可積的動力系統

可積的動力系統

平斯

若只有一個, 可以說是僥倖, 但是同時有兩個就絕非尋常, 美國數學學會的機關刊物 「數學 匯刊 (AMS Transaction)」 是個水準很高的雜誌, 許多數學家初試啼聲的學位論文, 都發表於 此。 固然這個雜誌的總編是由會員普選產生, 但向來另外羅致碩學多識的人士, 擔任編輯群, 在 幾年前曾同時列名了李文卿與張聖容, 身列為編輯, 當然是因她們在數學各別領域裡的優秀表 現所帶來的責任。 特殊的是這兩人是台大的同班同學, 其實當時還有另一個同學金芳蓉, 不屑如 此花功夫勘式審文, 只競選學會理事, 包括這些與其他的這批同學, 活躍一時, 其來有自。

目前是 「伊利諾數學雜誌」 編輯群的吳徵眉, 三十多年前聯考放榜時, 以第一志願高取台 大數學系榜眼, 當新生報到時, 依序排出學號, 竟然也只在十號靠外的邊緣, 原來全省自北至南, 幾乎所有知名女高校的保送花魁, 全都進了該系。 保送也好, 聯考也好, 畢業後幾十年來的努力, 大家都頭角崢嶸, 合力撐起了半邊天。

在歷史上, 傑出女性數學家的遭遇, 全然不是在今天這麼回事, 最著名的例子, 是蘇菲亞·柯 瓦列夫斯基 (Sonja Kovalevsky) [註一], 她是個十分出色的數學家, 但因為只是外爾司錯 (Karl Weierstrass) 的私塾弟子, 許多自己嘔心瀝血的創見, 居然被懷疑是代工而不被承認, 謀職的時候更是受盡打壓, 只能以半薪受聘 [註二]。 即便近日提及, 也得掀翻她流傳至今的風月 故事 [註三]。 在她許多的成就中, 有一項得博丹獎 (Prix Bordin) 的, 是解出陀螺旋轉的運動 方程式。 這個博丹獎也頒給了雅培 (Paul Appell) 在前, 阿達瑪 (Jacques Hadamard) 在後, 全是解析力學有重要貢獻的數學家。

陀螺的旋轉, 可用地球繞太陽的運動來比擬, 由兩部分合成: 一是自轉, 用角位移函數 ω 描 述; 另外自轉軸又對黃道面之垂線公轉, 一端是固定點, 另一活動端則落在一個球面上, 可用柱 面坐標 (r, θ) 來描述這端的位置。 因此 (ω, r, θ) 是描述運動所需的三個時間變量, 如果整個系 統只有陀螺本身的重力, 沒有其他外力, 則自轉, 公轉的角動量與總能量全都守恆, 這三個恆等 式可用來解轉動的三個變量, 這些解都需要做橢圓積分, 正好她的師尊發明了這樣的橢圓函數, 隨手拈來, 自然天成。 依照不同之守恆量, 自轉軸活動的端點在球面上畫出的軌跡, 可能是一個 點, 一個圓周, 或各式的擺線: 正擺線, 內擺線, 外擺線等。

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圖一

與此類似的還有球面擺, 其擺鎚在一個球面上運動, 也畫出一條擺線, 把上述的圖倒轉過 來就是。 設若再簡化成平面擺, 亦即佛科擺 [註四], 則擺線對鉛垂線的角位移 ω, 符合運動方程 式

ω^′′+ sin ω = 0

檢討起來, 陀螺的旋轉問題之所以可解, 是因為整個系統有足夠的對稱, 正如個別行星圍繞恆星 運動的雙體問題可解。 但是牽涉到太陽、 地球、 月亮的三體問題, 因為對稱解體, 缺乏足夠的守 恆律, 來消去太多糾纏不清的變量, 所以無解, 守恆律來自系統對稱, 是著名的 “諾特定理”。 愛 米 · 諾特 Emmy Noether 師承不變量大師戈登 Paul Gordan, 利用物理現象不因觀測坐標而 改變的原理, 再因所有坐標的可能選擇, 如旋轉及平移, 是個李群的結構, 她因而導出守恆律就 是這個李群作用下的不變量, 由於上述定理有效廣泛的應用, 在物理學裡名聲響亮, 但是後來順 應形式主義潮流, 拋棄師傳, 不再用繁複的公式計算, 只用抽象定義來推演, 例如提出有限漸增 條件 ACC 來釐清 “算術基本定理”; 被稱為近世抽象代數的奠基人之一。 千禧年適逢東吳大學 慶祝建校百年, 在嘉年華會裡, 數學系共襄盛舉, 展出一系列回顧二十世紀著名數學家的肖像, 其中一楨就是諾特。 一個理論力學的資深物理教授, 端詳半嚮後若有所悟: “原來這個諾特是個 女性數學家!” 這件連她自己也要刻意隱藏的事實, 今天可能讓我們對她多加一分敬意, 但是當 時, 對她卻是百般障礙, 比柯娃列夫斯基更悽慘, 在哥廷根大學最初連半薪的聘書都沒有, 她被 拒絕聘用的藉口是: 在德意志帝國轄內, 校務會議不可能有女性成員, 這引得希爾伯特 (David

