n ，試證<an >為遞增且有上界的數列？（註：<an >的 極限是e

數列與級數

一、名詞：數列、遞增、遞減、單調、上界、下界、連分數、第n個漸近分數 二、單調數列

遞增而有上界數列必收斂於其上界 遞減而有下界數列必收斂於其下界 例1: 設a 表數列_n >

< + 1 2n

n 的第n項 1 2n+

n ，試求數列<a_n >前後項的大小關係？

例2: 試證< + >

n

n 1 為遞減而有下界的數列，又其極限為何？

例3: 設a 表半徑為 1 的圓內接正_n 2 邊形的面積，試求數列ⁿ <a_n >當n≥2時前後項間之大 小關係？又此數列與圓面積的關係為何？

例4: 設a 表半徑為 1 的圓內接正_n 2 邊形的一邊與圓心所成三角形之面積，試以三角公式ⁿ 表示a ？並探討_n a 與_n a_n+1間之大小關係？(註：三國時魏人劉徵就是用這種原理求得

π 的近似值為 3.14159；南北朝的祖沖之更求得π 的近似值介於 3.1415926 與

3.1415927 之間；而阿基米德則用內接及外切正多邊形周長來逼近圓周長的方法，求

得 7

22 71

223<π < ) 例5: 設

! ... 1

! 3 1

! 2

1

! 1 1 1

a_n = + + + + + n ，試證<a_n >為遞增且有上界的數列？（註：<a_n >的 極限是e=2.718281828459025...）

例6: 設

) 1 2 )(

1 2 (

2 ... 2

5 3

4 4 3 1

2 2 2

+

−

× ×

× ×

× ×

×

× ×

= n n

n

a_n n ，試證<a_n >為遞增且有上界的數列？

（註：<a_n >的極限是π ）

例7: 複利公式A_n =P(1+r)ⁿ，若本金P=1，利率

r= ，則n1 _n ⁿ A n1)

1 ( +

= 也是有上界，其

上界極限值為e 三、連分數(祖沖之用之)

2 1 1 1 1 2 3 1 1 3 1 2 3 5

+ +

= +

= +

= ，我們用r₃=<1,1,2>來表示連分數的第 3 個漸近分數，亦可說

連分數<r_n >的收斂值為 3 5

化成連分數的方法即不留分子不為1的分數 例1: 求

70

99的連分數表示？

例2: 求 23

49的連分數表示？

例3: 求 2的連分數表示？並計算其漸近分數r ，_n 0≤ n≤5，在與 2 =1.41421356比較？

例4: 求 5 的連分數表示？並計算其漸近分數r ，_n 0≤ n≤5，在與 5=2.23606797比較？

例5: 地球公轉一周為 365.2422 日，月球繞一周需時 29.5306 日，故一年有 12.368 月，亦 即一年應多出 0.368…月，試求 0.368 的漸近分數，並說明農曆閏月的原則？

四、遞迴表示法

例1: 1²,2²,3²,4²,...,n²,...，試求此數列的第n項a ，並用一遞迴式表示此數列？ _n 例2: 設

! ... 1

! 3 1

! 2

1

! 1 1 1

a_n = + + + + + n ，試以一遞迴式表示數列<a_n >？ 例3: 設

) 1 2 )(

1 2 (

2 ... 2

5 3

4 4 3 1

2 2 2

+

−

× ×

× ×

× ×

×

× ×

= n n

n

a_n n ，試以一遞迴式表示數列<a_n >？

例4: 若數列<a_n >滿足a_n >0，且

n n

n a

k a a

2

1 = 2 +

+ ，其中k為固定正數，又假設數列<a_n >

收斂到一實數，試求此實數？（ k ） 五、級數與歸納法

如果通項為n的m次式，則級數和為n的m+1次式 例1: 求A_n =1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)的公式