第三章：幾何與證明 第一節：證明與推理 一、選擇
1. （ ）如圖，已知 AD ＝ BC ，∠1＝∠2，則下列推論何者錯誤？
(A) AB ＝ CD (B) AO ＝ OC (C)∠B＝∠D＝45°
(D)△BAC @ △DCA
《答案》C
2. （ ）老師問：「在△ABC 和△DEF 中，若 AC ＝ DF ， BC ＝ EF ，如果要證明△ABC @ △DEF 應該要加上哪一個條件？」
甲生說：「 AB ＝ DE 。」
乙生說：「∠C＝∠F。」
丙生說：「∠A＝∠D。」
丁生說：「∠B＝∠E＝90°。」
請問哪一位說的條件無法證明？
(A)甲生 (B)乙生 (C)丙生 (D)丁生
《答案》C
3. （ ）若 a 為奇數，則下列敘述何者正確？
(A)7a＋2 為奇數 (B)a＋5 為奇數 (C)2a－3 為偶數 (D)a 2 為偶數
《答案》A
4. （ ）已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4。
求證： AC ＝ BD 。
證明的過程有下列四個步驟：
(1) AC ＝ BD
(2)∵∠1＝∠2，∴∠DAB＝∠CBA (3)△ABD @ △BAC(ASA 全等性質)
(4)∵∠3＝∠4， AB ＝ AB ，∠CBA＝∠DAB 請問證明的順序應為下列何者？
(A)(2)→(4)→(3)→(1) (B)(4)→(2)→(3)→(1) (C)(1)→(3)→(2)→(4) (D)(3)→(4)→(1)→(2)
《答案》A
5. （ ）已知：如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， BD ＝ CD 。
求證： AD ⊥ BC 。
證明：(1) AB ＝ AC ， BD ＝ CD ， AD ＝ AD (2)△ABD @ △ACD(SSS 全等性質)
(3) ˉ(甲)ˉ (4)故 AD ⊥ BC
請問甲應填入下列何者，可得完整的證明？
(A)∠1＝∠2
(B)∵ AD ⊥ BC ，∴∠1＝∠2＝90°
(C)∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2
(D)∵∠1＝∠2，又∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°
《答案》D
6. （ ）△ABC 中， AD 垂直平分 BC ，且交 BC 於 D，則下列哪些敘述是正確的？
甲：△ABC 是正三角形 乙： AD 平分∠BAC 丙：△ABD @ △ACD 丁：∠B＝∠C (A)全部正確 (B)乙、丙、丁
(C)甲、乙、丙 (D)甲、丙、丁
《答案》B
7. （ ）如圖，已知 BC ⊥ AB ， AD ⊥ AB ， AC ＝ BD ，則下列推論何者錯誤？
(A) DE ＝ CE (B) AD ＝ BC (C)∠ABD＝∠BAC
(D)△ABC @ △BAD 是根據 SAS 全等性質
《答案》D
8. （ ）如圖， AD 交 BC 於 O 點，若 OA ＝ OD ， OB ＝ OC ，則下列敘述哪些是正確的：
甲：△AOB @ △DOC 乙：∠B＝∠C 丙： AB ＝ CD 丁： AB // CD
(A)甲 (B)乙、丙 (C)甲、丙、丁 (D)甲、乙、丙、丁
《答案》D
9. （ ） 已知：如圖，ABCD 是正方形，A 在 L 上，DE ⊥L，BF ⊥L，垂足分別為 E、F( AE ≠ AF )。
求證：△ADE @ △BAF。
證明：(1)∵ABCD 是正方形，∴ AB ＝ AD ，∠7＝90°
(2)∵ DE ⊥L， BF ⊥L，∴∠5＝∠6＝90°
(3) ˉ(甲)ˉ
(4)∴△ADE @ △BAF(AAS 全等性質)
從下列選項中，選出可填入(甲)中的正確證明過程：
(A)∵ DE ⊥L， BF ⊥L，∠7＝90°，∴ DE ＝ BF (B)∵ DE ⊥L， BF ⊥L，∠7＝90°，∴∠1＝∠4 (C)∵∠7＝90°，∠5＝∠6＝90°，∴∠2＝∠3
(D)∵∠7＝∠5＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3 Þ∠1＝∠3
《答案》D
10. （ ）已知直角三角形的三邊長為 6、a、b(a、b 為正整數)，且 b 為斜邊，則(a＋b)必為下列哪 一個數的因數？
(A)36 (B)60 (C)72 (D)96
《答案》A
11. （ ）如圖，在△ABC 中，已知 AB ＝ AC ， AD ⊥ CD ， AE ⊥ BE ，若∠1＝∠2，則欲證明△
ABE @ △ACD 時，可使用下列哪幾項條件來證明？
(1) AB ＝ AC (2) AD ＝ AE (3)∠ABE＝∠ACD (4)∠BAE＝∠CAD (5)∠ABC＝∠ACB (6)∠1＝∠2
(7)∠ADC＝90°＝∠AEB
(A)(1)(2)(3)(4)，是根據 AAS 性質 (B)(1)(4)(6)(7)，是根據 AAS 性質 (C)(1)(2)(5)(6)，是根據 ASA 性質 (D)(1)(3)(5)(7)，是根據 RHS 性質
《答案》B
12. （ ）下列對於連續正整數的敘述，何者錯誤？
(A)連續正偶數 2、4、6、中，第 n 項的數為 2n
(B)連續正偶數總和 2＋4＋6＋中，到第 n 項的總和為 n 2 (C)連續正奇數 1、3、5、中，第 n 項的數為 2n－1 (D)連續正奇數總和 1＋3＋5＋中，到第 n 項的總和為 n 2
