理論。 然後把無理數和有理數合在一起構成實數, 之後為實數建立一個可靠的連續性理論。 如 此數學分析 (主要研究實變量的實函數), 才能有一個牢靠的基礎。
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圖 1. Weierstrass 圖 2. Heine
Georg Cantor (1845−1918) 的父母都是猶太裔, 他的父親生於丹麥的哥本哈根, 年輕時 移居俄國聖彼得堡, 1845年 3月 3日數學家 Georg Cantor 誕生於此。 1856年舉家遷往德國的 法蘭克福, 之後 Cantor 就一直在德國接受教育, 後來進入柏林大學。 他的博士論文是從鑽研 高斯的 “Disquisitiones Arithmeticae” 得到啟發而研究不定方程。 後來在大數學家 Weier- strass 學派的影響下研究 Fourier 級數, 從而創造著名的無限數學 — “集合論”。
Charles M´eray (1835−1911) 是法國數學家, 他主要是研究 Lagrange 早年的工作, 針 對 Lagrange 只作出猜測的工作, 加以嚴格的數學證明。 他發表關於無理數的算術理論是等價 於 Cantor 的理論, 但顯然他的工作並沒有受到 Weierstrass 與 Dedekind 的影響。
Richard Dedekind (1831−1916) 是德國數學家, 他是高斯的閉門弟子 (那時高斯已75 歲高齡), Dedekind 主要是研究 Euler 積分, 但使他名垂千古的是與 Cantor 共同創造集合 論與實數理論的 Dedekind 斷口 (Dedekind cut), 另外根據整數論的研究, 他創造了代數 學的重要概念 — 理想 (ideal), 他取這個名稱主要是為了紀念德國數學家 Ernst Kummer (1810−1893)。 Dedekind 思想開放, 治學嚴謹, 是1880年代勇於探討無限 (infinite) 的少數 數學家。 他是 Cantor 號召的數學同好, 他們從 1872 年到 1899 年書信往返達 27 年, 在彼此旗 鼓相當的對話中, 可以看見兩位智者彼此切磋琢磨互相砥礪, 在嚴厲的評論中逼對方給出最好 的數學成果。 這些書信是數學文學中最美的作品。
從技術層面而言 Dedekind 斷口與 Cantor 的基本序列解決了實數的理論, 它們反映了 兩個互相等價的事實: 最小上界原理, Cauchy 的收斂性原理。 數學分析的基礎: 極限, 連續性 原理就是奠基於這些原理與長度和距離等幾何概念之上。 Dedekind 或 Cantor-M´eray 的實數 建構看來很抽象, 但它們卻可經由已知的有理數來定義的清清楚楚。 它們更可用來澄清連續與 極限的觀念, 使微積分立於堅固的邏輯基礎上, 使分析學的嚴謹化達成目的。
§2. Cantor-M´eray 的實數理論
『數學在其發展中是完全自由的, 它只受下述自明的關注所制約, 即它的概念既 要內在地不存在矛盾, 還要參予確定與此前形成的, 已經存在著的和已被證明的概 念之關係 (藉助定義貫串起來)。 特別地, 在引入新數時, 數學只遵循: 在給出它們的 定義時使之具有某種確定性, 並且在某些情況下, 使之與舊數有某種關係, 在特定的 場合中這種關係一定會使它們 (新數跟舊數) 互相區別開來。 只要一個數滿足這些條 件, 數學只能而且必須把它看作是存在且實在的東西。 這正是我在第四段中關於為什 麼必須把有理數、 無理數和複數看作與有限正整數一樣是實存的所建議的理由。』
— G. Cantor (1845−1918) —
圖3. Cantor
第一個實數系統建構的理論是 G. Cantor 和 C. M´eray (1835−1911) 於1872年提出 的。 當我們問一有理數列
an = 2· 2· 2
1· 3· · · 2n· 2n
(2n− 1) · (2n + 1) (2.1) 的極限為什麼? 在有理數系中我們實在無法說 an的極限是甚麼, 也就是說有理數系不完備, 我 們就把它擴大, 使其有極限, 一個有理數列{xn}n, 如果當 m, n 夠大時, |xn− xm| 就會小到 任何預定範圍內, 則稱 {xn}n 為一 Cauchy 數列。
