費馬最後定理的解決
于靖
1994 年 10 月 25 日, 世界各主要數學研 究中心的電子郵件上再度出現費馬問題的消 息。 Princeton大學的 A.Wiles 教授終於公 佈了兩篇論文稿:
(1) 橢圓曲線與費馬最後定理, A.Wiles 著, 134頁。
(2) 某些 Hecke 代數的環論性質, A.Wiles 與 R.Taylor 合著, 17 頁。
論 文 (1) 證 明 了 半 穩 定 情 形 的 Taniyama-shimura-Weil 猜測。 根據 K.
Ribet(1989) 的工作, 這個結果可導出費馬 最後定理。 論文 (1) 中關鍵步驟之一要用到 Wiles 與他學生 R. Taylor 合寫的論文 (2)。
1993年6月英國劍橋牛頓研究所舉辦了 一個討論會, 主題是 Iwasawa 理論, 自守形 式與 p-進表現。 在這次討論會上, A.Wiles 給了一系列演講, 講題是: 橢圓曲線模形式與 Galois 表現。 在演講最後 Wiles 宣佈了他有 關費馬最後定理的突破。
Wiles演講完, 電子郵件就把此一消息 傳遍全世界, 各主要傳播媒體也爭相訪問有 關人士。 由於 Wiles 的整個證明非常複雜, 不僅用到過去幾十年裡代數數論與算術幾何 學家發展出的龐大理論, 也包含好些全新想 法。 即使是最權威學者, 也無法在短時間內完 全掌握整個證明。 在劍橋的演講中, Wiles 雖 然描述了他的想法, 但整個寫下來仍是艱難
的工作。 1993年12月4日, Wiles 從 Prince- ton 發出電子郵件承認他先前描述的結果有 漏洞 (建構所謂的 Euler 系統)。 但他相信他 仍可以在短期內依他在劍橋所描述的想法完 成整個工作。
1994 年 10 月 7 日 Wiles 終於完稿, 10 月 25 日正式公諸於世。 他放棄了 Euler 系 統, 走另外一條路完成他的證明。 現在這條路 是他早先想過而沒有繼續下去的。 這回他走 通了。 其間他需要證明 Hecke 代數有局部完 全交割的性質。 先前大家並不知道 Hecke 代 數能有這樣強的性質, 但是 Wiles 與 Taylor 成功的把這個性質證出。
從 10 月 7 日起 Wiles 的論文稿就開始 送到其它專家手中。 G. Faltings 研讀了兩個 星期, 然後公開宣稱他認為 Wiles 這回的證 明是對的, 其他的專家到目前為止也都同意 這個看法。
看來費馬問題真是解決了。
讀者可參閱之相關資料:
(1)B. Mazur 原著吳家怡譯: 看似簡單的 數論問題。 (有關 Taniyama-Shimura-Weil 猜測與 Fermat 最後定理關聯), 數學傳播, 十六卷一期, 31-38。
(2) 李文卿, 余文卿: 費馬最後理: A. Wiles 的解決方法, 數學傳播, 十八卷二期, 42-47。
—本文作者任職於中央研究院數學研究所—
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