王文素 《算學寶鑒》 幻圖探奇與五星圖

王文素 《算學寶鑒》 幻圖探奇與五星圖

梁培基

摘要: 《數學傳播》 40 卷 2 期, 刊登了羅見今先生撰寫的 「王文素 《算學寶鑒》 幻圖 的組合意義」, 文中登載了明代數學家王文素在 500 年前構作的一些幻圖, 多姿多彩, 妙趣橫生。 本文在古人的基礎上加以更改, 給出幾個類似王文素幻圖樣式的幻圖: 優 化輻轉幻圖、 雙豎花王字圖、 古珞錢圖、 擴大連環圖、 標示圓圈符號的瓔珞圖, 藉以 激發初學者的興趣, 發掘文化遺產。 本文增加了新創 「五星圖與六星圖」 的內容, 並 非敝帚自珍, 旨在拋磚引玉。

首先介紹幻圖部分:

一、 算學寶鑒之幻圖部分

1.1. ^輻轉幻圖

圖 1 是由 1∼33 連續自然數組成的新幻圖, 這個幻圖的 4 條直線上 9 數之和 = 165、 平 方和 = 3949; 每圓周 8 數之和 = 132、 平方和 = 2860。 不妨稱為 「優化輻轉幻圖」。

圖 1

構造方法: 先造一個 4 階幻方 [5](圖 2.a), 再將這個 4 階幻方的每個元素都分別加上 16 得到圖 2.b. 之後, 調換圖 2.b 的 2, 1, 4, 3 行, 為圖 2.c 的 1, 2, 3, 4 行, 把圖 2.a 與圖 2.c 連接起來, 就得到圖 1。

1 8 10 15 17 24 26 31 30 27 21 20 14 11 5 4 30 27 21 20 17 24 26 31 7 2 16 9 23 18 32 25 28 29 19 22 12 13 3 6 28 29 19 22 23 18 32 25

圖 2.a 圖 2.b 圖 2.c

1.2. ^{雙豎花王字圖}

圖 3 是一個 「雙豎」 花王字圖, 其元素是連續自然數 1∼126, 共構成 22 個連環圓, 每圓 上 8 數之和等於 127 × 4 = 508。 圖中數字 1∼22 不僅表示實際數值, 而且代表所在圓的序 號。

為紀念王文素在數學方面的豐功偉績, 改用 「雙豎花王字圖」 表示 「王者風範」, 以示敬仰!

倘若文素公在天之靈有知, 當含笑九泉矣!

圖 3

1.3. ^{改變排列的古珞錢圖}

圖 4 是一個改變數字排列的古珞錢圖。 圖中數字 1∼25, 不僅表示實際數值, 又分別代表 所在圓 1∼25 的序號。 每個圓上 8 個數之和等於 121 × 4 = 484。

圖 4

從填寫數字中總結出排列規律, 順手拈來即可填成。 其關鍵是在每個圓中:

上、 下兩行的一對數字橫向之和等於 121, 例如: 1 + 120 = 32 + 89, 2 + 119 = 33 + 88, 等。

左、 右兩列的一對數字縱向之和等於 121, 例如 26 + 95 = 27 + 94, 30 + 91 = 31 + 90, 等。

要填寫較大的古珞錢圖只是時間問題, 讀者不妨一試。 倘若填寫成功, 那愉悅愜意的心情 難以描述, 自己對自己情不自禁地 「嘿嘿」 一聲傻笑, 什麼人間煩惱、 什麼寂寞惆悵、 什麼失意 彷徨、 什麼悲哀憂傷, 統統都拋到九霄雲外去了!

圖 5

1.4. ^{擴大連環圖}

圖 5 是一個擴大元素的連環圖: 由連續自然數 1∼200 所組成, 每個圓上 8 個數之和等於

201 × 4 = 804。 構造方法同上。

1.5. ^{兩個瓔珞圖}

圖 6.A 是用新方法排出的瓔珞圖, 外周 6 個圓與中心圓稱為 7 個基本圓, 其中 1∼7, 不 僅表示實際數值, 又分別代表所在圓 1∼7 的序號。 每個圓上 6 個數之和都等於 129。

