實變數函數論課程介紹
課程名稱：實變數函數論（數三選修課）
課程時間：星期一 14:10-16:00；星期四 12:10-13:00 教室：3173 （數學館）
授課教師：許瑞麟 辦公室：數學系館 408
Email：rsheu@mail.ncku.edu.tw 電話：2757575-65150
助教: 林威溢
辦公室：數學系館 418
Email：halime.tw@yahoo.com.tw 電話：0937563113
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預備知識：集合論 (數學導論)，初等微積分，高等微積分。
參考書籍：Lebesgue Integration by Soo Bong Chae, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, No. 58。
課程內容綱要：實變數函數論是近代數學分析的基礎。主要是透過集合論以及點 集拓樸學 (point set topology)來研究實數系的結構以及魯貝格測 度和積分理論(Lebesgue measure and integral)。集合論從公理公設 出發一路到超限理論，威力強大然而抽象難懂。本課程希望藉由 充足的例子，讓初學者對這些抽象理論逐漸熟悉而感到自然。然 而這些例子本身，就已經具有挑戰初學者習以為常的經驗以及眼 見為憑的直覺，必須下工夫去反覆思索，才有磨合融入的可能。
成績計算方式：作業 30%，一次期中考 35%，期末考 35%。
作業: 約兩星期有一次作業，於課堂或網頁公佈，公佈一週內繳交。單次作業遲 交兩天以內不扣分，但算遲交一次；遲交兩天以上至一星期以 內，該次作業以 80%計分且計遲交一次；遲交超過一星期則不予 計分。全學期遲交次數以三次為限，超過三次，全數遲交作業均 以 80%計分。同學間作業可以討論，也可以參考別人作業後作 答，但不得字句抄襲且必須註明有 “本題參考 xxx 作業” 字樣。
只要有任何一題參考別人作業作答未註明者或字句抄襲者該份 作業以零分計算。
Office Hours: 請預約時間。
助教: 助教負責批改考卷及保管成績, 協助解答學生問題. 助教之 Office Hours 另訂之.
出席與點名: 本課程不點名。
考試時間與範圍：
期中考 4 月 24 日 第 0 章到第 2 章.
期末考 6 月 12 日 全學期課程內容.
預定的進度如下：
第一週 (2/13-2/19) (2/13) (0.3 – 0.5) Preliminaries: Countable sets; Real numbers; Characterization of open set in R (Cantor Theorem); Heine-Borel Theorem; Bolzano-Weierstrass Theorem.
(2/15) (0.6) Continuous functions.
第二週 (2/20-2/26) (2/20) (0.7) Metric spaces. (1.1) The Cauchy integral (2/22) (1.2) Fourier series and Dirichlet conditions.
第三週 (2/27-3/5) (2/27) (1.3) The Riemann Integral. (1.4) Sets of measure zero and the Cantor sets.
(3/1) (1.5) Lebesgue’s theorem for Riemann integrability.
第四週 (3/6-3/12) (3/6) (1.6) Deficiencies of the Riemann integral. (2.1) Step functions and their integrals.
(3/8) (2.2) The first fundamental lemma for monotone decreasing sequence of nonnegative step functions.
第五週 (3/13-3/19) (3/13) (2.2) The second fundamental lemma. (2.3) The class L^+.
(3/15) (2.4) The Lebesgue integral.
第六週 (3/20-3/26) (3/20) (2.5) The Beppo-Levi theorem.
(3/22) (2.5.5) The monotone convergence theorem.
第七週 (3/27-4/2) (3/27) (2.6) The Lebesgue dominated convergence theorem.
(3/29) (2.6.6) Fatou’s lemma.
第八週 (4/3-4/9) 春假
第九週 (4/10-4/16) (4/10) (2.7) The space L^1.
(4/12) (2.7) The space L^1.
第十週 (4/17-4/23) (4/17) (3.1) Measurable functions. (3.2) The Lebesgue
measure.
(4/19) (3.2) The Lebesgue measure.
第十一週 (4/24-4/30) (4/24) 期中考 (14:10 – 16:10) (範圍: 考到第二章) (4/26) (3.3) Borel sets.
第十二週 (5/1-5/7) (5/1) (3.4) Nonmeasurable sets. (3.5) Structure of measurable sets.
(5/3) (3.6) More about measurable functions.
第十三週 (5/8-5/14) (5/8) (3.7.6) Convergence in measure.
(5/10) (5.1) Nowhere differentiable function.
第十四週 (5/15-5/21) (5/15) (5.2) The Dini derivative. (5.3) Differentiability of monotone functions.
(5/17) (5.4) Functions of bounded variation.
第十五週 (5/22-5/28) (5/22) (5.4.5) Jordan decomposition theorem. (5.4.9) The Cantor-Lebesgue function.
(5/24) (5.5) Absolute continuity.
第十六週 (5/29-6/4) (5/29) (5.5) Absolute continuity.
(5/31) 端午節
第十七週 (6/5-6/11) (6/5) (5.6) Fundamental theorem of calculus.
(6/7) (5.6) Fundamental theorem of calculus.
