勾股定理證明-G226
【作輔助圖】
1. 以直角三角形ABC 的 AB 邊為正方形的一邊，向內作正方形 ABDE 。
2. 接著過 E 作 AC 的垂直線，垂足 F 。以及過 D 作EF 的垂直線，垂足G 。並延伸 BC 交 DG 於 H 。
3. 然後以EF 為正方形的一邊，向左作正方形EFIJ 。再以 EG 為正方形的一邊，向 右作正方形 EGKL 。其中 LK 交 DE 於 M 。
4. 再來將 DG 延伸，交 IJ 於 N ，並交 EA 於 O 。以及過 A 作 GN 的垂直線，垂足 P 。 最後連 JG 與 AE 交於 Q 。
A B
C
D E
F G
H
I J
K L
M
N
O P
Q
【求證過程】
先作輔助圖，得到分別以直角三角形三邊為邊的三個正方形，並且將它們適當地 切割。其中對應的區塊為全等圖形，也就是可以透過拼圖的方式將兩個小正方形切成 的拼片，用來拼出大正方形。最後由面積關係即可推出畢氏定理的關係式。
1. 不難發現ABC,BDH,GJN,JGE,EAF,DEG這六個直角三角形全為全等的直 角三角形，以下我們給出證明：
其中考慮ABC,BDH，因為
90 ,
CAB CBA HBD
並且
90 ,
ACB BHD
以及
( ),
ABBD 正方形的邊 所以可以得到
ABC BDH
(AAS 全等).
另外ABC,EAF 為全等的三角形是因為
( ), AB AE 正方形的邊 並且
90 ,
ACB EFA
以及
90 ,
CBA CAB EAF
所以
ABC EAF
(AAS 全等).
接著看ABC,DEG的全等，是因為
( ),
ABDE 正方形的邊 並且
90 ,
ACB DGE
以及
90
90 ( )
,
CBA CAB
FEA ABC EAF EAF
所以
ABC DEG
(AAS 全等).
還有ABC,JGE則是因為
( )
( ),
AC EF ABC EAF EJ
正方形的邊 並且
( ),
BC EG ABC DEG 以及
90 ,
ACB JEG
所以
ABC JGE
(SAS 全等).
最後一組JGE,GJN是因為在長方形 EGNJ 中 , JGGJ 並且
JN EG(長方形的對邊), 以及
GN EJ(長方形的對邊), 所以
JGE GJN
(SSS 全等).
2. 接著也可以看出EOG,EML為全等三角形，以下是證明：
因為有
( ),
EGEL 正方形的邊
並且
90 ,
EGO ELM
以及
90 ,
GEO DEG LEM
所以可以得到
EOG EML
(ASA 全等).
3. 而AOP,DMK亦為全等三角形，同樣地給出證明：
因為
( )
, OA EA EO
ED EM EOG EML
MD
正方形的邊以及 並且有
90 ,
APO DKM
以及
( )
( )
( ), POA GOE
LME EOG EML DMK
對頂角 對頂角
所以
AOP DMK
(AAS 全等).
4. 明顯地正方形APNI 與正方形 CFGH 全等：
是因為 GF PA(長方形的對邊), 所以正方形是全等的.
5. 然後我們考慮大正方形面積的拆解：
( ) ( )
.
ABDE ABC BDH DMK EGKM EOG AFGO CFGH GJN JGE AOP EGKM EML AFGO AINP
GJN JGE AOP AFGO AINP EML EGKM EFIJ EGKL
以上面積關係式，也就是畢氏定理關係式
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：此證明來自 1918 年的 R. A. Bell, 他還提供了另外三種類似的證明方式。它 收錄在Loomis 的《勾股定理》的幾何篇中編號第 226 號。
2. 心得：此證明是屬拼圖式的證明方式，每一個拼片不只是面積相同，還是對應地 全等。所以在理解上相當容易，學生願意嚐試應該也可以以類似的拆解方 法來證明畢氏定理。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 補充：
(1) 在數學能力指標中，有這麼幾項：
S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。
以及
N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公 式。
此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關係式。
(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