圖 6.A 的 7 個基本圓由表 1 提供的 6 行 7 列矩陣每列 6 數填寫而成, 各圓 6 數之和都 等於 15 + 43 + 71 = 129。

圖 6.B 是由改變矩陣的表 2 得到的, 實線所圍的是 7 個基本圓, 各圓 6 數之和都等於 43 × 3 = 129。 具體操作方法同圖 6.A, 但比較簡單。 表 1 與表 2 的排列規律一目了然, 不贅。

由於瓔珞圖優美有趣, 構造方法比較複雜, 原著中作者也沒有提供構造方法, 所以我們構 造出兩個與原來不同的瓔珞圖, 當然, 還可以用其他方法構造出更加優美、 絢麗多彩的瓔珞圖。

圖 6.A 圖 6.B

1 2 3 4 5 6 7 14 13 12 11 10 9 8 15 16 17 18 19 20 21 28 27 26 25 24 23 22 29 30 31 32 33 34 35 42 41 40 39 38 37 36

1 2 3 4 5 6 7 42 41 40 39 38 37 36 14 13 12 11 10 9 8 29 30 31 32 33 34 35 15 16 17 18 19 20 21 28 27 26 25 24 23 22

表 1 表 2

二、 五星圖

引言: 把一些零散的數字, 運用特殊的組合方法, 填寫於優美的圖形之中, 使得這個圖形具 有一些奇妙的數學性質, 是組合數學研究的課題。 在少年時期曾經填寫過 10 個數的五角星圖, 沒有見到其他形式的五星圖。 本文給出用 15 個數字填寫三圓周的五星圖, 稱為 「三圓周五星 圖」, 又稱 「五星幻圖」, 簡稱 「五星圖」。 本文給出了構作五星圖的方法及幾個實例。

2.1. ^基本定義

把 15 個互不相同自然數分為 3 組, 分別為:

a1, a², a³, a⁴, a⁵; b1, b², b³, b⁴, b⁵; c1, c², c³, c⁴, c⁵。

把這些數填寫在三圓五角星圖案 (圖 7.a) 中。

基本定義:

定義1: 填寫在五星圖外部的 5 個數 a¹ ∼ a⁵ 稱為外圓元素, 中部的 b¹ ∼ b⁵ 為中圓元素, 內 部的 c1 ∼ c⁵ 稱內圓元素。

定義2: 外, 中, 內 三圓相鄰的 5 個數字稱為 「相鄰五星」。 例如:a¹, b¹, c¹, b⁵, c⁵ 五個相鄰元 素組成的五角星, 稱為相鄰五星, 餘類推。

定義3: 從外圓各元素出發過中心直線上的 3 個元素, 稱為 「直通線 3 元素」。 例如: a², b⁴, c⁴ 是一組直通線 3 元素。 a² 稱為首端元素、c4 稱為末端元素。 直通線 3 元素與其末端相鄰的兩個 外圓元素之和等於定值, 稱為 「3 加 2」。

若圖 7.a 滿足下列三個條件:

1. 外、 中、 內三圓五星上 5 個元素之和都等於定值 (S⁵)。 即

5

X

i=1

ai =

5

X

i=1

bi =

5

X

i=1

ci = S⁵. 2. 每個相鄰五星 (共有 5 組解) 上 5 個元素之和都等於定值。

例如: a¹+ b¹+ c¹+ b⁵+ c⁵ = S⁵ 或者 a4+ b⁴+ c⁴+ b³+ c³ = S⁵ 等 5 組解。

3. 「3 加 2」 之和, 等於定值。

例如: a1+ a³+ b³+ c³+ a⁴ = S⁵ 或者 a3+ b⁵+ c⁵+ a⁵ + a¹ = S⁵ 等 5 組解。

則稱為 「五星圖」。

2.2. ^{構造方法及實例}

圖 7.a 是 a¹ ∼ a⁵, b¹ ∼ b⁵, c¹ ∼ c⁵, 15 個元素的排列順序。

圖 7.b 是由連續自然數 1 ∼ 15 構成的五星圖, 其幻和 S5 = 40 圖 7.c 是由 15 個連續素數構成的五星圖, 其幻和 S5 = 129。

圖 7.a 圖 7.b 圖 7.c

圖 7.b 與圖 7.c 兩個五星圖, 由下列矩陣提供資料, 只需把各個元素按照順序填入五星圖內即 可。

填入圖7.b S5 填入圖7.c S5

外圓 1 4 13 15 7 40 外圓 3 5 47 61 13 129 中圓 8 14 5 3 10 40 中圓 43 23 7 19 37 129 內圓 12 2 6 11 9 40 內圓 17 41 11 31 29 129