《答案》B
13. （ ）如圖， AD 與 BC 相交於 O 點，且 OA ＝ OD ， OB ＝ OC ，則下列哪些敘述是正確的？
甲：△AOB @ △DOC 乙：∠B＝∠C 丙：∠A＝∠C 丁： AB // CD 戊： AB ＝ CD
(A)甲、乙 (B)甲、乙、戊 (C)甲、乙、丙、戊 (D)甲、乙、丁、戊
《答案》D
14. （ ）下列敘述，何者錯誤？
(A)若 a 為奇數，則(a＋1) 2 －a 2 必為奇數 (B)若 a 為偶數，則(a＋1) 2 必為奇數 (C)若 a 為偶數，則 a 2 必為 4 的倍數
(D)若 a 為奇數，則 3(a＋1) 2 必為 24 的倍數
《答案》D
15. （ ）如圖，鋪色區域 A1、A2、A3、A4 為兩個相同的正方形之重疊部分，其中 O 為正方形兩對 角線之交點，則下列敘述何者正確？
(A)A1＞A2 (B)A2＞A3 (C)A3＞A1 (D)A1＝A4
《答案》D
16. （ ）已知 a、b 兩整數的乘積為偶數，b、c 兩整數的和為奇數，如果 c 為奇數，則下列敘述 何者正確？
(A)a 為偶數，b 為奇數 (B)a 可能是奇數或偶數 (C)a、b 兩整數必定都是偶數 (D)a、b 兩整數必定都是奇數
《答案》B
17. （ ）如圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ， AH ⊥ BC 於 H 點，E、F 分別為 AB 、 CD 的中點，直 線 AF 與直線 BC 交於 G，請問可根據下列哪一種全等性質得到△ADF@△GCF？
(A)SSS (B)SAS (C)AAS (D)ASS
《答案》C
18. （ ）小明欲將 11 2 表示成連續奇數的和，則下列何者正確？
(A)11 2 ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 (B)11 2 ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 (C)11 2 ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21 (D)11 2 ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＋23
《答案》C
19. （ ）若 a 為正整數，則下列哪一個式子所表示的數一定為 8 的倍數？
(A)(a＋1) 2 －a 2 (B)(a＋2) 2 －a 2 (C)(a＋3) 2 －a 2 (D)(a＋4) 2 －a 2
《答案》D
20. （ ）如圖，半圓 O 中， AB 為直徑，且
PQ
垂直 AB ，Q 為垂足，若 AB ＝10， PA ＝8，則PQ
＝？
(A)
5
24
(B)5 (C)5
26
(D)5 27
《答案》A
（ ）如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， BE 平分∠ABC，並交 AC 於 F，且 AF ＝ BF 。若 DE // AC ， 則下列推論何者正確？
(A)∠A＝18°
(B)△BCF 為等腰三角形 (C)△ABF 為正三角形 (D)△ABC @ △BED
《答案》B
22. （ ）如圖，等腰梯形 ABCD 中， AD // BC ，且 AB ＝ DC ，甲生想證明 AC ＝ DB ，他的證明 過程如下：
因為四邊形 ABCD 為等腰梯形，所以∠ABC＝∠DCB，
在△ABC 和△DCB 中，
因為∠ABC＝∠DCB， AB ＝ DC ， 所以△ABC @ △DCB，故 AC ＝ DB 。
乙生看了證明後，表示在證明△ABC @ △DCB 的過程中缺了一個條件，你認為應加上下 列哪一個條件，才能使證明完整？
(A) BE ＝ CE (B) BC ＝ BC (C)∠AEB＝∠DEC (D)∠AED＝∠BEC
《答案》B
23. （ ）欣欣樂園內有一座滑水道，爬梯 AC 長 20 公尺，滑水道高 AD 為 16 公尺，若 AB 與 AC 的 夾角為 90°，則滑水道底部到爬梯底部 BC 的距離為多少公尺？
(A) 64
3 (B) 80
3 (C) 90
3 (D) 100 3
《答案》D
24. （ ）在△ABC 中，已知 AB ＝ AC ，則下列敘述何者錯誤？
(A)∠B 可能為鈍角
(B)∠B＝∠C
(C)∠A＋∠B＋∠C＝180°
(D)∠A 可能為鈍角
《答案》A
25. （ ）如圖，坐標平面上，圓 O 的圓心為原點(0 , 0)，其半徑等於 1，若由點 P(2 , 0)對圓作切線，
切點為 Q 點，則 Q 點坐標為何？
(A)(
2 1
,2
3 ) (B)(
4 1
,4
3 ) (C)(
6 1
,6
3 ) (D)(
8 1
,8 3 )
《答案》A
（ ）如圖，有大小兩圓外切於 M 點，P 為兩圓外一點，過 P 點做兩圓的公切線，公切線交大圓 於 A、B 兩點，交小圓於 C、D 兩點，連接 AB 及 CD ，則下列敘述中，正確的有幾個？
甲： AC ＝ BD 乙：△PAB～△PCD 丙：∠BAC＝90°
丁：四邊形 ABDC 是等腰梯形
戊： AB 的中垂線會通過大圓圓心，但不會通過小圓圓心
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
