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(1)

臺北市立建國高級中學第九十二期通訊解題詳解

把¹^,²^,³^,⁴^,⁵^,⁶^,⁷^,⁸^,⁹九個數字分成三組三位數（分別為^K^,^L^,^M⁾，分別填入下列九個空格中，並使等式成立（即^K^^L^^M⁾。

＋＝

例如　125739864　　

試求三位數M 的最小值和最大值？並寫出符合上述條件的等式？

【簡答】最小值為459、最大值為981

【詳解】(1)新北市光復國中王永光同學的解法如下：

考慮K 、L二者的數字和A與M的數字和B之間的關係如下：

若K LM 沒有進位，則AB。

但AB45，可推得AB 22.5(不合，因為數字和為整數值)。

故K LM 有進位，此時有以下幾種情形：

其中有一位進位：^A^ ^B^⁹^^A^²⁷^,^B^¹⁸。

其中有二位進位：^A^^B^¹⁸^ ^A^³¹^.⁵^,^B^¹³^.⁵(不合)。

其中有三位進位：此時M有千位數(與已知不合)。

因為B =18 ，所以M的最大值為981。

令K = 327，L = 654，則K L327654981符合最大值。

若因為KL135246381 故M的百位數3。

但因為M的百位數為3時，則KL146257403(不合) 所以M的百位數大於等於4。

M的百位數等於4時，因為B = 18，故M的最小值為459。

令K = 173，L = 286 則KL173286459符合最小值。

(2)臺北市螢橋國中汪郁哲同學的解法如下：

A.最小值

以十進位制令三位數K =^abc, L =^def , M =^ghi，則g最小可能值為1+2 = 3。

1.若g = 3，令a = 1, d = 2¹^bc^²^ef ^³^hi。 (1)若be10，則^g ^³(不合)；

(2)若be10，則c + f必大於10 ^g ^³(不合)。

因此g不為3。

2.若g = 4，令a = 1, d = 2(∵必有進位，使得g = 4)

¹^bc^²^ef ^³^hi^¹⁰⁰

¹⁰⁰^²⁰⁰^^bc^^ef ^³⁰⁰^^hi^¹⁰⁰

^bc^^ef ^¹^hi

(1)be10 ∴b + e =8 但^bc^^ef ^¹^hi故不合。

(2)be10, ^c^ ^f ^¹⁰, h = 1，故不合。

(3)be10且^c^ ^f ^¹⁰，故^c^ ^f ^⁸或^c^ ^f ^⁹。 [1]^c^ ^f ^⁸ be7916 ^ghi^⁴⁶⁸。

[2]^c^ ^f ^⁹ _{i = 9}be8715  ghi459。 (4)be10且^c^ ^f ^¹⁰ 不合。

9201

(2)

∵468 > 459 ∴最小值=459。

B.最大值

若M = 987^,⁹⁸⁶^,^,⁹⁸²(皆不合)。

若M = 981, K + L = 235 + 746，故M = 981為最大值。

由A,B即可得M最小值為459，此時183+276 = 459；

M 最大值為981，此時235746981。

【評析】

1. 本題屬於難度較高的組合計算問題，如果能充分運用到數字運算及進位相關性質，可以適度簡化計算過程。此次共有7位同學參與此題徵答，多數學生均能將解答順利求出，特別是能提出許多不同的創意解法值得肯定。但是相對也有部分同學在計算過程仍顯繁雜，有待精進。

2. 答題品質及書寫較好的同學名單有新北市光復國中王永光、臺北市北投國中吳博生、新北市蘆洲國中謝耀慶及臺北市螢橋國中汪郁哲等4人。

實數^a^,^b^,^c滿足a 0，⁽b¹⁾² ⁴ac⁰，試證明：2012個變數

2012 2

1, x , , x

x  的聯立方程組

 





 























1 2012

2 2012

2012 2011

2 2011

3 2

2 2

2 1

x c bx ax



^{有唯一解。}

【詳解】

 





 























1 2012

2 2012

2012 2011

2 2011

3 2

2 2

2 1

x c bx ax



 





 

















































2012 1 2012

2 2012

2011 2012 2011

2 2011

2 3 2

2 2

1 2 1

2 1

) 1 (

x x c x b ax



9202

(3)

又(b1)²4ac0，則

 





 

























