彈性層黏著於可伸縮板的壓縮分析

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告 彈性層黏著於可伸縮板的壓縮分析

計畫類別：√ 個別型計畫 □ 整合型計畫 計畫編號：NSC 91－2211－E－011－039 執行期間：91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日

計畫主持人：蔡相全 共同主持人：

計畫參與人員： 黃威學

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：√ 精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

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□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、

列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年√ 二年後可公開查詢

執行單位：國立台灣科技大學營建工程系

中 華 民 國 92 年 7 月 31 日

摘要

隔震用多層橡膠支承墊須要加勁層來束制橡膠的變形，以增加垂直向勁度，使膠墊可穩 定的支撐上部結構。以鋼片為加勁板的多層膠墊，製作過程繁瑣，造價頗高，而且成品 重量不輕，運輸不便。利用纖維加勁的多層膠墊則可免除這些缺點。在分析鋼片加勁的 膠墊時，均把加勁板假設為剛性，但是纖維加勁是可伸縮。本研究探討無限長條形與圓 形纖維加勁膠墊的壓縮勁度，並且依膠墊端點連接的不同，分成兩種情況。第一種為兩 端無剛性板黏著的膠墊，在承受軸壓力時，頂端與底端均無水平剪力作用，簡稱為自由 端膠墊。第二種為兩端有剛性板連接的膠墊受到剛性板束制，兩端點無水平變形，簡稱 為剛性端膠墊。本研究亦對受軸壓的纖維加勁膠墊進行有限元素分析，並與理論解比 較。可知有效壓縮模數之理論值與有限元素分析值十分接近，且誤差值皆在 5%以內，

因此本研究所推導之理論公式具有相當準確性。

關鍵詞﹕隔震; 橡膠支承墊; 纖維加勁

Abstract

Laminated rubber bearings in base isolation require the reinforcing element to constrain the deformation of the rubber to increase the vertical stiffness, so that the bearings can firmly support the superstructure. The reinforcing elements of isolation bearings, which are normally steel plates, can be replaced by the fiber reinforcement. The fiber-reinforced isolator is significantly lighter and could lead to a much less labor-intensive manufacturing process.

In contrast to the steel reinforcement, which is assumed to be rigid, the fiber reinforcement is flexible in extension. The purpose of this research is to study the compressive stiffness of fiber-reinforced isolators of infinitely long strip shape and circular shape. According to the boundary condition at the ends of rubber bearings, the studied isolators are divided into two types. The first type is free-end bearings that have no rigid plates at ends, so that there is no horizontal shear at the top and the bottom of the bearing when it sustains vertical pressure.

The second type is rigid-end bearings that have rigid plates at ends, so that there is no horizontal deformation at both ends. The accuracy of the theoretical solutions is also checked by compared with the finite element solutions, which shows that the theoretical solutions are very close to the finite element solutions and the errors of the compressive stiffness are less than 5%, so that the derived theoretical formulas are very accurate.

Keyword: Base isolation; Elastomeric bearing; Fiber reinforcement

一、緣由與目的

臺灣位於環太平洋地震帶地震頻繁，如何提高建築結構物的耐震能力，以減少地 震所造成的損害，一直是工程界和學術界所關心的問題。隔震是一種較新的防震觀念，

在國內外有不少採用此觀念設計的工程實例，這些實例中大部份是利用橡膠承墊，來 隔離結構物基礎板與地面，以阻隔地震波動能量的傳入，降低上部結構物的加速度，

減少地震對結構物的破壞。橡膠承墊是由多層橡膠片黏著於薄鋼板之間所構成，在承 受地震引發的水平剪力時，具有和橡膠相同的低勁度。在承受上部結構荷重所引起的 垂直壓力時，由於橡膠片的變形受到鋼板束制，在垂直向的變位極小，此特性使多層 膠墊可以穩定的支撐上部結構。為了使膠墊內的鋼板能和橡膠片完全接合，在製造過 程中，須針對不同尺寸的膠墊製作模具，將磨光、上料後的鋼板與橡膠片黏著後，放 入模具內，經過加熱和加壓，使橡膠產生硫化。由於製作過程繁瑣，這種採用鋼片加 勁的隔震膠墊，其造價頗高。因為內含有鋼片，一個隔震膠墊成品的重量通常是上噸，

