高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：102.10.28 範圍1-4 和角

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：102.10.28 範

圍

1-4 和角、倍角、

半角公式

班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1. 知 90°＜θ＜180°，cosθ＝－ 1

5 ，求tan 2θ＝______。

答案： 4 3

解析：90°＜θ＜180°，cosθ＝－ 1

5 故tanθ＝－2

1 ＝－2 tan2θ＝ 2 tanθ

1－tan²θ ＝ 2×(－2 ) 1－(－2 )² ＝4

3 2. 已知θ為第二象限角且sinθ＝12

13 ，試求：

(1) cosθ＝________。 (2) sin (θ＋30° ) 之值為________。

答案：(1) －5

13 ；(2) 12 3 －5 26 解析：(1) cosθ＝ －5

13

(2) sin (θ＋30° )＝sinθ．cos 30°＋cosθ．sin 30°＝12 13 × 3

2 ＋－5 13 ×1

2 ＝12 3 －5 26 3. 化簡sin (α＋30° ) cos ( 60°－α)＋cos (α＋30° ) sin ( 60°－α)＝______。

答案：1

解析：所求式＝sin〔(α＋30° )＋( 60°－α)〕＝sin90°＝1 4. 以x＋cos 20°除多項式f (x)＝8x³－6x＋5之餘式為______。

答案：4

解析：餘式為 f (－cos 20° )＝8 (－cos 20° )³－6 (－cos 20° )＋5 ＝－2 ( 4cos³ 20°－3cos 20° )＋5

＝－2cos3 ( 20° )＋5＝－1＋5＝4 5. 求 sin 75°

sin 25° －cos 75°

cos 25° ＝______。

答案：2

解析：原式＝3 sin25－4 sin³25

sin25 －4 cos³25－3 cos25

cos25 ＝( 3－4 sin²25 )－( 4 cos²25－3 ) ＝6－4 ( sin²25＋cos²25 )＝6－4＝2

6. 求sin² 22.5°＋sin² 67.5°＝ 。 答案：1

解析：sin² 22.5°＋sin² 67.5°＝sin² 22.5°＋cos ² 22.5°＝1

7. 求下列之值：cos 200cos 280－sin 100sin 160＝______。

答案：－1 2

解析：cos200°＝cos(90°×2＋20°)＝－cos20°，cos280°＝cos(90°×4－80°)＝cos80°

sin100°＝sin(90°×2－80°)＝sin80°，sin160°＝sin(90°×2－20°)＝sin20°

原式＝－cos20°cos80°－sin80°sin20°＝－cos60°＝－1 2 8. 求下列之值：sin 23cos 382＋sin 67cos 292＝______。

答案： 2 2

解析：cos382°＝cos22°，cos292°＝sin22°，sin67°＝cos23°

原式＝sin23°cos22°＋cos23°sin22°＝sin45°＝ 2 2

9. 附圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且 OD ＝16，則直角

△OAB的高 AB ＝_____。

答案：2 3

解析：AB ＝OB ．sin 15°＝( OC ．cos 15° )．sin 15°

＝( OD ．cos 30° )．cos 15°．sin 15°

＝16×sin 15°．cos 15°．cos 30°＝8×sin 30°×cos 30°＝4×sin 60°＝4× 3

2 ＝2 3

10. 若180°＜θ＜270°，且cosθ＝－4

5 ，求sinθ

2 ＋2 cosθ

2 ＝______。

答案： 1 10

解析：180°＜θ＜270° 90 135 2

     1 4

1 cos 5 3

sin2 2 2 10

   ^

    ；

1 4

1 cos 5 1

cos2 2 2 10

   ^

     

sinθ

2 ＋2 cosθ

2 ＝ 3 1 1

2 ( )

10    10  10

11. 若sin x＝3 cos x，則：(1) cos 2x＝ ；(2) sin 2x＝ 。 答案：(1)－4

5 ；(2) 3 5

解析：sin x＝3 cos x ⇒ sin x

cos x ＝3 ⇒ tan x＝3 (1) cos 2x＝ 1－tan² x

1＋tan² x ＝ 1－9 1＋9 ＝－4

5 (2) sin 2x＝ 2 tan x

1＋tan² x ＝ 2×3 1＋9 ＝ 3

5 12. 若tanα、tanβ為方程式2x²－3x－1

2 ＝0的兩根，求 sin (α＋β)

cos (α－β) 的值＝ 。 答案：2

解析：tanα＋tanβ＝3

2 ，tanαtanβ＝－1 4 ，

原式＝sinαcosβ＋cosαsinβ

cosαcosβ＋sinαsinβ ＝ tanα＋tanβ 1＋tanαtanβ ＝

3 2 1＋(－1

4 )

