项目名称

1 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

考试安排

考试安排

考试时间 :

一、 2009 年 11 月 23 日 晚上 7:00 ~ 9:

30

考试地点 : ( 略 ) 答疑时间 :

二、 2009 年 11 月 21 日 上午 下午

22 日 上午 下午 晚上 23 日 上午

答疑地点 : 科技楼南楼 813 室 计算数学系

2 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

主要内容

复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数。

Cauchy^Riemann 方程： (1) 判断可导与解析，求导数；

Fourier 变换的概念 , δ 函数，卷积。

Cauchy 积分公式， Cauchy 积分定理，高阶导数公式。

Laurent 展式

。

留数： (1) 计算闭路积分；

保形映射： (1) 求象区域；

利用 Laplace 变换求解常微分方程 ( 组 ) 。 (2) 构造解析函数。

(2) 计算定积分。

(2) 构造保形映射。

3 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

一、构造解析函数

问题 已知实部 u ，求虚部 v ( 或者已知虚部 v ，求实部 u )

，使 解析，且满足指定的条 件。

) , ( )

, ( )

(z u x y i v x y

f  

注意 必须首先检验 u 或 v 是否为调和函数。

方法 偏积分法

全微分法 ( 略 )

4 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

方法 偏积分法

一、构造解析函数

( 仅考虑已知实部 u 的情形 )

(2) 将 (A) 式的两边对变量 y 进行 ( 偏 ) 积分得

：

其中， 已知，而 待定。v~(x, y)  (x) (3) 将 (C) 式代入 (B) 式，求解即可得到函 数

. ) (x

 (1) 由u 及C^R 方程

得到待定函数 v 的两个偏导数：

x , u y

v



 





y . u x

v



 

 

 







 (A)

(B)





 y

x y u

y y v

x

v( , ) d d  v~(x, y) c (x), (C)

5 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

二、将函数展开为洛朗级数

根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、

代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。

两个重要的已知展开式

! , 3

! 1 2

0 !

3

e



     



n

z n z z

n z

z  ^{|z|   .}

, 1 1

1 _{2 3}

0z z z z 

z _n

n    

  ^



 |z|  1.

2. 间接展开法

1. 直接展开法 ( 略 )

6 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

二、将函数展开为洛朗级数

z0

z1

z2

z3

r₁ r₂

r₃

都需要根据函数的奇点位置，将复平面 ( 或者题目指定 无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，

注意

的展开区域 ) 分为若干个解析环。

比如 设函数的奇点为 z₁, z₂, z₃, 展开点为 z₀, 则复平面 被分为四个解析环：

7 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

) . (

) ] (

, ) ( [ Res

0 0 0

z Q

z z P

z

f  

则

, 0 )

( , 0 )

( ,

0 )

(z₀  Q z₀  P z₀  Q

) , (

) ) (

( Q z

z z P

f 

特别，若

若 为 的可去奇点，则

法则 z⁰ f (z) Res[ f (z), z₀ ]  0.

若 为 的本性奇点，则在 的邻域内展开为洛朗级数。

z⁰ f (z) z0

三、利用留数计算闭路积分

1. 计算留数

若 为 的 m 级极点，则 法则 z⁰ f (z)

8 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

注意 只需计算积分曲线 C 所围成的有限区域内奇点的留数。

三、利用留数计算闭路积分

2. 计算闭路积分

9 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

. 0 1 ,

Res 1 ]

, ) ( [

Res

[ ( )

]

z z f z

f    

其中，

三、利用留数计算闭路积分

2. 计算闭路积分

10 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

要求 R(u, v) 是 u, v 的有理函数。

四、计算定积分

(2) iz

z z

i z z

R z

I z

d 2

, 1 2

1

1

|

|

2





 



  

 f z z

z ( )d

1

|





2 , 1 sin 2

2 , 1 cos 2

2 1

2 1

z i z i

z z z

z z

z 

 

 

 

 ^  ^



1. ^{I }



方法 (1) 令 z 

e

e

. ] ,

) ( [ Res

2





k

zk

z f i

π

其中， 是 在 内的孤立奇点。z_k f (z) |z|  1

11 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

四、计算定积分

要求 (1) P(x), Q(x) 为多项式，

(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P(x) 的次数至少高二次 , (3) 分母 Q(x) 无实零点。

2. 



Q x

I P d

) (

) (

) , (

) ) (

( Q z

z z P

R 

设 方法

则 



Q x

I P d

) (

)

( ^ 2



k

zk

z R i

π

其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。 z_k R(z)

12 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

四、计算定积分

要求 (1) P(x), Q(x) 为多项式，

(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P(x) 的次数至少高一次 , (3) 分母 Q(x) 无实零点。

3. 



