費馬最後定理 :
A. Wiles 的解決方法
李文卿
余文卿 合著
懸疑三百多年的費馬最後定理最近又引 起世人的注意。 原因是 A. Wiles 宣稱他解決 了整個問題; 但不久, 證明中被找出有漏洞。
為此, 香港中文大學在 1993 年 12 月 18 日 到 21 日舉行一 “橢圓曲線與模型式研討會”, 邀請看過 Wiles 手稿的人以及 Wiles 所用到 定理的關係人, 就 Wiles 工作做系統性的介 紹。 明顯的結論是: Wiles 的證明是建立在 一不等式上, 這不等式是兩有限群之秩之間 的關係式, 不等式一邊之有限群的秩有辦法 計算, 但另一邊 Selmer 群的秩則難以估計。
故實質上, Wiles 並未完全解決費馬最後定 理。 底下是李文卿教授在去年七月裡根據 e- mail 得到的信息所整理出來的摘要性文章, 部份內容經第二作者依據最新的發展修改過, 並寫成中文, 或能滿足讀者的好奇心。
1. 費馬最後定理與橢圓曲線 的關連性
給定一定義在 Q 上的橢圓曲線 E : y2 = x3+ ax2+ bx + c
以 E(Q) 表示 E 上所有有理點所形成的 群。 根據 Mordell-Weil 定理, 我們知道群 E(Q) 的結構, 是一有限群乘上階數有限的 自由交換群 (free abelian group of finite rank), 而這有限群是 E(Q) 的 torsion 部 份 (即秩是有限的元素所形成的子群)。 研究 橢圓曲線的人曾提出一個問題: 當 E 變動的 時候, E(Q) 的 torsion 部份的秩是否會有 上界, 且這上界只跟其定義域 Q 有關? Ogg 曾猜測 E(Q) 的 torsion 部份所形成的子 群只能有 15 種結構, 這猜測於 1976 年被 B. Mazur 所證實 [參考 7, 8, 9]。 設 N 是不具平方因子的正整數。 若 E 含有一秩為 N 的有理點, 則它會給出模型曲線 (modu- lar curve) X0(N) 上一有理點。 Mazur 的 證明中有一重要步驟是研究 Hecke 代數 T , 它是模型曲線 X0(N) 之 Jacobian 上的自 同態環, 並且考慮 T 的 p− 進位完備畢包
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(p− adic completions)。 在另一方面, 有一 些人在研究使秩較大之元素不存在的局部條 件時發現: E(Q) 上若有秩是 2p 的點且 p 相當大, 則可以找到三個這樣的點, 其三個 x 坐標正好是費馬方程式 xp + yp = zp 的一 組非顯然的解。 因此, Mazur 的結果多少肯 定了費馬最後定理的真實性。
反過來, G. Frey 提出下列有原創性的 概念: 他從費馬方程式的非顯然解去建構一 橢圓曲線, 其步驟如下。 設 p 是一比 3 大 的質數且假設 (a, b, c) 是方程式 xp+ yp+ zp = 0 的一組原始整數解 (無公因數)。 定 A = ap, B = bp 且 C = cp, 考慮橢圓線
EA,B : y2= x(x − A)(x − B) 這曲線也被稱為 Frey 曲線。 Frey [3, 4] (也 參考 [11]) 證明 EA,B 具有很多好的性質, 包 括底下這些:
(i) EA,B 的 conductor NE 是 ABC 之質 因數的乘積。
(ii) E 是半穩定 (semi-stable); 亦即 EA,B
若對某一質數 q 有壞的 reduction (即 EA,B mod q 後不再是一橢圓曲線), 則 必是乘性 (multiplicative) reduction (換句話說, EA,B mod q 後的曲線上無 尖點存在)。
對每一正整數 m, 以 E[m] 表示 E 上 的 m− 等分點。 那麼 E[m] 同構於 Z/mZ×
Z/mZ, 且 Galois 群 GQ = Gal( ¯Q/Q) 作 用在這群上, 以 ρEA,B,ℓ 表示當 m 為一質數 ℓ 時所生成的 GQ 的群表現。
(iii) ℓ ≥ 11 時, ρEA,B,ℓ 的值域是 群 GL2(Z/ ℓZ) 的全部 (這是根據 Mazur 的一個定理 [9])。
由上面性質可推出
(iv) 當 l ≥ 5 時, 群表現 ρEA,B,ℓ 是不 可約 (irreducible), 且是非常溫和分歧 (mildly ramified)。 因此它引出一平的 (flat) 的 group scheme。
