项目名称

1 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

试题

2007

复变函数与积分变换试题 ( 二 )

i z i z z

f    

) 1

( ) 1

( ₂ ^{z  0}

一、填空题

(1) .，辐角主值为 。

(3) 的值为

. 。 (2)

何处解析？

函数 . ；

i i



 1

复数 的模为2

)2

3 (

Ln  i

2

) 2

(z y i x

f   在何处可导？

(4) 在 处展开成泰勒级数的

. 。 收敛半径为

. 。

函数

2 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

试题

2007

(6) ^.。

(5)

z

？

(8) 函数 的 Fourier 变换为 ^.。

) (

exp )

( z

z z

f 



积分 的值

为





1

|

| d

) 2 (

sin 1

z z

z z

z

t t

f ( )  1 2cos2 (7)

伸缩率为

映射 在 处的旋转角为 ^.。

。 ^. z

z z

f ( )  ²  2 z  i ^.。

3 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

试题

2007

四、将函数 分别在 和

处展开 z  0 z  1

为洛朗 (Laurent) 级数。

i z i z

z i

f   

 

) 1

( ) 1

( ₂

使得 为解析函数且满足条件

三、已知 u(x, y)  4 x y³  a x³ y, 求常数 a 及二元函数v(x, y) v

i u z

f ( )   f (1)  0.

二、计算题





2

|

| 2 d

) 1 (

1 e

z

z

z z 1. z





1

2 1 d

e

| z

|

z z

z z 2.

x x

x

x d

1 2 sin

0 2



4.

4 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

试题

2007

七、利用 Laplace 变换求解微分方程组





 

 





 

 







 

 

. 1 )

0 ( )

0 ( ,

sin )

( )

( )

(

, 0 )

0 ( )

0 ( ,

e )

( )

( )

(

y x

t t

x t

y t

x

y x

t t

y t

y t

x ^t

八、设函数 在 上解析，且满足f (z) |z| 2 | f (z)  2| 2,

. 0 ) d

( 4 ) (

) ( 4

) (

1

|

| 2 



 



z f z

f

z f z

f 证明： z

六、求把区域 映射到单位圆内 部的 ^{D }

{

}

保形映射。

五、求区域 在映射

下

{

}

Im 2

: 2   

 π z

π z z

D i

w _z i

z



  e e 的像区域。

5 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

i z i z z

f    

) 1

( ) 1

( ₂ ^{z  0}

一、填空题

(1) .，辐角主值为 。

(3) 的值为

. 。 (2)

何处解析？

函数 . ；

i i



 1

复数 的模为2

)2

3 (

Ln  i

2

) 2

(z y i x

f   在何处可导？

(4) 在 处展开成泰勒级数的

. 。 收敛半径为

. 。

函数

复变函数与积分变换试题 ( 二 ) 解答

2 4

3



在直线 x= y 上 处处不解析

) 2

3 / ( 4

ln  i   k

1

6 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

(6) ^.。

(5)

z

？

(8) 函数 的 Fourier 变换为 ^.。

) (

exp )

( z

z z

f 



积分 的值

为





1

|

| d

) 2 (

sin 1

z z

z z

z

t t

f ( )  1 2cos2 (7)

伸缩率为

映射 在 处的旋转角为 ^.。

。 ^. z

z z

f ( )  ²  2 z  i 可去奇点 ^.。

i



4

  2

2

)]

2 (

) 2 (

) ( [

2          

7 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

二、





2

|

| 2 d

) 1 (

1 e

z

z

z z 1. z

; 0 ]

0 , ) ( [

Res f z 

解 ,

) 1 (

1 ) e

( ₂



 

z z z

f

z

令

(1) z₁ = 0 为 的可去奇点，f (z)

] ) ( )

1 [(

lim ]

1 , ) ( [

Res ²

1  

  z f z z

f z

(2) z ₂ = 1 为 的二阶极点，f (z)

) (

lim1 ^



  z

z

z 1 2

1 e

lim e

z z ^{z z}

z



 

  1.

(3) 原式  2πi

(

)

8 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

) (

)

(

2

! 5

1

! 3

1 1

! 3

1

! 2

1 1 1

)

(        

z z

z z

z z z

z f

1 ,

! 2 1

! 3

1

)

(

  





z



1

2 1 d

e

| z

|

z z

z z 二、2.

解 令 1 , sin )

(

1 2

e

z z z

f  ^z 则 z = 0 为 的本性奇点，f (z)

3 , 1

! 2 1

! 3 ] 1

0 , ) ( [

Res f z    

原式 .