2.3. ^{三個同值五星圖}

圖 8.a,b,c 是由連續自然數 1 ∼ 45 構成的 3 個同值五星圖, 各個五星圖的幻和都相等, S5 = 115。

填入圖8.a S5 填入圖8.b S5 填入圖8.c S5

外圓 1 7 40 43 24 115 外圓 2 41 44 23 5 115 外圓 4 6 33 27 45 115 中圓 34 25 9 10 37 115 中圓 38 8 20 14 35 115 中圓 42 3 39 16 15 115 內圓 30 19 22 31 13 115 內圓 11 17 26 32 29 115 內圓 36 28 12 21 18 115

圖 8.a 圖 8.b 圖 8.c

利用上述方法, 可以造出由連續自然數組成的奇數個同值五星圖。 容易證明偶數個同值五 星圖, 只能是不連續的數。

2.4. ^餘味未盡

有人說:「一本讀不完的書才是好書!」 我們說:「大塊硬骨頭才有啃頭!」

自從 1997 年造出五星圖之後, 想到古人 「結繩記事」 的故事, 於是突發奇想把數字嵌入五 星圖中用來紀念香港回歸, 於是誕生了 「香港回歸五星圖」。 香港一位教授看到後, 高度讚揚:「香 港回歸五星圖, 融知識性、 趣味性於一體; 集數學美、 藝術美於一圖。 既有歷史意義, 又有收藏 價值。 是一個精美漂亮的傑作, . . .。」

1999 年在人民政協報頭版發表了 「澳門回歸五星圖」, 全國各地報刊轉載。

2012 年向國際數學家會議提交 「國際數學家會議五星圖」 中英文版, 記載了 24 屆數學家 會議召開的時間和地點。 美國一位華裔教授要了 5 份, 並說:「要作為最珍貴的禮品送給沒有來 參加會議的好友!」

一友贊之曰:

美麗奧妙五星圖, 每圓五數和相等, 發表之前世間無。 相鄰五星和亦同。

十五數字填其中, 直線三數加末鄰, 幻和相等無謬誤。 五數同和妙趣生。

三、 六星圖

3.1. ^{平面六星圖}

用連續自然數 1, 2,. . ., 13 構成一個 「六角星」 圖形, 具有下列 4 條基本性質:

1、 每圓周上 6 個元素之和都等於定值 S⁶。 2、 每條直線上 4 元素之和等於定值 S⁴。 3、 每個三角形上 3 元素之和等於定值 S³。 4、 每個四邊形上 4 元素等於定值 S⁴。 我們稱之為 「六星幻圖」, 簡稱 「六星圖」。

六星圖由 3 層數字組成, 所以我們稱為 「3 階六星圖」。 圖 9.a,b,c,d 是 4 個不同排列的六 星圖。

圖 9.a 圖 9.b 圖 9.c 圖 9.d

幻六星圖還具有下列奇妙的性質:

性質1: 「點」。 關於中心對稱的任意兩點上的兩元素之和都等於 14。

性質2: 「直線」。 6 條直線上每 4 個元素之和 S⁴ = 28; 兩個平行線上 4 元素之和、 平方和分 別相等, 如 2, 6, 11, 9 與 12, 8, 3, 5 的和 S4¹ = 28, 平方和 S4² = 242; 6 條過中心直線上 3 元素之和 S3 = 21 (長短各 3 條)。

性質3: 「三角形」。 6 個小三角形的 S³ = 21; 並且關於中心對稱的兩個小三角形上面 3 個元 素的和、 平方和分別相等。 例如,

1 + 9 + 11 = 3 + 5 + 13 = 21, 1²+ 9²+ 11² = 3²+ 5²+ 13² = 203;

9 + 2 + 10 = 4 + 12 + 5 = 21, 9²+ 2²+ 10² = 4²+ 12²+ 5² = 185;