2012 1 2 2012

2011 2012 2

2011

2 3 2 2

1 2 2 1

) (

x x x

a

x x x

a

x x x

a

x x x

a





^其中^ ^^^b₂^_a¹^，

把所有式子相加，則a[(x₁)² (x₂)²(x₂₀₁₂)²]0，

則 a

x b x

x 2

1

2012 2

1

 



 _  為唯一的一組解。

【評析】

1. 本題作答者有7人，平均得分1.6分，台北市明德國中李浩同學方法簡單扼要，其表達最為完整。

2. 本題的出題的重點是，二次函數的判別式為0可以知道此二次函數可化為領導係數乘上完全平方式，再利用數個完全平方數的和為0，可知每個項都為0。參與的同學大都誤用了二次方程式根的公式，且對於有關含未知數的代數之操作似乎有點生疏，建議國中數學教育可加強這一塊。

任意給定一個三角形ABC，已知P、Q、R分別為_AB、_BC、_CA三邊上的三點，

且AP PB BQ QC CR RA:  :  : 2 :1，若CP AQ BR, , 兩兩交於點A B C', ', '。求A B C' ' '與ABC的面積比。

【簡答】1：7

【詳解】

C C'

A' B'

B

A

P

Q R 9203

(4)

C A'

B' A

C' B

 1：7。

【解題重點】本題可用孟氏定理處理，但過程會有些繁複。

若換個角度，從平行線圍成平行四邊形來思考，便可輕鬆地算出正中央的Δ面積與原正Δ的面積比 = 1：7。

【評析】本次答題人數有六人，皆為滿分7分。分別為北投國中吳博生、光復國中王永光、蘭雅國中趙珮雅、明德國中李浩、碧華國中陳建勳、蘆洲國中謝耀慶。題目給定的條件為三角形三邊上的線段比例，因此很容易讓人聯想到孟氏定理，而投稿的同學們也都是利用孟氏定理求得三角形內部各個線段的比例，再利用三角形底邊的比例分別求得ΔABB^,

C BC 

Δ ,

A CA 

Δ 佔ΔABC 的比例皆為 7

2 ，所以得到ΔABC：ΔABC = 1：7。

用數塊大小41的矩形磁磚和一塊大小22的矩形磁磚，鋪蓋正方形地面，要求：

(1)鋪蓋正方形地面時不能有空隙，磁磚不能重疊；

(2)磁磚不能鋪蓋到正方形地面之外。

請回答以下問題:

(一)、能不能用8塊大小41的矩形磁磚和1塊大小22的正方形磁磚，鋪蓋

66的正方形地面？如果能，請畫出其中的一種鋪蓋方法；如果不能，請加以說明理由。

(二)、能不能用15塊大小41的矩形磁磚和1塊大小22的正方形磁磚，鋪蓋

88的正方形地面？如果能，請畫出其中的一種鋪蓋方法；如果不能，請加以 9204

(5)

說明理由。

【詳解】(一)、能

(二)、不能

『方法一』

以黑白兩色將整個地面染色，黑白格各有32個。如圖

每一塊41磁磚不論是橫蓋還是豎蓋，也不論蓋在何處，總是蓋住二黑二白，1塊22的正方形磁磚總是蓋住三黑一白或三白一黑，於是15塊41磁磚鋪蓋後還剩下二黑二白，它不可能用1塊22磁磚蓋住。得證。

『方法二』

以1,2,3,4四色將整個地面染色，每種顏色各有16格。如圖

1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 3 4 1

不論如何放置41磁磚，總是蓋住四種顏色的格子各一格；而1塊22的磁磚

(6)

所蓋住的主對角線上總是同色，不論如何放置，不能同時蓋住四種顏色的格子各一格。15塊41的矩形磁磚鋪蓋後，剩下顏色1,2,3,4各一格，無法用1塊22 的磁磚蓋住。得證。

【評析】

1. 對於(一)小題，依照鋪蓋原則去嘗試，不難找出鋪蓋方法。方法並不是唯一 2. 對於(二)小題，兩種解法是鋪蓋問題常用的方法，適當的塗色或編號來分

類，以說明最後會有無法蓋住。

3. 所謂不能鋪蓋，是指在鋪蓋原則下所有方法均不能鋪蓋。(二)小題，大部分同學未解決這一題。

4. 本題參與徵答者有15人：

新北市光復國中王永光新北市碧華國中陳建勳新北市蘆洲國中謝耀慶臺北市天母國中葉沛鎧臺北市北投國中吳博生臺北市蘭雅國中陳婕茵臺北市蘭雅國中沈倚盼臺北市蘭雅國中林文傑臺北市蘭雅國中莊恆睿臺北市蘭雅國中許書瑋臺北市蘭雅國中蔡沂倫臺北市蘭雅國中蔡宜靜臺北市蘭雅國中鄭仁弘臺北市蘭雅國中謝劭辰臺北市延平國中部高偉哲得7分者，3人：

