100 + n n ∑ ∑ 1 1

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.11.17 範

圍 2-2 無窮數列級數(1) 班級 姓 座號 名

一、單選題( 每題 5 分)

1. 下列各無窮級數，何者為收斂級數？

(A)∑^∞ −

=110( 1)

n

n (B)_∑^∞

=150 1

n

(C)∑^∞

= −

+

1 1

1

9 ) (4

n n

n

(D)∑^∞ + −

=1 2

2

1) (

n n

n n

【解答】(C)

【詳解】

(A)錯。 10 10 10 10 10 ...− + − + − + ⇒ 公比 r = − 1，故發散 (B)錯。 ^{1 1 1} ...

50+50+50+ ⇒公比 r = 1，故發散 (C)對。∑^∞

= −

+

1 1

1

9 ) (4

n n

n

= ∑^∞

=1

42 n

．(9

4)^{n − 1} 16 16( ) 16( )^{4 4 2} ...

9 9

= + + + ⇒，公比 r =

9

4，收斂

(D)錯。原式 =_{∑ +}^∞

=1

1 1 (

n n− ¹₂

n ) = ∑^∞

=11

n

+_∑^∞

=1

1

n n−_∑^∞

=1 2

1

n n > ∑^∞

=11

n

= ∞，故發散 二、多重選擇題( 每題 10 分)

1. 下列各數列何者一定收斂？

(A) an = n

1 (B) b_n = ar^{n − 1} (C) c_n = (− 1)ⁿ (D) d_n = 7 + (−

2

1)ⁿ (E) e_n = ⁿ _n ⁿ 6

2 3 +

【解答】(A)(D)(E)

【詳解】

(A)正確： lim

∞

n→ n

1= 0，收斂

(B)錯誤：b_n = ar^{n − 1}，當 | r | < 1 或r=1時才收斂，否則發散 (C)錯誤：< c_n > = < − 1，1，− 1，1，… >，發散

(D)正確： lim

∞ n→

[7 + (−

2

1)ⁿ] = 7

(E)正確： lim

∞

→ n

( _n

n n

6 2 3 +

) = lim

∞

→ n

[

3 2

6 6 6 6

n n

n n

n

n

+ ] = 1

0

0+ = 0，收斂

2. 下列式子哪些是正確的？

(A) 1 −1 + 1 −1 + 1 −1 +…+ ( −1)^{n −1} + … = 0 (B) 1 −

2 1 1 ) 1

2 ( 1 2

2 1 2 1 2

1 1

+

=

− + + +

−

+  ⁿ⁻ 

(C) 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 +…+ ( −2 ) ⁿ⁻¹+… =

) 2 ( 1

1

−

−

(D) 2. 9 < 3

(E)無窮級數 1 + 2 + 4 +…+ 2³⁰ + 2 1+ (

2

1)² +…+ ( 2

1)ⁿ +…是收斂的

【解答】(B)(E)

【詳解】

(A)1 −1 + 1 −1 + 1 −1+…+ ( −1) ^{n −1} +…數列<(−1)ⁿ⁻¹>為振動數列，其極限不存在，故其和 不存在

(B) − + − ++ − ) ⁻¹+ 2

( 1 2

2 1 2 1 2

1 1 ⁿ

= + − + − ²+ − ³++ − ) ⁻¹+ 2

( 1 )

2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1

1 ⁿ =

2 1 1

1 ) 2 ( 1 1

1

+

− =

− (C)1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 +…+ ( − 2) ⁿ⁻¹ +…

=1+(−2)¹+(−2)² +(−2)³+(−2)⁴ +(−2)⁵ + +(−2)ⁿ⁻¹+ 公比r=−2，級數發散

(D) 2. 9 = 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 +… = 2 + + + + 1000

9 100

9 10

9 … = 2 1 3

10 1 1

10 9

2 = + =

− +

(E) 1 + 2 + 4 +…+ 2³⁰ + 2 1+ (

2

1)² +…+ ( 2

1)ⁿ +…

= 1 + 2 + 2² +…+ 2³⁰ + 2 1 1

2 1

−

= 1 + 2 + 2² +…+ 2³⁰ + 1 = 2³¹ ∴ 此級數是收斂的

3. 設< an >，< bn >為兩數列，判斷下列各選項何者正確？

(A)∑ +

= n

k ak bk

1

)

