金屬表面電漿簡介
文／邱國斌、蔡定平
摘 要
金屬與金屬奈米結構的表面電漿共振現象是目前奈米光學中一個極熱門的研究課題，本文將從討論金屬的光學性質出 發，對於介電物質與金屬的介面、金屬薄板之表面電漿共振性質以及金屬奈米結構之侷域性表面電漿共振現象作一簡介。
一、金屬塊材的光學反應
光與金屬性物質的交互作用主要是來自於光波 隨時間與空間作週期性變化的電場與磁場對於金屬 性物質組成中的電荷所產生的影響，導致電荷密度在 空間分佈中的變化以及能階躍遷與極化等效應，這些 效應所產生之電磁場與外來光波之電磁場耦合在一 起後，所形成之作用後的光波電磁場，並以散射、吸 收、折射、色散或電磁波能量流之重新分佈等方式，
表達出各種不同光學現象。
當電磁波與物質作用時，此物質對於外加場的反 應或是交互作用，在巨觀上可以用其所具有之淨電荷 密度 (ρ )、淨電流密度 (JK
)、電極化強度 ( PK ) 與磁 極化強度 ( MK
) 等四個代表物質狀態的物理量以及 電磁波的Maxwell’s 方程式加以描述，
0
;
1 1
;
0
0 0
0 0
=
⋅
∇
∂ + +∂
∂
= ∂
×
∇
+
⋅
∇
−
=
⋅
∂ ∇
− ∂
∂
− ∂
=
×
∇
B t J
P t H E
P t E
M t E H
K K K
K K
K K K
K K
ε
ε ρ µ ε
µ (1)
其中EK 與HK
為電磁波之電場與磁場。由於物質內部 之電或磁極化將會產生感應電場或磁場，若引入電位 移(electric displacement, DK
) 以 及 磁 感 應 (magnetic induction, BK
)向量表示物質內部總和之電場與磁 場，其定義如下：
H M
H B
E P E D
K K
K K
K K K K
µ µ µ
ε ε ε
0 0
0 0
)
( + ≡
=
≡ +
= (2)
式中之ε 與 µ 分別代表物質相對於真空的介電係數 (dielectric constant)與磁導率(permeability)，這兩個物
理量將可用以說明此一物質對於外加電磁場的反應 情況或是其光學性質。藉由式(2)之定義，Maxwell’s 方程式可簡化成如下之形式
0
;
;
=
⋅
∇
∂ +
=∂
×
∇
=
⋅
∂ ∇
−∂
=
×
∇
B t J
H D t D E B
K K K
K K K
K ρ
(3)
對 於 一 個 沒 有 淨 電 荷 密 度 與 淨 電 流 密 度 之 系 統 ( = J0,K=0
ρ )，由式(3)可以推得電磁波之電場與磁場 所要滿足之波動方程式為
2 2 2
2 2 2
) 1 (
) 1 (
t H H c
t E E c
∂
− ∂
=
×
∇
×
∇
∂
− ∂
=
×
∇
×
∇ K K K K
εµ εµ
(4)
其中c =(ε0µ0)12為真空中的光速值。假如一電磁波 之 EK
與 HK
隨 空 間 與 時 間 的 變 化 為 正 比 於 )]
(
exp[i kK⋅rK−ωt
之諧波振盪 (harmonic oscillation)，
其相速度大小為ω ，則由式(4)之波動方程式，可以k 得到波向量的大小k必須滿足
ω εµ
2 2 2
k = c (5) 在此我們將以Maxwell’s 方程式，以及電磁波之波動 方程式為基礎，討論金屬性物質與電磁波之交互作 用，以及金屬表面電漿共振的性質。
由於金屬內部具有可以任意移動之自由電子，這 些自由電子在受到外加電磁場作用時的行為表現，主 導了此一金屬物質之光學性質，因此在接下來的討論
中，我們主要將考慮金屬中的自由電子對於外加電磁 場的反應。在外加電場之作用下，自由電子會沿著與 電場相反之方向移動而形成電流，對於電流之定義是 在單位時間內垂直通過某一特定截面的電荷總量，若 考慮一個自由電子密度為N 的金屬，並假設在外加電 場作用下每個電子之移動速度為vK
(如圖一所示)，則 自由電子移動所形成之電流密度JK N evK
(− )
= ，其通過
截面積AK之電流大小為I =JK⋅AK。由於自由電子在運 動過程中會與原子核或是晶格缺陷產生碰撞效應，並 非所有電子都是等速度沿著同一方向移動，且其速度 亦不會因外加電場的作用而不斷增加，因此對於金屬 內部自由電子的運動狀態，需要藉由一些物理模型來 加以描述，其中Drude 模型即為一簡單且有效的自由 電子運動模型[1]。