＝2

(分子分母同除以coscos ，且^sin tan cos

 

 ^ ) 13. 若α＊β＝sinαsinβ－cosαcosβ，則27＊33＝______。

答案：－1 2

解析：27＊33＝sin 27 sin 33－cos 27cos 33＝－〔cos ( 27＋33 )〕＝－cos 60＝－1 2 14. 設f (x)＝sin² 2x－2cos² x，求f (x) 的最大值為______。

答案： 1 4

解析：f (x)＝sin² 2x－2cos² x＝( 1－cos² 2x )－( cos2x＋1 )＝－cos² 2x－cos2x ＝－( cos² 2x＋cos2x )＝－( cos 2x＋ 1

2 )²＋ 1

4 故cos 2x＝－ 1

2 時，f (x) 有最大值 1 4 15. 設tan ( 45°＋θ)＝－2，則tan2θ＝________。

答案：－ 3 4

解析：tan (45°＋θ)＝－2  tan45°＋tanθ

1－tan45°tanθ＝－2  1＋tanθ

1－tanθ＝－2  tanθ＝3

∴ tan 2θ＝ 2tanθ

1－tan²θ＝ 2．3

1－3²＝－ 3 4

16. 0° θ 180°，cos 3θ＋cos 2θ＋cosθ＋1＝0，則θ＝______。

答案：60°，90°，180°

解析：cos 3θ＝4 cos³θ－3 cosθ cos 2θ＝2 cos²θ－1

cos 3θ＋cos 2θ＋cosθ＋1＝0

⇒4 cos³θ－3 cosθ＋2 cos²θ－1＋cosθ＋1＝0

⇒4 cos³θ＋2 cos²θ－2 cosθ＝0

⇒cosθ( 2 cos²θ＋cosθ－1 )＝0

⇒cosθ( 2 cosθ－1 ) ( cosθ＋1 )＝0⇒cosθ＝0，1

2 ，－1 ∴θ＝90°，60°，180°

17. cos² 52.5°－sin² 7.5°之值為______。

答案： 2 2

解析：cos² 52.5°－sin² 7.5°＝1＋cos 105°

2 －1－cos 15°

2 ＝cos 105°＋cos 15°

＝cos ( 60°＋45° )＋cos ( 60°－45° )＝2 cos 60° cos 45°＝2．1

2 ． 2

2 ＝ 2 2 18. f (t)＝sin² 2t－3 cos² t在0°  t  360°範圍內之最大值______。

答案： 1 16

解析：f (t)＝sin² 2t－3 ( 1＋cos 2t

2 )＝1－cos² 2t－3 2 －3

2 cos 2t ＝－( cos 2t＋3

4 )²＋ 9 16 －1

2

∴當cos 2t＝－3

4 ，最大值M＝ 1

16 19. sinθ＝8

5 cosθ

2 ，則cosθ＝______，sinθ＝______。

答案：－7

25 ，± 24

25 或1, 0 解析：(1)cos 0

2

 _ sinθ＝2 sinθ

2 cosθ 2 ＝8

5 cosθ

2 ∴sinθ 2 ＝4

5 cosθ＝1－2 sin²θ

2 ＝1－2×16

25 ＝－7

25 ；sinθ＝± 1－ 49

625 ＝± 24 25

(2)cos 0 360 90 720 180

2 2 n n

            sin 0; cos  1

20. 已知540＜α＜630，tanα＝ 24

7 ，則sinα

2 ＝______。

答案：－4 5

解析：∵540°＜α＜630° ∴270°＜α

2 ＜315° tanα＝ 24

7 ∴cosα＝－ 7 25 ， α

2 在第4象限， ∴sinα

2 ＝－ 1－cosα

2 ＝－

1＋ 7 25

2 ＝ 32

50 ＝－4 5

21. 已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos (β－γ) 之值為______。

答案：－1 2

解析：sinβ＋sinγ＝－sinα，cosβ＋cosγ＝－cosα 平方得 sin²β＋2sinβsinγ＋sin²γ＝sin²α cos²β＋2cosβcosγ＋cos²γ＝cos²α