容易造或運輸上的不方便。這些「貴」與「重」的缺點都是因為膠墊使用鋼片加勁所 造成的。為了改進這些缺點，美國柏克萊加州大學近年來開始研究纖維加勁的隔震膠 墊(見文獻一)。纖維加勁膠墊利用纖維來取代鋼片，所減少的膠墊重量極為可觀，而且 纖維與橡膠片的黏著比鋼片黏著在製程上較為簡單，製造費用可大為降低。纖維較為 柔軟，在分析設計上不能像鋼片可被簡化為不可伸縮的剛性板。

在假設橡膠為一體積不可壓縮的彈性體而鋼片為剛性板，文獻二和文獻三列出不同 形狀鋼片加勁膠墊的壓縮勁度與傾斜勁度跟形狀係數的關係。但是當形狀係數值較高 時，如果忽略彈性層的體積壓縮性，則會高估其壓縮勁度與傾斜勁度。文獻四、文獻五 和文獻六利用壓力解法分別推導出無限長條形、圓形和方形可壓縮彈性層黏著於剛性板 間的壓縮勁度與傾斜勁度，雖然考慮了彈性層的體積壓縮性，但是其基本假設和文獻二 相同。根據文獻七所述，這些彈性層的基本假設為﹕(1)變形前平行於加勁板之平面，

在變形後仍然保持平面; (2)變形前垂直於加勁板之直線，在變形後成一對稱之拋物線;

(3)水平剪力和偏差正應力均忽略不計。根據第一項和第二項假設，文獻八和文獻九分 別推導出無限長條形、圓形和方形可壓縮彈性層黏著於剛性板間的壓縮勁度與傾斜勁 度。這些勁度公式可適用於任意的形狀係數與體積壓縮係數。

用纖維來取代鋼片作加勁材料，在勁度分析的模式最大的差異在於將加勁板以平 面應力彈性層來模擬，橡膠層和加勁板的黏著面不再是零變位。文獻十推導出不同形 狀纖維加勁膠墊的壓縮勁度公式與傾斜勁度公式，這些推導仍將橡膠層模擬為一體積 不可壓縮的彈性體，並且利用上述的三項基本假設，因此可預知在形狀係數值較高時，

會高估纖維加勁膠墊的壓縮勁度與傾斜勁度。本計劃的目的乃是要推導更精確的無限 長條形與圓形纖維加勁膠墊的壓縮勁度公式，將橡膠層模擬為一體積可壓縮的彈性 體，並且只根據上述的第一項和第二項的位移基本假設，因此推導出的勁度公式可適 用於任意的形狀係數與體積壓縮係數的加勁彈性層。

二、研究方法

圖 1 所示為無限長條形膠墊中的一彈性層和其上下側的加勁板，其寬度為 b2 ，厚度 為 t ，加勁板的厚度為t 。因 y 方向之邊長為無限遠，所以無限長條形膠墊的變形為一_f 平面應變問題。定義u 為彈性層沿 x 方向之位移， w 為沿 z 方向之位移。根據平面應變 的彈性力學理論，彈性層的圍壓 p 與位移的關係如下

) (

) ,

(x z u_,x w_,z

p =−κ + (1)

其中κ 為體積應變模數。定義 p 為圍壓 p 對厚度方向的平均值

∫

−

= ^/2

2

/ ( , )

) 1

( ^t

t p x z dz

x t

p (2)

彈性層的應力可以圍壓及位移表示如下

x

xx p 2µu_,

κ

σ =−λ + (3)

z

zz p 2µw_,

κ

σ =−λ + (4)

上式中λ與 µ 為 Lame’s constants。彈性層應力 x 方向的平衡方程式如下所示 )

2 ( ^{, ,}

,

xz zz

x u w

p −

= +

µ λ

µ

κ (5)

束制於可伸縮之加勁板中的彈性層受垂直壓力後，其變形可作以下的假設: (1)水平 面受壓力後，仍然保持水平。(2)變形前之垂直線，在受壓力後成為一拋物線。根據上 述兩點假設，第 i 層彈性層在水平方向與垂直方向的位移函數可以表示為以下兩式