定義2.1 (有理 Cauchy 數列). {xn} ⊂ Q 是一個有理 Cauchy 數列, 意思是對於每個 ǫ > 0, 都存在ω ∈ N, 使得
∀m, n ≥ ω =⇒ |xn− xm| < ǫ (2.2) 如果把一 Cauchy 數列相應的點標在直線上, 則這些點終究會擠在一起。 Cantor-M´eray 希望他們的實數系會使 xn 趨近於一實數, 所以乾脆就讓 {xn}n 代表一實數, 也就是實數等於
所有的有理數 Cauchy 數列, 但是另一有理數 Cauchy 數列 {yn} 亦可能與 {xn} 趨近於同一 實數, 所以如果 xn− yn → 0 則 在 Cantor-M´eray 系統中, 我們就認定 {xn}和 {yn} 代表 同一實數。 Cantor-M´eray 的思維方式是: 藉由 Cauchy 數列, 來定義全等關係 (equivalent relation), 再由全等關係得出全等類 (equivalent class), 而全等類就代表實數;
Cauchy數列 ⇐⇒ 全等關係 ⇐⇒ 全等類
整個架構是從 Cauchy 數列開始, 因此需要距離 (metric) 的概念, 事實上 Cantor 的方法可 以推廣至距離空間 (metric space)。
全等關係 , 全等類
我們分別用有理數列與√ 2, √
3 對應
√2 ↔ {1.4; 1.41; 1.414; · · · }
√3 ↔ {1.7; 1.73; 1.732; · · · }
則 √ 2·√
3 與底下有理數列對應
√2·√
3 ↔ {2.38; 2.4393; 2.449048; · · · } 但另一方面
√6 ↔ {2.4; 2.44; 2.449; · · · }
依據我們對√ 2·√
3 與√
6 的認識, 這兩個 “數” 是一樣的, 因此有必要鑑定這兩個有理數列。
為此我們引進全等關係 (equivalent relation), 全等類 (equivalent class) 的概念。
定義2.2 (全等關係). 兩個有理 Cauchy 數列 {xn}, {yn}, 對任意正有理數 ǫ 若滿足
n→∞lim(xn− yn) = 0, 存在正整數 N ≥ 1, ∀n ≥ N ⇐⇒ |xn− yn| < ǫ (2.3) 則稱數列 {xn}, {yn} 為全等或等價 (equivalent), 記為 {xn} ∼ {yn}。
由這個定義不難證明全等關係滿足:
(1) 反身性 (reflexive): {xn} ∼ {xn}
(2) 對稱性 (symmetric): {xn} ∼ {yn} =⇒ {yn} ∼ {xn}
(3) 遞移性 (transitive): {xn} ∼ {yn}, {yn} ∼ {zn} =⇒ {xn} ∼ {zn}
有了全等關係就可以造全等類,
{xn} = {{yn} | {yn}是有理數列且 {yn} ∼ {xn}}
定義2.3 (Cantor-M´eray). 實數 (R) 是所有有理 Cauchy 數列之全等類的集合:
R={{xn} | {xn} 是 Cauchy 有理數列} (2.4) 在 Cantor-M´eray 的思想體系中, 有理 Cauchy 數列{xn}n 就代表一實數, 兩個有理數 Cauchy 數列 {xn}, {yn}如果滿足 |xn− yn| → 0, n → ∞ 則在 Cantor-M´eray 系統中就 認定 {xn}和 {yn}代表同一實數。
此系統最具體的表示就是無窮小數, 任意無窮小數 x = a0+
∞
X
m=1
am
10m, am ∈ {0, 1, . . . , 9}, a0為整數, (2.5) 都可看成 Cauchy 數列 {xn},
xn= a0+
n
X
m=1
am 10m
至於原來的有理數 x ∈ Q, 也可相應到一 Cauchy 數列 {xn} 其中任一 xn 都和 x 相等 (常 數數列):
