和楊振寧教授漫談 : 數學和物理的關係
張奠宙
楊振寧是當代的大物理學家, 又是現代 數學發展的重要推動者, 他的兩項巨大成就:
楊–密爾斯規範場和楊–巴克斯特方程, 成為 80 年代以來一系列數學研究的出發點, 其影 響遍及微分幾何、 偏微分方程、 低維拓撲、
辮結理論、 量子群等重大數學學科。 筆者曾 在 「楊振寧與當代數學」 的訪談錄中有過較 為詳細的介紹 (此文的中文版在臺灣 「數學 傳播」1992 年 4 月發表, 內容不全相同的英 文版刊於 「Mathematical Intelligencer」
Vol.15,NO。.4,1993。 它的中譯文已被收入 楊振寧的新著 「讀書教學再十年」 (臺灣時報 出版公司,1995), 這裡記錄的有關數學與物 理學的關係, 來自筆者在 1995 年末在紐約州 立大學 (石溪) 訪問楊振寧先生時的一些談話 材料, 因為不是系統的談話, 故稱 「漫談」。
一 . 有關數學的兩則 「笑話」
1980 年代初, 楊振寧曾在韓國漢城作物 理學演講時說 「有那麼兩種數學書: 第一種 你看了第一頁就不想看了, 第二種是你看了 第一句話就不想看了」。 當時引得物理學家們 轟堂大笑。 此話事出有因。 1969 年, 楊振寧 察覺物理上的規範場理論和數學上的纖維叢
理論可能有關係, 就把著名拓撲學家 Steen- rod 著的 「 The Topology of Fibre Bun- dles (纖維叢的拓撲)」[1]一書拿來讀, 結果是 一無所獲。 原因是該書從頭至尾都是定義、 定 理、 推論式的純粹抽象演繹, 生動活潑的實際 背景淹沒在形式邏輯的海洋之中, 使人摸不 著頭腦。
上述漢城演講中那句話本來是即興所 開的玩笑, 不能當真的。 豈料不久之後被
「Mathematical Intelligencer」 捅了出來, 公之與眾。 在數學界當然會有人表示反對, 認 為數學書本來就應該是那樣的。 不過, 楊振寧 先生說 「我相信會有許多數學家支持我, 因為 數學畢竟要讓更多的人來欣賞, 才會產生更 大的效果」。
我想, 楊振寧是當代物理學家中特別偏 愛數學, 而且大量運用數學的少數物理學者 之一。 如果連他也對某些數學著作的表達方 式嘖有煩言, 遑論其他的物理學家? 更不要 說生物學家、 經濟學家、 一般的社會科學家和 讀者了。
另一則笑話, 可在波蘭裔美國數學名家 S.M.Ulam 的自傳 「一個數學家的遭遇 (Ad- vantures of a mathematician) 」 [2]中讀 到。 該書 294頁上寫道:
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「楊振寧, 諾貝爾物理學獎獲得者, 講了 一個有關現時數學家和物理家間不同思考方 式的故事:
一天晚上, 一幫人來到一個小鎮。 他們 有許多衣服要洗, 於是滿街找洗衣房。 突然他 們見到一扇窗戶上有標記:『這裡是洗衣房』。
一個人高聲問道: 『我們可以把衣服留在這兒 讓你洗嗎?』 窗內的老板回答說:『不, 我們不 洗衣服。』 來人又問道:『你們窗戶上不是寫著 是洗衣房嗎』。 老板又回答說: 『我們是做洗 衣房標記的, 不洗衣服』。 這很有點像數學家。
數學家們只做普遍適合的標記, 而物理學家 卻創造了大量的數學。」
楊振寧教授的故事是一則深刻的寓言。
數學圈外的人們對數學家們 「只做標記, 不洗 衣服」 的做法是不贊成的。 數學家 Ulam 在 引了楊振寧的 「笑話」 之後, 問道, 信息論是 工程師 C. Shannon 創立的, 而純粹數學家 為什麼不早就建立起來? 他感嘆地說:「現今 的數學和 19 世紀的數學完全不同, 甚至百分 之九十九的數學家不懂物理。 然而有許許多 多的物理概念, 要求數學的靈感, 新的數學公 式, 新的數學觀念。」
二 . 理論物理的 「猜」 和數學的 「證」
