第壹部分：選擇題
（占 60 分
） 一、單選題（占30
分）說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一 個選項者，該題以零分計算。
老師帶著全班 34 個同學參觀美術館(含老師共計 35 人)。已知美術館門票一張 100 元，
而且，如果一次買 20 張可以打 9 折，一次買 30 張可以打 8 折，一次買 40 張可以打 7 折。
請問 老師至少要付多少費用，才可以讓全班(含老師)都進去參觀？
3500 元 3300 元 2900 元 2800 元 2600 元
答案：
解析：如果 35 人都各買一張門票，則需要 100×35＝3500 元
如果一次買 20 張門票，另 15 人各買一張門票，則需要 100×20×0.9＋100×15＝3300 元 如果一次買 30 張門票，另 5 人各買一張門票，則需要 100×30×0.8＋100×5＝2900 元 如果一次買 40 張門票，則需要 100×40×0.7＝2800 元
所以買 40 人團體票所需費用最少＝2800 元 故選 。
已知「引擎馬力 P(Horsepower)」的計算公式是 P＝
75
1
|
F ．
v|，
其中
F 是引擎所拉動之物體的重量，單位是公斤，
v 是引擎拉動 之物體的速度，單位是公尺／秒。已知 纜車有一引擎拉動軌道上重 1000 公斤的纜車廂，而纜線與水平線的夾角是約為 37°，纜車廂的速度是
5 公尺／秒，則此引擎約為多少馬力？
5 37 3 sin ＝ 已知
30 馬力 40 馬力 50 馬力 60 馬力 70 馬力
答案：
解析：引擎馬力 P＝
75
1 |
F ．
v |＝75
1 ×1000×5×| cos127°|
＝75
1 ×5000×
5 3＝40 故選 。
已知 ABCD－EFGH 為空間中的一個正六面體，則下列哪一個選項的 值最大？
|AB
×
AB | |
AB ×
AC | |
AB ×
AD |
|CE ×
AB | |
EB ×
EG |
答案：
解析：設定空間坐標，
令 A(0 , 0 , 0)，D(－1 , 0 , 0)，B(0 , 1 , 0)，E(0 , 0 , 1)，C(－1 , 1 , 0)，G(－1 , 1 , 1)
則AB
＝(0 , 1 , 0)，AC
＝(－1 , 1 , 0)，AD
＝(－1 , 0 , 0)，CE
＝(1 , －1 , 1)，EG
＝(－1 , 1 , 0)，EB
＝(0 , 1 , －1)|
AB ×
AB | ＝ | (0 , 1 , 0)×(0 , 1 , 0) | ＝ | (0 , 0 , 0) | ＝0 |
AB ×AC
| ＝ | (0 , 1 , 0)×(－1 , 1 , 0) | ＝ | (0 , 0 , 1) | ＝1 |
AB ×AD
| ＝ | (0 , 1 , 0)×(－1 , 0 , 0) | ＝ | (0 , 0 , 1) | ＝1 |CE
×
AB | ＝ | (1 , －1 , 1)×(0 , 1 , 0) | ＝ | (－1 , 0 , 1) | ＝ 2 |
EB ×EG
| ＝ | (0 , 1 , －1)×(－1 , 1 , 0) | ＝ | (1 , 1 , 1) | ＝ 3故選 。
已知一圓周上有 12 個等分點，從這 12 個等分點中，任意選 4 個等 分點作為頂點構成一個四邊形，試問此四邊形為梯形的機率為何？
55 21
165 56
5 5
14 33
8 5 5 12
答案：
解析：因為是圓內接梯形，所以是等腰梯形
連 A1A2，則能構成圓內接梯形共有 5－1＝4 種(平行四邊形不是梯形)，如圖 連 A1A3，則能構成圓內接梯形共有 4－1＝3 種(平行四邊形不是梯形)，如圖 連 A1A7，則能構成圓內接梯形共有 4 種( A1A7 為直徑)，如圖
