Chapter 8 複數與三維繪圖

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Chapter 8 複數與三維繪圖

Hung-Yuan Fan (范洪源)

Department of Mathematics, National Taiwan Normal University, Taiwan

Spring 2017

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Outline

8.1 複數資料 8.2 多維陣列 8.3 三維圖形

Hung-Yuan Fan (范洪源), Dep. of Math., NTNU, Taiwan Chap. 8, Computer Programming 2/63

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Section 8.1

複數資料

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複數資料的使⽤時機

複數（complex numbers）是包含實數及虛數的⼀種數字。

⼤多數描述電機與機械系統⾏為的微分⽅程式，也都會產⽣

複數型態的解。

複數的使⽤很廣泛，我們必須深入了解複數的使⽤及其處理

⽅法，才能順利解決問題。

複數的⼀般形式為：

c = a + bi (直⾓座標表⽰法)

= z cos θ + (z sin θ)i = ze ^iθ , (極座標表⽰法) 其中 i = √

−1 或是 i ² = −1。

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複數的座標⽰意圖

Figure: 直⾓座標的複樹表⽰ (左) 和極座標的複樹表⽰ (右)

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兩座標間的轉換

極座標轉直⾓坐標 (z, θ) 7−→ (a, b):

a = z cos θ, b = z sin θ 直⾓坐標轉極座標 (a, b) 7−→ (z, θ):

z = √

a ² + b ² , θ = tan ⁻¹ b

a ,

其中幅⾓ θ 可以由函式atan2(b,a) 或 atan2d(b,a) 求得，

且輸出⾓度範圍是 −π ≤ θ ≤ π 或 −180 ^◦ ≤ θ ≤ 180 ^◦ 。

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複數的基本運算

對於任何兩個複數 c 1 = a 1 + b 1 i = z ₁ e ^iθ ¹ 和 c ₂ = a ₂ + b ₂ i = z ₂ e ^iθ ² , 定義加減乘除如下:

直⾓坐標形式:

c ₁ ± c 2 = (a ₁ ± a 2 ) + (b ₁ ± b 2 )i,

c ₁ × c 2 = (a 1 a ₂ − b 1 b ₂ ) + (a 1 b ₂ + b 1 a ₂ )i, c ₁

c ₂ = a ₁ a ₂ + b ₁ b ₂

a ² ₂ + b ² ₂ + b ₁ a ₂ − a 1 b ₂ a ² ₂ + b ² ₂ i 極坐標形式:

c ₁ ± c 2 = (z 1 cos θ ₁ ± z 2 cos θ ₂ ) + (z 1 sin θ ₁ ± z 2 sin θ ₂ )i, c ₁ × c 2 = (z ₁ z ₂ )e ^i(θ ¹ ^+θ ² ⁾ , c ₁

c ₂ = z ₁

z ₂ e ^i(θ ¹ ^−θ ² ⁾

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複數變數的初始化

1

使⽤內建值 i 或 j 來產⽣複數值，這兩個值在 MATLAB 都被預設為 √

−1。

>> c1 = 4 + i*3 c1 =

4.0000 + 3.0000i

2

直接在數字的虛數部分之後，加上 i 或 j 來指定複數的虛數部分。

>> c1 = 4 + 3i c1 =

4.0000 + 3.0000i

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在複數間使⽤關係運算⼦

關係運算⼦ >, > =, < 與 < = 只會比較複數的實數部分。

>> c1 = 4 + 3i; c2 = 3 + 8i;

>> c1 > c2 ans =

1 % 代表敘述式 c1 > c2 是對的 (true)!

較合理的關係運算是比較複數的絕對值

|c| = z = √ a ² + b ² 的⼤⼩，⽽不是比較複數實部的⼤⼩。

>> compare_abs = [abs(c1), abs(c2)]

compare_abs =

5.0000 8.5440

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複數函式

MATLAB 包含了許多⽀援複數運算的函式。

這些函式可以分成三種類別：

1

型態轉換函式: real、imag 等函式。

2

絕對值與⾓度函式: abs、angle 等函式。

3

數學函數: 包含了指數函數、對數函數、三⾓函數與平⽅根函數。例如，MATLAB 的 sin、cos、log、sqrt 等函式也可以處理複數資料型態。

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⼀些⽀援複數資料型態的函式

函式描述

conj(c) 計算 c 的共軛複數。如果 c = a + bi，

則 conj(c) = a –bi。

real(c) 傳回複數 c 的實數部份 (real part)。

imag(c) 傳回複數 c 的虛數部份 (imaginary part)。

isreal(c) 如果陣列 c 內的元素沒有虛數部分，

則傳回 true 值 (1) 。

abs(c) 傳回複數 c 的絕對值⼤⼩。

angle(c) 由 atan2(imag(c),real(c)) 的式⼦，計算並

傳回複數 c 的⾓度。

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複數資料的圖形

MATLAB 複數資料的圖形與實數資料的圖形會有些微的不同。

以繪製複數值函數 (complex-valued function)

