aa aa n = 1

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.11.03 範

圍

2-1 等差、等比數列 級數(1)

班級 姓

座號 名 一、單選題( 每題 5 分)

1.下列何者正確？

(A)若 b² = ac，則 a，b，c 為等比數列

(B)數列< a_n >滿足 a_n = a_{n − 1}q，n ∈ N，q 為常數，則< a_n >為等比數列

(C)數列< a_n >中，a₁ + a₂ + … + a_n = S_n，且 S_n = 4n² − n + 2，則 a_n = S_n − S_{n − 1} = 8n − 5 (D)數列< a_n >前 n 項和 S_n = Aⁿ − 1，則< a_n >不一定是等比數列

【解答】(D)

【詳解】

(A)若 b² = ac，則 a：b = b：c，但必須 b ≠ 0 且 c ≠ 0，a，b，c 才為等比數列 (B)若 an = an − 1q，n ∈ N，則

−1 n

n

a

a = q，此時必須 q ≠ 0，則< an >才為等比數列

(C) a₁ = S1 = 4 − 1 + 2 = 5

a_n = Sn − Sn − 1 = (4n² − n + 2) − [4(n − 1)² − (n − 1) + 2]

= 4n² − n + 2 − 4n² + 8n − 4 + n − 1 − 2 = 8n − 5，n ≥ 2，故 an =





≥

−

= 2 5

8

1 5

n n

n

，

，

a_n = 8n − 5，當n= 時不成立。 1

(D) a1 = S1 = A − 1，a2 = S2 − S1 = (A² − 1) − (A − 1) = A² − A= A A( −1) a3 = S3 − S2 = (A³ − 1) − (A² − 1) = A³ − A²=A A²( − ， 1)

an = Sn − S_{n − 1} = (Aⁿ − 1) − (A^{n − 1} − 1) = Aⁿ − A^{n − 1}=Aⁿ⁻¹(A− 1) 當 A ≠ 0 時，

1 2

a a =

2 3

aa = … =

−1 n

n

a

a = A，則< an >是等比數列

二、填充題( 每題 10 分)

1. 有一等差數列，設第 n 項為 a_n，已知 a₃ = 8，a₈ = − 7，求 a_n = 。

【解答】− 3n + 17

【詳解】





−

= +

=

= +

=

7 7

8 2

1 8

1 3

d a a

d a

a ⇒





−

=

= 3

1 14 d

a ，∴an = a1 + (n − 1)d = 14 + (n − 1)．(− 3) = − 3n + 17

2. 等差數列< a_n >，首 n 項和為 S_n，已知 a₃ = 9，a₂₀ = 43，求 S_n = 。

【解答】n² + 4n

【詳解】





= +

= +

9 2

43 19

1 1

d a

d

a ⇒





=

=

（公差）

（首項）

2

1 5 d

a ，則 Sn =

2

] ) 1 ( 2

[ a₁ n d

n + − =

2

n[10 + (n − 1) × 2] = n² + 4n

3. 若等比數列{an}的第四項為 6，第六項為 24，而且數列的每一項都是正數，求這個數列 的前 10 項總和為 。

【解答】 4 3069

【詳解】







=

=

5 1

3 1

24 6

r a

r

a ……

……，

 ⇒r² = 4，得 r = 2，− 2（不合）

r = 2 代入，得 a1 = 4

3，所求=

1 2

) 1 2 4( 3 ₁₀

−

− = 4 3069

4. 設有一等比數列，首項為 7，末項為 448，總和為 889，若此數列的公比為 r，項數為 n，

則數對(n，r) = 。

【解答】(7，2)

【詳解】

設等比數列< a_n >，公比 r，S_n表前 n 項的和，由 S_n = r ra

a _n

−

− 1

1 可得 889 =

r r

−

− 1

448

7 ．

∴ 889 − 889r = 7 − 448r ∴ 441r = 882，故得 r = 2

r = 2 代入 448 = 7．2^{n − 1} ⇔ 64 = 2^{n − 1}，n − 1 = 6，n = 7，所求數對(n，r) = (7，2)