2. Shimura-Taniyama- Weil 猜測與 Serre 猜測
設 E 是定義在 Q 上的橢圓曲線, 其 conductor 是 NE, Shimura-Taniyama- Weil 猜測是說: 存在有一從模型曲線 X0(NE) 到 E 的映型 (morphism) ϕ, 它把 i∞ 映到 E 的原點, 且它把 E 上的標準全純 微分形式 (Standard holomorphic differ- ential form) 拉回到 X0(NE) 上的微分形 式, 後者能以 f (z)dz 的非零有理數倍表之。
在此 f 是同餘子群 (congruence group) Γ0(NE) 的一個權 (weight) 為 2 的正規 化尖點新型式 (normalized cuspidal new- form)。 說得更精確一點, 若附著在 E 上的 L - 函數是
L(s, E)
= Y
p|NE
(1−app−s)−1Y
p6 |NE
(1−app−s+p1−2s)−1
=
X∞ n=1
ann−s,
則 f (z) = P∞n=1ane2πinz。 此處, 當 p6 |NE 時, E(mod p) 上的 Z/pZ 一點的個數是
1 + p − ap; 當 p|NE 時, ap 為 1, −1 或 0, 依 E(mod p) 的情況而定。
從一橢圓曲線 E 以及一給定的質數 ℓ, 我們得出 Galois 群 GQ 的兩種群表現。 一 是從 GQ 作用在 E[ℓ] 所得出的表現 ρE,ℓ : GQ → GL2(Z/ℓZ), 這已在上面解釋過; 另 一是從 GQ 作用在 Tate 模 (Tate module)
Tℓ = lim
←n
E[ℓn]
所得到的 ℓ - 進位表現 ρgE,ℓ : GQ → GL2(Qℓ)。 這是因為 Tℓ 是階數為 2 的 Zℓ- 模, 因此 TℓN
ZℓQℓ 是一佈於 Qℓ 上的 2 維 向量空間。
顯然地, 限制在餘數體時, ρgE,ℓ 化為 ρE,ℓ, 這 ℓ - 進位表現有下面的性質: 對所有 質數 p6 |ℓNE 而言, 我們有
ap = Tr(ρgE,ℓ(Frob p)), 且
p = det(ρgE,ℓ(Frob p))。
當 ℓ 變動時, 稱 {ρgE,ℓ} 是附著在 E 上之 ℓ - 進位表現的一相容族 (compatible fam- ily)。(質言之, ℓ - 進位表現是 Gal(Qℓ/Q) 的 群表現, 其中 Qℓ 是 Q 在 ¯Q 中使得 ℓ 之外 的位 (place) 皆不分歧的最大擴充體)。
另一方面, 一權 k ≥ 2, 階數是 N 且特 徵是 χ 的尖點新型式
g(z) =
X∞ n=1
bne2πinz
的 Fourier 係數 bn落在某一數體 K 的整數 環 Qk 中。 Deligne [1] 證明了存在有一 λ -
進位表現的相容族 {ρgg,λ}
ρgg,λ : GQ −→ GL2(Kλ)。
其中 λ 跑遍 K 中不整除 N 的所有有限位 置。 對幾乎所有的質數 p, 下列關係成立。
bp = Tr(ρgg,λ(Frob p)) 且
χ(p)pk−1 = det(ρgg,λ(Frob p))。
對一 GQ 的 λ - 進位表現而言, 若它同構於 某一ρgg,λ, 其中 g 是一新型式, 則稱它是模型 (modular) 表現。 因此, 一定義在 Q 上的橢 圓曲線 E 滿足 Shimura-Taniyama-Weil 猜測的充要條件是存在有一質數 ℓ 使得ρgE,ℓ
是模型表現; 且因 Dirichlet 級數 L(s, E) 有 整係數, 存在一個質數 ℓ 使 ρgE,ℓ 是模型表現 的充要條件是對所有質數 ℓ 而言, ρgE,ℓ 都是 模型表現; 這可視為 Shimura-Taniyama- Weil 猜測的局部版本。
上面所談到 g 的 λ - 進位表現 ρgg,λ 引 出另一佈於有限域的 GQ 的表現
ρg,λ : GQ → GL2(k),
其中 k 是質理想 λ 在 K 中的餘數體。 對幾 乎所有的質數 p, 我們有
bp ≡ Tr(ρg,λ(Frob p)) (mod λ) 和
χ(p)pk−1 ≡ det (ρg,λ(Frob p)) (mod λ)。
更進一步, 以 c 表示 Q 上將元素映至其共軛 複數的自同構, 則 det ρg,λ(c) = −1。 一般 來說, GQ 的表現 ρ 若滿足 det ρ(c) = −1,
則稱之為奇表現, 在 1987 年, Serre 在 [11]