《答案》B
27. （ ）有一個數學遊戲如下圖所示：由左方入口進入，依框內指示，根據下圖兩個三角形判斷 正確的路徑，則出口為何？
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁
《答案》B
28. （ ）如圖，上午 9 時，樹影 BD ＝15 公尺，下午 2 時，樹影 CD ＝6 公尺，若已知兩次光線的 夾角∠1＝90°，則樹高 AD 約多少公尺？
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
《答案》C
29. （ ）如圖，分別以△ABC 的兩邊 AB 、 AC 為邊，向外作正三角形△ABD 和△ACE，求證：BE
＝ CD ，小安的證明過程如下：
(1)∵△ABD 為正三角形
∴ AB ＝ AD ，∠BAD＝60°
同理： AE ＝ AC ，∠CAE＝60°
(2) ∵ AB ＝ AD ， AE ＝ AC ，∠CAE＝∠BAD
∴△ABE @△ADC(SAS 全等性質)，故 BE ＝ CD
阿宏發現小安的證明過程中有一個地方錯誤，請問是下列何者？
(A)∵ AB ＝ AD (B)∠CAE＝∠BAD
(C) AE ＝ AC (D)利用 SAS 全等性質證明全等
《答案》B
30. （ ）如圖，△ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°，過 AC 中點 D 作 DE ⊥ BC，且交 BC 於 E 點，
則下列敘述何者正確？
甲：∵△CDE@△BDE，∴∠1＝∠2 乙：∵△CDB@△ADB，∴∠C＝∠4
丙：∵△CED～△CBA，∴ DE ： AB ＝1：2 丁：∵ DE // AB ，又 CD ＝ DA ，∴ CE ＝ EB (A)甲、乙 (B)甲、乙、丙
(C)甲、丙、丁 (D)乙、丙
《答案》C
31. （ ）兩個直角三角形在下列何種條件下不一定全等？
(A)兩銳角對應相等 (B)一斜邊及一股等長 (C)兩股對應相等 (D)一斜邊及一銳角對應相等
《答案》A
32. （ ）如圖，△ABC 中，若∠ABC＝90°， BH ⊥ AC ， BD 平分∠ABC。已知 AB ＝3， BC ＝4，
則 DH ＝？
(A)
35 12
(B)35 17
(C)35 21
(D)35 27
《答案》A
33. （ ）如圖，△ABC 和△CDE 均為正三角形，且∠BDC＝150°，則下列敘述何者錯誤？
(A)△ADC@△BEC (B) BD 2 ＋ DE 2 ＝ BE 2 (C) BD 2 ＋ DC 2 ＝ AD 2 (D)△ADC@△BDC
《答案》D
34. （ ）如圖， BD 平分∠ABC，P 為 BD 上一點，連接直線 AP 交 BC 於 F 點，連接直線 CP 交 AB 於 E 點，且 PE ⊥ AB ， PF ⊥ BC ，則下列敘述何者錯誤？
(A)∵△BPE@△BPF，∴ PE ＝ PF (B)∵ PE ⊥ AB ，∴ PE ＝ AE (C)∵△APE@△CPF，∴ AP ＝ CP (D)∵△BAP@△BCP，∴∠BAP＝∠BCP
《答案》B
35. （ ）如圖，在△ABC 中， AB ＝ AC ，且 AD 、 BE 分別平分∠BAC、∠ABC，下列敘述何者不 一定正確？
(A) AD ⊥ BC (B)△ADC@△ADB (C) BD ＝ CD (D)∠CBE＝∠CAD
《答案》D
36. （ ）如圖，四邊形 ABCD 為正方形，且 DF ＝ EC ，則下列敘述何者正確？
(A)△ADF@△DCE (B)△ADF@△ABE (C) AE ＝ DE (D) AE ＝ AF
《答案》A
37. （ ）在△ABC 和△DEF 中，已知 AB ＝ DE ， BC ＝ EF ，若欲證明△ABC@△DEF
，
試判斷下 列敘述何者錯誤？(A)欲使用 SSS 全等，應加條件 AC ＝ DF ，方能使兩個三角形全等 (B)欲使用 SAS 全等，應加條件∠C＝∠F，方能使兩個三角形全等 (C)欲使用 RHS 全等，應加條件∠C＝∠F＝90°，方能使兩個三角形全等 (D)欲使用 RHS 全等，應加條件∠A＝∠D＝90°，方能使兩個三角形全等
《答案》B
38. （ ）若直線 L 為 BC 的中垂線，且 A 為 L 上一點，則△ABC 必為何種三角形？
(A)正三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)不等邊三角形
《答案》B 二、填充
1. 如圖，△ABC 中，∠C＝90°， CD ⊥ AB 於 D，若 AC ＝3， BC ＝4，則：
(1) AD × BD 的值為ˉˉˉˉ。
(2) AD ＝ˉˉˉˉ。
(3)△ABC 面積：△CBD 面積＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1) 144 25 (2) 9
5 (3)25：16
2. 已知：如圖， AB ＝ CD ， AC ＝ DB 。
求證：△ABC @ △DCB。
【證明】∵ AB ＝ˉˉˉˉ(已知) AC ＝ˉˉˉˉ(已知)
BC ＝ˉˉˉˉ(共用邊)
∴△ABC @ △DCB(ˉˉˉˉ全等性質)
《答案》
CD ， DB ，
BC ，SSS
3. 如圖，泳池內有一座小型滑水道，其中 AB 與 AC 的夾角為 90°，已知 AC 長 1.5 公尺， AD 為 1.2 公尺，則 BC 為ˉˉˉˉ公尺。