10 + 8 + 3 = 11 + 6 + 4 = 21, 10²+ 8²+ 3² = 11²+ 6²+ 4² = 173。

兩個大三角形上 9 個元素之和 S⁹ = 63。 並且其平方和 S9² = 585。

圖 9.a 中, 由 4 元素所構成的三角形, 他們的 1 次和、 2 次和、 3 次和分別相等, 如:

1, 12, 5, 8 與 2, 3, 10, 11 的 S4¹ = 26, S4² = 234, S4³ = 2366;

2, 6, 9, 13 與 3, 4, 11, 12 的 S4¹ = 30, S4² = 290, S4³ = 3150。

在圖 9.a 或圖 9.c 中, 將 2, 8, 9 和 3, 4, 12 分別連接成兩個三角形, 每個三角形上 3 個 元素的和與連乘積分別相等, 即他們是 「3 元雙重數組」, S3 = 19, Π³ = 144, 並且是其 「和」

最小的雙重數組[6, 7]。

再將圖 9.a 或圖 9.c 中的 1, 5, 6 和 2, 3, 7 分別連接成兩個三角形, 每個三角形上 3 個 元素的和與平方和分別相等, 即他們是 「3 元2 次等冪和數組」, S³ = 12, S3² = 62, 並且是最小 的 「3 元 2 次等冪和數組」。[3]

性質4: 「長方形」。 三個大長方形上面 8 個元素之和 S⁸ = 56, 且 3 個小長方形的 S⁴ = 28。

性質5: 「平行四邊形」。 任意平行四邊形線上 4 個數或 6 個數之和分別為 S⁴ = 28, S⁶ = 42。

性質6: 「梯形」。

任意梯形 或 上 7 元素之和 S7 = 49, 各 3 組解。

梯形 或 上 6 元素之和 S6 = 42, 各 3 組解。

性質7: 「圓」。 以 7 為圓心, 內、 外圓上 6 個元素之和 S⁶ = 42, 有 2 組解。

性質8: 「六邊形」。

六邊形 : 線上 10 元素之和 S¹⁰ = 70, 有 3 組解; 線上 9 元 素之和 S9 = 63, (3 組解); 線上 7 元素之和 S7 = 49, 有 3 組解;

或 線上 5 元素之和 S5 = 35, 有 3 組解。

性質9: 「菱形」。 菱形線 與 線上 4 元素之和 S4 = 28, 有 9 組解。

雙菱形 線上, 7 元素之和 S⁷ = 49, 有 3 組解。

有意思的是, 在圖 9.b 中, 奇數分佈在外層與中心, 偶數都在中間層, 可謂 「奇偶分明, 毫 不混淆」。

圖 10a.b 分別是 5 階六星圖與 6 階六星圖。

圖 10.a 圖 10.b

3.2. ^{球體六星圖}

把圖 11 的兩個同值六星圖 (外周和中心點上的元素相同, 中間層的元素不同), 沿中間縱 線, 粘貼在球體上, 使得外周重合。 在這兩個半球上, 兩個六星圖的基本性質不變。 故稱為 「球 體六星圖」[2]。 圖 11 由 1, 2, . . ., 19 所組成, 各個六星圖上的 S³ = 30, S⁴ = 40, S⁶ = 60。

圖 11

3.3. ^{三層球體六星圖}

圖 6 是一個三菱形空心球體六星圖, 由 1, 2, . . ., 25 所組成, 各個六星圖上的 S3 = 39, S4 = 52, S⁶ = 78。 按箭頭所示方向, 向中心折疊, 令外周元素重合, 在中心位置上可以得到一 個 「三層的六星圖」。

圖 12

3.4. ^{七層球體六星圖}

圖 13 是一個七層球體六星圖, 由 1, 2, . . ., 49 所組成, 各個六星圖上的 3 個數、 4 個 數、 6 個數之和都分別等於不同的定值: S³ = 75, S⁴ = 100, S⁶ = 150。 如果把週邊的六個六 星圖, 按照箭頭所示方向, 向中心折疊, 令中心點重合, 在中間位置上可以得到一個 「七層六星 圖」。