( = ∑

= n

k ak 1

+ ∑= n

k bk 1

(B)∑ −

= n

k ak bk

1

)

( = ∑

= n

k ak 1

− ∑= n

k bk 1

(C)∑

= n

k ak bk 1

) ( ． = ( ∑

= n

k ak 1

) (∑

= n

k bk 1

)

(D)∑

= n

k k

k

b a

1

=

∑

∑

=

= n

k k

n

k k

b a

1

1 (E)∑

= n

k cak 1

= c ∑

= n

k ak 1

【解答】(A)(B)(E)

【詳解】

(A)正確：∑ +

= n

k ak bk

1

)

( = ∑

= n

k ak 1

+ ∑= n

k bk 1

(B)正確：∑ −

= n

k ak bk

1

)

( = ∑

= n

k ak 1

− ∑= n

k bk 1

(C)錯誤：∑

= n

k ak bk 1

) ( ． ≠( ∑

= n

k ak 1

) (∑

= n

k bk 1

) (D)錯誤：∑

= n

k k

k

b a

1

≠

∑

∑

=

= n

k k

n

k k

b a

1

1 (E)正確：∑

= n

k cak 1

= c ∑

= n

k ak 1

4. 下列無窮數列，何者收斂？

(A) <

3 1

2 2

+ + + n

n

n > (B) <

1 3

5 2

2+ +

− n n

n > (C) <

1000 3

2 999

− + n

n > (D) < ( 100

101)ⁿ > (E) < ( −1)ⁿ >

【解答】(A)(B)

【【詳解】

(A)∵

2 2

2

2

1 1

1 1 1 0 0

lim lim 1

3 1 3 1 0

n n

n n n n

n

n

→∞ →∞

+ + = + + = + + =

+ + +

∴ 收斂

(B)∵ ₂ ²

2

2 5

2 5 0 0

lim lim 0

1 1

3 1 3 3 0 0

n n

n n n

n n

n n

→∞ →∞

− = − = − =

+ + + + + +

∴ 收斂

(C)∵

2

999

999 0

lim lim

3 1000 3 1000 3 0

n n

n n n

n

n

→∞ →∞

+ = + = ∞ + = ∞

− − −

，不存在 ∴ 發散

(D)∵ =∞

∞

→

n

n )

100 (101

lim ，不存在 (公比 ¹⁰¹ 1

=100 > ) ∴ 發散 (E)∵



=−

∞ −

→ ， 為偶數

為奇數　

， n

n n

n 1

) 1 1 (

lim ，不是定數 ∴ ⁿ

n ( 1) lim −

∞

→ 不存在 ∴ 數列發散

三、填充題( 每題 10 分)

1. )

1 ( 1

lim

2 2

−

− + +

−

∞

→ n

n n n

n n

n 之值為 。

【解答】− 4

【詳解】

2 2 2 2 2

2 2

2

( )( 1) ( )( 1) 4 4

lim ( ) lim [ ] lim lim 4

1 1 1 1 1 1

n n n n

n n n n n n n n n n n

n n n n

n

→∞ →∞ →∞ →∞

− + − − + + + − −

− = = = = −

+ − − − −

2. ∑ =

−

= 13

2

6

k

。

【解答】96

【詳解】k= − −2, 1, 0,1, 2,...,13共 16 項，  

個 16

6 6

6 6

13

2

+ + +

∑ =

−

= k

=16 × 6 = 96

3. 試計算級數_∑

+

= 100

1 ( 1)

1

k k． k 之值 = 。

【解答】101 100

【詳解】_∑

+

= 100

1 ( 1)

1

k k． k =_∑

− +

= 100

1

1) 1 (1

k k k = 1 −

101 1 100

1 3

1 2 1 2

1+ − ++ − = 1 −

101 100 1011 =

4. 求 1 1+

2 1

1 + +

3 2 1

1 +

+ + … +

+n + + +2 3  1

1 + …= 。

【解答】2

【詳解】

ak = ¹

1 2 3 k =

+ + + +

2 ) 1 (

1 + k

k = 2 1 1

2[ ]

( 1) 1

k k = k −k

+ +

1 k k

a

∞

∑

5

18，其第二項為 − 4，則首項為 。

【解答】6

【詳解】

設首項 a，公比 | r | < 1 ⇒

4 5

8 1 1

−

=

− =



 ar

r

a ……

……

由得a= −r4，代入得9r² − r9 −10=0

⇒ (3r+2)(3r−5)=0 ⇒

3

−2

=

r 或

3

5（不合） 代回② ∴ a=6

6. 計算無窮級數_∑^{∞ −}

=0 )