《答案》2.5
4. 如圖，已知直角三角形 ABC 的面積為 18 3， AD ⊥ BC，且 AC ＝6，則 AB ：BD ＝ˉˉ： 3 。
《答案》2
5. △ABC 中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC ，若 AB ： AC ＝2：1，且 BC ＝15，則：
(1) CD ＝ˉˉˉˉ。
(2)△ABC 面積＝ˉˉˉˉ。
《答案》(1)3 (2)45 6. 完成下列空格。
已知：如圖， AB 與 CD 交於 O 點，且 AO ＝ BO ， CO ＝ DO 。
求證：∠CAO＝∠DBO。
【證明】∵ AO ＝ˉˉˉˉ(已知)
∠AOC＝ˉˉˉˉ (ˉˉˉˉ相等) CO ＝ˉˉˉˉ(已知)
∴△AOC @ △ˉˉˉˉ (ˉˉˉˉ全等性質) Þ∠CAO＝∠DBO
《答案》
BO ，∠BOD，對頂角，
DO ，BOD，SAS
7. 附圖是一個溜滑梯，已知∠BAC＝90°，BD ＝4 公尺，A 點離地面 BC 的高度 AD 為 6 公尺，則 CD
＝ˉˉˉˉ公尺。
《答案》9
8. 若將連續正整數 1、2、3、，依序每 5 個分成一組，如下所示，則：
第一組：1、6、11、。
第二組：2、7、12、。
第三組：3、8、13、。
第四組：4、9、14、。
第五組：5、10、15、。
(1)11111 分在第 組。
(2)55555 分在第 組。
(3)第三組的第 n 個數為 。(以 n 表示) (4)第四組的第(n＋1)個數為 。(以 n 表示)
《答案》(1)一 (2)五 (3)5n－2 (4)5n＋4
9. 完成下列空格。
已知：如圖， AD 為∠BAC 的角平分線。
求證：若直線 L⊥ AD 且交 AB 、 AC 於 E、F 兩點，則 AE ＝ AF 。
【證明】∵ˉˉˉˉ＝ˉˉˉˉ ( AD 為∠BAC 的角平分線) ˉˉˉˉ＝ˉˉˉˉ (共用邊)
ˉˉˉˉ＝ˉˉˉˉ ( AD ⊥L)
∴△AEG @ △ˉˉˉˉ (ASA 全等性質) Þ AE ＝ AF
《答案》∠1，∠2，AG，AG，∠3，∠4，AFG
10. 如圖，梯子 AB 斜放在垂直於地面的牆上，為了要讓梯子更穩定，多加了支架 CD 支撐，已知 CD
⊥ AB ，且 AB ＝16 公尺， AC ＝12 公尺，則 AD ＝ˉˉˉˉ公尺。
《答案》9
11. 直角△ABC 中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC 於 D， BC ＝2 AB ，則△ABD 面積：△CAD 面積＝ˉ ˉˉˉ。
《答案》1：3
12. 在△ABC 中，已知∠BAC＝90°， AD ⊥ BC 於 D，若 BD ＝3， CD ＝2，則 AB 2 ＋ AC 2 ＋ AD 2 ＝ ˉˉˉˉ。
《答案》31
13. 美玲想在泳池內建造一座滑水道，樓梯 AC 長 6 公尺，且 CD 為 4 公尺，若 AB 與 AC 的夾角為 90°，∠ADC 亦為 90°，則滑水道底部到樓梯底部 BC 的距離為 公尺。
《答案》9 三、證明
1. 已知：a 為任意一個奇數，b 為任意一個偶數，且 a＞b。
求證：(a＋b)(a－b)為奇數。
《答案》設 a＝2m－1(其中 m 為整數)，b＝2n(其中 n 為整數)
∴(a＋b)(a－b)＝a 2 －b 2 ＝(2m－1) 2 －(2n) 2
＝4m 2 －4m＋1－4n 2 ＝2(2m 2 －2m－2n 2 )＋1
其中 2(2m 2 －2m－2n 2 )為偶數，得(a＋b)(a－b)為奇數 2. 已知：a 為任意一個奇數，b 為任意一個偶數。
求證：a×b 為偶數。
《答案》∵a 為奇數，可設 a＝2n＋1(其中 n 為整數) b 為偶數，可設 b＝2m(其中 m 為整數)
∴a×b＝(2n＋1)×2m＝4nm＋2m＝2(2nm＋m) 其中 2(2nm＋m)為偶數，故 a×b 為偶數
3. 已知：a＞b＞0。
求證：a 2 ＞b 2 。
《答案》∵a 2 －b 2 ＝(a＋b)(a－b)① 又 a＞b＞0，則 a＋b＞0，且 a－b＞0
∴①中，a＋b 和 a－b 都是正數 得 a 2 －b 2 ＞0，故 a 2 ＞b 2
4. 已知：直角△ABC 的三邊長為 a、b、c(a、b、c 均為正整數)，其中 c 為斜邊。
求證：b 2 是(c＋a)的倍數。
《答案》∵a、b、c 為直角△ABC 的三邊長，且 c 為斜邊
∴a 2 ＋b 2 ＝c 2
得 b 2 ＝c 2 －a 2 ＝(c－a)(c＋a)，故 b 2 是(c＋a)的倍數 5. 已知：a 為任意一個偶數，b 為任意一個奇數。
求證：(a 2 ＋b 2 )為奇數。
《答案》設 a＝2m(其中 m 為整數)，b＝2n＋1(其中 n 為整數)
∴a 2 ＋b 2 ＝(2m) 2 ＋(2n＋1) 2
＝4m 2 ＋4n 2 ＋4n＋1＝2(2m 2 ＋2n 2 ＋2n)＋1 其中 2(2m 2 ＋2n 2 ＋2n)為偶數，得(a 2 ＋b 2 )為奇數
6. 已知：如圖，D 為 BC 的中點， DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ， DE ＝ DF 。
求證：△ABC 為等腰三角形。
《答案》D 為BC的中點，所以BD＝CD 在△BDE 和△CDF 中