1995 年 12 月, 楊振寧先生接到復旦大 學校長楊福家的來信, 請楊振寧在 1996 年 5 月到復旦為 「楊武之講座」 做首次演講。 楊武 之教授是楊振寧的父親, 又是中國數學前輩, 早年任清華大學數學系系主任多年, 五十年 代後則在復旦大學任教授, 所以楊振寧很愉 快地接受了邀請。 但是他不能像楊福家校長
要求的那樣做 20 次演講, 只準備講三次。 順 著這一話題, 楊振寧先生又談了理論物理和 數學的一些關係。
楊先生說:「理論物理的工作是 『猜』, 而 數學講究的是 『證』。 理論物理的研究工作是 提出 『猜想』, 設想物質世界是怎樣的結構, 只要言之成理, 不管是否符合現實, 都可以發 表。 一旦 『猜想』 被實驗證實, 這一猜想就 變成真理。 如果被實驗所否定, 發表的論文便 一文不值 (當然失敗是成功之母, 那是另一層 意思了)。 數學就不同, 發表的數學論文只要 沒有錯誤, 總是有價值的。 因為那不是猜出來 的, 而有邏輯的證明。 邏輯證明了的結果, 總 有一定的客觀真理性。」
「正因為如此, 數學的結果可以講很長的 時間, 它的結果以及得出這些結果的過程都 是很重要的。 高斯給出代數學基本定理的五 種證明, 每種證明都值得講。 如果讓丘成桐從 頭來講卡拉比 (Calabi) 猜想的證明, 他一定 會有 20 講。 但是教我講 『宇稱不守恆』 是怎 麼想出來的, 我講不了多少話。 因為當時我們 的認識就是朝否定宇稱守恆的方向想,『猜測』
不守恆是對的。 根據有一些, 但不能肯定。 究 竟對不對, 要靠實驗。」
楊先生最後說:「理論物理的工作好多是 做無用功, 在一個不正確的假定下猜來猜去, 文章一大堆, 結果全是錯的。 不像數學, 除了 個別錯的以外, 大部分都是對的, 可以成立 的」。
楊先 生 的 這 番 話, 使 我 想 起 不 久 前 Quine 和 Jaffe 的一篇文章 [4], 發表於 Bulletin of AMS,1993 年 8 月號, 曾引起相
當的轟動。 該文的主題是問 「猜測數學是否 允許存在? 」。 其中提到, 物理學已經有了分 工, 理論物理做 「猜測」, 實驗物理做 「證明」。
但是數學沒有這種分工。 一個數學家, 既要 提出猜想, 又要同時完成證明。 除了希爾伯特 那樣的大人物可以提出 23 個問題, 其猜想可 以成為一篇大文章之外, 一般數學家至多在 文章末尾提點猜想以增加讀者的興趣, 而以 純粹的數學猜想為主體的文章是無處發表的。
因此, 兩位作者建議允許 「理論數學」, 即 「猜 測數學」 的存在。
這樣一來, 現在有兩種相互對立的看法。
一方面, 物理學界中像楊振寧先生那樣, 覺得 理論物理的研究太自由, 胡亂猜測皆成文章, 認為數學還比較好的。 另一方面, 數學界如 Quine 和 Jaffe 那樣, 覺得目前數學研究要 求每個結論都必需證明的要求, 太束縛人的 思想。 應該允許人們大膽地猜測, 允許有根據 而未經完全確認的數學結論發表出來。 二者 孰是孰非, 看來需要一個平衡。 許多問題涉及 哲學和社會學層面, 就不是三言兩語可以解 決的了。
三 . 複數、 四元數的物理意義
虛數 i =√
−1 的出現可溯源於15 世紀 時求解三次方程, 但到18世紀的歐拉時代, 仍 稱之為 「想像的數」(imaginary)。 數學界正 式接受它要到 19 世紀, 經 Cauchy, Gauss, Riemann, Weierstrass 的努力, 以漂亮的 複變數函數論贏得歷史地位。 至於在物理學 領域, 一直認為能夠測量的物理量只是實數, 複數是沒有現實意義的。 儘管在 19 世紀, 電
工學中大量使用複數, 有複數的動勢, 複值的 電流, 但那只是為了計算的方便。 沒有複數, 也能算出來, 只不過麻煩一些而已。 計算的最 後結果也總是實數, 並沒有承認在現實中有 真有「複數」 形態的電流。
鑒於此, 楊振寧先生說, 直到本世紀初, 情況仍沒有多少改變。 一個例證是創立量子 電動力學的薛定諤 (Schrodinger)[4]。 1926 年初, 據考證, 他似乎已經得到現在我們熟悉 的方程
ih∂ψ