3 ] 2

0 , ) ( [ Res

2 i

z f

πi _ 



9 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

(1) 令 则z 

e

cos 1

2

z z 

  d ,

d iz

 z 解 

) . 1 5

(

d

1

|

|



  



z i z z

z 二、3.



d





 



 



 



1

|

|

2

d 2 5

2 1

1

z iz

z z

原式 z

) , 1 5

( ) 1

( ₂



 

z z

z i

(2) 令f 则 有两个一阶极点：f (z) ,

2 / ) 1 5

1  ( 

z z₂  ( 5 1)/ 2. (3) 原式  2πi Res[ f (z), z₁]

) 1

5 2

( 2 1

z

z z

πi i

 

   2π .

( z₂不在 内|z| 1 )

10 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

i z z i

z i z

z f



 2 ] e

, ) ( [ Res

2

e . 2

1

 2

二、 x

x

x

x d

1 2 sin

0 2



4.

, i z  则 在上半平面有一个一级极点^{f (z)}

(2) 原式 Im

(

)

2

1 πi f z i

 .

e 2 ²

 

解 ,

) 1 (

) e

( ₂

2

  z z z

f

z i

(1) 令

11 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

, 0 24

6  





 u_xx u_yy axy xy ,

 4



 a

. 4

4 )

,

(x y x y³ x³ y

u  

故

使得 为解析函数且满足条件

三、已知 u(x, y)  4 x y³  a x³ y, 求常数 a 及二元函数v(x, y) v

i u z

f ( )   f (1)  0.

,

 0

 _yy

xx u

解 (1) 首先 u(x, y) 必须为调和函数，即u

12 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

解 u(x, y)  4 x y³  4 x³ y.

使得 为解析函数且满足条件

三、已知 u(x, y)  4 x y³  a x³ y, 求常数 a 及二元函数v(x, y) v

i u z

f ( )   f (1)  0.

(1)



 y x y dy

v (4 ³ 12 ² )  y⁴  6x² y²  (x),

, )

(x  x⁴  c

 

y

x y x y v

u  4 ³ 12 ² 

由 得

) ( 12

4

12xy² x³ v xy² x

u_y     _x  ^

由 得

, 4 )

(x  x³



, 6

) ,

(x y x⁴ y⁴ x² y² c

v    

即得

. ) 6

( 4

4 )

(z x y³ x³ y i x⁴ y⁴ x² y² c

f      

(2) 方法一 偏微分法

13 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

解 u(x, y)  4 x y³  4 x³ y.

使得 为解析函数且满足条件

三、已知 u(x, y)  4 x y³  a x³ y, 求常数 a 及二元函数v(x, y) v

i u z

f ( )   f (1)  0.

(1)

(2) 方法二 全微分法

, 6

) ,

(x y x⁴ y⁴ x² y² c

v    

即得

. ) 6

( 4

4 )

(z x y³ x³ y i x⁴ y⁴ x² y² c

f      

, 12

4y³ x² y u

v_y  _x   v_x  u_y  4x³ 12xy², 由

得 dv  (4x³ 12xy²)dx  (4 y³ 12x² y)dy

2 2

4 2

2

4 6 d d 6 d

dx  y x  y  x y



, ) 6

d(x⁴  y⁴  x² y²



14 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

解 u(x, y)  4 x y³  4 x³ y.

使得 为解析函数且满足条件

三、已知 u(x, y)  4 x y³  a x³ y, 求常数 a 及二元函数v(x, y) v

i u z

f ( )   f (1)  0.

(1)

(2) f (z)  4 x y³  4 x³ y  i (x⁴  y⁴  6x² y²  c). ,

1



 c (3) 由 ^{f (1)  0,}

. ) 1 6

( 4

4 )

(z  x y³  x³ y  i x⁴  y⁴  x² y²  f

15 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

① 当 时，^{|z| 1}



















0 0

1

n n

n n

n

i z z i

解 ( 1)( ) ) 1

( z z i

z i

f  

 

(1) 在 z= 0 处展开 ⁱ

1

i i z

z z f





 





1 1 1

1 ) 1

(

四、将函数 分别在 和

处展开 z  0 z  1

为洛朗 (Laurent) 级数。

i z i z

z i

f   

 

) 1

( ) 1

( ₂

1 . 1

1

i z

z  

 

. 1 1

0

[

]



  



n

n

n z

i

16 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

解

② 当 时，^{|z| 1} ) (

) 1 (

) 1

( z z i

z i

f  

 

(1) 在 z= 0 处展开 ⁱ

1

四、将函数 分别在 和

处展开 z  0 z  1

为洛朗 (Laurent) 级数。

i z i z

z i

f   

 

) 1

( ) 1

( ₂

1 . 1

1

i z

z  

 

















0 0

1 1

1

n n

n

n n z

i z z

z

z z i

z z z

f













1 1 1

1 1 1 ) 1

(

1 . 1

0

( )









n n

n

i z

17 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

1 . 1

1

i z

z  

  解 .

