分形维：

(1)

非线性物理：

非线性物理：分形物理分形物理

特征尺度问题：

• 物理学家关注自然现象中的特征尺度，然后寻找数学描述方法！

关注有序无序！

• 自然界的构造动力模式：规则和完全随机之间的！

• 规则构成导致所谓周期排列或者准周期排列，例如晶体、社会组织、军队方阵等等，都有特征尺度。从形成动力学看，是近平衡生长或者组织形成的。

• 自然界随机过程和现象更加广泛：没有特征尺度！

(2)

非线性物理：

(3)

非线性物理：

(4)

非线性物理：

























 



1.00 r

0.15

0.2), 0.85y

,-0.04x 0.04y

(0.85x

0.15 r

0.08

0.2), 0.24y

,0.26x 0.28y

(-0.15x

0.08 r

0.01

0.2), 0.22y

,0.23x 0.26y

- (0.2x

0.01 r

0.00

), y 16 . 0 , 0 ( )

y , x

(

n n

n

1 n 1 n

(5)

非线性物理：

分形维：

• 这类没有特征尺度的物体成为分形体。既然没有特征尺度，如何 去描述它的几何特征？以Koch曲线为例：

• 对单位长度线段，无论用何种尺度  去测量，其长度 L 均为1：

1 L  

⁰



(6)

非线性物理：

• 用  =1/3 尺度测量，小于  的弯曲部分被遗弃，L( =1/3)=4/3；

依此类推：

• 根据维度定义，应该有：L=  ^=N ^，这里^{是余数维。因此，}

(4/3)ⁿ=(1/3)ⁿ^=N ^{，所以有：} =1-ln4/ln3=-0.2618，定义=1-D_H

，有D_H=ln4/ln3=1.2618，称为Hausdorff分形维。



   



 



 











 



 



  N

3 4 3

L 1

n n

) /(ln

N ln D

N

1 H

D_H







(7)

非线性物理：

• 对一个正方体：N~ ²，_所以D_H=2.0。对于一个立方体： N~ ³， 所以D_H=3.0。

• 如图所示的Sierpinski三角形，映射到 第n步， ^=(1/2)ⁿ⁼²^-n^{，而相应的面积} 单元数目N=3ⁿ。所以，维度D_H为：

2 ln / 3 ln D

2 ln nD

3 ln n 2

~ 3

~ N

H

H D

n n

D_H _H





 ^

 

(8)

非线性物理：

• Sierpinski地毯，映射到第n步， =(1/3)ⁿ=3^-n，而相应的面积单元 数目N=8ⁿ。所以，这个图形的维度为D_H=log8/log3=1.8928 。

(9)

非线性物理：

天线发射

(10)

非线性物理：

Sierpinski gasket:

D=log5/log2=2.3219

(11)

非线性物理：

Sierpinski gasket:

D=log20/log3=2.7268

(12)

非线性物理：

• 质心定义方法：

(13)

非线性物理：

• 对于分形体而言，物体在整个 d 维空间的占有概率为P(^)，这 里 d-D_H为余数维。

DH

)

d

(

P   

^

• 经典力学问题：万有引力 f(r) 与物体间距 r 的关系：f(r) ~ r ^-2，也没有特征尺度，但是维度为整数，是特例。

• 整理起来，有如下描述分形体的语言：

(14)

非线性物理：

自相似性：局部放大或者缩小与整体相似。

空间幂指数律：整体量与线度呈幂指数关系。

标度不变性：不同标度下的相互一致性，即自相似。

没有特征尺度：结构没有特征尺度可以描述。

分形分形基本基本结构结构特征特征

标度不变性的数学意义：

满足 y(  x)= 

^a

y(x) 是齐次函数

设x  x ＝ x时，y  =Ax 

^a

=A 

^a

x

^a

= 

^a

Ax

^a

= 

^a

y

所以y  ~y

(15)

