指數運算

1. 指數的定義

(1)正整數指數：設a為實數，n為正整數，則aⁿ = 。

(2)整數指數、有理數指數：設a0，n為正整數，m為整數，則

a⁰ = 、a⁻ⁿ = 、

1

an = 、

m

an = 。

2. 指數律：設a b, 0且m n, 均為實數

(1)a^{m n+} = (2)a^{m n−} = (3) (ab)^m = (4) ( )a ^m b =

(5)a^mn= (a^2x = 、a^−x = )

3. 常見題型

【型一】互為倒數和條件限制：當x0時， 1

x+ x

(1)x²+x⁻² = (2)x³+x⁻³ =

【型二】若a^x =b^y，則

(1)a= (2)b=

計算下列各值：

(1)⁰ (2)2⁻³ (3)

1

252 (4)

2

343⁻3 (5) 81 ^{0.25 2.5}

( ) (0.25)

16

− + − (6)20^2.55^−1.56⁻³14⁻³21³ EXAMPLE 1

指數運算

x 2-1

設a+a⁻¹=4，求：

(1)a²+a⁻² (2)a³+a⁻³ (3)a⁴+a⁻⁴ (4)

1 1

2 2

a +a⁻

E

已知a^2x= 2 1+ ，求：

(1)

3x 3x

x x

a a a a

−

−

+

+ (2)

3x 3x

x x

a a a a

−

−

−

−

已知x y, 均為實數，滿足27^x =67且81^y =603， 求3x−4y的值。

E

設a b, 為正實數，且a=2^0.3，b=2^0.03，則下列選 項哪些是正確的？

(1)a=10b (2)a=b¹⁰ (3)0.5a=2^0.15 (4)0.5ab=2^−0.67 (5)2ab² =2^1.36

某項新實驗中細菌數 1 日後增加k倍，已知 3 日 後細菌數為 2000，5 日後其細菌數為 32000，若 細菌數為 128000 時需 M日，求數對( ,k M)。

E

根據統計，目前臺灣每年大約回收10萬噸的寶特 瓶，總數大約45億支。某慈善機構在108年回收 2噸的寶特瓶，並將這些寶特瓶中的60%再做成 紡絲纖維。某個慈善機構往後每年的回收量大約 是前一年的1.5倍，求幾年後，這個慈善機構就 可以製成100噸以上的紡絲纖維。

EXAMPLE 7 EXAMPLE 6

EXAMPLE 5 EXAMPLE 4

EXAMPLE 3 EXAMPLE 2

課後練習題

類題1：

計算下列各值：

(1)

1 11

2 3 2 2

( 3)⁻ [( 3) ]⁻ ( 3) (2)

2

0.25 3 2.5

81 8

( ) ( ) (0.25)

16 27

 ^－  −

－ (3)

3

2 3 3

7 343

−

+ 

(4)設a0，若⁷ 4

3 2

a a

a

 ＝a^x，求x值 (5)5^2.35^−0.85^2.5−5⁻²

(6)

1 3

0.5 1 3

7 10

(2 ) (0.1) 4(2 ) (2 )

9 27

 

− −

+ − + + (7)

5

5 20 1 1

20

(2 ) 2 2 1024

32

 

