關於懷爾斯解決費馬最後定理 的一些補充說明

關於懷爾斯解決費馬最後定理 的一些補充說明

余 文卿

今年 5 月 20 日, 筆者應邀到建國中學對 師生做專題演講, 其中談到德數學家庫麥爾 (Kummer) 在數論上的主要貢獻, 自然也談 到他對規則質數冪次之費馬最後定理的證明, 不免也提到懷爾斯的證明過程手法。 演講後, 建中任教的林礽堂老師問到三個數論上的專 有名詞: 橢圓曲線、 模型曲線與模型式, 前兩 個名詞出現於爭議性頗多的谷山一志村猜想 (Taniyama-Shimura Conjecture) 中:

每一橢圓曲線都是模型曲線。

而懷爾斯則是證明谷山一志村猜想對半穩定 橢圓曲線成立:

每一半穩定橢圓曲線都是模型曲 線。

為什麼這樣就證明了費馬最後定理? 底下我 們提出一些補充說明。

一 . 橢圓曲線

對任意有理數 p, q, r, 二元三次方程式 y² = x³ + px²+ qx + r, 其中 x³+ px²+ qx + r = 0 沒有重根, 定義一佈於有理數體

Q

的橢圓曲線 E, 若考慮這方程式的所有複 數解, 則其解集合與一輪胎面 (torus) 同構。

在數學上, 所謂的輪胎面是複數平面

C

被其 上方格點

Λ = {aw1+ bw2|a, b 是整數, w1, w2

是固定複數且 w2/w1 6∈

R

}

所除的商群

_C

/Λ, 這商群是一加法交換群, 因 而橢圓曲線 E 上的點也構成一加法子群。

弗維 (Frey) 的嶄新構想是從費馬方程 式的解去建構橢圓曲線。 設費馬最後定理對 質數 p 不成立 (且 p ≥ 5), 而 a, b, c 是 費馬方程式 x^p+ y^p+ z^p = 0 的一組非顯然

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數學傳播

₂₃

卷

₁

期 民

₈₈

年

₃

月

的整數解, 則

y² = x(x − a^p)(x + b^p)

是一半穩定的橢圓曲線 E, 這也被稱為弗維 曲線 (Frey curve), 而其引導子 (conduc- tor) NE 是 a^pb^pc^p 的因數。

二 . 模型式與模型曲線

設 Γ 是模型群, 其元素是二階方陣





a b c d





, ad − bc = 1, a, b, c, d 是整數, Γ 透過模型變換 z → (az + b)/(cz + d) 而作 用在複數半平面 H = {z = x + iy|y > 0}

上, 而所謂 Γ 之權為 k 的模型式是滿足下列 兩條件的 H 上的解析函數 f :

(a) 對任意





a b c d





∈ Γ, f (^az+b_cz+d) = (cz + d)^kf (z),

(b) f (z) =

^P

^∞_n=0ane^2πinz。

因而模型式只是一種較特殊的週期函 數, 對模型 Γ 的子群 Γ^′, 自然可定義 Γ^′ 的 模型式, 只要將條件 (a) 限制於 Γ^′ 上即可。

對任意正整數 N, 定 Γ0(N) 是 Γ 的 一同餘子群, 是由滿足 c ≡ 0 (mod N) 之 元素





a b c d





所成的集合, 而 H^∗ 是上半 平面 H 與有理數的聯集, 一樣透過模型轉換 z → (az + b)/(cz + d), Γ0(N) 作用在 H^∗, 其軌道空間 (orbit space) H^∗/Γ0(N) 是一 緊緻的里曼面, 透過解析同構而得出一模型 曲線 X0(N), 而谷山一志村猜測斷言: 對任 意定義於

_Q

的橢圓曲線 E, 存在有一正整

數 N 及一映成 (surjective) 的代數幾何映 射 φ: X0(N) → E, 把 X0(N) 的無窮遠點 映到 E 的原點, 而附在 E 上的 L-函數若為

L(s, E) =

∞

X

n=1

ann^−s,

則 f (z) =

^P

^∞_n=1ane^2πinz 是一 Γ0(N) 的 模型式。

三 . L- 函數

古典的里曼 zeta 函數 ζ(s) =

P

_∞

n=1n^−s 在 s 大於 1 時有無窮乘積展開式 ζ(s) =

^Y

p

(1 − p^−s)⁻¹。

而附著於橢圓曲線的 L-函數也是類似的無窮 乘積:

L(s, E) =

^Y

p|N_E

(1 − app^−s)⁻¹

·

^Y

p∤N_E

(1 − app^−s+ p^1−2s)⁻¹,

其中 NE 是 E 的引導子。 當 p

∤

NE, 1 + p − ap 表示 E 在有限體 Fp =

Z

/p

Z

中的元素個數, 對模型曲線而言, 其 L-函數 是一模型式的梅林轉換 (Mellin tranform)。

即若

L(s, E) =

∞

X

n=1

ann^−s,

則 f (z) =

^P

^∞_n=1ane^2πinz 是某一同餘子群 Γ0(N) 的模型式

四 . 最後階段。

關於懷爾斯解決費馬最後定理的一些補充說明

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證明費馬最後定理的最後階段得借重模 型式方面的理論, 假設費馬最後定理對某一 質數 p 不成立 (且 p ≥ 5), 則費馬方程式

x^p+ y^p+ z^p = 0,

有一組整數解 (a, b, c) 且 abc 6= 0 如此可用 於建構一弗維曲線 E : y² = x(x − a^p)(x + b^p), 懷爾斯所證明的谷山一志村猜想適用於 這樣的半穩定的橢圓曲線, 也就是, 任意的半 穩定橢圓曲線都是模曲線 (見“二”!)。 但是, 我們又知道弗維曲線是一種半穩定橢圓曲線 卻又不是模型曲線, 因為根據謝爾 (Serre) 提 出的秘方, 並且經過里貝 (Ribet) 給予完整 的證明, 有一權為 2的 Γ0(2) 的模型式, 但另

一方面 H^∗/Γ0(2) 的虧格數為零, 根本不會 有這樣的模型式存在, 而得出矛盾, 因而得證 了費馬最後定理。

參考資料

1. Amir D. Aczel, Fermat’s Last Theo- rem, unlocking the secret of an ancient mathematical problem, 中譯本林礽堂譯, 余 文卿審訂, 時報出版社。

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本文作者任教於國立中正大學數學系

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