∵BD＝CD，DE＝DF，∠BED＝90°＝∠CFD
∴△BDE @ △CDF(RHS 全等性質) Þ∠B＝∠C(對應角相等)
Þ△ABC 為等腰三角形
7. 已知：如圖， AD ＝ CE ， AB // EF ， AB ＝ EF 。
求證： BC // DF 。
《答案》∵AB//EF，∴∠A＝∠E(內錯角相等) AC＝AD＋CD＝CE＋CD＝DE
在△ABC 和△EFD 中
∵AB＝EF，∠A＝∠E，AC＝DE
∴△ABC @ △EFD(SAS 全等性質) Þ∠1＝∠2(對應角相等)
ÞBC//DF(內錯角相等)
8. 已知：如圖， AB ＝ AC ，∠1＝∠2。
求證：(1) OB ＝ OC 。 (2) OD ＝ OE 。
《答案》(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB
∠OBC＝∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2＝∠OCB ÞOB＝OC(等角對等邊)
(2)在△OBE 和△OCD 中
∵∠1＝∠2，OB＝OC，∠BOE＝∠COD(對頂角)
∴△OBE @ △OCD(ASA 全等性質) ÞOE＝OD(對應邊)
9. 已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4。
求證： AC ＝ BD 。
《答案》∠ABC＝180°－∠2＝180°－∠1＝∠DAB 在△ABC 和△BAD 中
∵∠ABC＝∠DAB，AB＝AB，∠3＝∠4
∴△ABC @ △BAD(ASA 全等性質) ÞAC＝BD(對應邊相等)
10. 已知：如圖， BD 為長方形 ABCD 的對角線，E 為 AD 中點， CE 交 BD 於 F 點。
求證： DF ＝ 3
1 BD 。
《答案》∵AD//BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 Þ△EFD～△CFB(AA 相似性質)
又ED＝ 2
1 AD＝ 2 1 BC
∴DF＝ 2 1 BF
ÞDF＝ 3 1 BD
11. 已知：如圖，△ABC 中， DE // BC ， EF // AB 。
求證： AD ： DB ＝ BF ： FC 。
《答案》∵DE//BC，∴AD：DB＝AE：EC……①
∵EF//AB，∴EC：AE＝FC：BF……② 由①
、
②得AD：DB＝BF：FC12. 已知：a＞b＞c＞0。
求證： b a ＞
c b
c a
+ + 。
《答案》∵
b a －
c b
c a
+ + ＝
) (
) ( ) (
c b b
c a b c b a
+ + -
+ ＝
) ( b c b
bc ab ac ab
+ - - +
＝ b ( b c ) bc ac
+ - ＝
) (
) (
c b b
b a c
+
- ＞0
∴ b a ＞
c b
c a
+ +
13. 已知：如圖，∠1＝∠2，∠B＝∠C， BE ＝ CF 。
求證： AB ＝ CD 。
《答案》∵BE＝CF (已知)，又EF＝EF
∴BE＋EF＝CF ＋EF ÞBF＝CE
△ABF 和△DCE 中
∵∠B＝∠C，∠1＝∠2，BF＝CE
∴△ABF @ △DCE(ASA 全等性質) ÞAB＝CD
14. 已知：如圖，直角△ABC 中，∠ABC＝90°， BD ⊥ AC 。 求證： AB 2 ＝ AC × AD 。
《答案》在△ABC 和△ADB 中
∵BD⊥AC
∴∠ABC＝∠ADB＝90°
又∠A＝∠A(共用角)
∴△ABC～△ADB(AA 相似性質) ÞAC：AB＝AB：AD
ÞAB 2 ＝AC×AD
15. 已知：直角三角形三邊長為 a、b、a＋4(a、b 為正整數)，其中(a＋4)為斜邊長。
求證：b 2 為 8 的倍數。
《答案》∵a、b、a＋4 為直角三角形的三邊長 且 a＋4 為斜邊長
∴(a＋4) 2 ＝a 2 ＋b 2 Þa 2 ＋8a＋16＝a 2 ＋b 2 Þb 2 ＝8a＋16＝8(a＋2) 故 b 2 為 8 的倍數
16. 已知：如圖，四邊形 ABCD 為平行四邊形。
求證：△ABC @ △CDA。
《答案》∵四邊形 ABCD 為平行四邊形
∴AB＝CD，AD＝BC 又AC＝AC(共用邊)
∴△ABC@△CDA(SSS 全等性質)
17. 已知：如圖，A、B、D 三點共線，A、C、E 三點亦共線，而且 AB ＝ AC ， BD ＝ CE 。
求證： DF ＝ EF 。
《答案》
AD ＝ AB ＋
BD ＝ AC ＋
CE ＝ AE 在△ABE 和△ACD 中
∵ AB ＝
AC ，∠A＝∠A(共用角)， AE ＝ AD
∴△ABE @ △ACD(SAS 全等性質) Þ∠E＝∠D(對應角)
在△BDF 和△CEF 中
∵∠D＝∠E，∠BFD＝∠CFE(對頂角)， BD ＝ CE
∴△BDF @ △CEF(AAS 全等性質) Þ DF ＝
EF (對應邊)
18. 已知：如圖，L1//L2，O 為 AB 的中點。
求證：若直線 L 過 O 點，且與 L 1 、 L 相交於 C、D 兩點，則 CO ＝ DO 。 2
《答案》如圖，∵∠1＝∠2(內錯角相等) AO＝BO(O 為AB中點)
∠3＝∠4(對頂角相等)
∴△AOC @ △BOD(ASA 全等性質) ÞCO＝DO