+ −

−  + Ans：(1)3 (2)48 (3)49 (4) 1

12 (5) ⁴

25 (6)355

24 (7)1021 類題2：

設2^x+2^−x =6，求：

(1) 4^x+4^−x (2)2² 2 ²

x −x

+ (3)8^x+8^−x Ans：(1)34 (2) 2 2 (3)198

類題3：

(1)已知

1 1

2 2 3

x +x⁻ = ，求

3 3

2 2

2 2

7 3 x x

x x

−

−

+ +

+ + 的值。

(2)已知a^2x =3，求 _{3 5}

x x

x x

a a a a

−

−

−

− 的值。

Ans：(1)1

2 (2) 9 40 類題4：

已知x y z, ,  ，2^x =3^y =5^z =a且1 1 1

x+ + =y z 2，求a值。

Ans： 30

類題5：

已知x y,  ，21^x =27且189^y =243，求3 5

x− y的值。

Ans：−2 類題6：

小明身體不舒服，需依照醫生指示服藥。假設在吞藥後t小時，殘留在胃裡的藥量尚有

( ) 450 (0.64)^t

M t =  毫克，根據此關係回答下面問題：

(1)經過1.5小時後，要量殘留多少毫克？

(2)自t小時到t+1小時吸收的藥量，與第t小時殘存藥量比值為何？

Ans：(1)230.4 (2)0.36

1. 常用對數

設a0，當實數x滿足a=10^x，則x可用loga表示，即a=10^loga。稱loga為a的常用對數。

2. 科學記號

將一個正數x表成x= a 10ⁿ，其中1 a 10，n是整數，這種記法稱為科學記號。

log log

10ⁿ 10 ^a 10ⁿ 10^{n a}

x= a =  = ⁺ ，其中0loga1。 (1)n0時，表示x的整數部分為 位數。

(2)n0時，表示x在小數點後第 位數字開始不為0。

計算下列各值：

(1)log100 (2) 1

log10 (3)log1 (4)log 1000

E

已知a=log 8、b=log 2，求下列各值：

(1)100^a (2)10^{2a b+ −1}

設 a b, 都 大 於 0， loga=18， logb=16 ， 則

( )

log a b− 最接近下列哪一個值？

(1)3

2 (2)3 (3)6 (4)12 (5)18

E

估算2⁻³⁰小數點後面連續有多少個0。

(參考數據：log 20.3010)

科學記號( 49)^{3 100}= a 10ⁿ，其中1 a 10，n是正整數。若a的整數部分為m，求數對( , )m n 。 (參考數據：log 20.3010, log 30.4771, log 70.8451)

EXAMPLE 5

EXAMPLE 4 EXAMPLE 4

EXAMPLE 2 EXAMPLE 1

常用對數

x 2-2

1. 常用對數的對數律：設x y, 為正實數，r為實數 (1)加法 logx+logy= (2)減法 logx−logy= (3)係數積 rlogx=

計算下列各值：

(1)log 4+log 25 (2)log 200 log 0.2− (3) 1 125

log log log56

6− 42 − (4) 5 27 3

2log log log

3+ 35− 14

請問下列哪一個選項等於log(2^{(3 )5} )？

(1)^{5log 2}

( )

(

)

E

計算

(

) (

)( ) (

)

EXAMPLE 3 EXAMPLE 2

EXAMPLE 1

對數律(常用對數)

x 2-3

課後練習題

類題1：

化簡 1

log100 log10 10 log

+ − 1000。 Ans：1

2 類題2：

設a=log 3，b=log 4，求

2 1

100 ^a+2^b之值。

Ans：18 類題3：

設 1

loga=2，logb=4，logc= −2，則log 100

abc =

 

  。

Ans：1 2 類題4：

請估計3⁻⁵⁰從小數點後第幾位開始出現不為0的數字。(參考數據：log 30.4771) Ans：24

類題5：

已知47¹⁰⁰是168位數，求47⁵⁰是幾位數。

Ans：84 類題6：

計算下列各值：

(1)log 2−log 20 (2) ₂ 1 _{2 2} 3

3log 2 log 3 log

2 2

− + = (3) 14 36

log 5log 2 2log 3 log

25− − + 7 =

Ans：(1)−1 (2)1

2 (3)−2 類題7：

計算

(

) (

)( ) (

)

Ans：1

1. 對數的定義：設x y, 為正實數，r為實數

設a b, 0且a1，當實數x滿足b=a^x，則x可用log_ab表示，即b=a^logab。稱log_ab為以a為 底b的對數，其中a稱為底數，b稱為真數。

2. 對數轉換常用對數：

設a b, 為正實數，log_ab= 。(換底公式)

設log_x−1( 3− x²+11x−6)有意義，求x的範圍。

Sol：

KEYlog_ab有意義

E

已知x=log 3₂ ，求4^x及2^−x的值。

設log 2₅ =a，log 5₄ =b，求

1 1

5

a

− +b

之值。

E

以對數表示下列各式中x的值：

(1)2^x =3 (2)10^x =2 (3)0.3^x =5

求下列各對數的值：

(1)log 16 (2)₂ log₅¹

5 (3)log 6₆ (4)log 49 7 (5)₇ log ₂ 4 (6) _{3 3} 1

log 243

EXAMPLE 5

EXAMPLE 4 EXAMPLE 3

EXAMPLE 2 EXAMPLE 1

對數

x 2-4

求下列各式的值：

(1) ₃ 1 _{3 3} 1 ₃

log 15 log 30 log 5 5 log 2

2 2

+ − − (2)log ₂3 log 4 ₃ (3)