∂t = Hψ(x, t) (1) 其中含有虛數單位 i, , ψ 是複函數, 但最後總 是取實部。 薛定諤因其中含虛數而對 (1) 不 滿意, 力圖找出不含複數的基本方程。 於是他 將上式兩面求導後化簡, 得到了一個沒有虛 數的複雜的高階微分方程:
−h2ψ¨= Hψ (2) 1926年的6月6日, 薛定諤在給洛倫茲的一封 長信中, 認為這一不含複數的方程 (2) 「可能 是一個普遍的波動方程。」 這時, 薛定諤正在 為消除複數而努力。 但是, 到了同年的6月23 日, 薛定諤領悟到這是不行的。 在論文 [5]中, 他第一次提出: 「ψ 是時空的複函數, 並滿足 複時變方程 (1)。」 並把 (1) 稱謂真正的波 動方程。 其內在原因是, 描寫量子行為的波函 數, 不僅有振幅大小, 還有相位, 二者相互聯 繫構成整體, 所以量子力學方程非用複數不 可。 另一個例子是 H.Weyl 在1918年發展的 規範理論, 被愛因斯坦拒絕接受, 也是因為沒 有考慮相因子, 只在實數範圍內處理問題。 後 來由 Fock 和 London 用加入虛數 i 的量子 力學加以修改, Weyl 的理論才又重新復活。
牛頓力學中的量全都是實數量, 但到量 子力學, 就必須使用複數量。 楊振寧和米爾斯 在 1954 年提出非交換規範場論, 正是注意到 了這一點, 才會把 Weyl 規範理論中的相因 子推廣到李群中的元素, 完成了一項歷史性 的變革 [6]。
1959 年, Aharanov 和 Bohm 設計一 個實驗, 表明向量勢和數量勢一樣, 在量子力 學中都是可以測量的, 打破了 「可測的物理量 必須是實數」 的框框 [7]。 這一實驗相當困難, 最後由日本的 Tanomura 及其同事於 1982 和 1986先後完成 [8]。 這樣, 物理學中的可測 量終於擴展到了複數。
令我驚異的是, 楊振寧教授預言, 下一 個目標將是四元數進入物理學。 自從 1843 年 愛爾蘭物理學家和數學家 Hamiton 發現四 元數之後, 他本人曾花了後半輩子試圖把四 元數系統, 像複數系統那樣地廣泛運用於數 學和物理學, 開創四元數的世紀。 但結果是 令人失望的。 人們曾評論這是 「愛爾蘭的悲 劇」[9]。 時至今日, 一個大學數學系的畢業 生可能根本不知道有四元數這回事, 最多也 不過是非交換代數的一個例子而已。 我還記 起,1986年春, 錢學森在致中國數學會理事長 王元的一封信中, 曾建議多學計算機知識, 而 把研究 「四元數解析」(複變函數論的推廣) 的 工作貶為 「像上一個世紀」 東西。 總之, 我和 許多數學工作者一樣, 認為四元數發現, 只不 過是 「抽象的數學產物」, 不會有什麼大用處 的。
楊振寧向我解釋了他的想法: 物理學離 不開對稱。 除了幾何對稱之外, 還有代數對
稱。 試看四元數 a+bi+cj+dk , 其基本單位 滿足 i2 = j2 = k2 = −1 , 而 ij = k, jk = i , ki = j ; ij = −ji , jk = −kj , ki =
−ik 。 像這種對稱的性質在物理學中經常可 以碰到。 問題是這種四元數的對稱還沒有真 正用於物理現象, 而且物理現象中的一些對 稱也還沒有找到基本的數學源由。 最近, 丘 成桐等人的文章 [10]說:「我在 1977年發表的 一篇文章—Condition of Self-duality for SU(2) gauge fields on Euclidean four- dimensional space[11], 曾推動代數幾何中 穩定叢的解析處理的理論。 我還沒有問過數 學家, 不知道這是怎麼一回事。 許多工作, 包 括運用四元數表示的物理理論, 也許會在這 種交流中逐步浮現的」。
楊振寧先生又說, 至於將複變函數論形 式地推廣到四元數解析理論, 由於四元數乘 積的非交換性, 導數無法唯一確定, 所以不會 有什麼好結果出來。 現在也有物理學家寫成 著作, 用四元數來描寫現有的物理定律, 就沒 有引起什麼注意。 將來要用四元數表達的物 理定律, 一定會是一組非線性微分方程組, 其 解的對稱性必需用四元數來表示。 所以, 楊先 生相信:「愛爾蘭的悲劇是會變成喜劇的」。