) (

) 1 (

) 1

( z z i

z i

f  

 

(2) 在 z= 1 处展开

四、将函数 分别在 和

处展开 z  0 z  1

为洛朗 (Laurent) 级数。

i z i z

z i

f   

 

) 1

( ) 1

( ₂

① 当 时

，

2

| 1

|

0  z  



 



 

0 ( 1) ) 1 (

1 1

n n

n

i z z

i

1

2

) 1

( ) 1 (

1 1

) 1

( z z i

z i

f    



 

1 1 1

1 1

1



 

 



i z z

) . 1 (

) 1 (

0









 

n n

n

i z

18 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007



 





 

2 0 ( 1)

) 1 (

) 1 (

1

n n

n

z i z

i

) 1

( ) 1 (

1 1

) 1

( z z i

z i

f    



 

) . 1 (

) 1 (

0 2



 





 



n n

n

z i 解 ( 1)( )

) 1

( z z i

z i

f  

 

(2) 在 z= 1 处展开

四、将函数 分别在 和

处展开 z  0 z  1

为洛朗 (Laurent) 级数。

i z i z

z i

f   

 

) 1

( ) 1

( ₂

1 . 1

1

i z

z  

 

. ⁱ

1

2

② 当 时，^{|z 1| 2}

1 1 1

1 )

1 (

1

2



 

 

 

z z i

i

19 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007 















 .

, 1 0

, 0

1

i i C

解 令 w₁  e^z , .

1 1

i w

i w w



  则



















. 0

, 1

,

2

i

i i

C

i (z)

) 2 / (

i ) 2 / (



w₁  ez

即像区域为第三象限。

五、求区域 在映射

下

{

}

Im 2

: 2   

 π z

π z z

D i

w _z i

z



  e e 的像区域。

(w₁)

i

 i

C1 C²

1 (w)

Γ

Γ2





i

i 1 0

w

i w w



 

1 1

20 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

六、求把区域 映射到单位圆内 部的 D 

{

}

保形映射。

(w₂)

2 / i

(w₁)

2 / 1

(w₃)

i

(w₄) (w)

1

(z)

2

解

w 1z

1 

1 2 i w w 

2

3 2 w

w  

e 3

4 w

w  i

w

i w w



 

4 4

i w i

z i z

i



 _ 

 2 2

e

e

21 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

七、利用 Laplace 变换求解微分方程组





 

 





 

 







 

 

. 1 )

0 ( )

0 ( ,

sin )

( )

( )

(

, 0 )

0 ( )

0 ( ,

e )

( )

( )

(

y x

t t

x t

y t

x

y x

t t

y t

y t

x ^t

) , 1 (

) 1 ( )

( )

( ² ₂

2

 



 s Y s Y s s s

X s

1 . ) 1

( )

( )

( ₂

 





 sY s X s s s

sX

对方程组两边取拉氏变换，并代入初值得 解 (1) 令X(s)  [x(t)], Y(s)  [y(t)],







22 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

七、利用 Laplace 变换求解微分方程组





 

 





 

 







 

 

. 1 )

0 ( )

0 ( ,

sin )

( )

( )

(

, 0 )

0 ( )

0 ( ,

e )

( )

( )

(

y x

t t

x t

y t

x

y x

t t

y t

y t

x ^t

解 (2) 求解得到像函数 ) , 1 (

) 1

( ₂

  s s X

) . 1 (

) 1 (

) 1

( ₂





 

 s s

s s Y

(3) 求拉氏逆变换即得 ,

e )

(t t ^t

x 

. cos e

)

(t t

y  ^t 







 



1 . )

1 (

1

2 

 

 s

s s

23 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

八、设函数 在 上解析，且满足f (z) |z| 2 | f (z)  2| 2,

. 0 ) d

( 4 ) (

) ( 4

) (

1

|

| 2 



 



z f z

f

z f z

f 证明： z

证明 (1) 由 在 内解析

，

) (z

f |z| 2

都在 内解析；(A) ,

) (z f 

 f (z), f ²(z) |z| 2

(2) 由^{| f (z)  2| 2,  f (z)  0, f (z)  4,} ) (B)

( 4 )

2(z f z

f 

  f (z)[ f (z)  4]  0;

(3) 由 (A), (B) 有

) ( 4 ) (

) ( 4

) (

2 z f z

f

z f z

f



 

 在 内解析，^{|z| 2}

由柯西积分定理得 d 0.

) ( 4 ) (

) ( 4

) (

1

|

| 2 



 



24 复

变 函 数 与 积 分 变 换 试 ( 二题

)

解答

2007

休息一下 ……