2 3 5

2 1 1

log 60+log 60+log 60

◎對數律：此部分超過課程綱要內容，可自行決定是否學習。

3. 對數律

設a b c x y, , , , 為正實數且a b c, , 1，r s, 為實數。

(1)log_ax+log_a y= (2)log_ax−log_ay=

(3)rlog_a x= (5) log s

r

a x =

(5)log_bc= (換底公式) (7)log_ab= (倒數公式)

(6)log_ablog_bc= (8)x^logay = EXAMPLE 6

課後練習題

類題1：

設x為實數，且使得^logx−²

(

)

Ans： 10

x 3 或 5 2 x 2 類題2：

設x=log 7₂ ，求4^x+2^−x的值。

Ans：344 7 類題3：

求下列各對數的值：

(1)log 8₂ (2)log₃¹

9 (3)log 1₄ (4)log 5 5 ₅ Ans：(1)2 (2)−2 (3)0 (4)3

2 類題4：

求下列各式的值：

(1) log 2 log 3 log15− + (2) 3 3

log 50 log log

7 14

+ − (3) 3log 2 2 log 5 log 2+ − (4)3log 4³ +log 25

Ans：(1)1 (2)2 (3)2 (4)2

◎類題5：

求下列各式的值：

(1) _{6 6 6} 2

log 3 log 8 log

+ − 3 (2)log 250 log 10 log 4₅ + ₅ − ₅ (3)log 2₁₈ +2 log 3₁₈

(4) ₃ 1 _{3 3} 1 ₃

log 15 log 30 log 5 5 log 2

2 2

+ − −

Ans：(1)2 (2)4 (3)1 (4)3 2 類題6：

求下列各式的值：

(1)

(

)

3 12

1 1

log 6+log 6

Ans：(1) 1

−4 (2)2

1. 指數函數

設a0且a1，函數 f x( )=a^x稱為以a為底的的指數函數。

( ) ^x

f x =a 的定義域為 ，值域為 。 2. 對數函數

設a0且a1，函數 f x( )=log_a x稱為以a為底的的指數函數。

( ) log_a

f x = x的定義域為 ，值域為 。

描繪下列各函數圖形：(1)y=2^x (2) 1 ( )2

y= x (3)y=log₂x (4) ₁

2

log y= x

(1)y=2^x

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

(2) 1

( )2 y= x

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y

(3)y=log₂ x x

y -3 -2 -1 0 1 2 3

(4) ₁

2

log y= x

x

y -3 -2 -1 0 1 2 3 EXAMPLE 1

指數函數、對數函數及其圖形

x 2-5

3. 指數函數與對數函數的圖形及比較 1

a 0 a 1

指數 y=ax

(1)必過 (2)恆在 (3)以 為漸近線

對數 log_a y= x

(1)必過 (2)恆在 (3)以 為漸近線

遞增函數：

圖形越往右，函數值越大。

1 2

x x

a a 

1 2

log_ax log_ax 

遞減函數：

圖形越往右，函數值越小。

1 2

x x

a a 

1 2

log_ax log_ax 

4. 圖形間的對稱

(1)y=a^x的圖形和y ( )^{1 x}

= a 的圖形對稱於 。

(2)y=log_a x的圖形和 log₁

a

y= x的圖形對稱於 。

(2)y=a^x的圖形和y=log_ax的圖形對稱於 。

5. 凹向性

(1)凹口向上：圖形上任兩點的連線（弦）在圖形上方。(如：指數函數圖形y=a^x)

(2)凹口向下：圖形上任兩點的連線（弦）在圖形下方。(如：常用對數函數y=log₁₀x)