圖 圖 圖 依上述規律，以 A1 為基準點，可以構成的圓內接梯形共有 6×4＋4×3＋4＝40 種 所以，圓內接梯形的個數總共有 40×12÷4＝120 種
又樣本空間的個數為 C412＝
4 3 2 1
9 10 11 12
＝495，則四邊形為梯形的機率為 495 120 ＝
33 8
故選 。
已知平面上三點 A(6 , 2)、B(0 , －1)、C(8 , －5)， 想要在AB與BC上分別取 D、E 兩 點使得直線 DE 可以平分△ABC 的面積。已知 選取的 D 點的坐標為 D(4 , 1)，則直線
DE 的斜率應為多少？
－2
5 － 3
7 － 4
9 － 5
14 － 6 7 答案：
解析：因為AD＝ 5，BD ＝2 5，BC ＝4 5
設BE ＝x
若DE要平分三角形ABC的面積，則
1 1 1
sin sin
2BE BD EBD 2 2BC BA CBA
又EBD CBA，得2 5 1 4 5 3 5
x 2 x 3 5 因此BE CE： 3 5：(4 5 3 5) 3 1 ：
(另解：因為 AD：BD＝1：2，由面積比，則三角形 DBE 的高必須為三角形 ABC 的高之
4
3 ，因此 BE ：CE＝3：1)
由內分點公式，得 E
3 1
3 5 1
, 1 3
1
3 8 1 0
＋
）
（－
＋
）
（－
＋
＋ ＝E(6 , －4)
所以DE的斜率為
4 6
1 4
－
－
－ ＝－
2 5
故選 。
老師的班上有 30 位同學，因同學於運動會期間為班級榮譽團結一致，老師特別製作
30 張彩券進行摸彩，以作為給同學的獎勵(彩券取後不放回)。已知其中 10 張有獎，其餘 20 張沒有獎，試問下列敘述哪一個選項正確？
「班花」 吵著第一個抽，她認為第一個中獎的機會最大
承 ，在 沒抽中的情況下，接著「班長」 第二個抽，他心中暗喜，因為他認為 中獎的機會提高了
承 ，在 抽中的情況下，第三個抽的「康樂」 心想：第一個沒中，第二個中了
，互相抵消，所以我的中獎機率跟 抽的時候相同
承 ，在 沒抽中的情況下，第四個抽的「學藝」 ，掐指一算，大聲說：現在我 的中獎機率比 抽的時候還要高
被排在最後一個抽，他向老師抗議不公平，因為他認為最後一個抽的人，一定是抽 到沒有獎的彩券
答案：
解析： ╳：由條件機率可以計算出，無論先後順序，在抽獎之前，每個人的中獎機率皆相同
30 皆為10 ○：沒中獎的彩券剩下 19 張， 的中獎機率為
29 10 ＞
30 10
╳： 的中獎機率為 28
9 ＝
30 10
╳： 的中獎機率為 27
9 ＝
30 10 ＜
29 10
╳：最後一位抽，不一定是抽到沒有獎的彩券 故選 。
二、多選題（占
30
分）說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或 所有選項均未作答者，該題以零分計算。
已知 f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c 為實係數三次多項式，則下列敘述哪些正確？
集合｛ x | x＜1，2＜x＜3，x R ｝，可能為不等式 f (x)＜0 之解 集合｛ x | x＞1，x＝2，x R ｝，可能為不等式 f (x)＞0 之解 集合｛ x | x＜3，x＝1，x R ｝，可能為不等式 f (x)＜0 之解 集合｛ x | 1＜x＜3，x＝2，x
R ｝，可能為不等式 f (x)＞0 之解 不等式 f (x)＜0 之解可能為所有的實數答案：