vK
AK
−e
EKext
JK
圖一 在外加電場作用下，金屬中的自由電子移動而形成 電流密度JK
。
Drude 模型假設自由電子與其他電子或者原子 核之間沒有任何電磁交互作用，當受到外力(或外加 電場)作用時其運動遵循牛頓運動定律，此外，電子 在運動的過程中將會與晶體中之原子核、雜質或晶格 缺陷產生彈性碰撞而被散射至其他方向，假設在單位 時間內與原子核產生碰撞的機率為1τ，在此τ 即所 謂之弛豫時間(relaxation time)或碰撞時間(collision time)，其大小約略等於電子之平均自由路徑(mean free path, l )與費米速度(Fermi velocity, vF )之比 值。考慮在外力 fKt eEKext
−
)=
( 作用下某一時刻 t 時，
金屬內所有自由電子之平均速度為vK(如圖二所示)，
此時每一電子之平均動量為pKt mvK
)=
( 。假若在時刻 t+dt 時平均動量變為pK( dtt+ )
，對於沒有與原子核發生 碰撞之電子，其平均動量約為原本所具有之動量加上 外 力 造 成 之 動 量 變 化 ， 亦 即 pK(t)+ fK(t)dt ，
然而對於與原子核發生碰撞之電子而言，由於經彈性 碰撞之後電子可以被散射至任意方向，使得這些電子 原本所具有之動量在碰撞之後的平均值為零，所以其 在t+dt 時刻的平均動量約為fK(t)dt
，亦即只有因外力 而造成之動量變化，而由Drude 模型之假設可知，在 dt 時距內電子發生碰撞之機率為dtτ，因此在 t+dt 時所有自由電子之平均動量可表示為
dt dt f dt f dt p
pK(t dt) (1 )(K(t) K(t) ) K(t) τ
τ + +
−
+ = (6)
當時距 dt 趨近於無限小的時候，式(6)可以近似改寫 成(取至 dt 的一次方項)
) ( ) ) (
( 1
t t t
f dt p
p
dK K K
+
−
= τ (7)
式(7)即為 Drude 模型下，金屬自由電子受外加電場 作用時所滿足的運動方程式。利用前述電流密度
v e N
JK K
(− )
= 以及pK t mvK
) =
( 之關係式，可以將式(7)改 寫為
Eext
m J Ne dt
J
dK K 2 K
1 =
+τ (8)
E K
ext−e
vK
圖二: 外加電場作用下，Drude 模型之金屬自由電子運 動示意圖。
(本圖參考自N. W. Ashcroft, and N. D. Mermin, “Solid State Physics”, page 6.)
若考慮外加電場(EKext
)為零的情況，由式(8)可以 得 到 一 形 式 為 JK=JK0e−t/τ
之 瞬 變 電 流(transient current)，此電流在形成之後將會隨著時間很快地衰減 掉，因此對於金屬的電磁性質幾乎不造成影響。另 外，若考慮外加電場為一靜電場時，由於外加電場不 隨時間變化，所以電子相應於電場所形成的電流密度 也會是不隨時間變化之靜電流，亦即dJK dt=0
，則從 式(8) 可 以 得 到 JK Ne mEKext
) ( 2τ
= ， 藉 由 歐 姆 定 律 (Ohm’s law) 之定義(JK 0 extEK )
σ
= ，電流密度正比於外
加電場之比例常數σ0=Ne2τ m，此一常數即為金屬 之靜電導率 (static conductivity)，由此結果可以看出 當一金屬的自由電子之密度愈大或弛豫時間愈長，則 其靜電導率愈大。最後，若考慮外加電場隨時間作諧 波振盪時，亦即EKext =EK(rK)e−iωt
，自由電子之運動亦 將形成隨時間做諧波振盪之電流密度(JK∝e−iωt
)，經 由式(8)之運動方程式可以得到
ext
ext E
i E
JK K K
) 0 (
1 σ ω
ωτ
σ ≡
= − (9) 其中σ(ω)=σ0 (1−iωτ)為自由電子對於外加電磁場 之響應所造成的電導率，此結果說明了金屬自由電子 所造成之電導率將會隨著外加電磁場頻率的不同而 改變。
在金屬物質中除了具有自由電子之外，亦有束縛 電子的存在，這些束縛電子對於電磁波的反應就如同 介電物質一般，會產生極化效應，然而若考慮隨時間 做諧波振盪之電磁場對於金屬性物質之交互作用，自 由電子所形成之電流密度與束縛電子所形成之電極 化強度則無太大的區別。