19. 已知：如圖，L 1 、L 2 分別為 AB 、 AC 的中垂線且相交於 D 點。
求證： BD ＝ CD 。
《答案》連接AD，如圖
∵L1 為AB的中垂線
∴AD＝BD……①
∵L2 為AC的中垂線
∴AD＝CD……② 由①
、
②得BD＝CD20. 已知：如圖，△ABC 和△ADE 皆為正三角形。
求證： BD ＝ CE 。
《答案》在△ABD 和△ACE 中
∵AB＝AC(大三角形的邊長)
∠1＝60°－∠2＝∠3
AD＝AE(小三角形的邊長)
∴△ABD@△ACE(SAS 全等性質) ÞBD＝CE(對應邊)
21. 已知：如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB。
求證： BD ＝ CE 。
《答案》∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB
∠1＝ 2
1 ∠ABC＝
2
1 ∠ACB＝∠2 在△BCD 和△CBE 中
∵∠1＝∠2，BC＝BC，∠ACB＝∠ABC
∴△BCD @ △CBE(ASA 全等性質) ÞBD＝CE(對應邊相等)
22. 已知：如圖， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， BP ＝
CQ
。求證：∠DQB＝∠EPC，
DQ
＝ EP 。《答案》
AB ＝
AC Þ∠B＝∠C BD ＝
AB － AD ＝
AC － AE ＝
CE
BQ
＝ BP ＋PQ
＝CQ
＋PQ
＝ CP 在△BDQ 和△CEP 中∵ BD ＝
CE ，∠B＝∠C，
BQ
＝ CP∴△BDQ @ △CEP(SAS 全等性質) Þ∠DQB＝∠EPC(對應角)，
DQ
＝EP (對應邊) 23. 已知：如圖，△ABC 和△BDE 皆為正三角形。
求證： AE ＝ CD 。
《答案》如圖，∵△ABC 和△BDE 為正三角形
∴∠1＝60°＝∠2 在△ABE 和△CBD 中
∵AB＝CB，∠1＝∠2，BE＝BD
∴△ABE @ △CBD(SAS 全等性質) ÞAE＝CD
24. 已知：a、b 為連續的正偶數(a＞b)。
求證：(a 2 －b 2 )為 4 的倍數。
《答案》設 a＝2k＋2，b＝2k(其中 k 為正整數) a 2 －b 2 ＝(2k＋2) 2 －(2k) 2 ＝4k 2 ＋8k＋4－4k 2 ＝8k＋4
＝4(2k＋1)，為 4 的倍數 故(a 2 －b 2 )為 4 的倍數
25. 已知：如圖， AB ＝ AD ，∠B＝∠D＝90°。
求證： BC ＝ DC 。
《答案》連接AC，如圖
∵AC＝AC(共用邊) AB＝AD(已知)
∠B＝∠D＝90°(已知)
∴△ABC @ △ADC(RHS 全等性質) ÞBC＝DC
26. 已知：如圖，△ABC 中，D、E、F 分別為 BC 、 AC 、 AB 的中點。
求證：△DEF 面積＝△AEF 面積＝△BDF 面積＝△CDE 面積。
《答案》△ABC 中，∵E、F 分別為AC、AB中點
∴EF＝ 1
2 BC，又 D 為BC中點 ÞEF＝BD 同理DE＝BF，又DF＝DF(共用邊)
∴△DEF @ △FBD(SSS 全等性質) Þ△DEF 面積＝△FBD 面積
同理可證△DEF 面積＝△AEF 面積，
△DEF 面積＝△CDE 面積
故△DEF 面積＝△AEF 面積＝△BDF 面積＝△CDE 面積
27. 已知：如圖，△ABC 中，M 為 AC 的中點，N 為 BM 的中點，直線 AN 交 BC 於 P 點。
求證： CP ＝2 BP 。
《答案》過 M 點，作
MQ
//AP，如圖△ACP 中，∵M 為AC中點 且
MQ
//AP，∴Q 為CP中點即
CQ
＝PQ
……①△BQM 中，∵N 為BM 中點 又NP//
MQ
，∴P 為BQ
中點 即BP＝PQ
……②由①、②得知BP＝
PQ
＝CQ
，故CP＝2BP28. 已知：如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，且 AE // CF 。
求證： BE ＝ DF ， AE ＝ CF 。
《答案》∵四邊形 ABCD 為平行四邊形
∴AB＝CD，∠5＝∠6(內錯角)
∵AE//CF ，∴∠1＝∠2(內錯角)
∠3＝180°－∠1＝180°－∠2＝∠4 在△ABE 和△CDF 中
∵∠3＝∠4，∠5＝∠6，AB＝CD
∴△ABE @ △CDF(AAS 全等性質) ÞBE＝DF，AE＝CF (對應邊)
29. 已知：如圖， AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， AC ＝ BD 。
求證： AB ＝ CD 。
《答案》
AB ⊥
BC Þ∠ABC＝90°
CD ⊥
BC Þ∠DCB＝90°
在△ABC 和△DCB 中
∵ AC ＝ BD ，
BC ＝
BC ，∠ABC＝90°＝∠DCB
∴△ABC @ △DCB(RHS 全等性質) Þ AB ＝
CD (對應邊相等)
30. 已知：如圖，四邊形 ABCD 為正方形，E、F 分別在 BC 、 CD 上，△AEF 為正三角形。
求證： BE ＝ DF 。
《答案》△ABE 和△ADF 中
∵四邊形 ABCD 為正方形，△AEF 為正三角形
∴AB＝AD，AE＝AF ，∠B＝∠D＝90°
Þ△ABE @ △ADF(RHS 全等性質) ÞBE＝DF