四 . 「雙葉」 比喻
數學和物理學的關係, 應該是十分密切 的。 在數學系以外的課程中, 物理系開設的數 學課最多最深。「物理學公理化, 數學化」, 曾 是一個時期許多大學問家追逐的目標。 不過, 擅長使用數學於物理的楊振寧教授卻認二者 間的差別很大, 他有一個生動的 「雙葉」 比喻,
來說明數學和物理學之間的關係, 如下圖。 他 認為數學和物理學像一對 「對生」 的樹葉, 他 們只在基部有很小的公共部分, 多數部分則 是相互分離的。 楊振寧先生解釋說: 「它們有 各自不同的目標和價值判斷準則, 也有不同 的傳統。 在它們的基礎概念部分, 令人吃驚地 分享著若干共同的概念, 即使如此, 每個學科 仍舊按著自身的脈絡在發展。」 [12]
數學
物理
參考資料
1. Steenrod, The Topology of Fibre Bun- dles, Princeton University Press, 1951 2. S.M. Ulam, Adventures of a Mathe-
matician, Charles Scribner’s Sons, New York, 1976
3. Quine and Jaffe, Theoretical Mathe- matics: Toward a Cultural Synthsis of Mathematics and Theorectical Physics, Bulletin of Amer. Math. Soc., Vol.
29(1993),1-13.
4. 楊振寧: −1 的平方根, 複相位與薛定諤–
在英國帝國大學記念薛定諤誕辰 100 周年大 會上的演講, 1987, 收入 「讀書教學又十年」, 時報出版社, 1995, pp.41–56
5. Schrodinger, E Ann. D. Phys. 81 (109)(received June 23).
6. C. N. Yang and R. L. Mills, Con- versation of isotopic spin and iso- topic gauge invariance. Phys. REv.
96(1954), 191-195.
7. Y.Aharonov and D. Bohm, Phys. Rev.
115(1959),485.
8. A. Tonomura et al., Phys. Rev Lett.
48(1982),1443;56(1986),792.
9. E. T. Bell, Men of Mathematics, Dover Publications, New York, 1937.
10. J. A. Smoller, A. G. Wasserman, S.
T. Yau:Einstein-Yang/Mills Black Hole Solutions. 「Chen Ning Yang–A Great Physicist of the Twentieth Century」.
International Press, Hong Kong, 1995, pp. 209-221.
11. C. N. Yang, Condition of Self-duality for SU(2)gauge fields on Euclidian four- dimensional space, Phys. Rev. Lett.
38, 1977, pp. 1377-1379.
12. C. N. Yang, Selected Papers, 1945- 1980, with Commentary. W. H.
Freedman and Company, San Fran- cisco, 1983.
—本文作者任教於中國上海華東師範大學—