假如束縛電子在隨時間作諧波振盪之電場作用 下偏離正電荷中心之位移為rK
(如圖三所示)，相對產 生的電極化強度為PK Nb erK
(− )
= ，其中N 表示束縛電b 子密度，可將電極化強度對時間微分得
b b b
b N ev J
dt r e d dt N
P
dK K K K
=
−
=
−
= ( ) ( ) (10)
上式中vKb
代表束縛電子在振盪過程中之移動速度。式 (10)之結果說明了隨時間變化之電極化強度可視為一 種電流密度JKb dPK dt
= 。
反過來說，在隨時間振盪的電場作用下，自由電子反 應產生之電流密度也可視為一種隨時間變化之電極 化強度。若考慮外加電場EKext
隨時間作角頻率ω之諧 波振盪時，式(9)可以改寫成
] [ ( )
) (
ext i Eext
t t E
J i K K
K
ω σ ω
σ ω ω
∂
= ∂
∂
∂
= − (11) 對比式(10)與式(11)可以定義出自由電子所形成之電 極化強度為
ext D
ext E
m i E Ne
PK i K K
) (
1
2 ) 2
(
ωγ ω ω
σω
− +
=
= (12)
式中之γD ≡τ−1為 Drude 模型描述自由電子運動之 碰撞頻率(collision frequency)或是阻尼係數(damping constant)。從式(12)之結果可以看出，在γ 很小或外D 加電磁波頻率遠大於電子的碰撞頻率時，金屬中自由 電子所形成的隨時間振盪之電極化向量會與外加電 場方向相反(相位差π )，因此極化產生的感應電場方 向亦將與外加電場反向，並且在電磁波頻率不是很大 的情形時，式(12)之極化產生的感應電場大小幾乎與 外加電場相同，這個結果即造成金屬內部之電場總和 趨近於零，因此電磁場能量會完全被排斥出來，使得 電磁波無法穿透到金屬內部，這一現象即為金屬對於 電磁波之屏蔽效應。
: 正電荷 (+q) : 負電荷 (-q)
PK EKext
r K
圖三 晶格中之束縛電子受外加電場作用時，其瞬時位 置(rK)偏離正電荷中心並產生極化(PK
)。
對於電磁波在物質中的傳播特性，則可藉由介電 係數或折射率等參數來描述，利用式(12)所得之自由 電子極化強度表示式，以及式(2)之電位移向量的定 義，可以得到在電磁波作用下金屬內部自由電子所反 應之介電係數形式為
D p
i i
ωγ ω
ω ω
ε εω σ ω
− +
= +
= 2
2
0 ) ( )
( 1 1 (13)
其中ωp ≡(Ne2 mε0)1/2，此一頻率即為金屬之電漿 共振頻率(plasma frequency)。式(13)之實部與虛部可 分別表示如下：
)]
( [ ]
Im[
) (
1 ]
Re[
2 2 2
2 2 2
D D
p I
D p
R
γ ω ω γ ω ε ε
γ ω ω ε
ε
+
=
≡
+
−
=
≡
(14)
在電磁波頻率遠大於γ 的條件下，式(14)之D ε 可近R 似為1−ω2p ω2 ，從這裡可以看出，若電磁波頻率小 於 ω ， 則 金 屬 介 電 係 數 之p ε 為 一 負 值 且R
3
2 ω
ω γ
εI ≈ D p <<εR 。對一般的金屬物質而言(如 金、銀、銅、鋁、銻等)，其ω 值位於紫外光頻率範p 圍，且γ 遠小於可見光頻率，所以這些金屬的介電D 係數在可見光頻率範圍內皆可符合上述之條件。另 外，若藉由複數折射率之定義n~= ε =n+iκ，(假設
µ=1)可將金屬之n與κ表示為
2 / 1 2
2
2 / 1 2
2
)]
2( [1
)]
2( [1
R I R
R I
n R
ε ε ε κ
ε ε ε
− +
=
+ +
=
(15)
圖四(a)為金屬銻(Sb)之介電係數實部與虛部隨電磁 波頻率變化的曲線，以式(14)計算所用之ω 與p γ 分D 別為2.26×1016 Hz 以及 1.82×1015 Hz，圖四(b)為金屬 銻之n與κ隨電磁波頻率變化曲線，從圖中可以看 出，當電磁波頻率在小於ω 且大於p γ 的範圍內時，D
κ 值大小將遠大於n值。由於電磁波隨空間與時間之
變化正比於ei(k⋅r−ωt)=e−kI⋅r⋅ei(kR⋅rK−ωt) K K