x ↔ {x, x, x, · · · } (2.6) 因此 x 是一個實數, 有理數是實數的子集合, Q⊂ R。 在 Cantor-M´eray 的實數系, 任何一個 實數, 例如 π, e, √
2, 0. ˙6,· · · 代表一大群的數, 而且這些數 (有理數) 彼此都非常接近。
『這樣√
3 只是一個待求數的符號, 但卻不是它的定義, 而是按我的方法√
3≈ (1.7, 1.73, 1.732,· · · )。』
— G. Cantor (1845−1918) —
四則運算
有理數有四則運算 (加, 減, 乘, 除), 那麼在 Cantor-M´eray 系統中如何定義兩個有理 Cauchy 數列的四則運算與大小關係呢? 令 x = {xn}, y = {yn} 代表兩個實數我們定義加 法, 乘法如下:
x + y :={xn+ yn}, x· y := {xn· yn} (2.7)
這個定義不會有問題發生。 因為 {xn+ yn}, {xn· yn} 是有理 Cauchy 數列:
|(xn+ yn)− (xm+ ym)| ≤ |xn− xm| + |yn− ym| → 0, n, m→ ∞
|xn· yn− xm· ym| = |xn· yn− xm· yn+ xm· yn− xm· ym|
≤ |yn||xn− xm| + |xm||yn− ym| → 0, n, m→ ∞
其次必須保證這個定義是 well-defined, 若 {x′n} 與 {xn} 表同一實數, {yn′} 與 {yn} 表同一 實數, 則
(xn+ yn)− (x′n+ y′n) = (xn− x′n) + (yn− yn′)→ 0, n→ ∞ (xn· yn)− (x′n· yn′) = (xn− x′n)yn+ x′n(yn− yn′)→ 0, n→ ∞
因此 {xn+ yn}, {x′n+ yn′}, 代表相同的實數, 同理 {xn· yn}, {x′n· yn′}, 也代表相同的實 數。 至於除法, 則必須先要求 yn 6= 0, 如此則存在夠大的 n0 使得當 n≥ n0 時 |yn| > r > 0, 此時定義除法為
x÷ y = {xn} ÷ {yn} =nxn yn
o∞
n=n0
(2.8)
按這樣的定義有理 Cauchy 數列 nxn yn
o∞
n=n0
所代表的實數與前 n0 項無關。 另外 x = {xn} 之加法反元素與乘法反元素定義為
−x = {−xn}, x−1 ={x−1n } = {1/xn} (2.9) 而加法, 乘法及加法與乘法間的運算關係也會滿足體 (field) 的要求。
定理2.4 (體, field). (R, +,·) 是一個體 (field)。
(1) 交換律 (加法): x + y = y + x
(2) 結合律 (加法): (x + y) + z = x + (y + z) (3) 加法單位元素 0: 0 + x = x
(4) 加法反元素 −x: −x + x = 0 (5) 交換律 (乘法): x· y = y · x
(6) 結合律 (乘法): (x· y) · z = x · (y · z) (7) 乘法單位元素 1: 1· x = x
(8) 乘法反元素 x−1, (x6= 0): x−1 · x = 1 (9) 乘法對加法分配律: x· (y + z) = x · y + x · z
大小關係
定義2.5 (大小關係: order). 令 x = {xn}, y = {yn} 代表任意兩個實數其大小關係 (order) 可如此定義:
x < y ⇐⇒ ∃ǫ′ > 0, ∃N ≥ 1, ∀n ≥ N, xn< yn− ǫ′
x≤ y ⇐⇒ x < y 或 x = y (2.10) 特別要注意的是 ǫ′ 的選取必須是有理數, 否則 Cantor-M´eray 的理論無法適用。 令 x = {xn} = {x′n}, y = {yn} = {yn′}, 滿足 x′n− xn≤ ǫ1, yn− y′n≤ ǫ2 則
x′n− yn′ = (x′n− xn) + (yn− yn′) + (xn− yn)≤ ǫ1+ ǫ2 − ǫ′ = ǫ′′