新北市蘆洲國中謝耀慶新北市光復國中王永光臺北市北投國中吳博生。

已知a1＜a2＜a3＜…＜an，an是自然數，且〈an〉為等差數列，n≧3。

若Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 +… + an，回答下列二題︰

問題(1)︰Sn = 2223時，n之最大值為何？

問題(2)︰滿足Sn = 110之等差數列〈an〉共有幾組？

【簡答】(1) 57 (2)21組

【詳解】(1)∵ Sn = ^[² ⁽ ¹⁾ ^]

2 a¹ n d

n   = 2223，∴ n｜4446 。

又Sn = ^[² ⁽ ¹⁾ ^]

2 a¹ n d

n   ≧ ^[² ⁽ ¹^)]

2  n n

 n(n+1)≦4446，即3≦n≦66。

而4446 = 2×3²×13×19

 n = 3或6或9或13或18或19或26或38或39或57，

得n之最大值為57。

(2) Sn = ^[² ⁽ ¹⁾ ^]

2 a¹ n d

n   = 110n｜220。

又n(n+1)≦220，n≧3，得n = 4或5或10或11。

因為a1、d都是自然數，所以

(A)若n = 4時，2a1+3d=55(a1, d) = (2+3t, 172t)，

t= 0,1,2,3,4,5,6,7,8，共有9組解。

(B)若n = 5時，a1+2d=22(a1, d) = (2+2t, 10t)，

t= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，共有10組解。

(C)若n = 10時，2a1+9d=22(a1, d) = (2,2)，共有1組解。

(D)若n = 11時，a1+5d=10(a1, d) = (5,1)，共有1組解。

總之，可得Sn =110之嚴格遞增自然數等差數列〈an〉共有21組。

9205

(7)

【評析】這是一則開放性的等差數列與等差級數問題。

同學常見的數學題目，在一些條件下尋求解答，一般來說，那些給定的條件不會過多，也不會太少，總是剛好足夠據以找到答案；而且條件在兩個或兩個以上時，總是兩兩獨立，不矛盾也不相依。以等差級數求和而言常用的公式是Sn = [2 ( 1) ]

2 a¹ n d

n   ，其中首項(a1)、公差(d)、項數(n)、和

(Sn)，此四者給定其三，則可求得另一，是常見的命題，這類問題除了對等

差數列性質的理解外，實是單純的計算演習。

本題之問題(1)與(2)，都只給定等差級數的和，又另有首項、公差都是自然數的條件，而以找到這樣的等差數列為標的。如此，滿足條件者眾，有關的數列並不唯一，是為開放性的數學問題。開放性的問題往往可增加探究性，強化概念本質的掌握，使解題的過程有較大的彈性與空間。

本題條件雖然有變，但是等差級數求和本質無異，可一樣利用等差級數求和公式，問題(1)在算得n(n+1)≦4446後，若引用整數概念，探試因數關係，即可求得全部n值；問題(2)同理闡釋，後半部轉而成為求解簡易不定方程式，只要簡單計算，滿足所定條件的等差數列即可全部找出。

本題應徵答題人數共有5人。其中新北市光復國中王永光同學表現最好

問題(1)他由公差為1入手，找到了彼時n的最大值；又說明了公差為2時

的n值不可能更大；問題(2)一樣先找出4個可能的n值，再討論各不同項數下的可能解，過程條理井然，進路清楚明晰，最終問題(1)與(2)都取得了正確的答案，可得滿分。台北市明德國中李浩同學與台北市北投國中吳博生同學的表現與第一名相伯仲，只是在討論問題(2)的所有可能解時稍有疏漏而略遜一籌。新北市蘆洲國中謝耀慶同學敘事說理有簡明可喜的優點，但若能更求嚴謹周詳更好。台北市蘭雅國中鄭仁弘同學沒有寫下解題過程，歡迎下回再見。

滿分7分，成績如下：

7分：新北市光復國中王永光同學。

5分：台北市明德國中李浩同學；台北市北投國中吳博生同學。

3分：新北市蘆洲國中謝耀慶同學。

0分：台北市蘭雅國中鄭仁弘同學。