K K K
，其中kKR 與kKI 分別表示波向量的實部與虛部，其大小分別表示為
n c
kR =(ω ) 與kI =( cω )κ，所以對於此波段之電磁 波而言，其在金屬內部之傳播性質主要是被波向量之 虛部所主導，亦即電磁場振幅或能量將會很快地隨著 傳播距離呈指數衰減而無法深入穿透至金屬內部，若 定義一金屬之穿透膚深(skin depth,δ ) 為電磁波振幅 衰減至原本振幅的1e時之穿透距離，則δ 之大小可 表示為δ = 1kI =cωκ，其將隨外加電磁波頻率不同 而變化。此外，由圖四也可以看出，當電磁波頻率大 於ω 之後，金屬介電係數或複數折射率之實部為小p 於1 之正數，且虛部將趨近於零，所以在此頻率範圍 之電磁波將可以穿透金屬內部而傳播。
Re[ε]
Im[ε]
ωp= 2.29 x 1016Hz γD = 1.82 x 1015Hz
ωp
Angular frequency ( x1015Hz )
Re[ε]
Im[ε]
ωp= 2.29 x 1016Hz γD = 1.82 x 1015Hz
ωp
Angular frequency ( x1015Hz )
(a)
ωp
n κ
ωp= 2.29 x 1016Hz γD = 1.82 x 1015Hz
Angular frequency ( x1015Hz )
ωp
n κ
ωp= 2.29 x 1016Hz γD = 1.82 x 1015Hz
Angular frequency ( x1015Hz )
(b)
圖四 (a)金屬銻(Sb)之介電係數實部與虛部隨電磁波 頻率變化曲線，右下角的插圖為其縱軸在原點附近之放 大圖。(b) 銻之n與κ隨電磁波頻率變化曲線。
二、金屬的表面電漿共振[2]
電磁輻射和物質介面的交互作用常會產生出一 些有趣且奇特的現象，近幾十年來，自從 Wood[3]發 現電磁波在刻有光柵(grating)的金屬表面上，會產生 異常的反射光譜之後，對於介電物質與金屬介面的電 磁波交互作用，便一直是許多人很感興趣的研究課 題，再加上近年來奈米科技的發展，更促進了這方面 各種新現象與特性的研究，以及新穎應用的廣泛發 展。
對於Wood 異常特性的解釋，Fano[4]首次提出此 現象與沿著金屬表面傳播的電磁波共振有密切的關 聯，之後Hessel 和 Oliner[5]也提出相同的觀點，此即 後來所謂的金屬表面電漿(surface plasma)現象。而後 續一連串的研究更發現[6-11]，刻有奈米結構的金屬薄 膜 ， 例 如 週 期 性 的 孔 洞 陣 列(hole array) 或 凹 槽 (grooves)，會使得電磁波的穿透特性產生明顯的改 變，讓原本不透光的金屬薄膜，在特定波長範圍內有 很高的穿透率，一般認為造成這種特殊現象的原因是 和入射電磁波與金屬表面電漿的耦合共振相關聯。
(a) 金屬的體積電漿共振模態
電漿(plasma)這個名詞原是用以描述由熔融狀態 之帶電離子所構成的系統，然而在討論金屬物質時，
由於其內部的自由電子可當作一高密度之電子流體 (electron liquid)被限制於金屬塊材的體積範圍之內，
因此亦可類似地將金屬視為一種電漿系統。從先前的 討論中可以知道，當電磁波在金屬中傳播時，其波向 量 為 一 複 數( k=kR +ikI ) ， 且 電 場 可 表 示 為
)
0 ] (
[E e kIr eikRr t
E= − ⋅ ⋅ −ω 。對任一時刻t來說，此電場 之空間分佈中具有相同振幅的位置落在法線平行kI 的平面上(由kI ⋅ r =常數所定義)，然而具有相同相位 的位置則是落在法線平行kR的平面上(由kR ⋅ r =常 數所定義)，一般而言，kR與kI的方向並不相同，這 個結果將造成在沿著電磁波相速度方向(kR)上會有 電場分量，並且由於金屬中自由電子可以任意移動的
特性，自由電子會隨著電場的驅動而振盪，在適當條 件之下，金屬中傳播之電磁波其電場振盪可分成兩種 彼此獨立的模態，其中包含電場或電子振盪方向(E )T 垂 直 於 電 磁波 相 速 度 方向(kT)的橫波 (transverse wave) 模態，以及電場或電子振盪方向(EL)平行波的 傳播方向(kL)之縱波 (longitudinal wave) 模態(如圖 五所示)。對於上述之縱波模態，自由電子將會沿著 電場方向產生縱向振盪的集體運動，造成自由電子密 度的空間分佈會隨時間之變化形成一種縱波形式之 振盪，這種集體運動即為金屬中自由電子之體積電漿 振盪 (volume plasma oscillation)。