所以大小的定義與所選取的 Cauchy 有理數列無關。 由這定義再加上 R 是一個體 (field), 可 以證明實數 R 是一個有序體 (ordered field)。
定理 2.6 (有序體, ordered field). 已知 x = {xn}, y = {yn}, z = {zn} 是任意三個實數, 則
(1) 反身性 (reflexive): x≤ x
(2) 反對稱性 (antisymmetric): x≤ y, y ≤ x =⇒ x = y (3) 遞移性 (transitive): x≤ y, y ≤ z =⇒ x≤ z
(4) x≤ y =⇒ x + z≤ y + z (5) 0≤ x, 0 ≤ y =⇒ 0≤ xy
在代數中滿足上述不等式關係的體稱為有序體 (ordered field), 有理數與實數都是有序 體, 那此二種數系的差別在哪裡呢? 實數有一個特殊的性質 “實數中的 Cauchy 數列一定有極 限值”, 也就是說實數是完備的 (complete), 這是實數與有理數最大的差異。 實際上, 可以證明:
實數是唯一的完備有序體。
說到大小, 我們還需要絕對值, 為此先引進 total 的概念:
引理2.7 (total). x, y 是任意兩個相異實數, x 6= y, 則 x < y 或 y < x。
在證明引理 2.7 之前, 我們首先釐清 x 6= y 的意義, 在 Cantor-M´eray 的系統下, 兩個 實數相等是指它們是全等的有理 Cauchy 數列, 因此 x = {xn} 6= y = {yn} 意思是
{xn} 6∼ {yn} ⇐⇒ ∃ǫ > 0 ∀N ≥ 1, ∃n ≥ N, |xn− yn| ≥ ǫ (2.11)
引理2.7 之證明: 令x = {xn}, y = {yn}是兩相異實數, 即滿足 (2.11), 另外 {xn}, {yn} 是 有理 Cauchy 數列, 存在N1, N2 ∈ N 滿足
|xn− xn+k| < ǫ
3, n ≥ N1, k ≥ 1
|yn− yn+k| < ǫ
3, n≥ N2, k ≥ 1 選取N = max{N1, N2}, 則由 (2.11) 知道有兩種可能性
xn− yn ≥ ǫ 或 yn− xn≥ ǫ 顯然∀k ≥ 1, xn+k, yn+k 總是落在半徑 ǫ′ = 3ǫ 的圓盤內, 因此
∃ǫ′ = ǫ
3 > 0, ∃N ≥ 1, ∀n ≥ N, xn ≤ yn− ǫ′
∃ǫ′ = ǫ
3 > 0, ∃N ≥ 1, ∀n ≥ N, yn≤ xn− ǫ′ 這相當於說 x < y 或 y < x。
如果大小關係滿足引理 2.7, 我們特別稱為 total, 因此就可以定義絕對值 (absolute value)。
定義2.8 (total). x ={xn} 是一實數則其絕對值為 |x| = {|xn|}
由定義 2.8 容易證明三角不等式 |x + y| ≤ |x| + |y|。 藉由 Cantor-M´eray 的思想體系, 可以把無理數 (irrational number) 建立在一個合理且嚴格的數學理論基礎上, 這個方法
Cauchy數列 ⇐⇒ 全等關係 ⇐⇒ 全等類 也實際提供我們如何將任意一個非完備距離空間完備化 (completion) 的方法。
§3. Dedekind 的實數理論
『上面把有理數比做直線, 結果使直線上充滿了間隙, 它是不完備的、 不連續的, 而我們則把直線看成是沒有間隙的、 完備的和連續的。 直線的連續性是什麼意思? 這 個問題的答案必須包含研究所有連續區域時所根據的科學基礎, 只是泛泛而談其最小 子集的不間斷的連接性, 不會產生什麼結果, 我們必須要有連續性的一個精確定義, 使它可以成為邏輯推理的基礎。 長時期以來, 我對這些事情進行了深入思考, 但始終 沒有取得成果, 一直到最近我才發現我所要尋求的答案。 不同的人對於我的發現將會 有不同的判斷, 但我相信大多數人都會覺得它平凡無奇。 在上一段中我曾指出, 直線