圖 13

另外, 介紹一個用 「數字三角形」 砌塊構成 ——

四、 奇妙的 6 階幻方

原來對於 6 階幻方有一種 「偏見」, 認為它比較乏味, 並且不容易構造。 上海一家報紙登載 過 「 6 階幻方變化少」 的文章, 一直在腦海裏迴盪, 揮抹不去對 6 階幻方偏見的陰影。 後來仔 細鑽研發現有很多奇妙的性質, 今將 1990 年前設計的 6 階幻方晾曬出來, 供幻友 「欣賞」。 並 且這個幻方中含有 4 個有趣的 「王字」 (圖 C), 藉以紀念在數學方面有卓越貢獻的明代數學家 王文素老先生。

4.1. ^{三角形砌塊幻方}

在構造幻方的方法中, 大多是把正方形, 或者長方形經過 「拼湊」、 「疊加」、 「擴展」、 「加框」

等方法組成幻方。 還沒有見到用三角形堆積起來成為一個幻方的。

圖 A 是一個全部由三角形組成的 6 階幻方, 我們稱為 「三角形砌塊幻方」, 它的幻和 S⁶ = 111。 它由 4 個大三角形, 分佈在四隅角 (虛線三角形所圍)。 每個大三角形上 6 個元素之和恰

巧等於幻和 S6 = 111;

圖 A 圖 B 圖 C

為了便於敘述我們把圖 A 的 6 階幻方 H 分為 4 個子塊:

H = H11H12

H21H22

!

圖 A 中心的 4 個小三角形 (實線所示) 之和分別是: H11小三角形之和等於 67, H12小三角形 之和等於 44 , H21 小三角形之和等於 44, H22 小三角形之和等於 67。 因此, H11 上的小三角 形可以與 H12 搭配、 也可與 H21 搭配, 使得兩個小三角形上 6 個數之和等於幻和 S⁶ = 111。

它可以上通下達, 左右逢源。 其它 3 個小三角形亦然。

一個小小幻方竟然兼 「連橫、 合縱」 於一 「方」, 超過蘇秦加張儀能量的總和, 厲害!

除了這個 6 階幻方我不知道是否還有另外由三角形組成的幻方呢? 因此, 應該摒除對 6 階幻方的偏見。 然而, 這個 6 階幻方的奇妙之處還多著呢!

進一步研究發現了圖 A 的平方和性質 :

第 1 列上 6 個數的平方和與第 6 列上 6 個數的平方和之和等於 3155, 第 2 列上 6 個數的平方和與第 5 列上 6 個數的平方和之和等於 2255, 第 3 列上 6 個數的平方和與第 4 列上 6 個數的平方和之和等於 2693。

我們約定用 △²6 表示大三角形上 6 個數的平方和, 用 △²3 表示小三角形上 3 個數的平方和。

則: H11△²6 = H¹²△²6 = 2745; H21△²6 = H²²△²6 = 3029;

於是, H11△²6+ H21△²6 或者 H11△²6+ H22△²6 的平方和都等於 2745 + 3029;

同樣, H △²+ H △² 或者 H △²+ H △² 的平方和都等於 2745 + 3029;

又及, H11△²3 = 1649, H¹²△²3 = 798, H²¹△²3 = 680, H²²△²3 = 1531, 於是 H11△²3+ H21△²3= 1649 + 680 = 2329,

H12△²3+ H²²△²3= 798 + 1531 = 2329.

為了深入研究我們根據三角形砌塊幻方的性質, 在三個幻方上畫出不同形狀的折線 (圖 B), 其實圖 B 與圖 A 及圖 C 的元素都一模一樣。

這個幻方還具有偉大發明家 「富蘭克林幻方」 的部分性質, 富蘭克林幻方有很多奇妙的性 質, 迄今為止富蘭克林幻方是奇妙性質最多的幻方, 北京大學出版社出版的 《有趣的數論》(潘承 彪 譯) 一書, 稱為 「最神奇的幻方」 而享譽世界。 富蘭克林幻方開 「曲線幻方」 研究之先河, 深 受幻方愛好者敬仰, 敬佩, 敬慕!