解析： ○：由解集合以及多項式函數的圖形，f (x) 可以為 f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＜0 ○：由解集合以及多項式函數的圖形，f (x) 可以為 f (x)＝(x－1)(x－2)2＞0 ○：由解集合以及多項式函數的圖形，f (x) 可以為 f (x)＝(x－1)2(x－3)＜0
╳：由解集合以及多項式函數的圖形，f (x) 至少必須為 4 次式，例如：f (x) 可以為 f (x)＝－(x－1)(x－2)2(x－3)＞0
╳：因 y＝f (x) 的圖形與 x 軸至少有一交點，故三次多項式不等式 f (x)＜0 之解不可能為所有的實數 故選 。
所謂圓錐曲線的「標準式」是指當圓錐曲線的對稱軸\s\do1( )坐標平面上坐標軸 的條件下所得到的方程式。當下列選項中的訊息作為已知條件時，哪些可以在坐標平面上 求出相關圓錐曲線的標準式？
已知橢圓的兩個頂點及一個焦點的坐標
已知雙曲線的兩個焦點及圖形上一個點的坐標 已知拋物線的準線方程式及頂點的坐標
已知橢圓的三個頂點
已知雙曲線的兩條漸近線方程式
答案：
解析： ○：已知兩個頂點則可以確定橢圓中心的坐標，又知道一個焦點，則可以確定 c 及橢圓的形狀(左右 或上下)，就可以求出橢圓的方程式
○：已知雙曲線兩個焦點，則可以確定中心的坐標，c 及雙曲線的形狀(左右或上下)，又知道圖形 上一個點的坐標，則可以求出 a 或 b
○：已知準線及頂點的坐標，就可以求出 c 及拋物線的形狀(左右或上下) ○：已知三個頂點，則可以求出中心、a 及 b、並確定橢圓的形狀 ╳：兩條漸近線的交點就是雙曲線的中心，只有漸近線無法求出雙曲線 故選 。
教授的生物實驗室內有一個容器正在培養 A、B 兩種細菌，並且在任何時刻下 A、B 兩
種細菌的 的平衡狀態，已知該定值為 1012。假設 nA 表示 A 細菌 的個數，nB 表示 B 細菌的個數，LA＝log nA，LB＝log nB，試問下列選項哪些正確？
1
L
A 12
當 LA＝6 時，A 與 B 兩種細菌個數相同
若今天的 LA 值比昨天增加 1，表示今天的 A 細菌個數是昨天的 2 倍
若星期一測得 LA 值為 4 且星期三測得 LA 值為 8，則可得星期二的 LA 值為 6 若 教授將 A 細菌個數控制在 200 萬個，則此時 5.5
LB 6
答案：
解析： ╳：0
LA
12○：因 LA＋LB＝12，當 LA＝6 時，LB＝6，則 nA＝nB
╳：LA 值增加 1，表示 A 細菌個數增加為 10 倍 ╳：LA 值並無等差數列的性質
○：nA＝2×106，則 LA＝log(2×106)＝6＋0.3010，此時 LB＝12－6－0.3010＝5.699 此時 LB＝log nB 5.699＝log(5×105) nB＝5×105
故選 。
已知有一個六個面的點數分別為 1、2、3、4、5、6 的公正骰子，投擲此骰子 5 次，紀錄每 次投擲所出現的點數，依序為 a、b、c、d、e，則下列敘述哪些正確？
符合 a＜b＜c＜d＜e 的情形總共有 6 種 符合 a
b c d e 的情形總共有 252 種
符合 a＜b＜c＜d e 的情形總共有 21 種
a、b、c、d、e 最大為 3 的情形有 211 種a、b、c、d、e 最小為 2 且最大為 5 的情形有 620 種
答案：
解析： ○：將 1、2、3、4、5、6 等六個點數任取出五個(不重複)由小而大排成一列，共有C56＝6 種 ○：將 1、2、3、4、5、6 等六個點數任取出五個(可重複)由小而大排成一列，
共有H56＝C510＝
5 4 3 2 1
6 7 8 9 10
＝252 種 ○：考慮 d 的值，
○若 d＝4，則有C33×C13＝3 種
○若 d＝5，則有C34×C12＝8 種
○若 d＝6，則有C35×C11＝10 種 以上共計 21 種
