數學教師應當關注的幾個問題 一兼論

數學教師應當關注的幾個問題

一兼論 _“ 數學教育哲學 _” 的研究

鄭毓信

本文論及了幾個有著重要的教育涵義, 但又常常為人們所忽視的問題, 即數學觀念 的更新, 數學教育的基本性質, 以及關於數 學學習活動本質的認識。 一般地說, 這也就 是“數學教育哲學”的研究課題。

筆者在文中所闡述的基本立場為 : (1) 除去現代數學知識的學習以外, 我們也應關 注數學觀的現代演變, 即由靜態的數學觀向 動態的數學觀的轉移; (2) 我們不應成為關於 數學教育改革的各種時髦口號的不自覺俘虜, 而應注意分析數學教育的本質特性, 並以此 作為自己行動的自覺指導; (3) 與具體的教學 方法的研究相比, 我們更應注意分析數學學 習這種特殊的認識論活動的本質, 從而以“社 會的建構主義”去取代傳統的以“傳授 — 接 受”為主要特徵的數學教學觀。

一 . 數學觀的革命

這是一個已經得到普遍認可的論點, 即 數學教師應當樹立終身學習的觀念, 特別是, 數學知識的更新更可以說是獲得了相當的重 視, 即如關於集合論思想的學習等; 有很多數

學教育工作者並已在以現代數學思想指導初 等數學的教學這一方向上作出了很好的工作, 即如梅向明先生的 《用近代數學觀點研究初 等數學》、 張奠宙先生等的 《現代數學與中學 數學》 等等。

以上的工作應當說具有重要的意義; 然 而, 筆者認為, 在強調數學知識更新的同時, 我們也應注意基本的數學觀念的變革, 特別 是, 我們即應清楚地認識到數學觀的現代演 變、 即由靜態的數學觀向動態的數學觀的轉 移具有重要的教育涵義。

具體地說, 所謂“基本的數學觀”所涉及 的即是這樣的一個問題: “究竟什麼是數學?”

但是, 這難道不是一種哲學的思考嗎?

從而與我們日常的數學教學活動有什麼關係 呢?

不錯, 這正是數學哲學、 或者說數學教 育哲學的研究課題; 但是, 由以下的事實我們 即就可以看出這一問題對於數學活動、 特別 是數學教學活動的重要意義, 即一個人儘管 掌握了不少的數學知識, 但卻仍然可能不了 解數學的本質; 另外, 對一個數學教師來說,

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如果連“什麼是數學”的問題都沒有搞清, 豈 非正在“自欺欺人”?

事實上, 儘管我們中的一些人並未認真 考慮過以上的問題, 但他們又總是在一定的 數學觀念指導下從事自己的教學活動的, 或 者說, 他們的數學教學活動總是體現了一定 的數學觀念; 更為糟糕的是, 由於這是一種不 自覺的行為, 因此, 他們又往往處於某種素樸 的、 但卻是錯誤的數學觀影響之下。

例如, 一種最常見的觀念即是, 人們往 往把數學等同於數學知識 (這主要是指各種 具體的數學命題和公式) 的匯集, 而所說的數 學知識則又常常被看成無可懷疑的真理。

然而, 筆者要大聲地疾呼: 以上的觀 念 (對此可稱為“靜態的數學觀”) 是不正確 的! 與此相反, 我們應當把數學看成是人類的 一種創造性活動, 從而就包含有“命題”、 “問 題”、“語言”、“方法”和“觀念”等多種成分; 另 外, 也正因為這是一種人類活動, 我們就應明 確承認數學的猜測性, 這也就是說, 數學活動 應當被看成一種包含有猜測、 錯誤和嘗試、 證 明與反駁、 檢驗與改進的複雜過程。

具體地說, 以上所說的即是“動態的數學 觀”的主要內容。 顯然, 由傳統的靜態的數學 觀向動態的數學觀的轉移即是數學觀的一次 革命, 而這事實上也就是數學哲學現代發展 的一個主要特徵。 以下我們就圍繞所謂的“數 學活動論”和“擬經驗主義的數學觀” 對其主 要思想和對於教育的重要涵義作出進一步的 介紹。

