Evaluate Z x5√ 1 + x2 dx

中原大學 107 學年度 ^上學期

下學期 考試命題紙_期末考

科目名稱_: 微積分 ₍上₎₍₃學分₎ 考試時間_{: 1} 月₉ 日第二節

∗ 〈每題 ₇ 分_, 滿分 ₁₀₅ 分〉

1. Evaluate Z

x⁵√

1 + x² dx.

2. Evaluate

Z sin√

√ x

x dx.

3. Evaluate Z a

0

x√

a²− x² dx.

4. Evaluate Z 1

0

1 (1 +√

x)⁴ dx.

5. If f is continuous and Z 4

0

f (x) dx = 10, find Z 2

0

f (2x) dx.

6. Find the inverse function of f (x) = 4x − 1 2x + 3.

7. Find (f⁻¹)⁰(3) if f (x) = 3 + x²+ tanπx 2

 .

8. If f (x) = Z x

3

√

1 + t³ dt, find (f⁻¹)⁰(0).

9. If h(x) = x +√

x, find h⁻¹(6).

10. Suppose f⁻¹ is the inverse function of a differentiable function f and f (4) = 5, f⁰(4) = 2 3. Find (f⁻¹)⁰(5).

11. Prove that d

dx tan⁻¹x
= 1 1 + x².

12. Evaluate tan



sin⁻¹ 2 3



.

13. Differentiate y = sin⁻¹(2x + 1).

14. Evaluate Z

√ 3 4

0

1

1 + 16x² dx.

15. Evaluate

Z t²

√1 − t⁶ dt.

107 學年度第一學期理工電資學院微積分 ₍₃學分₎期中考答案 _2019.1.9

題號 答案 來源

1 1

7(1 + x²)⁷² −2

5(1 + x²)⁵² +1

3(1 + x²)³² + C 4.5 −例題 ₅

2 − 2 cos√

x + C 4.5 −例題 ₁₆

3 1

3a³ 4.5 −習題 ₄₄

4 1

6 4.5 −習題 ₅₁

5 5 4.5 −習題 ₅₉

6 3x + 1

4 − 2x 6.1 −習題 ₂₄

7 2

π 6.1 −習題 ₄₁

8 1

√28 6.1 −習題 ₄₅

9 4 6.1 −習題 ₁₉

10 3

2 6.1 −習題 ₄₃

11 略 6.6 −例題 ^∗

12 2

√5 6.6 −習題 ₇

13 y⁰ = 1

√−x²− x 6.6 −習題 ₂₅

14 π

12 6.6 −習題 ₆₂

15 1

3sin⁻¹(t³) + C 6.6 −習題 ₆₇

* 為非勾選習題、 類似題^. 證明題、 圖形題略過.