○：a、b、c、d、e 最大為 3，可想成點數 1、2、3 任取出五次(可重複)，再扣除不符合的情形，
共有 35－25＝243－32＝211 種
╳：a、b、c、d、e 最小為 2 且最大為 5，可想成點數 2、3、4、5 任取出五次(可重複)，再扣除不 符合的情形，共有 45－35－35＋25＝1024－243－243＋32＝570 種
故選 。
已知空間中有平面 E：x－y＋z－1＝0 與直線 L：
1
－1
x ＝
2 2
＋
y ＝
2 1
－
－
z ，則下列敘述 哪些正確？
直線 L 與平面 E 的交點為(2 , 0 , －1) 直線 L 與平面 E 垂直
平面 y＋z＋1＝0 包含直線 L 且與平面 E 垂直 平面 E 和 xy 平面所夾的銳角大於 45°
平面 E 與三坐標軸所圍成的四面體體積為 6 1 答案：
解析： ○：由 L 的參數式，L 上動點 P(1＋t , －2＋2t , 1－2t)，代入平面 E 得 1＋t－(－2＋2t)＋1－2t－1＝
0，解得 t＝1，交點為 (2 , 0 , －1)
╳：平面 E 的法向量
n ＝(1 , －1 , 1)，直線 L 的方向向量
v ＝(1 , 2 , －2)，
n ＝(1 , －1 , 1) 與
v ＝(1 , 2 , －2) 不平行，故直線 L 與平面 E 不相互垂直○：已知
n ＝(1 , －1 , 1)，
v ＝(1 , 2 , －2)，則
n ×
v ＝(0 , 3 , 3)，又直線 L 上的一點(1 ,－2 , 1)，得平面方程式 y＋z＋1＝0
○：平面 E 的法向量
n ＝(1 , －1 , 1)，xy 平面的法向量
n ＝(0 , 0 , 1)， 則 cosθ＝|
|
|
|
n n
n n
．
＝ 3
1 ＜
2
2 ＝cos45°，則夾角θ＞45°
○：平面 E 與三坐標軸的截距分別為 1、－1、1，則所圍成的四面體體積為 3 1 ×
2
1 ×1×1×1＝
6 1 故選 。
設 a，b，c 為實數，下列有關線性方程組
c z y x
bz y x
az y x
＝
－
＋
＝－
＋
＋
＝
＋
＋ 3 2
1 2
1
的敘述哪些正確？
若此線性方程組有解，則可能恰有一組解或有無窮多組解 若此線性方程組有唯一解，則 a＋b＝－1
若此線性方程組有解，則 c＝0 若此線性方程組無解，則 c＝0 若此線性方程組無解，則 a＋b＝－1
答案：
解析：由高斯消去法：
c b a 1 3 2
1 2
1
1 1
1
－
－ ×(－1)
×(－2) →
2 1 2 1 0
2 1
0
1 1
1
－
－
－
－
－ c a
a b
a
×(－1)
→
c b
a a b
a 1 0
0
2 1
0
1 1
1
－
－
－
－
－
此線性方程組的解有三種情形：
○恰有一組解 －a－b－1＝0
○無窮多組解 －a－b－1＝0 且 c＝0
○無解 －a－b－1＝0 且 c＝0
故選 。
第貳部分：選填題（占 40 分）
說明：1.第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(13－
34)。
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 二階方陣 A＝
4 2
3
1 ，B＝
1 2
3
k ，若 (A＋B)3＝A3＋3A2
B＋3AB
2＋B3，則實數 k＝。答案：－2
解析：由題目條件可知方陣 A 和方陣 B 具有矩陣乘法的交換性，即 AB＝BA
4 2
3
1
1 2
3
k ＝
1 2
3
k
4 2
3 1
10 8 2
6 6
＋
＋ k
k ＝
10 4
12 3
6 ＋
＋ k k
得 k＝－2。
B. 已知 有一橢圓形的操場，其跑道的形狀符合橢圓方程式
900 ) 3 (x－ 2 ＋
