MathB3-01
高雄市明誠中學數學題庫 焦點 11( 空間幾何)
1. 三射線OA OB OC
→ → →
, , 兩兩成30°角, P在OA
→
上,OP=4 ,自P作PQ垂直平面OBC(垂足為Q) , 若←QR→⊥←OB→ 於R , ←QR→交OC→於S ,則RS= .
2. 有一各稜長為2a的金字塔形,其側面為四個正三角形,底面為正方形,若相鄰兩側面之夾角為α , 側面與底面之夾角為β,其中α與β均取塔內之夾角,
則cosα= sinβ= .
3. 點A(−3 1 2 ,若, , ) A到x軸, y軸, z軸, xy平面, yz平面, zx平面之距離 各為a , b , c , d , e , f , 試比較其大小 .
4. 設A(5 ,7 3, ) ,B( ,4 8 3, − 2)則向量AB的方向餘弦為 , 方向角為 .
5. 設PQ=10 ,若PQ在x軸之正射影長為3 ,在y軸之正射影長為8 ,則在z軸之正射影長為 .
6. 已知A(−1, 2 , 3) , B(0 , 4 , 5) , C(2 , 6 , 3) ,∠BAC之內角平分線交BC於D ,設E在射線AD
→
上且 滿足AE =5 AB+β AC,則實數β= .
7. 設三向量 a=
(
1 2, ,k−1)
,b=(
4 1, ,−k)
,c= −(
1 2, ,k+3)
兩兩互相垂直,則k = .8. 在空間中已知三點A(0 , 2 , 0) , B(1 , 1 , 4) , C(−1 , 3 , 0) ,求△ABC的面積 = . 9. 設 a=( ,1 −1 2, ) , b = −( 2 2, ,−1)則 a 在 b方向上的正射影為 .
10.設a =(1,−2,3), b =(−x,y,z),若x2 +y2 +z2 =56則a ⋅ b之最小值為 .
11.已知A(1 , 1 , 1 ) , B(1 , 2 , 3) , C(2 , 1 ,−1) , D(3 , 2 , 1) ,則四面體ABCD的體積為 . 12.設A(1 , 2 , 3) , B(3 , 0 , 1) 為空間中兩點,則AB的垂直平分平面方程式為 . 13.設A(2 ,−2 , 3) , B(−1 , 2 , 1) , C(1 , 1 , 4),則過空間中三點A,B,C的平面方程式為 . 14.過點(1 ,−2, 1)且與二平面3x+ + − =y z 2 0,x−2y+ + =z 4 0均垂直的平面方程式為 . 15.設兩平面3x−2y+ −z 14=0,a x+ +y 3z− =1 0 的一交角為60° ,則a = .
16.點P(1 , 2 , 1) 在平面x + 2 y + 3 z + 6 = 0之投影點的坐標為 .
17.平面E過點P(1 , 3 , 2)且在第一卦限與三坐標平面所成四面體之體積為最小,若平面E的方程式
為ax+by+cz=18 ,則序組( a , b , c ) = .
18.設A(0 , 1 ,2) , B(−1 ,0 , 1) ,若R在xy平面上,且AR+RB為最小,則R之坐標為 . 19.空間有兩點A(5 ,−3 ,3) , B(3 , 1 , 1) ,設直線 AB
← →
交yz平面於Q,則Q之坐標為 .
20.過點P(4 , 1 , 1)且與直線L x y z
x y z
: + − =
+ + + =
2 0
2 3 2 1 0垂直的平面方程式為 .
MathB3-01
21.點P(1 ,−2 , 3) 在直線 x− = y+ z
= + 2
1
1 2
3
2 上的投影點坐標為 . 22.空間中兩平行線
6 2
1 3
1 6
1 2
1 3
z y
x z
y
x =
−
= + +
= +
−
= − 與 之距離為 .
23.空間中兩歪斜線
1 4
3 3
2 1
3 1
1 2
1
= −
= +
−
= −
= +
− y z x y z
x 與 之距離為 .
24.設L為通過 ( 0 , 0 , 1 ) 與 ( 1 , 2 , 5 ) 兩點的直線,則x軸上距離L最近之點為 .而x軸與L之距離為 .
25.設A、B、C為空間中相異的三點，且不在同一直線上。在空間中另取一點D，使得A、B、C、
D成為一平行四邊形的四個頂點，則這樣的D點一共有多少個? (A) l (B) 2 (C) 3
(D) 4 (E) 無窮 .
26.求包含A( 1 , 1 , 3)，B(−2 , 1 , 1 ) 兩點且與平面E: x−2y+3z=6相垂直之平面方程式 . 27. 設( 2,2,0),(− 2,2,0),(− 2,−2,0),( 2,−2,0)為一正立方體的四個頂點，
則下列的那些點也為此正立方體的頂點? .
(A)( 2,0,2) (B)(0,2, 2) (C)( 2,2,4) (D)( 2,2,2 2) (E)(− 2,0,−2) 28. 假設平均每人每日產生的垃圾量，相當於長、寬、高各為20公分的正立方 體。假設我們的人口以二千一百萬計，而暫時把一日的總垃圾全堆積在一操
場上，成為長100公尺寬20公尺的長方體垃圾山。若一層樓之高以3公尺計，
則此垃圾山約有多少層樓高? .
(A)不到8層樓高 (B)8層樓至16層樓之間 (C)16層樓至24層樓之間
(D)24層樓至32層樓之間 (E)超過32層樓高
29. 如右圖，有一邊長為1的正立方體。今置頂點A於
空間坐標系中之原點(0,0,0)，置頂點B於正z軸上，
則頂點C之z坐標為 。
30. 在空間中，x , y , z坐標皆為整數，且與原點距離為 17的點，
一共有 個。
31. 空間中四平面x=0, y=0, z=0,x+ y+z =1圍成一四面體，
則此四面體之內切圓球的半徑為 。(答案只有一個；寫出兩個的不予計分) A
C B
z