行直通 「∨」性質:

從左上角的 1 出發, 向右下方的 14, 20 斜行前進; 再由 17 向右上方的 23 斜行, 到 36 為止, 這 6 個數之和等於 111。 所經過的路線像字母 「∨」的形狀, 所以稱為 「∨」形性質。 也可 以按照翻轉的 「∧」 形線前進, 如: 31, 14, 29, 8, 23, 6 這 6 個數之和也等於 111 (圖 B 虛 線所示)。 不僅如此, 還可以從 1, 14, 一直到底行的 2; 再經過 35, 直至 23, 到 36, 這 6 個數 之和仍然等於 111 (細實線所示)。 也可以選 2 與 35 所在的兩列同一行上任意一對數字, 因為 它們是關於 37 互補的元素對, 所以都成立。 這一性質稱為 「行直通∨」性質。 遺憾的是不能滿足 各列的 「∨」形線性質。 細實線所示的圖形像一個美麗的花瓶, 要大要小, 悉聽尊便。 如果顛倒過 來, 就像幽默大師卓別林的帽子!

行直通 「W」 性質:

在圖 B 中, 兩 (或三) 行 W 形線上 6 數之和等於 111, 如雙線所示 30 + 28 + 10 + 27 + 9 + 7, 也可以改變 W 的形狀, 使得這個 W 更加蜿蜒曲折, 例如:

11, 13, 20, 17, 24, 26; 也可以, 1, 28, 29, 8, 9, 36。

也可以把 W 反轉過來, 例如

34, 14, 20, 17, 23, 3; (最多只能取 3 行上的數字)。

當選定左半部 3 數之後, 右半部的數字是關於 37 互補的元素對, 任意兩 (或三) 行都可 以, 所以稱為 「行直通 W 性質」。

我們還可以在 H11 從新組成一個三角形 1, 32, 31; 那麼與其對應的 H12 中的 5, 6, 36 也一個三角形, 它們 6 個數之和等於 111。

根據左 (H11 與 H21)、 右 (H¹² 與 H22) 兩邊對稱元素互補的原理:

在 H11 上: 任意選 3 個數, 與 H12 對應的 3 數搭配, 這 6 個數之和都等於 111,

即: 在 H¹¹ 和 H12 任意選取 k (k ≤ 18) 個數, 與 H21 和 H22 對應的 k (k ≤ 18) 個 數搭配, 這 2k 個數之和等於 37k。

在圖 C 中:

H11 的 「王」 字上的 9 個數與 H12 的 9 個數之和等於 37 × 9 = 333.

H11 的 「王」 字上的 9 個數與 H²¹ 的 9 個數之和等於 37 × 9 = 333.

H21 的 「王」 字上的 9 個數與 H22 的 9 個數之和等於 37 × 9 = 333.

4.2. ^{三角形砌塊幻方的淵源}

有興趣的讀者, 不妨查看古老的洛書 (下圖), 即可發現其中奧秘:

在 1 中, 三角形內的 3, 4, 5 是享譽國際的勾股弦定理;

在 2 中, 1+5+6 = 2+3+7; 1²+5²+6²= 2²+3²+7² 是最小的 3 元等冪和數組, 華羅庚先 生錄入 《數論導引》;

在 3 中, 9³ = 8³+ 1³+ 6³。 (九天在上, 以三生萬的磅礴氣勢涵蓋天下萬物)。

無論是偶然巧合, 還是精確計算, 這些了不起的成果都在我國的洛書裏, 並且都是以三角 形的圖形出現, 這些奇妙的三角形強烈激發了筆者的極大好奇心。 於是, 萌發了把三角形安置在 幻方中的 「奇思異想」, 經過無數次地揣摩、 變換、 對調, . . ., 竟然又一次 「天道酬勤」!

還是蘇東坡那句話:「舊書不厭百遍讀, 深思熟慮子自知。」 天下知道 「洛書」 的人, 從古至今 不少於億萬, 很多人感覺 「有趣」、 「好玩」 而已。 有幾人能夠真正用 「心」 去看、 去悟、 去作呢?

一位 「幻友」 看到筆者的 「四季數」(數學傳播, 待刊) 感慨的說: 又被你摘取了一個令人 「遺憾」

的 「成果」! 古老的洛書蘊藏著無窮無盡的珍寶, 等待有興趣的人們開發、 擷取。

一位朋友看到這個 6 階三角形砌塊幻方深情的说: 『沒見過這類幻方, 是一個新的發現, 這

個 6 階幻方是滿足三角形砌塊幻方的最低階幻方, 也是滿足富蘭克林幻方 「行 V 形線」 兼 「行 W 形線」 上 6 個元素之和等於定值的最低階幻方, 是三角形砌塊幻方的先例, 為構造幻方提供 了一個新的方法。』

聰明的讀者朋友, 希望造出類似的幻方, 以和其弦! —— 嚶其鳴矣, 求其友聲!