中提出下列猜測: 任一 (連續) 不可約佈於有 限體 k 的奇表現
ρ : GQ → GL2(k)
必是模型表現。 換句話說, 存在某一 g 與 λ, 使得 ρ = ρg,λ。 我們注意到對一模型表現 ρ 而言, g 的選擇性並不唯一。 Serre 進一步給 一個推測描述某一特定 g 的存在性, 並給出 g 的權數, 階數與其特徵。 1990 年, K. Ri- bet [10] 證明 Serre 猜測的後半部伴隨著前 半部成立而成立。 而由這結果推出費馬最後 定理隨著 Shimura-Taniyama-Weil 猜測成 立而成立, 理由如下。
假設不然, 從 xp+yp+zp = 0, p ≥ 11 的一組非顯然原始解, 我們得到一 §1 中討 論過的 Frey 曲線因 Shimura-Tariyama- Weil 猜測對 EA,B 成立, 其 p - 進位表現 ρEgA,B,p 是一模型表現, 因此 ρEA,B,p 也是。
更進一步, ρEA,B,p 是一不可約奇表現, 則根 據 Serre 推測的後半部, 存在有一 Γ0(2) 的 新型式 g, 其權為 2, 使得 ρEA,B,p = ρg,p。 另一方面, 已知 Γ0(2) 的虧格 (genus) 數是 零, 這類的模型式並不存在, 故費馬最後定理 成立。
[註記] Serre 在 [11] 中得證: Shimura-Tar- iyama-Weil 猜測隨著 Serre 猜測成立而成 立。
因 Frey 曲線 EA,B 是半穩定, 利用上 面的論點, 要證明費馬最後定理, 我們只要證 明
Shimura-Taniyama-Weil 猜測對定
義在 Q 上的半穩定橢圓曲線成立。
這就是 Wiles 所要證明的。 底下, 我們 描述一下他的處理方式以及困難所在。
3. 尋求一質數 ℓ 使得ρ
E,l是 模型表現
此後, 設 E 是定義在 Q 上的半穩 定橢圓曲線, 如 §2 中所解釋, 只要證明 對某一 ℓ 而言, ρgE,ℓ 是模型表現即可。 如 此, 對同一 ℓ, ρE,ℓ 也是模型表現。 為尋 找可能的 ℓ, 我們看一下表現 ρE,l 上的 信息。 取 ℓ = 3, 群 GL2(Z/3Z) 是 P GL2(Z/3Z) 的二次中心擴充 (central extension)。 由 P GL2(Z/3Z) 在投影線 P1(Z/3Z) 的作用可看出 P GL2(Z/3Z) 同 構於置換群 S4。 由於 S4 的二次中心擴充可 嵌入 CL2(Z[√
−2]) 中, 我們可將特徵是 3 的表現
ρE,3: GQ → GL2(Z/3Z) 提升為特徵是 0 的表現
ρ : GQ → GL2(Z[√
−2]) ⊂ GL2(C)。
假設 ρE,3(GQ) = GL2(Z/3Z), 那麼表現 ρ 是奇, 不可約且是 S4 型, 根據 Langlands [6] 與 Tunnell [12] 在 GL2 的基底變換 (base change) 理論, 存在有一尖點模型式 f , 其權是 1, 階數等於 ρ 的 conductor, 且滿 足 L(s, f ) = L(s, ρ)。 再利用整係數 Eisen- stin series 的同餘性質, 可證明存在一權數 為 2 的模型式 g 使得 ρE,3 = ρg,3是模型表 現。
當 ρE,3(GQ) 只是 GL2(Z/3Z) 的真子 集時該怎麼辦? 這發生在 E 具有一秩是 3 的 有理群的情況。 因 E 是半穩定, 故 E 沒有秩 是 5 的有理群; 否則的話, 將給出 X0(15) 上 一個 non-cuspidal 有理點。 但已知 X0(15) 具有 4 個 non-cuspidal 有理點, 它們都由 非半穩定的橢圓曲線所給出。 因此
ρE,5 : GQ → GL2(Z/5Z)
是蓋射(surjective)。 在這情形下, 將找出 Q 上另一半穩定橢圓曲線 E′ 使得 E′[5] 同 構於 E[5] (故 ρE,5 = ρE′,5) 且 ρE′,3 是 模型表現。 為找到這樣的 E′, 考慮模型曲線 X, 它由定義於 Q 上, 且 5 - 等分點同構於 E[5] 之橢圓曲線的等價類所組成。 這曲線是 X(5) 的一 “扭曲”(twist), 其虧格數是零且 含有一有理點, 亦即 E 所代表的等價類; 因 此它是一投影線, 從而包含無窮多個有理點。