非线性物理：

动力系统映射：

• 一个分形体的形成演化过程在物理上应该是某种动力系统的演化

。阐明这种演化是非线性物理的主干。在本章会一直关注这个问 题。以Cantor集合的动力系统映射为例。

(16)

非线性物理：

• 一般总可以将一个分形集合与一个动力系统映射联系起来。以 Cantor集合为例：

























) x ( 3 w

x 2 3 x 1

) x ( w 3 x

x 1

] 1 , 0 [ x

n 2

n 1

n

n 1 n

1 n n

• 映射w₁将[0, 1]变成[0, 1/3]，w₂将[0, 1]变成[2/3, 1]；w₁又将[0, 1/3]

和[2/3, 1]分别变成[0, 1/9]和[2/9, 1]，w₂将[0, 1/3]和[2/3, 1]分别变 成[2/3, 5/9]和[8/9, 1]；构成如下的迭代过程：

(17)

非线性物理：

• 这种映射过程反映了系统演化的奇异突变性，在空间形成按照分形自相似规律排列的奇异点。

• 一个分形集合可以与一个动力系统映射演化联系起来。

(18)

非线性物理：

• 这种映射联系还可以图示如下：

• 更进一步，这种映射还可以考虑质量分布不均匀的情况，如：

(19)

非线性物理：

• 这一映射将[0, 1]分别拆解成[0, 1/4]和 [3/5, 1]，依此类推。逆映射w₁^-1和w₂^-1 又分别将[0, 1/4]和[3/5, 1]映射成[0, 1]

。设初始质量密度为₀^，有：

2 1

2 0

2 1

1 1

1 0

1 1

P 1

5 , w 3

P 1

5 , 3

4 P ,1 0 w

4 P ,1 0

 



 



 



 

 



 



 



 



 

 







2 2 2

2 1

2 2

2 1 1

1 2

1 2 1

2 2

2 1 1

1 1

1 2

P P

P 1

5 , P 3

) 4 ( , P P 1

5 , P 3

) 3 (

P 4 P

,1 0 P

) 2 ( , P P

4 P ,1 0 P

) 1 (



 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 



质量密度守恒！

(20)

非线性物理：

非均匀分形：

• 分形体演化可以是均匀的，也可以是非均匀的。还是以Cantor集 合为例：

















) x ( 3 w

x 2 3 x 1

) x ( w 3 x

x 1

n 2

n 1

n

n 1 n

1 n

(21)

非线性物理：

• 因为左右映射不对称，获得的长度不同，因此用同一尺度 r 去测 量导致左右线段长度不同：左边长度为N₁(r)，右边长度为N₂(r)，

则一次映射后总长数目：N(r)=N₁(r)+N₂(r)。

• 而左边短线段和右边大线段是自相似的，用 r₁=r/4 测量左线段和 用 r₂=2r/5 测量右线段数目应该一样：N₁(r₁r)=N₂(r₂ r)=N(r)=r ^–D

1 r

...

r r

r

1 r

r

r ) r

r ( N r ,

) r r ( N

D n D

3 D

2 D

1

D 2 D

1

D

2 2

D

1 1











 



 



 



 



(22)

非线性物理：

• 例子(1) 非均匀Cantor集合，r₁=1/4，r₂=2/5，所以：

0.611 D

, 43 . 0 x

5 x 2 , 4 x

1 1 5

2 4

1 ^D ^D ^D ^D ₀_.₆₆





 



 



 



 



 

 



 



 



 





• 例子(2) Logistic映射： 



 



 



 





 g g ^x )

x ( g

• 取g(0)=1，则映射的周期倍分叉过程可转换成Cantor集合映射。

设x=0，有g(0)=-g[g(0)]=-g(1)，所以g(1)=- ^-1。要求得g(- ^-1) 是多少？取x=1，得到g(1)=-^g[g(- ^-1^)]=- ^-1，g[g(- ^-1^)]= ^-2^。所以有 ^-D+  ^-2D=1，D=0.537。

(23)