參考文獻

1. 羅見今。 王文素 《算學寶鑒》 幻圖的組合意義。 數學傳播季刊, 40(2), 45-56, 2016。

2. 李國偉。 論保其壽的渾圓圖。 第一屆科學史研討會彙刊, 中央研究院, 台北, 67-79, 1986。

3. 華羅庚。 數論導引。 科學出版社, 1957。

4. 梁培基, 張航輔。 幻方的一種構作方法。 雲南大學學報, 1989 年四期。

5. 梁培基。 偶數階幻方的快速構作。 數學傳播季刊, 20(4), 88-92, 1996。

6. 梁培基, 張忠輔。 雙重數組方程解。 數學通報, 中國數學會, 1993 年三期。

7. 張忠輔, 梁培基。 一類方程組解的唯一性。 佛山大學學報, 1995 年 12 期。

—本文作者任職中國河南省封丘縣科協_—

2016 全國技專院校 「文以載數創作獎」 作品選集

拋物線 文 / ^鄭羽彤

時間留在去年相遇的頂點

我站在焦點上 你站在準線那一端 在相等距離的期待下我們彼此靠近 我們期待彼此成為生命中完美的頂點 然而現實是如此

離開的那一天 我還記得 從最高的頂點 你我

朝著不同方向 墜落 · · · · 時間走來了今天

回憶起那一天 我還記得

從最低的頂點 你我

朝著不同方向 邁進 · · · · 不完美的頂點 彼此卻成長 畫一個完美的弧線

我們在兩端無限延伸 不再相交。

拋物線無限的走 彎不了圓 我明白至少我們能

順著那弧度 綻放笑容。

—本文作者就讀文藻外語大學數位內容應用與管理系—

2016 全國技專院校 「文以載數創作獎」 作品選集

數字主義的諷刺 ^文 _/ ^張立佐

長大以後, 我才知道, 數學是一種邏輯。 它是一種我們來認識世界的工具, 嘗試 讓一切 「合理化」。

我也知道了, 我們是活在了一個數字的世界, 人們的價值可以用數學計算出來, 就像是阿基米德用窮盡法算出池塘面積一樣。 於是人們嘗試衡量自己, 用一次算式、

不等式、 方程式, 累積著一疊疊數字, 這時侯數字有了新的名字 「錢」。

這個數字的新名字, 賦予了數字無與倫比的力量, 我們可以用這個數字, 買到一 切, 甚至是生命。 在我所存在的世界裡, 有一些擁有很多數字的人, 他們分了一些數 字給沒有數字的人: 「你們代替我在這裡做事, 我給予你們數字。」 而那些擁有很多數 字的人, 將他們做的那些事情包裝成商品, 用來和其他人換取數字。 這個擁有很多數 字的人叫做 「資本家」、 沒有數字的人叫做 「勞工」, 資本家給予勞工用生命換取數字 的算式叫 「工作」, 他們從算式分到的數字有另一個稱呼 — 「薪水」, 而資本家則從算 式中得到另一種數字 — 「利潤」。

所有的資本家都掌握著某種秘密的方程式, 可以讓勞工在這個算式中, 獲得的 薪水永遠小於利潤。

而提供資本家方程式的人是一種數學家, 他們有個稱呼: 「經濟學家」, 他們每天 想著如何把資本家的數字套入遞增單調函數, 讓資本家擁有更多數字。 閒暇時則是創 造幾個算式, 或是一些奇怪的數學題解法, 來混淆勞工的視聽, 僵化勞工的思想, 說 服勞工跟著他們的方程式走, 偶爾出幾個不等式, 把勞工的薪水換成自己的數字。

在這成功的數字主義世界裡, 這一切都理所當然, 一切都是數學, 均能合理化。

但是細想, 數字本身只是一串號碼, 真正賦予它力量的是制度, 而制度是人們共同創 造出來的, 像是 price(gold(x))=gold(price(x)) 一樣毫無意義、 毫無邏輯。

建築了一切人類世界的數字, 其基石竟然是與之背道而馳的無邏輯, 這算不算 是數字主義的諷刺呢?

—本文作者就讀蘭陽技術學院五專建築科—