上每一點 p 都將直線分成兩部分, 使得其中一部分的點都在另一部分的點的左方。 我 確信, 連續性的實質就在於它的反面, 也就是下面的原理, 如果直線上所有的點都屬 於兩類, 使得第一類中每一點都在另一類中每一點的左方, 那麼就存在唯一的一個點, 它產生了把直線分成兩部分的分劃。』
— R. Dedekind (1831−1916) —
圖4. Dedekind
在西元 1872 年左右除 Cantor 及 M´eray 外, R. Dedekind 提出另一種描述實數的方 法。 對 Dedekind 而言, 他所選取的假設是
任何單調有界的實數序列都有極限存在。
他的想法如下: 在一直線 (實數線) 上, 我們先規定好原點 0 及 單位長 (規定為 1), 則所 有有理數都可以依據其大小 (與原點之距離) 及正負對應到此線上。 如果我們在直線上砍一刀, 在斷口 (cut) 左邊的所有有理數集合稱為 A1, 其右邊的有理數集合稱為A2。 若斷口正好是有 理數, 則此有理數可以任意規定屬於 A1 或 A2。這個斷口就稱為 Dedekind 斷口 (Dedekind cut) 以 (A1, A2) 表之。 (A1, A2)這種集合有下列性質 :
(a) A1, A2 都含有有理數, A1 6= ∅, A2 6= ∅ (b) A1 及 A2 的聯集為有理數; A1S A2 = Q
(c) A1 中的有理數必小於 A2 中的有理數, a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 =⇒ a1 < a2。
因為 A1, A2 都是有理數, 所以這種集合從最大值, 最小值的觀點來分類有底下三種情形 (1) A1 有最大, A2 沒有最小有理數
(2) A1 沒有最大, A2 有最小有理數 (3) A1 沒有最大, A2 沒有最小有理數
我們藉幾何直觀而得 A1, A2這兩個集合, 反過來, 我們可以完全捨棄幾何, 而考慮滿足上述兩 個性質的有理數子集合 A1, A2。 這樣的 A1, A2 稱為一個斷口 (cut), 以 (A1, A2) 表之。 一 個斷口 (A1, A2) 滿足 (1) 或 (2) 則 (A1, A2) 所代表的就是這個有理數, 如果滿足 (3) 則
(A1, A2) 代表的就是一個無理數。 所以 Dedekind 斷言說 (A1, A2) 就代表一個實數, 而且實 數的全體就是所有 Dedekind 斷口的集合。 如果 A1 (或A2) 中有最大 (或小) 的有理數, 則 (A1, A2) 代表的就是這個有理數。 因此可知有理數可用兩種斷口表示, 而且 Dedekind 的實數 系確實是有理數系的擴張。
在 Dedekind 的系統中如何定義四則運算與大小關係呢? 若 α, β 為任意兩個 Dedekind 斷口
α = (A1, A2), β = (B1, B2)
令 C2 :={a + b|a ∈ A2, b∈ B2}, C1 = Q− C2 則新的斷口 (C1, C2) 代表一個實數, 記為 γ = (C1, C2) 所以加法就定義為
α + β = γ, (A1, A2) + (B1, B2) = (C1, C2)
由這個定義可以證明加法滿足交換律與結合律, 所以 (R, +) 形成一個 abelian 群 (abelian group), 而 0 是加法單位元素。
其次是乘法, 首先考慮兩個 Dedekind 斷口都位於原點右方; α, β ≥ 0, 令 D2 :={a · b|
a∈ A2, b ∈ B2}, D1 = Q− D2, 則新的斷口 δ = (D1, D2) 是一個實數, 我們就定義 α· β = δ, α≥ 0, β ≥ 0
其他情形則定義如下:
α· β = −((−α) · β), α < 0, β ≥ 0 α· β = (−α) · (−β), α < 0, β < 0 α· β = −(α · (−β)), α > 0, β < 0
在這個定義下可以證明乘法滿足交換律, 結合律與分配律, 所以 (R, +, · ) 形成一個體 (field), 而 1 是乘法單位元素。
關於大小關係, 從幾何的角度來看是很直觀的
α≤ β ⇐⇒ A1 ⊂ B1, (A2 ⊃ B2) 可以證明