所謂“數學活動論”, 即是指在從事數學 的哲學分析時, 我們不應把注意力唯一地集

中於數學活動的最終產物, 而應就數學活動 本身來進行分析。 例如, 問題顯然構成了數學 活動的實際出發點; 另外, 為了得出明確的結 論 (數學定理等), 我們則又必須採取一定的 表述工具和研究方法, 從而, 這也就涉及到了 數學活動的另外兩個要素: “語言”和“方法”。

最後, 應當特別強調的是, 在現代社會中, 每 個數學工作者又必定處在一定的數學傳統之 中 — 儘管他本人可能並未明確地認識到這 樣一點 — 而所說的數學傳統則又往往借助 於所謂的“觀念”得到了明確的表現。 例如, 以 下即可被認為是一個最為基本的觀念: 數學 家的工作目標是要獲得這樣的命題, 它們是 借助於為人們 (更恰當地說, 是“數學共同 體”所一致接受的語言得到表述的, 是對於為 人們所一致接受的問題的解答, 並建立在為 人們一致接受的論證之上。 進而, 作為現代數 學傳統的一個主要內容, 我們則又必須對上 述的觀念作出進一步的“具體化”: 我們應當 採用集合論的語言, 數學問題的重要性不僅 取決於它的實踐意義, 而且也取決於它的數 學意義; 所謂的證明則應當 (至少在原則上) 是可以予以形式化的。

顯然, 從數學教育的角度看, 以上的論 述也就清楚地表明了在數學教學中我們不應 唯一注重於具體的結論和公式, 而且也應注 意有關的方法、 問題和語言; 另外, 除去這些 具體的知識內容以外, 我們則又應當特別注 意數學觀念的養成。 特殊地, 從後一角度去分 析, 我們並可看到, 現行數學教育的一個重要 弊病就在於學生通過數學學習所形成的數學 觀念並不能被看成對於 “真正的數學”的真實

寫照, 恰恰相反, 他們正是由此而發展起了種 種不正確的觀念 (例如, “數學是無意義的符 號遊戲”; “只有天才才能在數學中作出發明 創造”; “學習數學就是記憶和模仿”; 等等), 而這對於其今後的學習乃至整個人生都可能 產生嚴重的消極影響。

其次, 所謂“擬經驗的數學觀”, 其直 接涵義之一即是對於數學猜測性的肯定; 另 外, 從更深入的層次看, 這又包括了對於數 學真理性問題的進一步分析, 特別是, 作為 對於“經驗的數學觀”的必要補充和重要發展,

“擬經驗的數學觀”明確主張, 在承認社會實 踐對於數學發展的決定性作用的同時, 數學 研究還具有自己相對獨立的標準, 這即是關 於其數學意義的分析, 如新的研究是否有利 認識的深化和方法論上的進步等。 顯然, 這事 實上也就是對於數學特殊性的直接肯定: 數 學不應被簡單地等同於一般的經驗科學。

和“數學活動論”一樣, “擬經驗的數學 觀” 也有著重要的教育涵義。 例如, 這首先就 表明了在數學中我們不應僅僅教證明, 而且 也應教會學生猜測的方法; 另外, 從更深的層 次看, 這更清楚地表明了培養“數學意識”的 重要性, 特殊地, 這即是與培養學生對於數學 美的鑒賞能力直接相聯繫的, 而又正如彭加 萊所說, “缺乏這種審美感的人永遠不會成為 真正的創造者。”

一般地說, 現代的數學教育家正在對 數學哲學的研究課題表現出越來越多的關 注。 例如, 美國著名數學教育家倫伯格 (T.

