CK6125 姜俊宇
MIN-HEAPIFY (x) 1 l ← x × 2 2 r ← x × 2 + 1
3 if l ≤ n and Heap[l].key < Heap[x].key 4 then min ← l
5 else min ← x
6 if r ≤ n and Heap[r].key < Heap[min].key 7 then min ← r
8 if min ≠ x
9 then exchange Heap[x] ↔ Heap[min]
10 MIN-HEAPIFY(min)
HEAP-UP (x)
1 while x > 1 and Heap[x]<Heap[PARENT(x)]
2 do exchange Heap[x] ↔ Heap[PARENT(x)]) 3 x ← Parent(x)
INSERT (v) 1 n ← n + 1 2 Heap[n] ← v 3 HEAP-UP (n) DELETE (x)
1 exchange Heap[x] ↔ Heap[n]
2 n ← n – 1
3 if x > 1 and Heap[x] < PARENT(x) 4 then HEAP-UP (x)
5 else MIN-HEAPIFY (x) FIND-MIN ()
1 return Heap[1]
堆積結構 Heap
Heap是一種頗常見且好用的資料結構之一，可以迅速插入刪除元素，並在O(1)的時間內找到極值。
Heap的性質
1. Heap是一棵完全二元樹(Complete Binary Tree)或是空樹
2. 每個節點必定小(大)於其子節點每個節點必定是以其為根的子樹中最小(大)的一個點。
Heap的實現
由於Heap是一棵完全二元樹，所以可以用一般的陣列(Array)實現。
令整棵Heap的root為heap[1]，則節點heap[x]的左子節點為 heap[2x]，右子節點為heap[2x+1]
Heap的操作(以下皆以Min-Heap為例) 最小堆化Min-Heapify(x) – O(lgn)
當heap[x]的兩個子樹heap特性時，將以heap[x]為根的整個子樹heap化。
上移元素Heap-Up(x) – O(lgn)
當heap[x]可能小於父節點時，將heap[x]作更動以保持heap特性。
插入元素Insert(x) – O(lgn)
將一個元素v插入heap中並保持heap特性。
刪除元素Delete(x) – O(lgn)
將位於heap[x]的元素從heap中刪除，並保持heap特性。
想一想
ACM 10954 Add All
給定一堆數字，取出兩個數字加起來之後丟回去，重複動作直到只剩一個數字，問該數字最小多少。
ACM 978 Lemming Battle!!
給定戰場數、兩軍的兵數以各自的戰鬥力，每一輪各推派戰鬥力最強幾位的去各個戰場戰鬥，若一 方人數不足則戰場留空。若雙方戰鬥力相同則同歸於盡，否則戰鬥力強者存活且戰鬥力會變弱，變弱的 程度相當於對方之戰鬥力，存活者回到陣營中，再選人進行下一輪，戰到至少有一方全滅為止，問是雙 方皆全滅或是藍、綠哪一方獲勝及獲勝方剩餘的戰鬥力，以非遞增方式輸出。
挑戰題 TIOJ 1402 淹水問題
在M*N的土地上，降下了相當多的雨水。水會往低處流，也會在低處積水。 一旦水越過了邊界，就會 流到外面去。請問這樣的地形最多能夠累積多少單位的水量呢？
類題
ACM 501,757,10787…. TIOJ 1128,1155,1161,1202,1221,1223,1304,1397-1403….