31. 已知：如圖， AB ＝ AC ， AD ＝ AE 。
求證：∠D＝∠E。
《答案》∵AB＝AC(已知) AE＝AD(已知)
∠A＝∠A(共用角)
∴△ABE @ △ACD(SAS 全等性質) Þ∠D＝∠E
32. 已知：如圖，△ADE 中， FC // BE ， BC // DE 。
求證： AF ： FB ＝ AB ： BD 。
《答案》∵FC//BE，∴AF ：FB＝AC：CE……①
∵BC//DE，∴AC：CE＝AB：BD……② 由①
、
②得AF ：FB＝AB：BD33. 已知：如圖，∠A＝∠D，∠B＝∠C， BE ＝ CF 。
求證： AB ＝ CD 。
《答案》
BF ＝ BE ＋
EF ＝ CF ＋
EF ＝ CE 在△ABF 和△DCE 中
∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， BF ＝ CE
∴△ABF @ △DCE(AAS 全等性質) Þ AB ＝
CD (對應邊相等)
34. 已知：如圖，平行四邊形 ABCD 中， DE ⊥ AC ， BF ⊥ AC 。
求證： BF ＝ DE 。
《答案》∵四邊形 ABCD 為平行四邊形
∴AB＝CD，而且∠1＝∠2(內錯角相等) 在△ABF 和△CDE 中
∵∠1＝∠2，∠AFB＝∠CED＝90°，AB＝CD
∴△ABF @ △CDE(AAS 全等性質) ÞBF＝DE(對應邊相等)
35. 已知：如圖，以△ABC 的兩邊 AB 、 AC 為邊作正方形 ABGF、ACDE。
求證： BE ＝ CF 。
《答案》如圖，在△ABE 和△AFC 中
∵AB＝AF (大正方形的邊長)，AE＝AC(小正方形的邊長)
∠BAE＝∠BAC＋∠2＝∠BAC＋90°＝∠BAC＋∠1＝∠FAC
∴△ABE @ △AFC(SAS 全等性質) ÞBE＝CF (對應邊相等)
36. 若 a 為正整數，且 a 被 8 除後餘 4，則 a 是偶數，還是奇數？請說明你的理由。
《答案》設 a＝8k＋4(其中 k 為正整數) 故 a＝4(2k＋1)
其中 2k＋1 為奇數，所以 a 為偶數
37. 已知：如圖， AC ＝ BD ， AD ＝ BC 。
求證：∠A＝∠B。
《答案》連接CD，如圖 在△ACD 和△BDC 中
∵AC＝BD，CD＝CD，AD＝BC
∴△ACD @ △BDC(SSS 全等性質) Þ∠A＝∠B
38. 已知：如圖， AD ＝ AE ， BD ＝ BE ，C 點在直線 AB 上。
求證： CD ＝ CE 。
《答案》如圖，在△ABD 和△ABE 中
∵AD＝AE，BD＝BE，AB＝AB
∴△ABD @ △ABE(SSS 全等) Þ∠1＝∠2(對應角相等) 在△ACD 和△ACE 中
∵AD＝AE，∠1＝∠2，AC＝AC
∴△ACD @ △ACE(SAS 全等) ÞCD＝CE(對應邊相等)
39. 已知：如圖，△ABC 中， AB ＝ AC ， BE ⊥ AC ， CF ⊥ AB 。
求證：(1) AE ＝ AF 。 (2)∠1＝∠2。
《答案》(1)在△AEB 和△AFC 中
∵BE⊥AC，CF ⊥AB
∴∠AEB＝∠AFC＝90°
又∠EAB＝∠FAC，AB＝AC
∴△AEB @ △AFC(AAS 全等性質) ÞAE＝AF
(2)∵∠AFD＝∠AED＝90°，AD＝AD，AE＝AF
∴△ADF @ △ADE(RHS 全等性質) Þ∠1＝∠2
40. 已知：如圖，已知 AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠1＝∠2。
求證： BD ＝ CE 。
《答案》∠BAD＝∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD＝∠CAE 在△ABD 和△ACE 中
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE
∴△ABD @ △ACE(SAS 全等性質) ÞBD＝CE (對應邊相等)
41. 已知：如圖， DE 為 BC 的中垂線。
求證：△AEC 周長＝ AB ＋ AC 。
《答案》連接CE，如圖
∵DE為BC的中垂線，∴BE＝CE
△AEC 周長＝AE＋EC＋AC＝AE＋BE＋AC＝AB＋AC
42. 已知：如圖， FG ＝ CG ， AG ＝ DG 。
求證： BG ＝ EG 。
《答案》在△ACG 和△DFG 中
∵AG＝DG，∠AGC＝∠DGF(對頂角相等)，CG＝FG
∴△ACG @ △DFG(SAS 全等性質) Þ∠A＝∠D(對應角相等)
在△ABG 和△DEG 中
∵∠A＝∠D，AG＝DG，∠AGB＝∠DGE(對頂角相等)
∴△ABG @ △DEG(ASA 全等性質) ÞBG＝EG(對應邊相等)
43. 已知：如圖，正方形 ABCD 中， BE ＝ BG 。
求證： BD 垂直平分 EG 。
《答案》(1)在△ABE 和△CBG 中
∵BE＝BG，AB＝BC，∠A＝∠C＝90°
∴△ABE @ △CBG(RHS 全等性質) Þ∠1＝∠2
(2)∵∠3＝45°－∠1＝45°－∠2＝∠4，BE＝BG
∴BD為等腰△BEG 的頂角平分線 ÞBD垂直平分EG
44. 已知：如圖，△ABC 為正三角形，且 AD ＝ BE ＝ CF 。
求證：△DEF 為正三角形。
《答案》在△ADF 和△BED 中