k1
k2
E2
kT
ET
kL
EL
電漿共振模態
=0
× L
L E
k
=0
⋅ T
T E
k
圖五 金屬中電磁波之電場振盪形式除了電場方向垂直波 向量的橫波模態外，亦可形成電場方向平行波向量之縱波 模態，此即金屬體積電漿共振模態。
為討論金屬之體積電漿共振模態，考慮單位體積 內有N個自由電子之金屬，若金屬內部某一平面附近 極微小厚度u範圍中之自由電子因外力( fext)的作用 而偏離正電荷中心，並且假設偏移所產生的正、負電 荷量分別位於相距u 的兩個無限大之平面上(如圖六 a 中所示)，形成一組類似帶有均勻正、負面電荷密度 之無限大導體薄板系統，其在面積範圍A內的電荷量 大小為Q=σs⋅A=(Ne)⋅uA，在此σ 表示面電荷密s 度，藉由靜電場的高斯定律 (Gauss’s law)，可以得到 正、負電荷之間所形成的電場為E=Neu ε0，此電場 將對偏移之電子產生一庫倫回復力，所以在這個系統 中的自由電子運動可用下列運動方程式來描述，
fext
E e dt N
u Nmd
F = 2 = (− ) +
2
(16)
將前述之電場代入式(16)可以發現，自由電子的運動 為一受外力驅動之簡單諧波振盪，且其所具有的本徵 共振頻率為(Ne2 mε0)1/2，此一共振頻率即為金屬自 由電子之電漿共振頻率ωP。這個結果說明了當外加 電場的頻率等於ωP時，自由電子之密度分佈將會響 應外加電場的驅動而在金屬內部形成疏密波，亦即形 成體積電漿共振模態，此波動傳播的相速度方向與其 電場振盪方向平行(如圖六 b 所示)。另一方面，若由 電磁波的Maxwell’s 方程式來看，電場所必須滿足之 波動方程式(4)可以寫為
c E E k
k ω ε
2 2
) ( × =
× (假設µ =1) (17) 由於金屬的電漿共振模態其kL×EL =0，所以只有當 介電係數ε 為零時，電場才有滿足式(17)且不為零之 解，而從Drude 模型所得之式(13)的金屬介電係數形 式可以看出，在阻尼項γ 可忽略的情況下，D ε=0的 情況發生於電磁波頻率等於ω 時，而此p ω 的大小即p 為自由電子產生電漿共振之頻率。
(b) 介電物質與金屬介面的表面電漿模態
對於金屬而言，除了上述內部自由電子的體積電 漿共振之外，位於金屬表面附近的自由電子，在電磁 波作用下也會產生類似的表面電子集體運動。若考慮 一TM 極化之電磁波從介電物質經由介面入射至金屬 中時，由於在介面上垂直於金屬表面之內、外電場分 量的不連續(如圖七所示)，所以自由電子會在金屬表 面處累積造成表面極化電荷密度σ ，其大小正比於s
) ( 1 1 2 2
0 ε E z ε E z
ε − ，在適當條件下受到外加電磁波平
行於介面之電場分量的驅動時，這些表面電荷密度的 空間分佈將沿著金屬表面產生縱波(疏密波)形式之振 盪：
) 0 (
) ,
( i kx t
s t x
s σ e x ω
σ = − (18)
此即為金屬的表面電漿振盪，類似於固態晶格的集體 振盪效應之量子化而形成聲子(phonon)，這些表面自 由 電 子 的 集 體 運 動 也 形 成 所 謂 的 表 面 電 漿 量 子 (surface plasmon, SP)，並且伴隨著表面電漿振盪所產 生 的 電 磁 波 亦 具 有 其 特 定 之 色 散 關 係(dispersion relation)與共振頻率。而另一方面，對於 TE 極化之電 磁波而言，由於其電場在介電物質與金屬介面上只有 沿著介面方向連續之水平分量，因此並不會在金屬表 面累積產生自由電子極化強度，所以TE 極化之電磁 波將無法於金屬表面造成表面電漿共振模態。
對於表面電漿之電磁場性質，同樣可藉由滿足 Maxwell’s 方程式以及電磁波邊界條件來討論，若考 慮一TM 極化之電磁波由介電物質入射至金屬表面，
其所激發之表面電漿電磁場如圖八(a)所示，位於介電 物質中(z > 0 區域)的電場與磁場可以寫為
z
metal ε2(ω)
ε1
E
E1z
x... ... . ... ... . .