Romberg) 就曾指出: “兩千多年來, 數學一 直被認為是與人類的活動和價值觀念無關的

無可懷疑的真理的集合。 這一觀念現在遭到 了越來越多的數學哲學家的挑戰, 他們認為 數學是可錯的、 變化的, 並和其它知識一樣都 是人類創造性的產物。... 這種動態的數學 觀具有重要的教育涵義。”特殊地, 在筆者看 來, 這也就直接導致了“數學教育哲學”這一 新的研究課題的誕生。

二 . 數學教育的基本性質及其 現代化問題

縱覽數學教育的著作和論文, 容易發現, 其中最經常提及的一個口號即是“數學教育 的現代化”; 然而, 只需稍作一點深入的分析, 我們則又可以發現, 不同的作者對於“數學教 育現代化”的理解或解釋並不是完全相同的, 特別是, 作為這種不同理解或不同解釋的集 中表現, 在數學教育中並出現過一些不同的 改革運動, 即如六十年代的“新數學運動”及 現代的“大眾數學等”等。 那麼, 我們究竟應當 如何去認識這些不同的改革運動呢? 什麼又 是“數學教育現代化”的正確涵義呢? 顯然, 這一問題的深入分析對於數學教育的實踐有 著重要的指導意義, 特別是, 這就關係到了我 們的數學教師不應成為各種時髦口號的不自 覺俘虜, 而應以關於數學教育本質的深入認 識作為自己行動的自覺指導。

具體地說, 筆者認為, 我們在此應當首先 肯定數學教育包含有兩個不同的側面, 即“數 學方面”和“教育方面”: 前者是指數學教育應 當正確地體現數學的本質, 後者則是指數學 教育應當充分體現教育的社會目標並符合教

育的規律。 由於這兩者也可以說是從不同角 度表明了數學教育的性質 — 所說的“數學方 面”清楚地表 明了數學教育相對於一般教育 的特殊性, “教育方面”則表明了數學教育相 對於一般教育的共同性 — 因此, 它們事實 上就構成了數學教育的基本矛盾; 進而, 能否 很好地處理這一矛盾 (或者說, 搞好這兩個方 面的均衡) 也就可以被看成搞好數學教育改 革的關健所在。

為了清楚地說明問題, 我們就可以“新數 學運動”和“大眾數學”為例來進行分析。

如眾所知, “新數學運動”是六十年代在 世界範圍內展開的一場轟轟烈烈的數學教育 改革運動。 國際競爭, 特別是軍備競賽為這一 運動在歐美各國能以較大的規模開展提供了 現實的可能性; 另外, 數學本身的發展, 特別 是數學中結構主義學派的工作則為這一運動 提供了必要的理論基礎, 因為, 正如其名稱所 已清楚地表明的, “新數學運動”的主要目標 就是要以現代數學思想對傳統的數學教育進 行改造, 從而實現數學教育的現代化。

顯然, 上述關於“新數學運動”的指導思 想, 即應當以現代數學思想對傳統數學教育 進行改造的思想是完全合理的; 也正因為此, 人們曾對“新數學運動”的成功寄予了很大的 期望。 但是, 隨著時間的推移, 這一運動卻 暴露出了眾多的弊病、 並最終以失敗而告結 束。 那麼, 究竟什麼是這一運動失敗的原因 呢? 筆者認為, 這主要就是由於“新數學運 動”只是注意了“數學方面”、 而忽視了數學教 育的“教育方面”, 從而也就沒有能很好地解 決上述的關於數學教育的基本矛盾。

例如, “新數學運動”的一個明顯弊病 就在於, 在強調及早地引入現代數學概念的 同時, 沒有能依據教育的規律去對這些概念 的“可接受性”(相對於不同年齡的學生而言) 和正確的教學方法作出深入的分析, 從而, 有 關教學活動的失敗就不可避免了。

除去片面強調數學教育的“數學方面”而 忽視了“教育方面”的錯誤以外, 在實踐中也 還存在相反的傾向, 這即是僅僅注意了數學 教育的“教育方面”而未能正確地反映數學的 本質。

例如, 作為對於傳統的數學教育的一種 反對, 現代的數學教育工作者提出了“大眾 數學”的口號, 而其主要內容之一即是希望 能使數學對大多數學生來說成為更有吸引力 和力所能及的。 也正是出於這樣的考慮, 所 謂的“開放性問題”在現代就得到了大力的提 倡, 因為, 普遍認為, 與具有唯一正確解 答, 甚至唯一正確解題方法的“傳統問題”相 比, 在解答和解題方法上都保持“開放性”的 問題更適於使所有的學生都參與到解題活動 之中 — 他們不僅可以依據各自的水平去進 行求解, 而且可以“自由地”採取各種可能的 解題方法, 包括經驗方法、 直覺與猜想等等 (由此可見, 對於“開放性問題”的強調並是與 對“非形式方法”的肯定直接相聯繫的)。