∵AD＝BE，AF ＝AC－CF ＝AB－AD＝BD
∠A＝60°＝∠B
∴△ADF @ △BED(SAS 全等性質) ÞDF＝DE(對應邊相等)
同理可證△BED @ △CFE(SAS 全等性質) ÞDE＝EF(對應邊相等)
∵DE＝DF＝EF
∴△DEF 為正三角形
45. 已知：如圖， AC ＝ BD ，∠B＝∠C＝90°。
求證： AB ＝ CD 。
《答案》連接AD，如圖
∵AD＝AD(共用邊) AC＝BD(已知)
∠B＝∠C＝90°(已知)
∴△ABD @ △DCA(RHS 全等性質) ÞAB＝CD
46. 已知：如圖， AB ＝ DE ， BF ＝ CE ， AC ＝ DF 。
求證：(1) AB // DE 。 (2) AF // CD 。
《答案》(1)BC＝BF＋CF ＝CE＋CF ＝EF 在△ABC 和△DEF 中
∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
∴△ABC @ △DEF(SSS 全等性質) Þ∠B＝∠E，∠1＝∠2(對應角)
∵∠B＝∠E(內錯角)，∴AB//DE
(2)在△ACF 和△DFC 中
∵AC＝DF，∠1＝∠2，CF ＝CF (共用邊)
∴△ACF @ △DFC(SAS 全等性質) Þ∠AFC＝∠DCF(對應角)
∵∠AFC＝∠DCF(內錯角)，∴ AF //CD
47. 如圖，以△ABC 的兩邊 AB 、 AC 各向外側作正△ABD 和正△ACE，試回答下列問題：
(1)求證： BE ＝ CD 。 (2)∠DFB＝？
《答案》(1)如圖，在△ACD 和△AEB 中
∵AC＝AE(正△ACE 的邊長)
∠DAC＝∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝∠BAE AD＝AB(正△ABD 的邊長)
∴△ACD @ △AEB(SAS 全等性質) ÞCD＝BE(對應邊)
(2)∵△ACD @ △AEB，∴∠4＝∠5(對應角) 在△AGD 和△FGB 中
∵∠4＝∠5，∠AGD＝∠FGB(對頂角)
∴∠GFB＝∠GAD＝∠1＝60°
Þ∠DFB＝60°
48. 已知：a、b 為正整數，且 a ＞ b 。 求證：a＞ ab ＞b。
《答案》∵ a ＞ b ，且 a、b 為正整數
∴ a × a ＞ a × b Þa＞ ab ①
∵ a ＞ b ，且 a、b 為正整數
∴ a × b ＞ b × b Þ ab ＞b②
由①、②得 a＞ ab ＞b
49. 已知：如圖，四邊形 ABCD 中， AB ＝ AD ，∠B＝∠D。
求證： BC ＝ DC 。
《答案》連接BD，如圖
∵AB＝AD，∴∠1＝∠2
∵∠B＝∠D，∴∠3＝∠ABC－∠1＝∠ADC－∠2＝∠4
∵∠3＝∠4，∴BC＝DC
50. 已知：a、b 為正整數，且 a＞b。
求證：a＞
2
＋b a ＞b。
《答案》∵a＞b，∴a＋a＞a＋b 得 a＞
2
＋b a ①
∵a＞b，∴a＋b＞b＋b 得 2
＋b
a ＞b② 由①、②得 a＞
2
＋b a ＞b 51. 已知：a、b 均為正數。
求證： 2
＋b
a ≧ ab 。
《答案》∵
2
＋b
a － ab ＝
2
＋ b 2 ab a -
＝ 2
) ( 2
)
( a 2 - ´ a ´ b + b 2
＝ 2 ) ( a - b 2
≧0
∴ 2
＋b
a ≧ ab
52. 已知：如圖，△ADE 中， BC // DE 。
求證： AB ： BD ＝ AC ： CE 。
《答案》∵BC//DE，∴∠2＝∠1，∠4＝∠3 Þ△ADE～△ABC(AA 相似性質)
ÞAD：AB＝AE：AC Þ AB
AD ＝ AC AE Þ
AB BD AB +
＝ AC CE AC +
Þ1＋ AB BD ＝1＋
AC CE
Þ AB BD ＝
AC CE Þ
BD AB ＝
CE AC
ÞAB：BD＝AC：CE
53. 已知：如圖，△ABC 是正三角形，且 AD ＝ BE ＝ CF 。
求證：△DEF 為正三角形。
《答案》在△ADE 和△BEF 中
∵AD＝BE，∠DAE＝180°－60°＝120°＝∠EBF
AE＝AB＋BE＝BC＋CF ＝BF
∴△ADE@△BEF(SAS 全等性質) ÞDE＝EF(對應邊)
同理可得EF＝DF 因此DE＝EF＝DF
∴△DEF 為正三角形 四、計算
1. 如圖，直角△ABC 中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC ，若 AB ＝20， AC ＝15，則 BD ＝？
《答案》16
2. 如圖，直角△ABC 中，∠BAC＝90°， AD ⊥ BC ，若 BD ＝( 3 －1)公分，CD ＝(1＋ 3 )公分，
則 AD ＝？
《答案》
2
3. 如圖，△ABC 中，∠BAC＝90°， AD 為斜邊 BC 上的高，若 AD ＝4， CD ＝2，試求：
(1) AC ＝？ (2) BD ＝？
《答案》(1)2 5 (2)8
4. 如圖，早上 10 點豔萍測得某樹的影長 2 公尺，到了下午 5 時又測得該樹的影長為 8 公尺，若兩 次日照的光線互相垂直，則樹的高度約為多少公尺？
《答案》4 公尺
5. 如圖，△ABC 中， AB ＝4， BC ＝3，四邊形 ACDE 是正方形，求 BD 及 BE 的長。
《答案》
BD ＝
58 ，錯誤! 尚未定義書籤。 BE ＝ 65