) (

)

(

e

x Q

x

I P ^iax

) , (

) ) (

( Q z

z z P

R 

设 方法

则 



Q x

I P ^iaxd

) (

)

(

e



e

k

z k a

i z

z R i

π

其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。z_k R(z)

z a

e

13 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

3.

四、计算定积分



 d ( 0)

) (

)

(

e

x Q

x

I P ^iax

. ) ( Im d

) sin (

)

( ax x I

x Q

x

P 



要求 (1) P(x), Q(x) 为多项式，

(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P(x) 的次数至少高一次 , (3) 分母 Q(x) 无实零点。

; ) ( Re d

) cos (

)

( ax x I

x Q

x

P 



特别

14 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

(1) 预处理

工具：几种简单的分式映射、幂函数等。

五、构造保形映射

目标：使边界至多由两段圆弧 ( 或直线段 ) 构成。

(2) 将区域映射为角形域或者带形域

方法：将边界的一个交点 z₁ 映射为 ∞；

另一个 ( 交 ) 点 映射为z₂ 0 。

[ ]

工具： .

1 2

z z

z k z

w 

  步骤

( 一般 )

15 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

(3) 将角形域或者带形域映射为上半平面 步骤

(4) 将上半平面映射为单位圆

( 一般 )

工具： w  zⁿ, w  ⁿ z . ( 对于角形域 ) ( 对于带形域 )

e

工具： . ( 无附加条件 ) i

z i w z



 

( 由附加条件确定 ) .

0

0 0

e



 ^  ₀ , z₀

五、构造保形映射

16 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

六、求解常微分方程 ( 组 )

步骤

得到象函数

求解

微分方程 ( 组 )

代数方程 ( 组 )象函数的

Laplace

正变换

微分方程 ( 组 ) 的解

Laplace

逆变换

(1) 将微分方程 ( 组 ) 化为象函数的代数方程 ( 组 ) ； (2) 求解代数方程得到象函数；

(3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程 ( 组 ) 的解。

. ) 0 ( )

0 ( )

0 ( )

( ]

) (

[ f ⁽ⁿ⁾ t  sⁿF s  s^n1 f  s^n2 f   f ^(n1) 工具

17 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

几个常用函数的 Laplace 变换

六、求解常微分方程 ( 组 )

18 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

已知复数的实部与虚部，求模与 ( 主 ) 辐角。

七、其它

求复数的方根 ^{( )},

2

e

k i n

n z n r w



 



 ^{(k  0,1,}_^,n1).

k

. )

( x

i v x

z u

f 

 



  求导公式 

, 2

arg

|

| ln

Ln z z i z kπi

w     ⁽k ^0,^1, ^2,^).

对数函数 ^{w  ln z  ln|z|  i arg z.}

z

w 

幂函数 

e

19 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

七、其它

柯西积分定理

. 0 d

)



函数 在 D 内解析，在边界 C 上连续

，

) (z f 则

. ) (

, )d

( 2

) 1

( z D

z f

i z π

f C 





柯西积分公式 函数 在 D 内解析，在边界 C 上连续

，

) (z f 则

. ) (

, ) d

(

) ( 2

) !

( ₁

)

( z D

z f i

π z n

f C n

n 





高阶导数公式 函数 在 D 内解析，在边界 C 上连续

，

) (z f 则

20 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

七、其它

幂级数的收敛半径

(1) 比值法 ,

|

|

|

lim | ^1  



 n

n

n a

a 1 .

 

如果 则收敛半径为 R

(2) 根值法 lim | |   ,







n n

n c 1 .

 

如果 则收敛半径为 R

函数 在 点展开为泰勒级数，其收敛半径等于f (z) z₀ 从 点到 的最近一个奇点 的距离。z0 f (z) ~z

(3)

求保形映射下的象区域

(1) 分式映射、幂函数以及指数函数的映射特点。

(2) 保形映射的分解与复合。

21 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

单位冲激函数

(2) 对称性质  ^{(t) }  ^(t).

. ) ( d

) ( )

(t  t₀ f t t  f t₀



(1) 筛选性质



(3) 重要公式



e

卷积与卷积定理 f₁(t) f₂(t) ^



; ) ( )

( ]

) ( )

(

[ f₁ t  f₂ t  F₁   F₂ 

七、其它

22 复

变 函 数 与 积 分 变 换 复 习

主要内容

轻松一下吧 ……