例如, 以下就是美國數學課本中所給出 的兩個“開放性問題”:

例1(十年級)

(1) 用一張硬紙構造起一個儘可能大的 盒子, 即努力使其具有最大的體積, 所說的盒 子包括四個長方形的側面和上下底;

(2) 說出你所認為具有最大體積的盒子, 並對這一盒子為什麼具有最大的體積作出直 觀的解釋;

(3) 再用一張紙構造起儘可能大的不具 有頂的盒子。

例2(九年級):

一個農民在送雞蛋去市場的路上發生了 車禍, 儘管她本人沒有受傷, 但所有的雞蛋卻 都破損了。 由於她事先參加了保險, 因此就前 往保險公司索賠。 後者要求她說出損失的雞 蛋的數目。 她說她不知道準確的數字, 而只記 得以下的事實: 當她在把雞蛋中裝進小盒時, 如果成雙地裝則剩下一個; 如果三個三個地 裝也剩下一個, 四個、 五個、 六個地裝也是 同樣的情況; 而當她七個一裝時則正好裝完。

問:

(1) 她有多少個雞蛋?

(2) 這一問題是否只有一個答案?

對於上述作法的基本出發點, 即是希望 能使數學對大多數學生來說成為是更有吸引 力和力所能及的, 人們普遍持肯定的態度;

然而, 由於只是注意了數學教育的“教育方 面”而未能對相應的“數學方面”予以足夠的 重視, 因此, 在“開放性問題”的教學中也就 出現了一些偏向。 例如, 美國加州大學的 H.

Wu 教授就曾通過實際考察對此提出了尖銳 的批評。

例如, 針對上述的第二個問題, Wu 提 出, 由於大多數學生能夠通過“實驗”的方法 (錯誤嘗試法) 獲得 301 這樣一個解答, 這一 問題對他們來說就是力所能及的; 而且, 由 於“實驗”正是數學活動的一個有機組成部分,

因此, 通過解題活動讓學生領會“實驗的精 神”就是很有意義的。 但是, 現在的問題是, 我 們的學生在面對這樣的問題時, 往往只是滿 足於用實驗的方法求得了 301這樣一個解答, 甚至教師也以此作為自己的唯一的教學目標。

針對這種情況, Wu 提出: “數學並不停止於 實驗, 而必須把它與理性的解釋聯繫起來: 在 這些看上去並無聯繫的事實背後是否隱藏著 某種普遍的理論? 這些事實能否被納入某個 統一的數學結構?”從而, “在鼓勵學生在數學 中進行實驗的同時, 我們又應向他們指出實 驗方法的局限性: 通過實驗所得出的發現不 應被看成終點, 而只是邁向以某種廣泛的數 學結構為背景的更全面理解的第一步。”

Wu並曾對應當如何看待證明的問題進 行了分析。 他認為, 對於直覺與非形式的強調 是無可非議的, 但是, 我們並不能以此去取 代數學證明, 而只能作為後者的必要補充。 然 而, 如上述例 1這樣的開放性問題 — 其中僅 僅要求學生對所作的猜測作出“直觀的解釋”

— 卻使學生對存在於猜測和證明之間的重要 區別認識不清: “如果在解決問題的過程中總 是滿足於不加證明的猜測, 他們很快就會忘 記在猜測與證明之間的區分”; 而後者甚至可 以說比根本不知道如何去解決問題更糟, 因 為, “證明正是數學的本質所在”。

儘管以上的論述所涉及的只是一些具體 的例子, 但是, 在 Wu 看來, 其所反映的情 況卻具有相當的普遍性: “在現實中, 開放 性問題在某些場合正在成為不求甚解和不加 檢驗的猜測的同義詞”, 由於這可能使學生對 數學的本性形成錯誤的認識, 因此就不能不