非线性物理：

无规分形：

• 自然界大量物理研究对象并非严格的数学分形，但其中某些物理量对空间尺度满足某种非整数的幂指数关系，统称分形。

• 检验分形的方法是检验其几个主要性质，例如标度不变性、幂指数行为等等。

• 计算空间对-对关联函数c(r)





 



r

) r ( ) r r

V ( ) 1

r (

c  

(24)

非线性物理：

• 如果c(r)对任意一个长度变换不变，则满足所谓标度不变性：

d 0

),

r ( c b

) br (

c 

^

  

• 满足上述标度不变的函数是幂指数：



 r



) r ( c

• 对一个分形体，半径为L的球内粒子数为N(L)：d_f=d-



• 上式中注意到c(r)的定义中有1/V。这是定义无规分形的常用方法

，非常popular。







 

0^L ^d

d

r L

d ) r ( c )

L

(

N

(25)

非线性物理：

无规分形之渗流集团：

• 统计物理的一个重要问题：格点渗流与键渗流。

格点集团，概率p 集团的定义

0 0

0

p

p - p

, p

p )

p (

P  

^

 

^

 

(26)

非线性物理：

• 对渗流集团，应用关联函数，可得关联长度



^{及其临界指数}



^：

 



  p  p

₀ ^



^

• 当



>



^{，体系是密实的；当}



<



^{，体系是自相似的。当} p=p₀ 时，



，整个体系为一个分形体。

(27)

非线性物理：

• 证明这一点不难。定义格点密度



^{及格点体积} ^M：

L ln ) d d

( const

) L ( ln

L

~ ) L (

L

~ M(L) L

/ ) L ( M )

L (

f d

d

d d

f











• 因此，L>



^{，体系是密实的，有}d_f=d；当L<



^{，体系自相似，有}

d_f<d。如何计算L<



^{下的分形维？}

(28)

非线性物理：

• 对于一个渗流分形集团(r<



^{)，关联函数c(r)}^{满足幂指数律：}

) /

r ( f

~ ) r ( c

~ ) p ( P

,

~

,

~ ) p ( P

) /

r ( f ) p ( P

~ ) r ( c

/

/ -































• 注意，在 L<



^时，^c(r) 与整个渗流集团关联长度



^{应该是没有关}

系的，所以幂指数函数f(L/



)下必须取下列形式：

























/

/ d

d

L L

r c(r)d

~ M(L)

r

~ ) r ( c

) /

r (

~ ) /

r ( f

f

/ d d

L 0

d

/ /

f



















d=2时，^=0.104，

^=1.33，d_f^~1.89，

非常符合。

(29)

非线性物理：

无规分形之随机行走

_(RW)

：

• 对于理想布朗运动，运动轨迹也是分形。位移均方值为：

df

2

r ( t ) ~ t , N ~ r

r  

• 因为r是位移均方根，所以一定有N~r²，因此，d_f=2.0。

• 对自规避行走(SAW)，有类似分形行为。模拟和重整化给出SAW 的关联临界指数v=3/4，d_f=1/v=4/3。

(30)

非线性物理：

分维测量：实验

• 图像处理，散射实验。后者特别有用，因为散射与分形体结构因子相联系，而结构因子决定于空间相关函数 c(r)：

d d 0

2 f

r

~ ) r ( c , qr dr

) qr r sin(

) r ( c 4

) q (

s ^

^ 

^ ^

• 对尺寸R有限的样品，r>R时，c(r)必定很快下降，所以对d=3：

1 0 1

d -

0

2 d d

3 d

r q

R as q

~ ) q ( s

~ ) q ( I

zdz sin

) qR /

z ( f z

q

~ ) q ( s q

/ z r

1 x

as 1 )

x ( f

1 x

as const

~ ) x ( f

), R / r ( f r

~ ) r ( c

f

f f

f

 

 



















(31)

非线性物理：

分维测量：计算机模拟

• 最为popular，且简单，可使用回转半径法：

• 统计物理上经常使用实空间重整化方法来处理分形维问题，此处不再讨论。

(32)