動態規劃法 Dynamic Programming(DP)
如同Divide & Conquer，DP將問題分割成數個子問題分別 的過程中會記錄子問題的答案，並不
DP的性質
(1) 子問題重疊性：當問題被分割時
(2) 最優子結構性：問題的最佳解包含了子問題的最佳解
DP問題限制
(1) 最優化限制：暫不管先前的策略與解答 (2) 無後顧限制：目前的最佳狀態決定後 DP 方法的步驟
(1) 分析問題，找出問題與子問題的關連性
(2) 找出DP的關係式（遞迴式、
(3) 利用Bottom-Up或Top-Down
(4) 根據上步驟所得到的答案找出最佳解
DP 的缺點 若相同子問題出現頻率過低時相當不適用
DP 的題型
『題1』費氏數列
F(n)=F(n-1)+F(n-2),F(1)=1,F(2)=1
『題2』生產線
現在有兩條生產線，每條線有n 要依序經過n個工作站（無論在哪條線上 從W1,x到W2,x+1需要T1,x的時間 生產線送出分別需要E1、E2、X1、
給定這些時間，若想以最快的方式生產一件產品
『題3』最大連續元素和
給定一個序列，問連續元素的和最大可為多少
『題4』Tri Tilling(Uva 10918)
問有多少方法可以用1x2的積木填滿
『題5』零錢問題(Uva 674)
某城市使用n種貨幣，面額分別是
『題6』零錢問題II(Uva357)
某城市使用n種貨幣，面額分別是
『題7』最大正方形(TIOJ1097 營地
有一塊m×n大小的土地，每一格標示
現在要蓋正方形房子，試問房子的邊長最大值為何
Dynamic Programming(DP)
將問題分割成數個子問題分別解決，但與D&C 並不重複計算相同的子問題。
當問題被分割時，分割後的子問題常常是『老問題』
問題的最佳解包含了子問題的最佳解
暫不管先前的策略與解答，目前所知所有的子問題解答可以構成問題的最佳解 目前的最佳狀態決定後，不會影響到之前所決定的最佳性
找出問題與子問題的關連性
、狀態轉移方程）
Down的方式計算最佳值（若題目要求最佳過程 根據上步驟所得到的答案找出最佳解。
若相同子問題出現頻率過低時相當不適用。
2),F(1)=1,F(2)=1，求F(n)？
n個工作站，第a條線上的第b個站需要Aa,b 無論在哪條線上），才能出廠。從工作站W1,x到W1,x+1
的時間；同樣的，從W2,x到W1,x+1需要T2,x
、X2的時間。
若想以最快的方式生產一件產品，要經過哪些工作站？
問連續元素的和最大可為多少？
的積木填滿3xn的格子？
面額分別是d1,d2,...,dn。請問湊出k元所需的最小貨幣數量為何
面額分別是d1,d2,...,dn。請問湊出k元的方法數有多少
營地)
每一格標示0的位置代表不能蓋房子，標示1的位置代表可以蓋房子 試問房子的邊長最大值為何。
CK6125 姜俊宇
D&C不同的是，DP在計算
目前所知所有的子問題解答可以構成問題的最佳解。
不會影響到之前所決定的最佳性
若題目要求最佳過程，則需一邊記錄）
Aa,b的時間。每一個貨物都
W1,x+1不需要花時間，但是
T2,x的時間。進入生產線和從
元所需的最小貨幣數量為何？
元的方法數有多少？
的位置代表可以蓋房子，
CK6125 姜俊宇
『題8』Little Red Riding Hood(Uva 11067)
給定一地圖的起點終點，只能往上跟往右走，路上有許多障礙物，問有幾種走法。
『題9』最長遞增子序列(LIS,Longest Increasing Subsequence)(Uva 481)
給定一個數列，請刪掉最少量的數字使得剩下的序列是嚴格遞增的(稱為LIS)。
『題10』最長共同子序列(LCS,Longest Common Subsequence)(Uva 10405)
給定兩個字串，請在分別刪除兩個字串中的某些字母，使得剩下的子字串完全相同，且子字串長度 最長。例如algorithm和alcoholism的LCS是aloim。
『題11』0-1背包問題(Knapsack Problem)
一個負重量為K的背包，以及N件物品，其重量及價值分別為Wi以及Ci。現在請你挑一些物品放進背 包(每件物品皆不可分割)，但是這些東西的總重量不能超過K。試求放進背包物品總價值的最大值Cma
小問題：如果每件物品可以放無限個呢？_____________________________________________________
如果物品經過分組，每組最多選一件呢？_____________________________________________________