相加得1＋2cos (β－γ)＋1＝1⇒cos (β－γ)＝－1 2 22. 已知sinα＋sinβ＝1

2 ，cosα－cosβ＝1

3 ，則cos (α＋β)之值為______。

答案：59 72

解析：( sinα＋sinβ)²＋( cosα－cosβ)²＝(1

2 )²＋(1 3 )²

⇒ ( sin²α＋2 sinαsinβ＋sin²β)＋( cos²α－2cosαcosβ＋cos²β)＝13 36

⇒ 2＋2 ( sinαsinβ－cosαcosβ)＝13 36

∴cos (α＋β)＝59 72 23. 已知sinα＝－3

5 ，sinβ＝ 5

13 且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，則

cos (α－β)＝______，sin (α＋β)＝______。

答案：33 65 ，16

65 解析：如附圖

cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－4

5 ．－12 13 ＋－3

5 ． 5

13 ＝33 65

sin (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝－3

5 ．－12 13 ＋－4

5 ． 5

13 ＝16 65

24. 在△ABC中，tan C＝1

8 ，則tan ( A＋B－C )＝______。

答案：－16 63

解析：tan ( A＋B－C )＝tan(A B C  2 )C tan(180 2 )C  tan 2C

2 2

2 1

2 tan 8 16

1 tan 1 ( )1 63

8 C

C

      

 

25. 在坐標平面上，O為原點，A ( 6 , 8 )，B ( 12 , 5 )，求：

(1) cos∠AOB＝_____。(2) sin∠AOB＝_____。

答案：(1) 56

65 ；(2) 33 65

解析：如圖，設∠AOC＝α，∠BOD＝β 則sinα＝ 8

10 ＝4

5 ，cosα＝ 6 10 ＝3

5 sinβ＝ 5

13 ，cosβ＝12 13

(1) cos (∠AOB )＝cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝3 5 ×12

13 ＋4 5 × 5

13 ＝56 65 (2) sin (∠AOB )＝sin (α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ＝4

5 ×12 13 －3

5 × 5

13 ＝33 65 26. 求值： 3 tan74°－ 3 tan44°－tan74° tan44°＝______。

答案：1

解析：tan ( 74°－44° )＝ tan74°－tan44°

1＋tan74°tan44° ⇒ 3 ( tan74°－tan44° ) ＝1＋tan74°tan44°

∴ 3 tan74°－ 3 tan44°－tan74°tan44°＝1

27. 直線y＝ 3 x－2與直線y＝－ 3 x＋5之較小的交角是______度。

答案：60

解析：y＝ 3 x－2⇒斜率tanθ＝ 3 、方向角θ＝60°

y＝－ 3 x＋5⇒斜率tanα＝－ 3 、方向角θ＝120°

∴兩直線較小交角120°－60°、θ＝60°

28. 若sinα＋cosα＝1

5 且90°＜α＜180°，則tanα之值為______。

答案：－4 3

解析：∵sinα＋cosα＝1

5 且α在第二象限

∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0

由sinα＋cosα＝1

5 ∴1＋2 sinαcosα＝ 1 25

⇒sinαcosα＝－12

25 ，x²－x

5 ＋－12 25 ＝0

⇒25x²－5x－12＝0，( 5x＋3 ) ( 5x－4 )＝0⇒x＝－3

5 ，x＝4 5

∴sinα＝4

5 ，cosα＝－3

5 ，tanα＝－4 3 29. 若tanα＝－3

4 ，且270°＜α＜360°，求cos3α

2 ＝______。

答案：－9 10 50

解析： tanα＝－3

4 ，且270°＜α＜360° 4

cos 5

  

1 4

1 cos 5 3

135 180 cos

2 2 2 2 10

    ^

          

3 3 3 3 9 9 10

cos 3( ) 4 cos 3cos 4( ) 3( )

2 2 2 10 10 5 10 50

 _  _  _{       }

30. 若α＋β＋γ＝180°，且12 sinα＝13 cosβcosγ，則tanβ＋tanγ＝______。

答案：13 12

解析：12 sinα＝13 cosβcosγ

⇒12 sin〔180°－(β＋γ)〕＝13 cosβcosγ

⇒12 ( sinβcosγ＋cosβsinγ)＝13 cosβcosγ

⇒12 ( tanβ＋tanγ)＝13

⇒tanβ＋tanγ＝13 12

31. 計算：(1) sin 70° cos 25°－sin 160° sin 155°＝_____。

(2) sin ( θ＋75° )＋cos ( θ＋45° )－ 3 cos ( θ＋15° )＝_____。

答案：(1) 2

2 ；(2) 0 解析：

(1) 原式＝sin 70° cos 25°－sin ( 90°＋70° ) sin ( 180°－25° )＝sin 70° cos 25°－cos 70° sin 25°