2 ) )(1 ( 2 )

)(1 ( 4 )

1 )(

( ) ,

( ₂ ^{( 1) ()}

2 )

( )

(

t x z t u

x z t u

x z u z x

uⁱ = ⁱ − + _fⁱ⁻ + + _fⁱ − (6) )

( )

,

( ⁽⁾

)

( x z w z

wⁱ = ⁱ (7)

上式中u⁽_fⁱ⁻¹⁾(x)為第 i 層彈性層上方加勁板的水平位移，u⁽_fⁱ⁾(x)為第 i 層彈性層下方加勁 板的水平位移，^{u(i )}

( )

^x 為在彈性層中央突出於加勁板的水平位移。將式(6)與式(7)代入 式(1)，利用式(2)之定義可得第 i 層彈性層之平均圍壓

] ) 2(

1 3

[2 _,^{() ( 1) () ()}

) (

i c i f i f i

x i

u u

p u ε

κ =− + ⁻ + − (8)

其中ε 為第 i 層彈性層的平均壓應變，定義為 _c⁽ⁱ⁾ )]

2 ( )

2 (

1[ _{() ()}

)

( w t w t

t

i i

i

c =− − −

ε (9)

將式(6)與式(7)代入式(5)，由z=−t/2到z =t/2作積分可得

) ( 2 0 )

( ,

3 2 _i

i

x u

p α

κ =− (10)

第 i 層加勁板在 x 方向的作用力如圖 2 所示，N_xx⁽ⁱ⁾為第 i 層加勁板 x 方向的正向力，

) 2 / ,

)(

(ⁱ x t

xz −

τ 為第 i 層彈性層與第 i 層加勁板之間的剪應力，τ_xz⁽ⁱ⁺¹⁾(x,t/2)為第 i+1 層彈性 層與第 i 層加勁板之間的剪應力。加勁板 x 方向的平衡方程式如下所示

0 ) 2 / , ( )

2 / ,

( ^{( 1)}

) ( )

( + x −t − ⁺ x t =

dx

dN i

xz i

xz i

xx τ τ (11)

第 i 層加勁板 x 方向的正向力與加勁板的水平位移的關係為

) ( 2 , )

(

1

i x f f f i f

xx u

v t N E

= − (12)

其中E 為加勁板的彈性模數，_f ν 為加勁板的柏松比。由式(6)可知，第 i 層彈性層的剪_f 應力，

)]

( ) ( )

8 )(

( [ ) ,

( ^{() ( 1) ()}

)

( u x u x

t x z t u z

x ⁱ _fⁱ _fⁱ

i

xz = µ − + ⁻ −

τ (13)

將式(12)與式(13)代入式(11)，並利用式(8)與式(10)，可得出平均圍壓的微分方程式，再 利用在x=b處之水平向，彈性層之正向應力與加勁板之正向力皆為零的邊界條件，亦 即σxx⁽ⁱ⁾

( )

^{b,z =0}，N_xx⁽ⁱ⁾(b)=0，可解出平均圍壓的函數解。

纖維加勁的膠墊，依其端點連接的不同可分成兩種情況討論，第一種為兩端無剛性 板黏著的膠墊，在承受軸壓力時，頂端與底端均無水平剪力作用，簡稱為自由端膠墊，

第二種為兩端有剛性板連接的膠墊，受到剛性板束制兩端點無水平變形，簡稱為剛性端 膠墊。在自由端膠墊的分析，將彈性層分成外層彈性層與內層彈性層兩種，其中外層彈 性層即為最上層彈性層與最下層彈性層，內層彈性層為中間各彈性層。在自由端膠墊的 內層彈性層分析，假設上下加勁板的位移均相同，亦即在式(6)中u⁽_fⁱ⁻¹⁾(x)=u⁽_fⁱ⁾(x)。在 自由端膠墊的外層彈性層分析，最上層加勁板的上端無剪力，亦即在式(11)中當i =0時

0 ) 2 / ,

)(

0

( x −t =

τxz 。在剛性端膠墊第 i 層彈性層的分析，假設彈性層上下加勁板的水平變 位是與一函數u~⁽ⁱ⁾(x)成比例的變化，亦即

)