7 ( 2

n

n的和為 。

【解答】9 7

【詳解】_∑^∞ − = + − + − + + − +

=

− 0

1

2 )

7 ( 2 7 )

( 2 7 ) ( 2 1 7 ) ( 2

n

n

n  =

9 7 7 ) ( 2 1

1 =

− − 7. 將分數

7

3表成小數時，令小數點後第 n 位的數字為 an，則 a2009 = 。

【解答】7

【詳解】

428571 .

7 0

3 = ，它的循環節有六個數字 2009 = 6．334 + 5，小數點後第 2009 位數字為 7

8. 循環小數 2.315 化為最簡分數為 。

【解答】165 382

【詳解】2.315 =

990 23 2315− =

990 2292=

165 382

9. 化 0.16 + 23.223成最簡分數 。

【解答】 100 2339

【詳解】0.16 + 23.223= 90

1 16− +

900 2322 23223− =

900 21051=

100 2339

10. 求∑^∞ +

=1 5 3 2

n n

n n

之和 = 。

【解答】 6 13

【詳解】∑^∞ +

=1 5

3 2

n n

n

n =_∑^∞ + =_∑ +_∑

=

∞

=

∞

=

1 1 1

5) (3 5)

(2 ] 5) (3 5) [(2

n n n

n n

n n

= ) ]

5 (3 5) (3 5) [(3 ] 5)

(2 5) (2 5)

[(2 + ²+ ³+ + + ² + ³+

2 5 5 3 3 5 5 2 5 1 3

5 3

5 1 2

5 2

× +

×

=

− +

−

= =

6 13 2 3 3 2+ =

11. 16.一正方形的邊長為 10 公分，以各邊中點為頂點連成的四邊形也是 正方形，如此繼續作出無限多個由各邊中點為頂點連成的正方形，求 圖中無限多正方形

(1)周長的總和為 。(1)面積的總和為 。

【解答】(1) 40(2+ 2) (2) 200

【詳解】

由畢氏定理知：

正方形各邊中點為頂點連成正方形的周長為原正方形周長的 2

2 倍，

面積為( ²)^{2 1} 2 =2倍

此無限多個正方形的周長依次為 40、40( ²)

2 、40( ²)²

2 、40( ²)³

2 、……….

面積依次為 100、^{100( )1}

2 、^{100( )1 2}

2 、^{100( )1 3}

2 、…….

(1)周長首項 40，公比 2

2 ，周長為 40 80

40(2 2) 2 2 2

1 2

= = +

− −

(2)面積首項 100，公比¹

2，面積為 ¹⁰⁰ 200 1 1

2

=

−

12.求級數 − + + + + + − + +_ 343

20 27

8 8 1 49 10 9 4 4 1 7 5 3 2 2

1 至無限多項之和 。

【解答】5 8

【詳解】分組各成為 3 無窮等比級數 + +

− + + + + +

− 343

20 27

8 8 1 49 10 9 4 4 1 7 5 3 2 2 1

= )

27 8 9 4 3 ( 2 8 )

1 4 1 2

(1+ + + + − + −  )

343 20 49 10 7

(5+ + + +

=

7 1 2

7 5 3) ( 2 1

3 2

2 1 1

2 1

− +

−

− + −

−

= 1 − 5 2+ 1 =

5 8

13.試求下列無窮級數的和：

(1)∑^∞ + −

=

+

1

2

4 ) 2 ( 3

n n

n n

= 。(2) 4 2

1

． + 5 3

1

． + … +

) 2 (

1 + n

n． + … = 。

【解答】(1) 3 5 (2)

12 5

【詳解】

(1)∑^∞ + −

=

+

1

2

4 ) 2 ( 3

n n

n n

=∑^∞ + −

=1

)2

2 ( 4) [(3

n

n ．(

4

−2

)ⁿ] =∑^∞

=1 ) 4 (3

n

n+ 4∑^∞ −

=1 )