＝sin 45°＝ 2 2

(2) 原式＝sin〔( θ＋15° )＋60°〕＋cos〔( θ＋15° )＋30°〕－ 3cos ( θ＋15° ) ＝ 1

2 ．sin ( θ＋15° ) ＋ 3

2 ．cos ( θ＋15° )＋ 3

2 cos ( θ＋15° )－ 1

2 sin ( θ＋15° ) － 3cos ( θ＋15° ) ＝0

32. 計算cos⁴22.5°－cos⁴67.5°＝______。

答案： 2 2

解析：cos²22.5°＝ 1＋cos45°

2 ＝ 2＋ 2

4 ，cos²67.5°＝ 1＋cos135°

2 ＝ 2－ 2 4 ， 原式＝( 2＋ 2

4 )²－( 2－ 2

4 )²＝ 2 2 33. 設sinθ＝ 4

5 cos θ

2 ，則cosθ＝________。

答案：－1或 17 25 解析：sinθ＝ 4

5 cos θ

2  2sin θ

2 cos θ 2 ＝ 4

5 cos θ

2  cos θ

2 ( 2sin θ 2 － 4

5 )＝0

 cos θ

2 ＝0或sin θ 2 ＝ 2

5 (1) 若cos θ

2 ＝0，則cosθ＝2cos² θ

2 －1＝0－1＝－1 (2) 若sin θ

2 ＝ 2

5 ，則cosθ＝1－2sin² θ

2 ＝1－2×( 2

5 )²＝ 17 25 故cosθ＝－1或 17

25 34. 設sinθ－cosθ＝ 1

3 ，求sin3θ＋cos3θ之值為______。

答案：－ 25 27

解析：( sinθ－cosθ)²＝1－2sinθcosθ＝ 1

9 ∴ sinθcosθ＝ 4 9 則sin3θ＋cos3θ＝( 3sinθ－4sin³θ)＋( 4cos³θ－3cosθ) ＝3 ( sinθ－cosθ)－4 ( sin³θ－cos³θ)

＝3 ( sinθ－cosθ)－4 ( sinθ－cosθ)．( sin²θ＋sinθcosθ＋cos²θ) ＝3× 1

3 －4× 1

3 ×( 1＋ 4

9 )＝1－ 52

27 ＝－ 25 27 35. 設θ為任意角，求sin²2θ＋2cos²θ之最大值為______。

答案： 9 4

解析：sin²2θ＋2cos²θ＝sin²2θ＋2． 1＋cos2θ

2 ＝1－cos²2θ＋1＋cos2θ ＝－( cos2θ－ 1

2 )²＋ 9 4 ∴ 當cos2θ＝ 1

2 時，有最大值 9 4

36. sin20°sin40°sin80°＝______。( 提示：令θ＝20° ) 答案： 3

8

解析：令θ＝20°，

原式＝sinθsin ( 60°－θ) sin ( 60°＋θ)

＝sinθ〔sin60°cosθ－cos60°sinθ〕．〔sin60°cosθ＋cos60°sinθ〕

＝sinθ〔( 3

2 cosθ)²－( 1

2sinθ)²〕 ＝sinθ ( 3

4 cos²θ－ 1

4 sin²θ)＝sinθ〔( 3 4－ 3

4 sin²θ－ 1

4 sin²θ)＝sinθ( 3

4－sin²θ) ＝ 1

4 ( 3sinθ－4sin³θ)＝ 1

4 sin3θ＝ 1

4 sin60°＝ 3 8

37. 設cosθ為4x³＋8x²－3x－6＝0的解，且90°＜θ＜180°，則sinθ

2 ＝______。

答案： 6 ＋ 2 4

解析：4x³－3x＋8x²－6＝0 ( 2x＋ 3 ) ( 2x－ 3 ) ( x＋2 )＝0

∴cosθ＝－ 3

2 (∵90°＜θ＜180° ) ∴45°＜θ

2 ＜90°，

sinθ

2 ＝ 1－cosθ

2 ＝

1＋ 3 2

2 ＝ 2＋ 3

2 ＝ 4＋2 3

2 2 ＝ 6 ＋ 2 4