~ ( ) ( , )

~ ( )

( ₁ ^{() () ()}

) 1

( x f u x u x fu x

u_fⁱ⁻ = _i− ⁱ _fⁱ = _i ⁱ (14)

其中 f 為常數。假設具有 n 層彈性層的膠墊受壓後，其各層加勁板最外側的水平位移的_i 連線為一拋物線，則 f 可定義為 _i

) 1 (

4 n

i n

f_i = i − (15)

圓形彈性層受壓力作用後，為一軸對稱問題。定義u 為彈性層沿 r 方向之位移，w 為沿 z 方向之位移。根據軸對稱的彈性力學理論，彈性層的圍壓 p 與位移的關係如下

) (

) ,

( _,r w_,z r u u z

r

p =−κ + + (16)

加勁板在 r 方向作用力的平衡方程式如下所示

0 ) 2 / , ( )

2 / , ( )

1( _{() () () ( 1)}

)

( + N −N + r−t − ⁺ r t =

r dr

dN _i

rz i

rz i i rr i

rr _θθ τ τ (17)

其中N 為加勁板在 r 方向的正向力，_rr N 為加勁板在θ 方向的正向力，與加勁板的 r_θθ 方向位移的關係為

) 1 ² ( ^, r

u u t

N E _{f r f} ^f

f f f

rr ν

ν +

= − (18)

) 1 ² ( ^{f f,r}

f

f f

f u

r u t

N E ν

θθ ν +

= − (19)

利用和分析無限長條形膠墊類似的方法，可解出圓形彈性層平均圍壓的函數解。

第 i 層彈性層的有效壓縮模數E_c⁽ⁱ⁾，其定義為

) ( ) (

i c i

c A

E P

= ε (20)

上式中 P 為彈性層於垂直方向所承受的總壓力， A 為彈性層之總受壓面積。利用彈性層 平均圍壓的函數解，可求出彈性層的有效壓縮模數。

三、成果與結論

具有 n 層彈性層的自由端膠墊，其有效壓縮模數為

mono c c

free c

E n E

E n

) (

2 ) 2

(

) 1 (

+ −

=

其中(E )_{c mono}為內層彈性層的壓縮勁度，而E_c⁽¹⁾為外層彈性層的壓縮勁度。根據以下係 數定義﹕

µ λ α µ

2 12 1

0 = +

t ;

t t E_{f f}

f) 1 ( 12 ²

1

ν

α µ −

= ; β₀= α₀²+α₁² ; β₁= α₀²+0.75α₁²

無限長條形自由端膠墊，內層彈性層的壓縮勁度為 tanh ) 1 )(

2 ( 2

2 2 )

(

0 0 2

0 2 0 2

b E_{c mono} b

β β β

α µ λ

λ µ λ

µ µλ −

+ + + +

=

外層彈性層的壓縮勁度為

tanh ) 1 )(

2 ( 2

2 2

1 1 2

1 2 0 2 )

1 (

b E_c b

β β β

α µ λ

λ µ λ

µ µλ −

+ + + +

=

圓形自由端膠墊，內層彈性層的壓縮勁度為

)] ( ) 2 ( 2 )[

) ( (

) 2 2 (

) (

0 0 1 0

0 1 2 0 2 2

b b b I

D I E_{c mono}

β β β

α µ

λ µ λ λ µ λ

µ µλ −

+ + + + +

= 其中

)] ) (

1 ( ) ( 1 [

)] ) (

( 2 )

[(

0 0 1 0

0 2 1 0

0 1 0

0 2

0

1 b

b b I

b I b b I

I

D _f

f β

ν β ν β

α β

µ β β λ µ

µ λ

α − −

+ +

− + +

=

外層彈性層的壓縮勁度為

)] ( ) 2 ( 2 )[

) ( (

) 2 2 (

1 1 1 1

0 2 2 0 2 2

) 1 (

b b b I

D I E_c

β β β

α µ

λ µ λ λ µ λ

µ µλ −

+ + + + +

= 其中

)] ) (

1 ( ) ( 1 [

75 . ] 0 ) ) (

( 2 )