5. 一等差數列之前 10 項之和為 30，前 30 項之和為 10，則其前 40 項之和為 。

【解答】− 40

【詳解】

設前 n 項之和為 Sn，且令 S20 = a，S40 = b，則 S10，S20 − S10，S30 − S20，S40 − S30亦成等 差數列即 30，a − 30，10 − a，b − 10 成等差數列，2( 30) 30 (10 ) ¹⁰⁰

a− = + −a ⇒ =a 3 ， 公差 d = (a − 30) − 30 = a − 60 ⁸⁰

= − 3 ，則(b − 10) = (10 − a) + d = − 50，得 S40 = b = − 40 6. 有一等比數列< an >，已知 Sn = 16，S2n = 20，則 S3n = 。

【解答】21

【詳解】

S_n，S_2n − Sn，S_3n − S2n成 G.P.，即 16，4，S_3n − 20 成 G.P.，4² =16(S_3n−20)⇒S3n = 21

7. 設 Sn表數列< an >的前 n 項的和，若 Sn = 2n² + n，則此數列的第 n 項 an = 。

【解答】an = 4n − 1，∀n ∈ N

【詳解】 a1 = S1 = 2．1² + 1 = 3

an = Sn− Sn − 1 = (2n² + n) − [2(n − 1)² + (n − 1)] = (2n² + n) − (2n² − 3n + 1) = 4n − 1，n ≥ 2

而 a1 = 3 = 4．1 − 1。對任意自然數 n 都有 an = 4n − 1

8. 在 4 與 12 之間依序插入 10 個數 a1，a2，a3，…，a10，使此 12 個數成等差數列，則 a7 = 。

【解答】 11 100

【詳解】

等差數列< 4，a1，a₂，a₃，…，a₁₀，12 >的首項為 4、第 12 項為 12，12 4 (12 1)d= + − 故公差 d =

1 12

4 12

−

− = 11

8 ，等差數列第八項 a7 = 4 + (8 − 1)．d = 4 + 7．

11 8 =

11 100

9. 在 1 與 999 之間，插入 n 項，使其成為一等差數列，試求數列總和超過 10000 時，最小 自然數 n 值為 。

【解答】19

【詳解】

等差數列：1，b1，b2，…，bn，999，共(n + 2)項，總和=

2 ) 999 1 )(

2

(n+ + > 10000 ⇒ n > 18，

所以最小自然數 n 為 19

10. 若< an >為一個等比數列，已知 an = 81，公比 r = 3，Sn = 3

364，則 a1 = 。

【解答】3 1

【詳解】

Sn =

1 ) 1

1(

−

− r

r a ⁿ

= 2

1 1

1r r a

a ⁿ⁻ ． −

= 2 a1

r a．_n −

= 2

3 81． −a₁ =

3

364 ，∴ a1 = 3 1

11. (1) < an >為一個等差數列，a10 = 23，a25 = − 22，則 an = 。 (2)接上題，若 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an為最大時，n 之值為 。

【解答】(1) 53 − 3n (2) 17

【詳解】

(1)設公差為 d，由a₂₅ =a₁₀+(25 10)− d⇒ a25 − a10 = 15d ∴ 15d = ( − 22) − 23 ∴ d = − 3， ∴ an = a25 + (n − 25)d = − 22 + (n − 25)( − 3) = 53 − 3n