說是由於過分強調數學的可接受性 (或者說, 數學教育的“教育方面”) 所造成的一種消極 後果。 一般地說, 這事實上也就代表了一種 普遍的關注。 例如, 人們提出, “我所擔心的 是, 通過使數學變得越來越易於接受, 最終所 得出的將並非是數學, 而是什麼別的東西。”

(A. Cuoco)“大眾數學是否就意味著沒有數 學?”(J. D. Lange)

綜上可見, 無論是片面地強調數學教育 的“數學方面”或“教育方面” 都將導致數學 教學改革運動的失敗, 從而, 這也就更為清楚 地表明了, 正確地處理好數學教育的基本矛 盾正是搞好數學教育的關鍵所在。

最後, 依據以上的分析, 我們也就可以 對“什麼是數學教育現代化”的問題作出進一 步的分析, 特別是, 作為“數學教育現代化”的 評價標準, 我們在此即可提出如下的“數學教 育的時代性原則”:

數學教育應當適應時代的進步, 也即表 現出以下三個方面的適應性:

第一, 數學教育必須與社會的進步相適 應。

這不僅是指數學教育應當充分反映現代 社會的要求, 從而培養出社會所需要的人才;

而且是指數學教育應當充分利用現代社會所 提供的新的物質 (技術) 和文化條件 — 顯然, 後者事實上也就是實現前一目標的一個重要 保證。

第二, 數學教育必須與數學的發展相適 應。

這不僅是指數學教育內容的更新, 即如 引入新的教學內容, 而且是指用現代數學思

想來指導初等數學的教學, 還包括數學觀的 轉變。

第三, 數學教育必須與教育科學研究的 深入相適應。

這是指數學教育應當注意吸收教育科學 研究的現代成果。 一般地說, 這即就直接關係 到了數學教育能否成為一門真正的科學。

顯然, 依據以上的原則我們即就可以看 出以下的兩種關於“數學教育現代化”的常見 解釋都不是很適當的, 因為它們都只是強調 了時代進步的某一個側面: “數學教育的現代 化”主要是指如何依據現代的數學思想去對 傳統的數學教育進行改造; 或者說, “數學 教育的現代化”就是要以計算機為基礎來“重 建”數學教育。 與此相反, 我們應當從更廣泛 的角度對“數學教育的現代化”的內涵作出更 為深入的分析, 並以此來指導自己的實際行 動。

三 . 數學教學思想的根本性變 革

作為一個數學教師, 我們當然應當重視 教學方法的研究; 然而, 在作出這種努力的同 時, 我們卻又不應忘記: 科學的教學方法依 賴於科學的教學理論, 而後者則又必須以對 於學生學習活動的深入研究作為直接的基礎。

事實上, 如果就數學教學的現狀進行分 析, 容易看出, 一個普遍的傾向即是人們往 往只是注意了“應當怎樣教?” 而忽視了對 於學生真實思維活動的深入了解和分析。 例 如, 關於數學教學的論文和著作 (至少在國

內是這樣) 常常是給出了各種“教案”, 但卻 很少能夠看到具體的“學例”。 然而, 如果離開 了對於學生學習活動的具體分析和深入的理 論研究, 我們的教學實踐充其量也只是“經驗 型”的, 更何況這種實踐所體現的很可能只是 一種錯誤的教學思想。

一般地說, 對於學生學習活動的深入研 究即是數學學習心理學的研究內容, 而這正 是一個有待於深入研究的領域, 特別是, 在筆 者看來, 以下的三點即是深入開展這方面研 究的關鍵所在:

第一, 我們應當緊緊追隨學習心理學研 究的現代發展, 特別是, 我們應當清楚地認識 認知心理學 (更為一般地說, 就是認知科學) 研究對於學習心理學深入發展的重要意義。

具體地說, 現代認知心理學的基本立場 即是把思維活動看成是人腦對於信息加工的 過程, 包括信息的獲得、 貯存、 提取、 產生等;