1600 ) 1 (y－ 2 ＝
1。
(單位：公尺)，且一\s\do1( )上有一直立旗杆。某日數學老師 在此操場跑道上
慢跑，他發現在操場某\s\do1( )上測得旗杆頂的仰角為 30 度，試問旗杆的高度為公 尺。(化為最簡根式)答案： 3 3 50
解析：由橢圓標準式，得橢圓的半長軸長 a＝40，半短軸長 b＝30 所以長軸的頂點到短軸的頂點之距離為 402＋302 ＝50 又旗杆的仰角為 30 度，所以旗杆的高度為 50×tan30°＝
3 3
50 (公尺)。
【註】一般而言，操場跑道不是橢圓形
C. 若 f (x) 為五次多項式，且 f (x) 除以 (x＋1) 的餘式為 152，除以 (x－2) 的餘式為 5，除以 (x－1)
4 餘式為 8，試求 f (3)＝。答案：－104
解析：因 f (x) 為五次多項式，由除法原理，設 f (x)＝(ax＋b)(x－1)4＋8 又由餘式定理，
f (－1)＝(－a＋b)(－1－1)4＋8＝－16a＋16b＋8＝152 f (2)＝(2a＋b)(2－1)4＋8＝2a＋b＋8＝5
解得 a＝－4，b＝5
所以 f (x)＝(－4x＋5)(x－1)4＋8
故 f (3)＝(－12＋5)(3－1)4＋8＝(－7)×16＋8＝－104。
D. 右圖為平面上的一個圖形，已知 ABCD 為矩形，分別自兩個邊向外做正三角形 ADF 及
AEB。若矩形 ABCD、正三角形 ADF 及正三角形 AEB 三者的面積和
為 a，三角形 ECF 的面積為 b，且 a＝b＋16。試求矩形 ABCD 的面 積為。答案：64
解析：設矩形的長為 m，寬為 n，由題意以及圖形，可得
矩形 ABCD、正三角形 ADF 及正三角形 AEB 三者的面積和為 a，三角形 ECF 的面積為 b，a＝b＋16，
因△AFE
△BCE
△DFC，故知三角形 AFE 的面積為 16 又三角形 AFE 的面積為2
1 ×m×n×sin150°＝
4
1 ×m×n＝16
故矩形 ABCD 的面積為 m×n＝64。
E. 設標準位置角θ＝
12
n
×180°＋45°，其中 n 為整數且 60 n 120，則有個θ會落在第三象限
內。答案：13 解析：由θ＝
12
n ×180°＋45°＝n×15°＋45°，因為是落在第三象限的廣義角，則
360°×k＋180°＜n×15°＋45°＜360°×k＋270°，k 為整數
24k＋9＜n＜24k＋15，k 為整數 且 60
n
120當 k＝2 時，57＜n＜63，取 n＝60，61，62，有 3 個
當 k＝3 時，81＜n＜87，取 n＝82，83，84，85，86，有 5 個
當 k＝4 時，105＜n＜111，取 n＝106，107，108，109，110，有 5 個 共有 13 個。
F. 已知一數列：
3 1，
5 1 ，
5 4 ，
7 1 ，
7 4 ，
7 9 ，
9 1 ，
9 4 ，
9 9 ，
9 16 ，
11 1 ，
11 4 ，
11 9 ，
11 16
，11 25，
… …，依此規律，試求此數列的前 45 項的和為。
答案：55
解析：觀察數列的規律，可得此數列的前 45(＝1＋2＋3＋……＋9) 項的和為
3
1 ＋
5 4 5
1＋ ＋
7 9 7 4 7
1＋ ＋ ＋……＋
19 81 19
1 ＋＋
＝ 2 1 1 12
＋ ＋ 2 2 1
2 12 2
＋
＋
＋ 2 3 1
3 2
12 2 2
＋
＋
＋
＋……＋
1 9 2
9 2
12 2 2
＋
＋
＋
＋
＝
91
2 2
2 2
1 2 3 2 1
＝ ＋
＋
＋
＋
＋
k k
k
＝
9
1 2 1
6
) 1 2 ( ) 1 (
＝ ＋
＋
＋
k k
k k
k
＝
9
1
6
) 1 (
＝