2 ( 1

n

n = 4 1 3

4 3

−

+ 4 × 2 ) ( 1 1

2 ) ( 1

− −

−

=3 5

(2)一般項 ak =

) 3 )(

1 (

1 + + k

k =

2 1(

1 1 +

k −

3 1 + k ) 原式 =

1 k k

a

∞

∑= =

1

1 1

2^k (k 1

∞

∑=

+ − 3 1 + k ) =

2 1 1

[(2− 4 1) + (

3 1−

5 1) + (

4 1−

6 1) + (

5 1−

7

1) + …]=

2 1 1(

2+ 3 1) =

12 5

14.設3 1+

9 1+

27

1 + … + _n 3

1 + …之總和為 S，而其前 n 項之和為 Sn，若 | S − Sn | <

1000 1 ，則

n 之最小值為 。

【解答】6

【詳解】

1 1 1

[1 ( ) ]

3 , 3 3

1 1

1 1

3 3

n

S Sn

= = −

− −

| S − Sn | = | 3 1 1

3 1

−

−

3 1 1

] 3) (1 1 3[ 1

−

− ⁿ | =

2 1× (

3 1)ⁿ <

1000

1 ⇒ 3ⁿ > 500,則 n 之最小值為 6

15.試求級數 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + … + (1 + 2 + 3 + … + 20) = 。

【解答】1540

【詳解】

一般項 ak = 1 + 2 + … + k = 2

) 1 (k+ k

所求 = ²⁰

1 k k

a

∑

( 1)

k 2 k k

=

∑

1

( 1)

k

k k

=

∑

= 100

1 2 k

k = 1² + 2² + … + 100²，則 S 除以 3 的餘數 = 。

【解答】1

【詳解】

S = 1² + 2² + … + 100² = 6

1× 100 × (100 + 1)(2 ×100 + 1) = 50 × 101 × 67

= (3 × 16 + 2)(3 × 33 + 2)(3 × 22 + 1) = 3k + (2 × 2 × 1) = 3k + 4 = 3(k + 1) + 1

∴ S 被 3 除之餘數為 1 17.設 x ∈ R，若級數

3 1−

3

1(1 − x) + 3

1(1 − x)² − 3

1(1 − x)³ + … + 3

1(− 1)^{n − 1}(1 − x)ⁿ⁻¹ + …收斂，

求(1) x 值之範圍為 。 (2)若此級數和為 2

1，則 x 之值為 。

【解答】(1) 0 < x < 2 (2) 3 4

【詳解】

(1)收斂 ⇔ | r | < 1，| − (1 − x) | = | x − 1| < 1 ⇒ 0 < x < 2 (2) S =

r a

− 1

1 ，

2 1=

)]

1 ( [ 1

3 1

−x

−

− ⇒ 2 − x = 3

2，得 x = 3 4

18.求∑ − −

= 20

1

)]

2 )(

1 [(

k

k

k = 。

【解答】2280

【詳解】

∑ − −

= 20

1

)]

2 )(

1 [(

k

k

k = ∑ − +

= 20

1

2 3 2)

(

k

k

k = ∑

= 20

1 2 k

k − 3∑

= 20

1 k

k +∑

= 20

1

2

k

=6

1× 20 × 21 × 41 − 3 × 2

21 20× + 2 × 20 = 2280

19.求 1．3 + 3．5 + 5．7 + … + (2k − 1)(2k + 1) + … + 29．31 = 。

【解答】4945

【詳解】

一般項 ak = (2k − 1)(2k + 1) = 4k² − 1 所求 = ∑

= 15

1

k a =k ∑ −

= 15

1

2 1) 4 (

k

k = 4 ∑

= 15

1 2 k

k −∑

= 15

1

1

k

= 4． 6 31 16

15× × − 15 = 4960 − 15 = 4945 20. 級數 0.7 + 0.077 + 0.00777 + 0.0007777 + …之總和為 。

【解答】891 700

【詳解】

0.7 + 0.077 + 0.00777 + 0.0007777 + … = 9

7(0.9 + 0.099 + 0.00999 + 0.0009999 + …)

=9 7[(1 −

10 1 ) + (

10 1 −

1000 1 ) + (

100 1 −

100000

1 ) + …]

=9 7[(1 +

10 1 + ₂

10

1 + …) − ( 10

1 + ₃ 10

1 + ₅ 10

1 + …)]=

9 7(

10 1 1

1

−

−

100 1 1

10 1

−

) =9 7(

9 10−

99 10) =

891 700

21. 設 4(1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ) = 4372，則 n = 。

【解答】6

【詳解】4(1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ) = 4372⇒ 1 + 3 + 3² + … + 3ⁿ = 1093