另外, 從歷史的角度看, 認知心理學取代行為 主義在心理學領域中占據了主導地位則更有 著十分重要的意義, 因為, 按照行為主義的理 論, 心理學的研究只能局限於可見行為, 而認 知心理學的研究則表明了我們可以, 而且應 當深入地去研究內在的思維活動。 事實上, 以 下所論及的數學教學思想的根本性轉變在很 大程度上也就可以看成現代認知心理學研究 的直接產物。

第二, 相對於一般的學習心理學而言, 我 們當然更加關心數學學習心理學的研究; 然 而, 我們又應怎樣去從事數學學習心理學的 研究呢? 或者說, 我們在此應當如何去處理 在一般學習心理學與數學學習心理學之間所 存在的“一般”和“ 特殊”的關係呢?

顯然, 我們在此應當首先明確肯定一般 學習心理學對於數學學習心理學的指導意義。

事實上, 這也就是上述關於我們應當充分重 視認知心理學現代研究的論述所體現的基本 立場; 但是, 作為問題的另一方面, 我們又應 強調指出, 數學學習心理學如果有單獨存在 的必要, 它就應當充分體現數學學習活動的 特殊性, 這也就是說, 數學學習心理學不應被 等同於“一般學習心理學的理論框架鬫數學 的例子”。

然而, 就現狀而言, 我們又的確可以看 到這種“框架鬫實例”的作法 。 即如作為數學 學習過程中心理活動的分析, 只是從十分一 般的角度去指明知覺、 思維、 記憶等等的特 點, 再指出其對於數學教育的直接涵義, 並通 過若干實例予以說明。 當然, 這種研究也是有 一定意義的; 但是, 筆者認為, 就數學學習心 理學的理論建設而言, 我們決不能滿足於這 種簡單化的作法, 而應對數學教學領域中的 特殊現象、 特殊問題作出直接的、 深入的分 析, 從而揭示出數學學習活動的特殊性質。(事 實上, 除數學學習心理學外, 在其它的一些研 究領域內, 即如關於“數學美學”的研究等, 我 們也可看到類似的簡單化作法; 更為一般地 說, 這更關係到了師範院校數學系的辦學方 針: 數學教育不應被等同於“數學鬫教育” — 顯然, 這也就更為清楚地表明了注意糾正這 種簡單化傾向的重要性和緊迫性。)

第三, 除去對於數學學習活動的具體研 究以外, 我們還應注意從認識論的高度去揭 示數學學習這種特殊的認識活動的本質, 並 以此來指導數學學習心理學的具體研究。

具體地說, 筆者在此所主張的是, 數學 學習心理學的研究必須上升到必要的哲學高 度。 例如, 皮亞杰關於兒童心理學的研究即可 說是在這方面為我們提供了一個很好的範例:

在皮亞杰那裡, 心理學的研究是與一般哲學、

特別是認識論的研究密切相關的 (這就是所 謂的“發生認識論”), 從而, 心理學的研究就 為其哲學主張提供了重要的論據, 反之, 認識 論的分析則又事實上決定了他在心理學研究 中所採取的基本立場。 一般地說, 筆者認為, 這事實上也就是我國深入開展數學學習心理 學研究的一個重要環節。 例如, 在對國外的學 習理論進行介紹時, 我們就應特別注意它們 的基本觀點、 也即關於學習活動本質的主要 結論; 另外, 更為重要的是, 我們又應通過獨 立思考建立起我們在這一問題上的明確主張。

正是在後一意義上, 筆者認為, 我們應當 特別注意所謂的關於數學學習的“社會建構 主義”觀點。 具體地說, 建構主義觀點正是八 十年代以來數學學習心理學研究的一個熱點。

這就正如美國數學教育家戴維斯 (R. Davis) 教授所指出的: “ ‘建構主義’ 的思想 — 在一 些年前幾乎無人提及 — 現今在數學教育界 中引起了極大的重視。 許多人對此進行思考 並撰文加以論述。 儘管人們的意見並不完全 一致; 但是, 在這些爭論背後我們則又可以看 到關於學習的性質、 數學的性質以及適當的 教學方法的實質性一致。”