＋
k
k
k
＝6 1 ×
91
2
)
(
＝
＋
k
k
k
＝6
1 ×
9
1
9 1 2
＝
＋
＝k k
k
k
＝6
1 ×
2 10 9 6
19 10
9 ＋
＝55。
G. 長方形紙張 ABCD，已知 E、F 分別在
AD、BC 上(如圖 )，今沿著 EF 將長方形摺疊，頂點 C 正好落在 AB 的中點 C' 上(如圖 )，若 AB＝10、BC＝12，求 EF ＝。
(化為最簡分數)
圖 圖 答案： 6
65
解析：因為將長方形摺疊，頂點 C 正好落在 AB 的中點 C'，
所以 CC⊥EF，作 EG⊥BC，且 AB＝10，得 BC＝5，
又 BC ＝12，因為 ABCD 為長方形，即∠B＝90°，
利用畢氏定理得 CC＝ 52＋122 ＝13，
令∠BCC'＝θ，所以，∠FEG＝θ，
利用直角三角形的邊角關係，
cosθ＝
C C
BC
＝ EF
EG ，代入數值得 13 12 ＝
EF
10 ，移項得 EF＝ 6 65。
H. 已知在一個與變化量 x、y 有關的線性規劃作業中，有三個限制條件。在坐標平面上畫出符
合這三個限制條件的區域，最後得到的可行解區域是一個三角形 ABC 及其內部區域(包含邊 界)，已知 A(3 , 3)，B(5 , －7)，C(α , β)。在此可行解區域中，當目標函數為 f (x , y)＝x＋2y 時，得到在 A 點有最大值，在 B 點有最小值。現因環境條件改變的需要，加入了第四個限 制條件 ax＋by c，結果符合所有限制條件的可行解區域變成一個四邊形區域，頂點少了 A(3 , 3)，但新增了頂點 D(1 , 1)，E(4 , －2)。若已知滿足上述條件的 C(α , β)，其中α可能的
最小範圍為 m α＜n，m、n 為整數。請問數對 (m , n)＝。
答案：(－3 , 1)
解析：由可行解區域圖形可知，
滿足條件的 C(α , β) 必須在頂點 D(1 , 1) 的左邊，所以α＜1 又因在 B(5 , －7) 有最小值，且目標函數為 f (x , y)＝x＋2y，
所以 C(α , β) 必須在 x－y＝0 (直線 AC) 與
直線 x＋2y＝－9 (平行 x＋2y＝0 且通過 B 點的直線)交點的右邊，
又 x－y＝0，x＋2y＝－9 的交點為(－3 , －3)，所以－3
α故數對 (m , n)＝(－3 , 1)。
參考公式及可能用到的數值
參考數值： 2
1.414，log10 2
0.3010，log10 3
0.4771正弦定理：若△ABC 三內角∠A、∠B、∠C 所對的邊長分別是 a、b、c，則 A
a sin ＝
B b sin ＝
C c
sin ＝2R，其中 R 是△ABC 外接圓的半徑 餘弦定理：若△ABC 三內角∠A、∠B、∠C 所對的邊長分別是 a、b、c，則
a
2＝b2＋c2－2bc cos A正弦函數的和角公式：設α，β為任意角，則 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
兩向量
u 與
v 的「內積」為
u ．
v ＝ |
u| |
v| cosθ，其中θ為
u 與
v 的夾 角機率的定義：若一事件 A 有 k 個元素，而樣本空間 U 有 n 個元素，若每個元素出現的機會 均等，則此事件 A 發生的機率就是
n
k ，寫成：P( A)＝nn((UA)) ＝ n
k ，其中 P(
A) 表示事件 A 發生的機率
設
u ＝(a1, b
1, c
1)，
v ＝(a2, b
2, c
2)，則
u 和
v 的外積定義為
u×
v ＝
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1
1 , ,
b a
b a a c
a c c b
c b