y(t) = e ^−0.2t (cos t + i sin t), 0 ≤ t ≤ 4π 的圖形為例。

複數值函數的繪圖 t = 0:pi/20:4*pi;

y = exp(-0.2t).(cos(t)+i*sin(t));

plot(t,y,'LineWidth',2);

title(' \bf Plot of Complex Function vs Time');

xlabel(' \bf \it t');

ylabel(' \bf \it y(t)');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

Figure: 函式 plot 不能畫出複數值函數的圖形!

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⽅法⼀: 複數值函數圖形的呈現 t = 0:pi/20:4*pi;

y = exp(-0.2t).(cos(t)+i*sin(t));

plot(t,real(y),'b-','LineWidth',2);

hold on;

plot(t,imag(y),'r--','LineWidth',2);

title(' \bf Plot of Complex Function vs Time');

xlabel(' \bf \it t');

ylabel(' \bf \it y(t)');

legend('real part','imag. part');

hold off;

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

Figure: 在同⼀張圖形中呈現複數值函數的實部和虛部

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⽅法⼆: 複數值函數圖形的呈現 t = 0:pi/20:4*pi;

y = exp(-0.2t).(cos(t)+i*sin(t));

plot(y,'b-','LineWidth',2);

title(' \bf Plot of Phase Portrait (相位圖)');

xlabel(' \bf Real Part');

ylabel(' \bf Imaginary Part');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

Figure: 複數值函數的實部對虛部之相位圖

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⽅法三: 複數值函數圖形的呈現 t = 0:pi/20:4*pi;

y = exp(-0.2t).(cos(t)+i*sin(t));

polar(angle(y),abs(y));

title(' \bf Plot of Phase Portrait (極座標圖)');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

Figure: 以極座標表⽰複數值函數的相位圖

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⽅法四: 複數值函數圖形的呈現 (動畫版) t = linspace(0,4*pi,4e4);

y = exp(-0.2t).(cos(t)+i*sin(t));

comet(real(y),imag(y));

title(' \bf Plot of Phase Portrait (相位圖動畫版)');

xlabel(' \bf Real Part');

ylabel(' \bf Imaginary Part');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

Figure: 複數值函數的實部對虛部之相位圖動畫版

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Section 8.2 多維陣列

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⼆維與三維陣列

陣列的維度多於⼆維，稱為多維陣列。

三維陣來必須以列、⾏與⾴三個維度來描述。

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三維陣列的建立

1

由⼀維或是⼆維陣列所⽣成。

>> a = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];

>> a(:,:,2) = zeros(3,4)

% 變數 a 是⼀個 3 × 4 × 2 的陣列。

2

由 MATLAB 內建函式⽣成。

>> b = ones(4,4,2)

>> c = randn(2,2,3)

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檢查多維陣列的維度和⼤⼩

函式 ndims: ⽤來取得多維陣列的維度。

>> ndims(c) ans =

3 函式 size: ⽤來取得多維陣列的⼤⼩。

>> size(c) ans =

2 2 3

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Section 8.3 三維圖形

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三維空間曲線的繪圖

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函式 plot3 的範例 (1/2) t = linspace(0,30,120);

plot3(t.sin(t),t.cos(t),t,'-ro');

title(' \bf Plot of 3D Parametric Curve');

xlabel(' \bf x');

ylabel(' \bf y');

zlabel(' \bf z');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

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函式 plot3 的範例 (2/2) t = linspace(0,30,120);

**plot3(t.sin(t),t.cos(t),t,'-ro',...**

**t.sin(t),t.cos(t),-t,'-bd');**

title(' \bf Plot of 3D Parametric Curve');

xlabel(' \bf x');

ylabel(' \bf y');

zlabel(' \bf z');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

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如何繪製函數 z = f(x, y) 的圖形?