應當強調的是: 以上所說的“實質性一 致”事實上也就是建構主義數學教學觀的核 心所在, 即是認為數學學習並非是學生對於 教師所授予的知識的被動的接受, 而是一個

以其已有的知識和經驗為基礎的主動的建構 過程。 由此可見, 建構主義的數學教學觀事實 上也就是對於傳統的以“授予 — 接受” 為主 要特徵的數學教學思想的直接否定。

當然, 從理論的角度看, 建構主義的內涵 還有待於進一步的闡明和澄清。 例如, 特別重 要的是, 我們在此應當明確反對所謂的“極端 的建構主義”, 也即應當明確肯定建構活動的 社會性。 這也就是說, 學習活動 (更為一般地 說, 就是認識活動) 不應被看成主體的孤立行 為, 而必定是在一定的社會環境中完成的, 也 即必然地包含有一個表達、 交流、 批評、 改進 的過程。 也正是在這樣的意義上, 我們即可對 教師的作用作出新的認識: 教師在教學活動 中的主要責任就是要為學生的學習活動創造 一個合適的“社會環境”。 特別是, 由於學習活 動主要是一個“順應”的過程, 因此, 教師的一 項主要工作就是如何從學生的實際出發 (這 以深入了解學生真實的思維活動為必要的前 提), 通過提供適當的問題或實例以促進學生 的反思, 包括引起必要的概念衝突, 從而最終 通過其主動的建構建立起新的認知結構。 顯 然, 在所說的意義上, 我們也就可以引入“學 習共同體”的概念 — 這是由教師和各個學生 所組成的; 進而, 如果說以下的斷言即可說是 表明了建構主義的基本立場: “學生是一個個 的主體”, 那麼, 從“社會的建構主義”的基本 立場出發, 我們則就應當作出如下的補充或 澄清: “這些主體並和教師一起組成了一個共 同體”。

顯然, 對於廣大的數學教師來說, 我們也 就應當努力實現由傳統的數學教學觀向“社

會的建構主義”的轉變, 並以此來指導自己的 教學實踐。

至此我們論述了對於數學教育有著重要 意義的三個問題, 即數學觀的革命、 對於數學 教育基本性質的正確認識、 以及數學教學思 想的根本性變革。 容易看出, 如果從更為一般 的角度去進行分析, 這事實上也就涉及到了 這樣三個基本的問題: 什麼是數學? 為什麼 要進行數學教育? 我們又應如何去進行數學 教學? 而這正是“數學教育哲學”的主要研究 課題。

最後, 應當強調的是, “數學教育哲 學”作為一個新的、 具有重要意義的研究方 向, 在國際數學教育界正在得到普遍的關注 和重視, 而這不僅將對具體的教學活動產生 重要的影響, 而且也將為科學的數學教育理 論的建立提供必要的理論基礎。 對此詳可見 筆者的新著: 《數學教育哲學》(四川教育出版 社出版)。

主要參考書目

1. 鄭毓信: 《數學哲學新論》, 江蘇教育出版社, 1990 年。

2. 徐利治、 鄭毓信: 《數學模式論》, 廣西教育出 版社, 1993 年。

3. 徐利治、 鄭毓信: “數學哲學現代發展概述”, 載《數學傳播》, 十八卷一期, 83 年 3 月。

4. 曹才翰等: 《數學教育學概論》, 江蘇教育出版 社, 1989 年。

5. 張奠宙等: 《數學教育學》, 江西教育出版社, 1991 年。

6. ICMI 研究叢書之一: 《國際展望: 九十年代 的數學教育》, 上海教育出版社, 1990 年。

7. ICMI Study Series : Mathematic and Cognition,Cambridge University Press, 1990。

8. R. Davis, C. Maher & N. Noddings (ed), Constructivist Views on the Teaching and Learning of Mathemat- ics, Journal for Research in Mathe- matics Education, Monograph No. 4, 1990。

9. P. Ernest: The Philosophy of Mathe- matics Education, the Falmar Press, 1990。

10. D. Grouuws (ed), Handbook of Re- search on Mathematics Teaching and Learning, Macmillian Pub. Company, 1992。

—本文作者任教於南京大學哲學系—