(2) 當a 開始為負時，_n S_n−1最大

0 53 3 0, ⁵³, 18

n 3

a < ⇒ − n< n> ⇒ ≥n ，故S 最大，∴當 n = 17 時，S₁₇ n之值為最大

12.等差數列 − 1，2，5，8，…，(3n + 2)，…，至少要加到第幾項總和才會超過 75。答： 。

【解答】8

【詳解】

a1 = − 1，d = 3 ⇒ Sn = 2

n[2(− 1) + (n −1)(3)] > 75 ⇒ n(3n − 5) > 150

⇒ 3n² − 5n − 150 > 0 ⇒ n >

3 2

150 12 25 5

． + ．

+ =^{5 5 73}

6

+  7.95…，∴n ≥ 8

13.自 100 到 300 的正整數中，被 7 除餘 3 的數，它們的總和為 。

【解答】5771

【詳解】

100 < 7k + 3 < 300，k ∈ Z ⇒97 < 7k < 297 ⇒13 7

6< k < 42 7

3∴ k = 14，15，…，42

共42 14 1− + =29個，總和=

2

)]

3 42 7 ( ) 3 14 7 [(

29 × + + × + = 5771

14.設一等差複數數列的首項是 2 + 45i，公差是 1 − 3i，若此數列的首 n 項和為 Sn，則使 Sn

為實數的正整數 n = 。

【解答】n = 31

【詳解】

首 n 項和 Sn = 2

n[2．(2 + 45i) + (n − 1)(1 − 3i)]

= 2

n[(n + 3) + (93 − 3n)i] = 2

1n(n + 3) + 2

1n(93 − 3n)i

因為 Sn為實數，則虛部 2

1n(93 − 3n) = 0，且 n 為自然數，故取 n = 31

15.給定數列 1 1，

1 2，

2 1，

1 3，

2 2，

3 1，

1 4，

2 3，

3 2，

4 1，

1 5，

2 4，

3 3，

4 2，

5

1，…，則 10

3 為 數列的第 項。

【解答】76

【詳解】找規律，分子、分母和分別依序為 2、3、4、…..11、12、13、……..

則10

3 在第 12 組第 10 個數，共(1 + 2 + 3 + 4 + … + 11) + 10 = 76 個

16.有一凸 n 邊形，內角度數依次成等差數列，公差為 5°，最小角為 120°，則 (1) n = 。 (2)最大角為 。

【解答】(1) 9 (2) 160°

【詳解】

內角度數總和 ^{[2 120 ( 1) 5]} ( 2)180 ² 25 144 0 2

n n

n n n

× + − × = − ⇒ − + =

(n−9)(n−16)= ⇒ =0 n 9,16，n= ⇒9 最大角a₉ =120 8 5 160+ × = 但n=16⇒a₁₆ =120 15 5 195 180+ × = > (不合)

17.有二等差數列之首 n 項和之比為(3n + 1)：(7n − 11)，則此二數列第 6 項的比為 。

【解答】17 : 33

【詳解】

設等差數列< an >前 n 項和為 Sn，等差數列< bn >前 n 項和為 Sn′，

第11 1 2

+ = 6 項為全部 11 項之中央項

6 6

ba = ⁶

6

11 11

a b

⋅ =

⋅

11 11

S S ′

=7(11) 11 1 ) 11 ( 3

− + =

66 34=

33 17

18.有兩個等差數列，其第 n 項的比為(3n + 1)：(7n − 11)，則其前 9 項和的比為 。

【解答】3 2

【詳解】

設此二等差數列各為< an >，< bn >，前 n 項和各為 Sn，Sn′，則 第^{9 1} 5

2

+ = 項為全部 9 項之中央項 ， ' S

S

9

9 = ^{5 5}

5 5

9 9

a a

b = b =

11 ) 5 ( 7

1 ) 5 ( 3

− + =

24 16=

3 2

19.集合序列{1}，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}，…，若 Sn表第 n 個集合內之元素 各數值總和，求 S21 = 。

【解答】4641

【詳解】

1 + 2 + 3 + … + 20 =

2 20 ) 20 1

( + × = 210，第 21 個集合內之元素為 211、212、213、….、

231 共 21 個， ∴ S21 = 211 + 212 + … + 231 =

2

21 ) 231 211

( + × = 4641