Sn =1 (3 1) ¹

1093 3 2187 3 1

n n+

⋅ − = ⇒ =

− ， n= 6

22. 設 a，b，c ∈ N，1 < a < b < c < 9，且< 0. a ，0.0b ，0.00 c ，…>成等比數列，則 (1) (a，b，c) = 。(2)該數列之第四項為 。（寫成循環小數）

【解答】(1) (2，4，8) (2) 0.00 71

【詳解】

(1) 0. a ，0.0 b ，0.00 c 成等比，即 9 a，

90 b ，

900

c 成等比

則9 a×

900 c = (

90

b )² ⇒ b² = ac，又 1 < a < b < c < 9 則(a，b，c) = (2，4，8)

(2)數列為<

9 2，

90 4 ，

900

8 ，…>，首項 a1 = 9

2，公比 r = 9 2 90

4

=5 1

故第四項 a4 = a1r³ = 9 2×

125 1 =

9000

16 = 0.00 71

23. 在 1 與 999 之間，插入 n 項，使其成為一等差數列，試求數列總和超過 10000 時，最 小自然數 n 值為 。

【解答】19

【詳解】

等差數列：1，b1，b2，…，bn，999，共(n + 2)項，總和=

2 ) 999 1 )(

2

(n+ + > 10000 n > 18，所以最小自然數 n 為 19

24.設數列< an > = <a1，a2，a3，…，a100>為一個等差數列，Sn = ∑

= n

k ak 1

，

(1)若< an >之公差為 2，且 S100 = 300，則其偶數項之和 a2 + a4 + … + a100 = 。 (2)若 S20 = 16，S40 = 36，則 S60 = 。

【解答】(1) 200 (2) 60

【詳解】

(1) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + … + a99 + a100 = 300 又a 比₂ a 多 2、₁ a 比₄ a 多 2、……..、₃ a₁₀₀比a 多 2 ₉₉

[(a2 − 2) + a2] + [(a4 − 2) + a4] + [(a6 − 2) + a6] + … + [(a100 − 2) + a100] = 300 2(a2 + a4 + a6 + … + a100) − 2 × 50 = 300 ⇒ 2(a2 + a4 + a6 + … + a100) = 400 故 a2 + a4 + … + a100 = 200

(2) S20，S40 − S20，S60 − S40成等差(首 20 項的和、次 20 項的和、再 20 項的和、….亦成 等差) ⇒ 16，36 − 16，S60 − 36 成等差 ⇒ (S60 − 36) + 16 = 2 ( 36 − 16)，得 S60 = 60 25.數列

4 1，

8 4，

12 7 ，

16

10，…，第 n 項為 an，則

(1) an為 。 (2)若 an >

40

29，則 n 之最小值為 。

【解答】(1) n n

4 2 3 −

(2) 21

【詳解】

找規則原式3 1 2 3 2 2 3 3 2 3 2

, , ,...

4 1 4 2 4 3 ^k 4

a k

k

× − × − × − ⇒ = −

× × ×

(1) ^{3 2}

n 4 a n

n

= −

(2)^{3 2 29} 120 80 116 4 80, 21

4 40

n n n n n

n

− > ⇒ − > ⇒ > ≥ 26.二等差數列< an >，< bn >，Sn = ∑

= n

k ak 1

，Tn = ∑

= n

k bk 1

，若 Sn：Tn = (5n + 3)：(3n + 1)，則

9 9

ba = 。

【解答】13 22

【詳解】

n n

TS =^{5 3} 3 1

n n

+ ⇒

+ ₉

9

ba = ⁹

9

17 17 a b = ¹⁷

17

S

T =^{17 5 3} 17 3 1

× +

× + = 13 22

27.一皮球自 120 公尺高處落下，每次反跳 3

2的高度，則至靜止皮球所經過的距離為

公尺。

【解答】600

【詳解】

球最先落下經過 120 公尺，因每次反彈的高度為前高度的² 3 高度依次分別為 120、120(²)

3 、120(²)²

3 、120(²) ...³

3 公尺

所求距離和= 120 + 2 ×120(²)

3 + 2 ×120(²)²

3 + 2 × 120 (²

3)³ +………….

= 120 + 240 [² 3+ (²

3)² + (²

3)³ + (²

3)⁴+………] = 120 + 240 × 2 3 1 2

3

=

−

600