對於函數 f(x, y) ⽽⾔，每給⼀組 (x, y)，便能計算其函數值 z = f(x, y)。

只要給予 (x, y) 的組數夠多，即可繪出函數的三維曲⾯圖。

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描繪三維圖形的步驟

Step 1 建立 x 軸和 y 軸⽅向上的⼆維陣列 xx 與 yy。

直接使⽤宣告式由鍵盤輸入兩陣列的所有元素。

使⽤函式 meshgrid ⾃動⽣成兩陣列。

Step 2 建立 z 軸⽅向上的⼆維陣列 zz。

直接使⽤宣告式由鍵盤輸入陣列 zz 的元素。

由函數 z = f(x, y) 的形式與陣列運算建立⼆維陣列 zz。

Step 3 使⽤內建函式繪製三維圖形和等⾼線圖。

mesh(xx,yy,zz): 產⽣⼀個網格圖 (mesh) 或是線框圖 (wireframe)。

surf(xx,yy,zz): 產⽣⼀個曲⾯圖 (surface)。

contour(xx,yy,zz): 產⽣⼀個等⾼線圖 (contour)。

建議使⽤ title、xlabel、ylabel、zlabel 等函式增加圖

形的可讀性。

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MATLAB 如何定義這些⼆維陣列? (1/2)

對於 x、y 軸上取樣的網格點 (grid points) 或資料點

x = [x ₁ , x 2 , · · · , x n ], y = [y ₁ , y 2 , · · · , y m ], MATLAB 定義⼆維陣列 xx 與 yy 具有下列矩陣形式:

xx =



 

 

x ₁ x ₂ · · · x n

.. . .. . .. . x ₁ x ₂ · · · x n



 

  ∈ R ^m ^× ⁿ , yy =



 

 

y ₁ y ₁ · · · y 1

y ₂ y ₂ · · · y 2

.. . .. . .. . y _m y _m · · · y m



 

  ∈ R ^m ^× ⁿ

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MATLAB 如何定義這些⼆維陣列? (2/2)

因此，與 z 軸⽅向有關的⼆維陣列 zz 應當定義為

zz =



 

 

f(x ₁ , y ₁ ) f(x ₂ , y ₁ ) · · · f( x _n , y ₁ ) f(x ₁ , y ₂ ) f(x ₂ , y ₂ ) · · · f( x _n , y ₂ )

.. . .. . .. . f(x ₁ , y _m ) f(x ₂ , y _m ) · · · f( x _n , y _m )



 

  ∈ R ^m ^× ⁿ ,

其中，m 是向量 y 的元素個數且 n 是向量 x 的元素個數。

Note: 使⽤元素對元素的陣列運算和 f 的形式，我們可以輕易地

建構⼆維陣列 zz!

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範例

若考慮在 x = 1, 2, 3, 和 y = 1, 2, 3, 4 點上繪出雙⾃變量函數

z = f(x, y) = √ x ² + y ² 的圖形, 則 MATLAB 會如何設定陣列 xx 和 yy?

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範例的解答 (承上⾴)

>> xx = [1 2 3; 1 2 3; 1 2 3; 1 2 3]

xx =

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

>> yy = [1 1 1; 2 2 2; 3 3 3; 4 4 4]

yy =

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

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使⽤ meshgrid 函式建立陣列

>> vx = 1:3; vy = 1:4;

>> [xx,yy] = meshgrid(vx,vy)

% 輸出⼆維陣列xx 、 yy與上⾴範例的結果相同!

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承上例，我們可以畫出 z = f(x, y) 的網格圖:

>> zz = sqrt(xx.ˆ2+yy.ˆ2); % 建立函數值的⼆維陣列 zz

>> mesh(xx,yy,zz)

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同理，我們也可以畫出 z = f(x, y) 的曲⾯圖:

>> surf(xx,yy,zz)

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範例

嘗試在 −4 ≤ x ≤ 4 以及 −3 ≤ y ≤ 3 區間上，設定資料點的取樣間距為 0.1，繪製函數

z = f(x, y) = e ^−0.5(x ² ^+0.5(x ^−y) ² ⁾

的網格圖、曲⾯圖和等⾼線圖。

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使⽤函式 mesh 的程式碼 (承上例)

[xx,yy] = meshgrid(-4:0.1:4,-3:0.1:3);

zz = exp(-0.5(xx.ˆ2+0.5(xx-yy).ˆ2));

mesh(xx,yy,zz);

title(' \bf Mesh Plot');

xlabel(' \bf x');

ylabel(' \bf y');

zlabel(' \bf z');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

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使⽤函式 surf 的程式碼 (承上例)