『題12』燈泡問題（95年建中校內賽考題）（TIOJ1007）
我們有一些不同的燈泡，裡面都有一條燈絲，但品質都不是很好，如果持續地讓燈泡亮著的話，燈 絲過一會兒就燒斷了，因此必須有時將電源切斷，讓燈絲降溫。
假設一個燈泡最多可以持續點亮 n單位的時間而不燒斷，而總時間是 m單位時間。請寫一個程式，
給定n和m的值，算出有幾種不同的明暗排列方式，每一種排列方式之中都不會出現亮超過連續 n單 位時間的區段。
『題13』A game（96年建中校內賽考題）（TIOJ1029）
「A遊戲」是個由兩個人玩的遊戲：有一串由N個正整數所組成的數列，兩個玩者輪流拿走一個最 左邊或最右邊的數，直到最後所有的數都取完之後，兩個玩者分別把自己所取到數加總，分數較高的人 獲勝。 今假設兩個玩者都是最佳玩家──也就是說，兩者都不會犯錯，會就目前狀況盡自己的力取得盡 量多的分數──試求兩個玩家所能得到的最高分數各為多少？
『題14』製造回文Palindrome（Uva 10944）
現在給你一個字串，請問最少插入幾個字可以使其變成一個回文
『題15』投擲骰子Dice Throwing（Uva 10759）
投擲 n 個一般的骰子（每個骰子有6面，分別有點數1到6點），點數總和至少 x 的機率是多少？
（1 <= n <= 24）和 x（0 <= x < 150）
『題16』加拿大旅行Canada Tour(USACO Chap5.4)
平面上有若干個城市，由西向東依次為c1, c2,…, cn。但並不是每個城市之間都有航線相通，只有某些城 市有飛機班次，這些相通的城市對是給定的。
現在希望從c1出發，一路經過的城市只能向東，到達某個城市後轉向，再一路向西經過若干個城市回
到c1，且這些城市都不能重複。問最多能經過幾個城市？
CK6125 姜俊宇
『題17』郵局設置問題EX（TIOJ1449）
在一條線上取n個點，每個點距離不同，問取k個點時，所有點離最近的選取點的距離和為多少？
『題18』矩陣相乘問題
給定一連串可以依序相乘的n個矩陣，請你找出一種相乘方式使得所需的總乘法數最少。
『題19』最佳搜尋二元樹Optimal Binary Search Tree
對於同一組數值資料，所形成的二元搜尋樹可能有很多種。現在給你每個數被查詢的次數，試找出 其中一種二元搜尋樹，使得所有數字被查詢時的總比較次數最少。
『題20』糊塗情報員（95年全國賽）（TIOJ1145）
給定一個算式，要求求出加了若干刮號後的最大值。
『題21』樹根The Tree（Uva10459）
給定一棵樹，問選定哪些節點當根，樹的高度會最高或最低。
『題22』煉金術（Uva10459）
在這個世界的規則是這樣的：
#1有種東西叫做價值，有形也好無形也好，價值就只是個價值，越高越好。
#2任兩物質融合後，一定會有一個物質被取代，而不會產生第三種物質。
在你眼前有著n樣物質，以及兩張紙張，上面各有一個n*n 的表格，分別是：
#1當兩個物質融合後所獲得的價值是多少
#2當兩個物質融合後會是哪個物質留下(另個物質會被取代掉) 身為一個稱職的鍊金術師，你要怎樣融合使獲得的價值會最高呢?!
『題23』松鼠吃松果nuts for nuts….（Uva 10944）
格子上有n個松果，其中n<=15。
試問：從原點出發，最少要走多少距離才能吃到所有松果再走回原點？
『題24』分隊問題Forming Quiz teams（Uva 10911）
你被指派一個任務要組隊參加一個猜謎比賽（MCA CPCI Quiz Championship）。有 2*N 個學生有興 趣參加，而你要把他們組成 N 隊，每隊2個人。由於隊友間需要在一起練習，學生們都希望隊友的家 盡可能離自己的家近一些。令 x1 代表第1隊隊員家之間的距離，x2 代表第2隊隊員家之間的距離，
依此類推。你必須要確保 x1+x2+x3+...+xn 為最小。
類題
ACM 711,10081,10482,10549,10558,10201,10154,10259,10261,10280,10379,10529,10559,10593,10599, 10604,10617,10635,10645,10690,10721,10723,10739,10755,10759,10817,10819,10827,10860,10874,10913 TIOJ 1014,1019,1043,1051,1096,1100,1118,1127,1134,1141,1126,1261,1301,1316,1357,1384-1391,1393-1395, 1410,1411,1432,1444,1447