α ≥ β =⇒ α + γ ≥ β + γ α≥ β, γ ≥ 0 =⇒ α· γ ≥ β · γ 所以 Dedekind 的實數系是一個有序體 (order field)。
定義3.1. 已知任意集合 A⊂ R, 如果 α ∈ R 滿足
(1) ∀a ∈ A, a ≤ α
(2) ∀ǫ > 0, ∃a ∈ A, a > α − ǫ
我們就稱 α ∈ R 是集合 A 的最小上界 (記為 α := sup A)。
條件 (1) 告訴我們 α 是一個上界, 條件 (2) 則是說 α 往下降 ǫ 之後 α − ǫ 便不再是最 小上界了, 換句話說 α 的確是最小上界。 有時我們把這性質稱為最小上界公理。
現在不管是不是有理數, 就直接在實數線上砍一刀定義斷口 (A1, A2) (1) A1 6= ∅, A2 6= ∅, R = A1S A2
(2) α1 ∈ A1, α2 ∈ A2 =⇒ α1 < α2
所有在 R上的斷口 (A1, A2) 從最大值, 最小值的觀點來看可以分為兩種情形:
(i) A1 有最大, A2 沒有最小值 (ii) A1 沒有最大, A2 有最小值
這裡所說的最大值, 最小值是實數值, 這點是與前面以有理數為基礎最大的差別, 我們將上面這 個性質稱為實數的連通性或連續性。 它的意思是在實數線上任意砍一刀, 所得到的斷口總是一 個實數, 而且這個實數 (記為 α) 表示為
α := sup A1 = inf A2
α1 ≤ α, ∀α1 ∈ A1 α ≤ α2, ∀α2 ∈ A1 我們可以取的更特殊 (利用有理數)
α = sup A, A ⊂ Q α = lim
n→∞an, an∈ Q
所以 Dedekind 的實數系是以最小上界 (sup) 或最大下界 (inf) 為理論基礎。 Cantor 對於 實數的造法與 Dedekind 不同之處, 在於它沒有用到有理數是有序的這個事實, 他的出發點是 Cauchy 數列的集合。
§4. 實數的連續性原理 (完備性理論)
完備性有不同但等價的定義, 例如; 所有的Cauchy 數列都有極限, 單調有界數列必收斂, 有界的數列必有聚點, . . . 等, 對 Dedekind 而言他的出發點是
任何單調有界的實數數列都有極限存在
定理4.1 (Dedekind 原理). 已知實數的兩個集合 X, Y ⊂ R, XT Y = ∅ 且滿足 x < y, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y
則存在 ξ ∈ R 使得 x ≤ ξ ≤ y。
定理4.2 (Cantor 原理). 已知實數 a1, a2, a3, . . . , an, . . . ; b1, b2, b3, . . . , bn, . . . 滿足 limn→∞|bn− an| → 0
[an+1, bn+1]⊂ [an, bn], n = 1, 2, 3, . . . 則存在 ξ ∈ R 使得 x ∈
∞
T
n=1
[an, bn]。
定理4.3 (Cauchy 原理). 所有的 Cauchy 數列都有極限。
定理4.4 (Weierstrass 原理). 已知 {an} ⊂ R 是一遞增數列 (an−1≤ an≤ an+1) 且有上界 M, an ≤ M, ∀n ∈ N, 則存在 α ∈ R 使得 limn→∞an = α, 換言之; 遞增且有上界的數列 必收斂。
如果遞增數列換為遞減數列, 上界換為下界, 定理 4.4 仍然成立 (遞減且有下界的數列必 收斂), 此時 α = inf A = inf{a1, a2, a3, . . .};
(1) a≥ α, ∀a ∈ A
(2) ∀ǫ > 0, ∃a ∈ A a < α + ǫ
定理4.5 (Archimedes 原理). 已知 a, b∈ R 且 a > 0, 則存在 n ∈ N 使得 na > b, 換言之;
limn→∞ nb = 0。
[註解]: 如果先假設 Archimedes 原理成立, 則定理 4.1−4.4 等四個連續性原理是等價的。