[(

1 1 1 1

0 2 1 1

1 1 1

0 2

0

2 b

b b I

b I b b I

I

D _f

f β

ν β ν β

α β

µ β β λ µ

µ λ

α − −

+ +

− + +

=

具有 n 層彈性層的剛性端膠墊，其壓縮勁度為

∑

=

= _n

i i c rigid

c

E E n

1 ) (

) 1 (

根據以下係數定義﹕

i

i n²f

2 2 1

2 3

= 2α

α ;

i i i

i f

f f

2 ) ( ₁

2 2 1

3 =α + −

α ;

] 4

) (

2[

1 ₂

2 2 0 2 2 3 2 2 2 0 2

3 2 2 2 0 2

2i α α i α i α α i α i α α i

β = + + − + + − ;

] 4

) (

2[

1 ₂

2 2 0 2 2 3 2 2 2 0 2

3 2 2 2 0 2

3i α α i α i α α i α i α α i

β = + + + + + −

無限長條形剛性端膠墊，第 i 層彈性層的壓縮勁度為

tanh ]}

) tanh (

) 2 [(

1 { 2

3 3 2

3 2 2

2 0 2 2 2

2 2

2 2 3

2 0 2 ) 3

(

b b b

E b

i i i

i i i

i i

i i i

c β

β β

β α β β

β β

β α β µ λ λ λ

µ −

+ −

−

−

− + +

=

圓形剛性端膠墊，第 i 層彈性層的壓縮勁度為

−

−

−

−

− +

= b

b I b

b b I

D I E

i i i

i f

i i

i c

2 2 1 3

3 1 3

2 0 2 2 2 3

)

( ( )

)] ) (

1 ( ) ( )[

1 2 {(

2 β

β β

ν β β β

λ α λ µ

)} ] (

) ) (

1 ( ) ( )[

1 (

3 3 1 2

2 1 2

2 0 3 2 2

b b I b

b b I

I

i i i

i f

i

i β

β β

ν β β β

α − −

−

其中

−

−

−

−

− +

= ( )]}

) 1 ( ) ( )[

1 )](

2 ( ) ( 2 ) 1 {(

3 3 1 3

2 0 2 2 2 2

2 1 2

0

3 b

b b I

b I b b I

I D

i i f

i i

i i

i β

ν β β β

α β

β λ β µ

λ µ

)]}

) ( 1 ( ) ( )[

1 )](

2 ( ) ( 2 ) 1 {(

2 2 1 2

2 0 3 2 2 3

3 1 3

0 b

b b I

b I b b I

I

i i f

i i

i i

i β

ν β β β

α β

β λ β µ

λ

µ − − − −

+

有效壓縮模數為彈性層彈性模數 E，柏松比ν 與形狀係數 S 的函數，亦與彈性層勁 度與加勁板勁度的比值γ 有關，γ 的定義為

f f

f

t E Et(1 ν²) γ = −

圖 3 至圖 6 為無限長條形和圓形，自由端和剛性端，20 層膠墊的有效壓縮模數理論公 式與有限元素分析結果的比較，可知有效壓縮模數之理論值與有限元素分析值十分接 近。

四、參考文獻

1. Kelly, J. M., 1999. Analysis of fiber-reinforced elastomeric isolator. Journal of Seismology and Earthquake Engineering 2, 19-34.

2. Gent, A. N., Lindley, P. B., 1959. The compression of bonded rubber block. Proceeding of the Institution Mechanical Engineers 173, 111-117.

3. Gent, A. N., Meinecke E. A., 1970. Compression, bending and shear of bonded rubber blocks. Ploymer Engineering and Science 10, 48-53.

4. Chaihoub, M. S., Kelly, J. M., 1991. Analysis of infinite-strip-shaped base isolator with elastomer bulk compression. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 117, 1791-1805.

5. Chaihoub, M. S., Kelly, J. M., 1990. Effect of bulk compressibility on the stiffness of cylindrical base isolation bearings. International Journal of Solids and Structures 26, 734-760.

6. Koh, C. G., Kelly, J. M., 1987. Effects of axial load on elastomeric isolation bearings.

Report no. UCB/EERC-86/12, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley.