. .. ... .. .. ... ..... ...... .. ... ..... .. . .... .. ...... ... ) , ( tx
σs
E2z
圖七 在外加電磁場作用下，由於金屬與介電物質介面 兩側電場垂直分量的不連續，自由電子將會在沿著金屬 表面方向上形成面電荷密度分佈σs( tx,)。
u
面電荷密度(σs) = -Neu
A ε0
Neu E=
面電荷密度(σs) = +Neu +++++++++++++++++++++++++
- - - -
(a)
EL
k
L(b)
圖六 (a)金屬內部極微小厚度u範圍中的自由電子因外
力作用而偏離正電荷中心並產生電場示意圖。 (b)自由電 子形成電漿振盪時，電子密度分佈、電場方向與波向量方 向之關係圖。
) 1 (
) 1 1 (
) 1 (
) 1 (
1 1
) , 0 , (
) 0 , , 0 (
t x k i z z ik x
t x k i z y ik
x Z Z x
e e E E E
e e H H
ω ω
−
−
=
=
(19)
而金屬中(z < 0 區域)的電場與磁場則為
) 2 (
) 2 2 (
) 2 (
) 2 (
2 2
) , 0 , (
) 0 , , 0 (
t x k i z z ik x
t x k i z y ik
x Z
x Z
e e E E E
e e H H
ω ω
−
−
−
−
=
=
(20)
在式(19)與式(20)中，利用了平行介面方向之波向量 分量(kx)在各物質中皆相同的性質。藉由 Maxwell’s
方程式之電場與磁場關係以及電磁場在介面(z = 0)處 之連續條件，可以得到表面電漿電磁場所必須滿足的 色散關係式為
0
2 2 1
1 + =
ε εz z
k
k (21)
其中金屬的介電係數ε2為式(13)所表示之形式。藉由 式(21)之結果以及式(5)的關係式，表面電漿電磁場的 波向量大小可表示如下：
2 , 1
; ] k ) ( [
)] )(
(
) [ (
2 / 1 2x 2
2 / 1 2 1 2 1
1 2 2 1 2 1
=
−
=
− +
= −
ω α ε
ε ε ε ε
µ ε µ ε ε ω ε
α
α c
k k c
z x
(22)
因為一般的介電物質以及金屬之磁導率皆約略等於 1，上式之kx可以簡化為
2 / 1 2 1
2
1 ]
) [(
ε ε
ε ε ω
= +
kx c (23)
若將金屬之介電係數ε2=1−ω2p ω2(假設γ 可以D 忽略的情況)代入上式，則表面電漿電磁場之波向量 在各物質中的分量kx、k1z與k2z可分別表示如下：
2 / 1 2 1 2
2 2 2 2
2 / 1 2 1 2
12 1
2 / 1 2 1 2
2 1 2
)] )
1 (
) 1
[ (
)] )
1 [(
)] )
1 (
) 1
[ (
ω ω ε
ω ω ω
ω ω ε
ε ω
ω ω ε
ω ω ω ε
p p z
p z
p p x
k c k c k c
− +
= −
−
= +
− +
= −
(24)