[xx,yy] = meshgrid(-4:0.1:4,-3:0.1:3);

zz = exp(-0.5(xx.ˆ2+0.5(xx-yy).ˆ2));

surf(xx,yy,zz);

title(' \bf Surf Plot');

xlabel(' \bf x');

ylabel(' \bf y');

zlabel(' \bf z');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

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使⽤函式 contour 的程式碼 (承上例) [xx,yy] = meshgrid(-4:0.1:4,-3:0.1:3);

zz = exp(-0.5(xx.ˆ2+0.5(xx-yy).ˆ2));

contour(xx,yy,zz);

title(' \bf Contour Plot');

xlabel(' \bf x');

ylabel(' \bf y');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

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函式 meshc 與 waterfall

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使⽤函式 waterfall 的程式碼 (承上例) [xx,yy] = meshgrid(-4:0.1:4,-3:0.1:3);

zz = exp(-0.5(xx.ˆ2+0.5(xx-yy).ˆ2));

waterfall(xx,yy,zz);

title(' \bf Waterfall Plot');

xlabel(' \bf x');

ylabel(' \bf y');

zlabel(' \bf z');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

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使⽤函式 meshc 的程式碼 x = linspace(-8,8,30);

y = x; [xx,yy] = meshgrid(x,y);

expr = sqrt(xx.ˆ2+yy.ˆ2);

zz = sin(expr)./(expr+eps);

meshc(xx,yy,zz);

title(' \bf Meshc Plot');

xlabel(' \bf x');

ylabel(' \bf y');

zlabel(' \bf z');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

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函式 surf 與 surfc

Note: 若vx 、 vy分別為 x�y 軸資料點所形成的向量，則 mesh(vx,vy,zz)、meshc(vx,vy,zz) 分別和指令 mesh(xx,yy,zz)、meshc(xx,yy,zz) 繪圖效果⼀樣。

surf(vx,vy,zz)、suurfc(vx,vy,zz) 分別和指令

surf(xx,yy,zz)、surfc(xx,yy,zz) 繪圖效果⼀樣。

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使⽤函式 surfc 的程式碼 (承上例) x = linspace(-8,8,30);

y = x; [xx,yy] = meshgrid(x,y);

expr = sqrt(xx.ˆ2+yy.ˆ2);

zz = sin(expr)./(expr+eps);

surfc(xx,yy,zz);

title(' \bf Surfc Plot');

xlabel(' \bf x');

ylabel(' \bf y');

zlabel(' \bf z');

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範例的繪圖結果 (承上⾴)

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簡易的三維繪圖函式

只要給予函數字串與範圍，下列函式可快速的繪出三維的圖形:

函式說明

ezmesh('f',[xmin,xmax,ymin,ymax],n) 以 n ×n 個網格點繪出 f 的三維圖形，

若省略 x�y 範圍或 n 值，則預設值是

−2π ≤ x, y ≤ 2π 且 n = 60 ezmeshc('f',[xmin,xmax,ymin,ymax],n) 同上，但圖形下⽅顯⽰等⾼線圖 ezsurf('f',[xmin,xmax,ymin,ymax],n) 同 ezmesh，但網格⾯會塗上顏⾊

ezsurfc('f',[xmin,xmax,ymin,ymax],n) 同上，但圖形下⽅顯⽰等⾼線圖

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函式 ezmesh 的範例

>> ezmesh('exp(-0.2x)cos(t)',[-pi,2*pi,-2,12],36)

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函式 ezsurf 的範例

>> ezsurf('yˆ2-xˆ2',36) % z = f(x, y) = y ² − x ² 的圖形

% 函數圖形是⼀個雙曲拋物⾯ (Hyperbolic Paraboloid)。

% 原點 (0, 0) 是⼀個鞍點 (saddle point)。

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雙參數的空間曲⾯

若空間曲⾯上任何⼀點 (x, y, z) 滿⾜下列雙參數⽅程式:

x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v),

其中參數區間為 u _min ≤ u ≤ u max 和 v _min ≤ v ≤ v max ，我們可利

⽤函式 ezsurf 與 ezmesh 輕易地繪出參數曲⾯的圖形。

ezsurf('f','g','h',[umin, umax,vmin,vmax]): 繪製參數曲⾯圖

ezmesh('f','g','h',[umin, umax,vmin,vmax]): 繪製參數網格圖

曲⾯透明度可⽤函式alpha(value)調整，其中 value 是介

於 0 到 1 的實數且預設值是 1。

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單位圓形柱⾯⾯圖

>> ezsurf('cos(u)','sin(u)','v',[0,2*pi,-1e4,1e4])

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單位球體的曲⾯圖 (1/2)

>> ezsurf('sin(u)cos(v)','sin(u)sin(v)','cos(u)',

[0,pi,0,2*pi])

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單位球體的曲⾯圖 (2/2)

>> ezsurf('sin(u)cos(v)','sin(u)sin(v)','cos(u)', [0,pi,0,2*pi])

>> alpha(0) % 完全透明的單位球體!

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Chapter 8 複數與三維繪圖