2011 年台南市市長盃國民中學數學競賽第二階段能力測驗試題

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2011 年台南市市長盃國民中學數學競賽第二階段能力測驗試題

第一部分(第 1 題到第 20 題每題 3 分，共 60 分)

1. 設a2¹⁹3¹³5¹⁴、b2¹⁸3¹²7¹⁵、c2²⁰3¹⁴7¹³，則 a 、b、 c 三數大小關係為何？

(A) a b c (B) a c b (C) c a b (D) b c a

2. 53³⁹



39⁵⁷的個位數字是多少？

(A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 9

3. 有 36 個梨子分給甲、乙、丙三人，如果甲、乙所得到的梨子個數和，與乙、丙的個數和，與甲、丙的個數和

之比為 2：3：4，則丙分的到幾個梨子？

(A) 4 (B) 12 (C) 20 (D) 24

4. 若 145      a 4³ b 4² c 4 d，其中 0 a 、b、 c 、d 4，且 a 、b、 c 、d 均為正整數，則 c ＝？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5. 正整數 x ,y滿足5  x y 10的解(x y, )共有多少個？

(A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35

6. 如右圖，一個大長方形切割成甲、乙、丙、丁四塊小長方形，若甲面積為r，乙面積為 s ，丁面積為 t ，則丙

面積為？

(A)

r

st

(B)

s

tr

(C)

t

rs

(D) rst

7. 某次數學競賽有 1200 人參加，其中 40%可得獎（含金、銀、銅牌獎）已知銅牌得獎人數是金牌人數的 3 倍，

而銀牌得獎人數是金牌人數的 2 倍，則獲銀牌人數多少人？

(A) 120 (B) 144 (C) 160 (D) 180

8. 計算( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)為下列何者？

(A) 30 (B) 4 6 (C) 24 (D) 76

9. 設 a 、b、 c 為正整數，如果 a 可被 15 整除，b可被 12 整除， c 可被 21 所整除，則下列何者正確？

(A)(a b c  )²可被 9 所整除 (B)a b c  可被 9 所整除 (C)a b c  為偶數 (D)a²b²c²可被 18 所整除。

10. 將 31、2 31 、3 31 、…、31 31 這些數相加所得的和，再除以 5 的餘數是多少？

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

11. 由 0, 1, 2, 3, 4, 5 這六個數字去組成四位數中，共有多少個數為 5 的倍數（這些數字可以重複出現）？

(A) 180 (B) 216 (C) 360 (D) 396

12. 已知正整數 n 減去 48 所得的差是一個整數的平方，當 n 加上 41 所得的和是另一個整數的平方，則

48

n 有幾個質因數？

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

13. 如圖，在PQR中，F為QR上一點且PF QR，如果PR=13，RF=5 且FQ=9，則PQR 周長為多少？

(A) 39 (B) 42 (C) 45 (D) 57

(2)

F

G E

D B

C A

14. 已知 p6 a



87 b ，其中 p、 a 、b 都是質數，則 p a b  ＝？

(A)8 (B)6 (C)5 (D) 2

15. 若兩正數x 和 y 滿足

y x y x

1 1

1

 



，則

x

y

之值為何？

(A) 2 1 3

(B) 2

1 3

(C) 2

1 5

(D) 2

1 5

16. 設



、



為二次方程式 x²63x k 0 的二根，若



、



均為質數，則

  

之值為何？

(A)59 (B)47 (C)41 (D)37

17. 等腰直角三角形 ABC， AC

 BC  a

，C=90º，D、E 分別在 BC 及 AC 上，使得 ³

CD 4a， 3

CE 4a，而 G、F 在AB上且 EF

 AC

，GD

 BC

。若四邊形 DEFG 的面積為 10 平方公分，則

a 的值為多少公分？

(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 16

18. 設a0，如果方程式x²ax a  1 0至少有一個實數解，那麼 a 的最小值為多少？

(A) 2 2 2



(B) 3 2 3



(C) 2 2 2



(D) 2 2 3



19. 已知有 13 個相異的數

a

₁,

a

₂,

a

₃,…,

a ,其中至少有 3 個正數，正好有

₁₃

n 個負數。今將這 13 個數中任二個數的相

乘，共有 91 個乘積；如果其中正好有 22 個數是負數，則

n 

？ (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6

20. 已知 ABC的三邊長a ,,b c滿足bc8,且 bca²12a52，則ABC的周長為多少？

(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16

第二部分(第 21 題到第 30 題每題 4 分，共 40 分)

21. 在ABC中，AB5 , BC6 , CA7，自頂點 A 作 AD



BC交 BC 於 D 點，則AD的平方為多少？

(A) 1 (B) 24 (C) 35 (D) 48

22. 設 n 為正整數，如果將 n 接著寫在任意一個正整數的右邊，所得到的新數恰好都能被 n 所整除，我們稱這樣的 正整數 n 為「好數」；則比 130 小的所有好數的個數共有多少個？

(A) 2 (B) 4 (C) 9 (D) 10

23. 設 n 為正整數，且10 n 90，如果將 n 的數字乘積與 n 的數字和相加後，得到一個新的數S n( )，則共有多少

個 n 值滿足S n( )n？ (A) 1 (B) 8 (C) 9 (D) 10

24. 已知a a a a a₀, ,₁ ₂, ₃, ₄是-1 ,0 ,1 中的數，則 a₀3a₁3²a₂3³a₃3⁴a₄ 的所有可能值是正整數共有多少個？

(A) 81 (B) 121 (C) 242 (D) 363

25. 設a b, 為二實數，如果| |a   a b 10且a| |b  b 12，則a b ? (A) -2 (B) 2 (C) ¹⁸

5 (D) ²² 3

26. 設n,p為正整數，如果一元二次方程式(n1)x²pxn0有二個正整數解，則

p

^p

 n

ⁿ的值為多少？

(A) -23 (B) -21 (C) 21 (D) 23

(3)

27. 設 x 、y均為正整數且滿足y  x21 x35，則y的最大值是多少？

(A) 14 (B) 28 (C) 42 (D) 56

28. 已知整數a b c, , 滿足方程組

 

 













 b ca

a bc

c ab

1 1 5

，則a b ?

(A) -2 (B)-1 (C) 0 (D)1

29. 如果分數 a 滿足下列條件：那麼滿足這樣條件的所有可能分數共有多少個？

（1） a 大於 , 6

1 但小於¹

5；（2）分子與分母都是質數；（3）分母是二位數 (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16

30. 已知正數 a ，b， c 滿足a b c  1，則下列何種條件使得 a ，b， c 為某三角形之三邊恆成立 (A)0 | | ¹, 0 | | ¹, 0 | | ¹

2 2 2

b a c b c a

        

(B) ¹, ¹, ¹

2 2 2

a b c

(C) 1 1 1

, ,

2 2 2

a b   b c   c   a

(D) ¹, ¹, ¹

2 3 4

a b c