7. Kelly, J. M., 1997. Earthquake-Resistant Design with Rubber. 2^nd ed. Springer-Verlag, London.

8. Tsai, H.-C., Lee, C.-C., 1998. Compressive stiffness of elastic layers bonded between Rigid Plates. International Journal of Solids and Structures 35, 3053-3069.

9. Tsai, H.-C., Lee, C.-C., 1999. Tilting stiffness of elastic layers bonded between rigid plates. International Journal of Solids and Structures 36, 2485-2505

10. Tsai, H.-C., Kelly, J. M., 2001. Stiffness analysis of fiber-reinforced elastomeric isolators, PEER Report 2001/05, Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley.

五、附圖

圖 1. 無限長條形膠墊第 i 層彈性層受壓縮之變形圖

圖 2. 無限長條形膠墊第 i 層加勁板的作用力

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

log[1/(1-2ν)]

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00

Ec/E

0 0.45 0.495 0.4995 0.49995

Poisson's ratio ν

S=2(mono) S=2(free) S=20(mono) S=20(free) Finite Element

^{0.0 0.2 0.4 γ 0.6 0.8 1.0}

1.00 10.00 100.00 1000.00

Ec/E

S=2(mono) S=2(free) S=20(mono) S=20(free) Finite Element

(a)γ =0.01 (b) v=0.49995 圖 3. 20 層無限長條形自由端膠墊的有效壓縮模數

z

x

)

)(

1

( b

ufⁱ

−

)

)(

( b

u_fⁱ )

)(

( b

uⁱ

layer i reinforcement i reinforcement i-1

reinforcement i ) 2 / ,

)(

(ⁱ x t

xz −

τ

) 2 / ,

)(

1

(ⁱ xt

xz

τ +

) ( )

( i

xx i

xx dN

N +

) ( i

Nxx

dx layer i

layer i+1

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 log[1/(1-2ν)]

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00

Ec/E

0 0.45 0.495 0.4995 0.49995

Poisson's ratio ν

S=2 S=10 S=20 Finite Element

^{0.0 0.2 0.4 γ 0.6 0.8 1.0}

1.00 10.00 100.00

Ec/E

S=2 S=10 S=20 Finite Element

(a)γ =0.01 (b) v=0.49995 圖 4. 20 層無限長條形剛性端膠墊的有效壓縮模數

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

log[1/(1-2ν)]

0.00 20.00 40.00 60.00

Ec/E

0 0.45 0.495 0.4995 0.49995

Poisson's ratio ν

S=2(mono) S=2(free) S=20(mono) S=20(free) Finite Element

^{0.0 0.2 0.4 γ 0.6 0.8 1.0}

1.00 10.00 100.00

Ec/E

S=2(mono) S=2(free) S=20(mono) S=20(free) Finite Element

(a)γ =0.01 (b) v=0.49995 圖 5. 20 層圓形自由端膠墊的有效壓縮模數(v_f =0.4)

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

log[1/(1-2ν)]

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00

Ec/E

0 0.45 0.495 0.4995 0.49995

Poisson's ratio ν

S=2 S=10 S=20 Finite Element

^{0.0 0.2 0.4 γ 0.6 0.8 1.0}

1.00 10.00 100.00

Ec/E

S=2 S=10 S=20 Finite Element

(a)γ =0.01 (b) v=0.49995 圖 6. 20 層圓形剛性端膠墊的有效壓縮模數(v_f =0.4)

六、計劃成果自評

本計劃利用彈性力學理論推導出黏著於可伸縮板的無限長條形彈性層和圓形彈性 層的軸向壓縮勁度公式解，這些壓縮勁度公式因考慮了體積壓縮性，可適用於任何柏松 比的彈性層，因此可更精確的計算出纖維加勁膠墊的壓縮勁度。本計劃也對黏著於可伸 縮板的無限長條形彈性層和圓形彈性層作應力分析，推導出這兩種彈性層受軸向壓力時 在垂直向的正應力分佈,彈性層和加勁板黏著面的剪應力分佈，以及可伸縮板的變形與 應力。這些均達到原計劃預期目標，研究成果將可在學術期刊發表兩篇論文，一篇為無 限長條形膠墊的分析，另一篇為圓形膠墊的分析。