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將單擺方程式擴充在二維, 等式右邊加上空間變數的二階偏導數, 此即是著名的 sine-Gordon 方程式。

ωtt+ sin ω = ω^xx 這個奇怪的名稱, 模仿自量子場論的 Klein-Gordon 方程式

ωtt+ ω = ω^xx

其來源各家自有說法, 數學方面說是源出 Kruskal [註七], 物理方面則號稱是 Finkelstein 與 他的博士班學生開玩笑, 不料弄假成真, 而得此名 [註八]。 濫觴所及, 幾何學裡建構常均曲率曲 面, 用到另一個非常類似的, 就叫 sinh-Gordon 方程式

ωtt+ sinh ω = −ω^xx

從分析的觀點看, 這些形式相同, 名稱上也押韻的式子, 都有孤立子解。 被視為廣義的可積動力 系統。 但與古典的三體問題相反, 守恆律卻多得很, 找解也不難, 可用逆散射法求解, 正如中研 院數研所李志豪與他的同門師弟師妹們所作的研究, 然而整個系統的對稱群卻莫明其詳, 因為 問題根本來自幾何, 因此求解還得回到幾何: 一個在 (x, t) 面上的度量

ds² = cos²udx²+ sin²udt²

其高斯曲率為負一的充要條件即 2u = ω 是一 個 sine-Gordon 方程式的解。 例如

u= 2 tan⁻¹(exp^(ax−bt)), a²− b² = 1 這樣的度量, 實現在一個三度空間裡的曲面上, 因高斯曲率為負一, 故稱偽球曲面。 並且從一個 開始, 經過一些複雜的演算, 可以造出許多其他 五花八門的偽球曲面, 數學家 R. Palais 把它 們收集在 3D Film Strips 的一個網頁裡, 掛 在台大數學系的英文版首頁 [註九], 非常值得 上網瀏覽一番。 既然偽球曲面落實了微分方 圖二

程式的解, 反過來, 當初製造偽球的演算, 就應該構成對稱群。 這就是滕楚蓮所作的 [註十], 基 本上, 她先在這個幾何問題上蹲點, 總結了經驗後, 再用近代無限維李群的語言, 翻譯古典的理

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論, 使得諾特定理在理論力學的典範敘述: “守恆律來自系統對稱” 有全新的詮釋。 她的師祖葛 利生 Andrew Gleason 正是解決希爾伯特第五道問題的數學家 [註十一], 這個問題在刻畫李 群: 同時具有代數結構與相互呼應的幾何結構之集合, 雖然不具操作的實體, 仍然是個李變換 群。

因此可謂一脈相承, 與她合作研究的, 除了大師如陳省身之外, 有些也是女性數學家; 早些 年, 女權主義盛行的時候, 有自稱三劍客的科學家, 合寫了一本介紹數學物理的書 [註十二], 結 尾畫了一幅自畫像, 竟是三名穿著裙子, 耀武揚威地跨騎在蝸牛背上的女子, 當時盛況, 略可與 今相互媲美。 滕楚蓮是上述諸台大同學晚一屆的保送生, 後來也曾接著做了 「數學匯刊」 的編 輯; 學問如何好是一回事, 熱心提攜後進是另一回事, 她最為人樂道的是, 曾為國內的年青數學 家, 努力爭取機會, 出席國際數學會發表論文, 夫以身居津要之便, 折衝樽俎之間, 而利計鄉梓, 此孟嘗之功業也, 豈必鬚眉。 從蘇菲亞, 愛米到今天, 一路走來的不祇是一段漫長遙遠的路程。

[註一 ] 李志豪: 蘇菲亞柯瓦列夫斯基與數學界, 數學傳播季刊, 36 期, 21-29 頁。

[註二 ] 顏一清: 蘇菲亞可巴雷斯卡亞的世界 (上), 數學傳播季刊, 76 期, 43-50 頁。 (下), 數學 傳播季刊, 77期, 47-54頁。

[註三 ] Jackson, A. 刊於 AMS Notice 46 卷, (1999), 1051頁。

[註四 ] 張海潮: Foucault 和 Levi-Civita, 數學傳播季刊, 92 期, 3-5 頁。

[註五 ] Reid, C. 著, Hilbert, 143 頁。

[註六 ] 顏一清: Emmy Noether 的一生, 數學傳播季刊, 84 期, 3-17 頁。

[註七 ] Abraham, Marsden 合著, Foundations of Mechanics, 462 頁。

[註八 ] S. Coleman 著, Aspects of Symmetry, 262 頁。

[註九 ] http://www.math.ntu.edu.tw/∼palais/

[註十 ] 滕楚蓮刊於 J Diff Geometry, 45(1997), 407-445頁。

[註十一 ] 楊忠道: 我的師友, 數學傳播季刊, 102 期, 28 頁。

[註十二 ] Choquet, Dewitt, Dillard 合著, Analysis Manifolds and Physics, (1977).

—本文作者任教於東吳大學數學系—