利用 Hilbert 的不可約定理以及 ˜Cebotarev 密度定理, Wiles 證明並非所有 X 上的有 理點都可由定義於 Q 上的橢圓曲線 E′′ 使 得 ρE′′,3(GQ) 6= GL2(Z/3Z) 來代表。 因 此, 所要的 E′ 確實存在。 為確保 E′ 的半 穩定性, 選擇 E′ 與 E 在 5 的位非常靠近 (E′ close to E 5-adically), 如此 E′ 在位 5 為半穩定, 從而在其他位上也半穩定, 原因 是 ρE′,5(GQ) = GL2(Z/5Z)。 暫時假設我 們能證明: 對任意質數 ℓ 而言, 若 ρE,l 是模 型表現, 則其提升 ρgE,ℓ 也是模型表現。 那麼 在 ρE,3(GQ) = GL2(Z/3Z) 的情況下, 我 們得出 ρgE,3 是模型表現, 從而得所欲證。 當 ρE,3(GQ) 為 GL2(Z/3Z) 的真子群時, 我
們知道 ρgE′,3 是模型表現, 因此, 如 §2 所注 意到, ρgE′,5 也是, 所以 ρE′,5 也是模型表現, 但這表現與 ρE,5 一樣, 由此得出 ρgE,5 是模 型表現, 這就是所要的。
由上面的推理看出, 整個定理已演變至 證實上述假設的正確性, 這是 Wiles 所要證 明的, 我們留在下節討論。
4. 模型表現ρ
E,l的提升
從一定義在 Q 上的橢圓曲線 E 以及一 模型表現
ρE,ℓ: GQ→ GL2(Z/lZ)。
我們想證明其 ℓ - 進位提升ρgE,ℓ 也是模型表 現, Wiles 利用到 Mazur 的變形理論 (the- ory of deformation)。
固定某些提升用的 “提升數據”, 包括所 允許的分歧以及在 ℓ 位的局部動態等, 這就 定義出一提升問題。 Mazur 證明存在有一廣 泛提升 (universal lifting), 亦即一局部環 (local ring) R 以及 GQ到 GL2(R) 的表現, 使得某種適當類型的提升皆可由廣泛提升分 解出來, 特別是ρgE,ℓ 也可以。 另一方面, ρE,ℓ
是模型表現, 因而附著於一模型式, 此時, 存 在一 Hecke 環 T , 它是 R 中具有下述獨特 性質的最大商環; 這獨特性質是: 所有 ρE,ℓ
的模型提升皆可經其分解出來。 Mazur 猜測 說 R = T 。 若然, 則馬上得出ρgE,ℓ 是模型表 現, 而結束整個定理的證明。
已知 T 是一 Gorenstein 環, 同構於 其對偶, 且是一局部完備交集 (local com- plets intersection), 利一些交換代數上的結
果, Wiles 把 R = T 的問題轉化成檢定兩 個有限群大小的不等式:
#(PR/PR2) ≤ #(PT/PT2)
其中 PR, PT 分別是 R 及 T 的最大理想。
根據 Hida 的工作, PT/PT2 的秩與某一 L - 函數值有關, 而 PR/R2R 與附著於 ρE,ℓ的模 型式之 Sym2 的 Selmer 群的秩有關, 但後 者在計算上非常困難。 Wiles 仿照 Kolyva- gin 構造 Euler 系統 [5] 的方法來計算。 他 利用模型單位 (modular units) 去建構他所 謂上同調類的 “幾何 Euler 系統”。 這概念源 自 Flach [2], 不過, Flach 只做了 Wiles 所 需要的底層部份; Wiles 曾試把這推到更高 層次, 但並不十分成功。
5. 結論
對 Wiles 所提出費馬定理的解決方法, 因尚有很大的漏洞, 故一些代數幾何與數論 專家皆不願下定論; 看過他手稿的如 K. Ri- bet 與 R. Taylor 嘗試把 Wiles 的工作介 紹出來, 但在場的大師 Serre 在演講後都承 認無法理解; 在此我們期待不久的將來, 會有 新的版本出現。
參考文獻
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11. J. -P. Serre: Sur les repr´esentations modulaires de degr´e 2 de Gal( ¯Q/Q), Duke Math. J. 54 (1987), 179-230.
12. J. Tunnell: Artin’s conjecture for rep- resentations of octahedral type, Bull.
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—本文作者分別任教於美國賓州州立大學數 學系與國立中正大學數學系—