定理4.6 (Bolzano, 1817). 已知 M ∈ R 是一個固定數, A 是實數的一個非空子集且有上界, A⊂ R, A 6= ∅, ∃M, 使得 x ≤ M, ∀x ∈ A
則存在一實數 ξ ∈ R 使得 ξ = sup A。
證明: Bolzano 的想法是二分法, 由於 A6= ∅, 可以選取一點 α0 ∈ A 且 α0 不是一個上界, 所 以 α0 ≤ M, 我們取一點 β0 (可以是 M) 是一個上界, 然後取中間點 γ = α0+ β0
2 , 此時有兩 種可能性; 如果γ是 A 的上界, 則令 α1 = α0, β1 = γ; 如果 γ 不是 A 的上界, 則令 α1 = γ, β1 = β0; 然後重複這個步驟可以造出一系列的區間 [αn, βn], 長度為 βn−αn = (β0−α0)/2n, 其中{αn} 是遞增數列, {βn} 是遞減數列, 而且
[α0, β0]⊃ [α1, β1]⊃ [α2, β2]⊃ · · · ⊃ [αn, βn]⊃ · · ·
其長度是依等比數列 {1/2n} 遞減, 因此
|αn− αn+k| ≤ βn− αn = β0− α0
2n |βn− βn+k| ≤ βn− αn = β0− α0 2n
所以 {αn}, {βn} 都是 Cauchy 數列, 又因為 βn− αn= (β0− α0)/2n → 0, Cauchy 數列 {αn}, {βn} 有相同的極限, 記為 ξ
α0 ≤ βn =⇒ α0 ≤ ξ, ∀ n
所以 ξ 是 A 的上界, 事實上 ξ 是 A 的最小上界, ξ = sup A, 因為∀ǫ > 0, ∃αn 使得 αn> ξ − ǫ。
Cantor-M´eray 的實數系具有完備性, 那麼 Dedekind 的實數理論是否也有這性質呢?
Cantor-M´eray 的理論, 完備性 (completeness) 是以 Cauchy 數列來定義: 所有的Cauchy 數列都有極限。 但 Dedekind 的理論是從斷口著手, 因此其它定義方式乃是必然的, 對 Dede- kind 的理論而言, 利用上界, 下界的觀念是最自然不過的了!
這個定理說明了 Dedekind 的實數系統具有完備性, 因此是一個完備有序體 (complete order field)。 然而 Cantor-M´eray 與 Dedekind 造出的實數系是否相同? 是相同! Cantor- M´eray 及 Dedekind 兩種實數系統之間存有一個一對一且映成的函數 f , 滿足下列關係: 令 a, b 表 Cantor-M´eray 系統的實數, 而 ∗ 表四則運算, 則 f(a ∗ b) = f(a) ∗ f(b), 且若 a ≥ b 則 f (a) ≥ f(b), 有一定理 : 完備有序體只有一個。 然而 Cantor-M´eray, 及 Dedekind 的實 數系皆為完備有序體, 所以這二個實數系統 “相同”。
參考文獻
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3. S. Hollingdale, Makers of mathematics, Penguin Books, 1994.
4. Herbert Meschkowski: 偉大數學家的想法, 洪萬生譯, 南宏出版, 1978。
5. Dirk J. Struik, A concise History of Mathematics, Dover, New-York, 1967.
(中譯本: 數學史, 吳定遠譯, 水牛出版社印行, 1982。)
6. Dunham William, Journey Through Genius, the great theorems of mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 1990, Penguin Books, 1991.
(中譯本: 天才之旅, 偉大數學定理之創立, 林傑斌譯, 牛頓出版股份有限公司, 1995。) 7. 胡作玄, 引起紛爭的金蘋果, 哲人數學家 — 康托爾, 業強出版社, 1997。
—本文作者任教國立交通大學應用數學系—
