電子電路
林楨芸 June 24, 2015
微分方程是一種數學方程式由函數及其微分之間的關係所構成。通常用來做數學模型，例如：
電子電路、人口模型、傳染病擴散的模型、牛頓溫度冷卻律、放射衰變與考古斷代。其中電子 電路在積體電路、工程中又有許多廣泛的應用。今天我們將以電子電路為例子來探討如何用微 分方程建立數學模型。
微積分中主要工具
• 分離變數型微分方程
dQ
dt = f (Q)g(t) (1)
方法：分離變數法
1. 設 f (Q) = 0，解出 Q(t) 的平衡解 (常數解）。 2. 利用變數變換，將 (1) 改寫為
∫ 1
f (Q)dQ =
∫
g(t)dt (2)
並解出 Q(t)
• 一階線性微分方程
dy
dt + p(t)y(t) = q(t) (3) 方法：積分因子
積分因子為一函數 u(t) 使得
u(t) (dy
dt + p(t)y(t) )
= (u(t)y(t))′ 化簡，經過計算，我們可得到積分因子
u(t) = e∫p(t)dt (4)
將 (4) 代入 (u(t)y(t))′ = u(t)q(t)，我們即可得到一般解
y(t) = 1 e∫p(t)dt
∫ e
∫p(t)dtq(t)dt (5)
額外知識
電阻 (resistance)：當打開開關時，電流 I 流過電阻進而產生電壓（也稱作電位差），也就是說
在電阻兩端點的電位會不一樣。而歐姆定律 (Ohm's Law) 告訴我們：在通過電阻瞬間，電流 I 與其產生的電壓 ER滿足
ER= RI (6)
其中常數 R 稱為電阻器的電阻（以歐姆 Ω 為單位）。
電感 (inductance)：電感是當通過導體的電流改變時，會出現電動勢來抵抗電流改變的現象，有
如牛頓力學中的「慣性」。電感可以方程式
EL= LdI
dt (7)
表達，其中常數 L 稱為電感器的電感（以亨利 H 為單位）。
電容 (capacitance)：電容器是儲存電荷的元件。將兩平行導板以絕緣層隔開即為一簡單的平行
電容 C 可以方程式
EC = Q
C (8)
表達，並以法拉 F 為單位。
定理 1 (克希何夫電壓定律 (Kirchhoff's Voltage Law)). 在封閉迴路中，所有使用元件兩端的電壓 的代數和為零，也就是
ER+ EL+ EC = E(t) (9) 其中 E(t) 為封閉迴路中電壓源所施予的電壓。
1 RL 電路
現在讓我們考慮一個 RL 電路，這是個由電壓源（電池）、電阻器、和電感器所構成的電路（見 下圖）。
由克希何夫定律 (9)，我們可知
ER+ EL= E(t) 代入方程式 (6)、(7)，我們得到 RL 電路的數學模型為
LdI
dt + RI = E(t), (10) 其中 L 為電感，R 為電阻，I 為電路中的電流。
問題 1. 假設在一個 RL 電路中，電阻是 12 Ω、電感為 4 H 以及電池給 60 V 的恆定電壓。請問 電流 I(t) 是否有平衡解？若有，請找出這（些）平衡解。請問電流 I(t) 的一般解為？
問題 2. 假設在問題 1 中的 RL 電路有一個開關，我們在 t = 0 時打開開關。請問電流 I(t) 應 為？
問題 3. 請描畫問題 1 中，電流 I(t) 的曲線。
問題 4. 如果現在我們的電路板中的電壓源為交流電壓，假設電阻 R = 1，電感 L = 1，電壓源 E(t) = sin t，你現在還能找出電流 I(t) 嗎？
2 RC 電路
一個 RC 電路則是由電壓源、電阻器、和電容器組成的電路（見下圖）。
由克希何夫定律 (9)，我們可知
ER+ EC = E(t) 將方程式 (6) 與（8) 代入，我們得到
RI + Q
C = E(t) (11)
其中 R 為電阻，C 為電容，Q 為電容器載有的電荷量。
由於電流是指電荷在導體中的流動，也就是電荷隨時間的變化率：
dQ
dt = I(t)
將方程式 (11) 對時間微分，我們即得到 RC 電路以電荷 Q 表示的數學模型：
RdQ dt +Q
C = E(t) (12)
與 RC 電路以電流 I 表示的數學模型 RdI
dt + I C = dE
dt (13)
問題 5. （電容器充電）一個電容為 0.2 F 的電容器在帶有電阻（200 Ω）與電源（24 V ）的 RC 電路中被充電。假設在 t = 0 時，電容器才開始充電，請找出電容器的電壓 EC。
問題 6. 請描繪問題 5 中的電流函數 I(t)。
問題 7. 假設一 RC 電路中有穩定電壓源 E(t) = 100 V ；電容器 C = 0.2 F ；電阻器的電阻在時 間 0≤ t ≤ 200（秒）時，R = 200 − t Ω，當 t > 200（秒），R = 0 Ω，假設已知在初始時刻電 流 I(0) = 1 A，求 I(t)。
問題 8. 心理學家對於學習曲線非常感興趣。學習曲線是指函數 P (t) 的圖形，P (t) 是表示學習 一個技能的表現隨著時間 t 的變化而改變的函數。dP /dt 代表著學習表現的進步比率。
1. 請解釋在怎樣的情況下 P 的增加率最迅速？而當 t 增加時 dP /dt 會如何變化？
2. 如果 M 代表著學習者所能到達的最好表現，請解釋為何下列的微分方程式是合理的學習 模型
dP
dt = k(M− P ) k是一個正的常數 3. 請大略描繪這微分方程式可能的解。
結語
在今天的討論中，我們已經學會如何使用微分方程處理（最）簡單的電路。事實上，光是「分 離變數型微分方程」與「一階線性微分方程」就可以用來建立一開始提到的人口成長、傳染病 擴散的模型、牛頓溫度冷卻律、放射衰變與考古斷代的數學模型。（參考翁秉仁的微積分講義 7.1）
參考資料
1. James Stewart, Calculus Early Transcendentals, 7th Edition
2. Edwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition, Section 1.7