在要求kx為實數的前提下，從式(24)中可以看出，表 面電漿之電磁場將可分為非輻射性 (nonradiative) 表 面電漿模態，以及輻射性 (radiative) 表面電漿模態兩 種類型。當用以激發表面電漿之電磁波頻率小於
1 ε1
ωp + 時，由於所響應之表面電漿電磁場的波向 量分量k1z與k2z皆為虛數，因此表面電漿振盪所產生 之電磁場可以沿著平行金屬與介電物質介面的方向 傳播，然而在垂直介面方向上，電磁場振幅則隨著遠 離介面的距離而呈指數遞減，若藉由式(19)與式(20) 之電磁場表示式，可以定義此表面電漿電磁場強度在 兩物質內部衰減至原本強度之e 時的穿透距離分別−1 為L1z=12k1z 與L2z=12k2z ，這一類型的表面電漿 為非輻射性表面電漿模態(如圖八 b)。對於常用之金
z x
y ε1,µ1
ε2, µ2 Ei
ki
θ
isin k
θ k1z
kx
k2z
_ _ _ _
) 1
H( ) 1
E(
_ _ _ _ + + + +
(a)
k1z
k2z
kx
kx
E2
z
(b)
k1z
k2z
kx
kx
(c)
圖八 (a) 金屬表面自由電子密度受 TM 極化電磁波驅 動而形成集體縱波振盪之表面電漿。(b) 非輻射性表面 電漿電磁波示意圖。(c) 輻射性表面電漿電磁波示意圖。
屬而言，在可見光頻率範圍中的表面電漿共振即為此 類非輻射性表面電漿模態，其產生之電磁場將被限制 在金屬表面附近，為一種消散場電磁波。
另一方面，當用以激發表面電漿之電磁波頻率大 於ωp時，從式(24)中可以得到，金屬所響應產生的表 面電漿電磁場其k1z與k2z皆為實數，亦即此電磁場將 可輻射傳播至遠離金屬與介電物質介面的空間中，此 為輻射性表面電漿模態(如圖八 c)，然而這種輻射性 表面電漿模態只有在k 很小時(即共振頻率x ≈ωp)，
才可定義其存在於金屬表面的生命期 (lifetime)[7,8]， 至於kx逐漸增加之後，此共振模態則由於生命期太 短而沒有實際上的意義，因此往後將只針對討論非輻 射性表面電漿共振模態。圖九所示為表面電漿的色散 關係曲線趨勢，對於非輻射性表面電漿來說，其色散
曲線完全位於從介電物質(ε1)入射之電磁波的色散 曲線右方，亦即對具有相同頻率之入射電磁波，以及 非輻射性表面電漿模態而言，表面電漿之波向量水平 分量大小(或是動量大小)，將比入射電磁波的波向量 水平分量大，所以一般從介電物質中入射之電磁波並 無法激發非輻射性表面電漿共振，因此必須藉助一些 耦合機制，才能使入射之電磁波獲得較高的kx值而 達到激發表面電漿共振的條件。
在實驗上常用的耦合機制有兩種，其一是在金屬 表面上製作如光柵 (grating) 等微小週期性結構作為 耦合媒介(如圖十所示)，在外加電磁場作用下，這些 週期結構會造成特定波長的極化電子振盪，而其產生 之電磁場將可提供入射電磁波額外的kx值，此效應 與電子在固態晶格中運動的系統類似，入射電磁波將 獲得(或減損)光柵倒晶格向量 (grating vector) 整數 倍大小的額外水平波向量，當所獲得之光柵倒晶格向 量使入射光的波向量分量吻合表面電漿之波向量 時，即可激發金屬表面電漿共振。至於激發表面電漿 所需滿足之條件則可由下列關係式來表示
,...
3 , 2 , 1 , 2 1
2
, 1 ≡ =
= +
± k n
ng c
kxinc ε ε SP
ε ε
ω (25)
其中 ω ε θ
1sin
, c
kxinc= 為入射光之水平波向量大小，而 a
g=2π/ 代表週期為a之光柵倒晶格向量大小。由式 (25)之條件可以看出，對於不同頻率或入射角度之激 發光源，可藉由調整表面結構之週期來達成表面電漿
grating vector:
ε1
ε2(ω) a θ k1
E
+ - + - + -
x a g=(2π )ˆ z y
x
入射光色散曲線
inc
kx, kSP
ω
kx
kx
∆
表面電漿 色散曲線 ) sin ( ε1 θ ω=ckx
圖十 以金屬表面週期性結構(光柵)為耦合器來激發表 面電漿的方式，當入射電磁波所獲得之光柵倒晶格向量
g n kx =
∆ 符合表面電漿色散關係時，即可激發金屬表 面電漿共振。
光在介質(ε1)中 之色散曲線 輻射性表面
電漿
ωp
1 ε1
ω +
p
kx
c
2 1
2 1
ε ε
ε ω= ε +
ω
kx ) sin ( ε1 θ ω=ckx
kx
c (ε1 1)ε1
ω= +
非輻射性表面電漿 Fröhlich mode
圖九 金屬表面電漿之色散關係曲線示意圖。
共振狀態，同時反過來說，介面之表面結構的週期亦 可影響此一金屬介面對於外加電磁波所產生的表面 電漿共振頻率。
另一種激發表面電漿的耦合機制，是利用介電係 數較高之物質產生內部全反射消散場(attenuated total internal reflection, ATIR)作為激發源的方式來激發表 面電漿共振。由於電磁波之波向量大小滿足式(5)之關 係，當電磁波通過介電係數較高之稜鏡時(如圖十一 所示)，其波向量大小將會變得比在介電物質ε1中 大，若使入射光在稜鏡與介電物質介面處產生全反射 時，在緊鄰全反射介面附近將會有一部分的消散場穿 遂到介電物質中，由於此一消散場電磁波所具有之
kx大小將與全反射之電磁波的kx相同，所以當稜鏡 與金屬表面之距離夠小，並且發生全反射的入射光波 向量水平分量符合下列之表面電漿共振條件時
SP
x k
c
k c ≡
= +
=
2 1
2 3sin 1
ε ε
ε ε θ ω
ω ε (26)
即可激發介電物質與金屬介面處的表面電漿共振。
(c) 有限厚度薄板的表面電漿模態[12]
先前所討論的表面電漿共振，是對於具有無限大 厚度之金屬而言，若考慮一有限厚度的金屬薄板時，
由於金屬與兩邊介電物質之介面上皆有其表面電漿 共振模態，當薄板厚度縮小至奈米尺度，表面電漿所 形成之消散場將足以穿透至金屬另一面，使得金屬薄 板兩邊之表面電漿電磁場產生交互作用，形成一組耦 合之表面電漿共振模態，相較於原本單一介面之表面 電漿頻率其共振頻率為一組簡併模態之頻率。考慮一 厚度為d 之金屬薄板位於z=0與z= 之間，假若金d 屬之介電係數與磁導率分別為ε 與2 µ ，而位於2 z<0 以 及 z>d 空 間 中 的 介 電 物 質 其 物 質 係 數 分 別 為 (ε1,µ1)與(ε3,µ3)，對於 TM 極化的外加電磁波所激 發之表面電漿共振，其電場與磁場可以表示如下(假 設外加電磁波之入射平面為x-z 平面)
在z<0區域：
) 1 (
1 0 ) 1 1 (
) 1 (
) 1 (
1 1
) , 0 , (
) 0 , , 0 (
t x k i z x ik y z
t x k z i y ik
x z x z
e e k H k
E
e e H H
ω ω
ε ωε
−
−
−
−
−
=
=
在0<z<d區域：
) 2 (
2
2 2 2 0 ) 2 (
) 2 (
) 2 2 (
] ) , 0 , (
) , 0 , ( 1 [
] ) 0 , , 0 ( ) 0 , , 0 [(
2 2
2 2
t x k i z x ik z y
z x ik z y
t x k i z y ik z y ik
x z
z x z z
e e k k H
e k k H E
e e H e
H H
ω
ω
ε ωε
−
−
− +
−
−
− +
+
−
−
=
+
=
(27)
在z>d區域：
) 3 (
3 0 ) 3 3 (
) 3 (
) 3 (
3 3
) , 0 , (
) 0 , , 0 (
t x k i z x ik z y
t x k i z y ik
x z x z
e e k H k
E
e e H H
ω ω
ε
ωε −
−
−
−
=
=
利用電場與磁場在z=0與z=d介面處的邊界連續 條件，若要得到使式(27)有不為零的解，則其電磁場 必須滿足以下之色散關係式
θ
稜鏡ε3 介電物質ε1
金屬ε2(ω)
k1
kSP
E
x z
kSP
ω
kx )
sin ( ε1 θ ω=ckx
) sin ( ε3 θ ω=ckx
表面電漿 色散曲線
圖十一 利用全反射造成具有較高kx值之消散場電磁
波來激發金屬表面電漿的耦合方式。