將下列函數連到所對應的函數圖形之代號上。

2^x

y= ˙ ˙₁

4^x

y= ˙ ˙₂

E

將下列函數連到所對應的函數圖形之代號上。

y=ax ˙ ˙₃

y=bx ˙ ˙₄

( )1 ^x

y= a ˙ ˙₅

將下列函數連到所對應的函數圖形之代號上。

2^x

y= ˙ ˙₆

10^x

y= ˙ ˙₇

log

y= x˙ ˙₈

E

如下圖，₁:y=a^x、₂:y=b^x、₃:y=c^x、

4:y d^x

 = ，請比較a、b、c、d的大小。

請選出下列關於函數圖形的敘述哪些選項正確？

(1) y=logx的圖形必過點(0,1) (2) y=3^x的圖形有漸近線y=0 (3) y=logx的圖形凹口向下

(4) 已知a0且a1，的圖形凹口向上

(5) 若P、Q是y=logx上的相異兩點，則直線PQ 的斜率必為負

E

求方程式2^x− − =x 2 0有幾個實數解。

EXAMPLE 7 EXAMPLE 6

EXAMPLE 5 EXAMPLE 4

EXAMPLE 3 EXAMPLE 2

1. 一對一性質（用於解方程式）

(1)若a^x1 =a^x2，則 。 (2)若logx₁=logx₂，則 。

2. 遞增遞減性質（用於比較數值大小及解不等式）

(1)當a1時，圖形遞增。若a^x1 a^x2，則 。若log₁₀x₁log₁₀x₂，則 。 (2)當0 a 1時，圖形遞減。若a^x1 a^x2，則 。

請比較下列各數的大小：

2 43

A= 、B=4^−0.25、C=(0.25)⁻²、D=( 2) ²。 Sol：

KEY指對數比大小

E 請比較下列各數的大小：

log 2

A= 、 1

log3

B= 、C= −log 4、D=1。

解下列指數方程式及不等式：

(1) (0.5)^x =2^{− +2x 3} (2) 4^x−2^x+1=8 (3) ( 2)^x2−3 2^x EXAMPLE 3

EXAMPLE 2 EXAMPLE 1

指數與對數方程式及不等式

x 2-6

解下列對數方程式：

(1) log₂ x=log 7₄ (2) log (₃ x+ =1) 2 (3) log 2x+log(x+ =5) 2

解對數不等式2 logxlog(x+2)。 EXAMPLE 5

EXAMPLE 4

課後練習題

類題1：

請比較下列各數的大小：

3 3

( )

A= 10 、 3 ²

( )

B= 10 ⁻ 、

5

(0.09)2

C= 、D=1。

Ans：C < A < D < B 類題2：

解下列指數方程式及不等式：

(1) 3^x−1=9^x2−2 (2) (0.5)^x−(0.25)^x+1 =1 (3) 1 1

( ) ( )

10 10

x  x

Ans：(1)3

2或−1 (2)−1 (3)x0 類題3：

解下列對數方程式：

(1) log(x+10)= +1 log(x−8) (2) log (₃ x− =2) log (2₃ x−1) Ans：(1)10 (2)5

類題4：

解對數不等式log(x− 1) log 2。 Ans：1 x 3

1. 廣義角(標準位置角)：以正x軸為始邊，旋轉到終邊的角度。

(1)方向：逆時針方向旋轉為正角(+)，順時針方向旋轉為負角(−)。

(2)同界角：終邊相同，稱為同界角。如：30和390、− 50 和670。

2. 廣義角三角函數：看與 的夾角(對x軸做垂線)

當廣義角是一個標準位置角時，在的終邊上任取異

於原點的一點^{P x y}

(

)

正弦 sin = ，其中r= 0

餘弦 cos =

正切 tan =

3. 特殊角的三角函數值

30 45 60 0 90 180 270 I II III IV

sin cos tan

4. 廣義角化銳角三角函數

(1)值(不看正負)：與x軸之夾角相同，值就相同。

(2)正負：看象限。

5. 基本關係：(所有三角函數均可以化成sin、cos ) (1)平方關係：

(2)餘角關係：

(3)商數關係：tan =

廣義角三角函數

x 1-1

試求下列三角函數的值：

(1) sin150 ° (2) cos 210 ° (3)tan( 60− °) (4)sin( 1230− °) (5) cos 2010 ° (6)tan(765 )

設設^P

(

)

求sin與cos 的值。

E

已知0 x<360，求下列各條件的x值：

(1) 1

sinx=2 (2)cos ³

x= 2 (3) tanx= −1

E

右圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時，將方向盤轉動到極限，以低速讓汽車進行轉向圓周運動，汽 車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑，如圖中的BC即是。已知在低速前進時，圖中A處的 輪胎行進方向與AC垂直，B處的輪胎行進方向與BC垂直。在圖中，已知軸距AB為2.85公尺，方 向盤轉到極限時，輪子方向偏了28度，試問此車的迴轉半徑BC為多少公尺（小數點後第一位以下 四捨五入，sin 28 0.4695，cos 28 0.8829）。

EXAMPLE 4

EXAMPLE 3 EXAMPLE 2

EXAMPLE 1

有一個等腰三角形底邊為10，頂角72，下列何 者可以表示腰長？

(1) 5sin 36 (2) 5 tan 36 (3) 5

tan 36 (4) 5 sin 36

E

x軸上有A(2, 0)、B( 4, 0)− 兩觀測站同時觀察x軸 上方的目標C點，測得BAC和ABC之值後，

通知砲台 5 ( , 8)

D 2 − 此二角正切值分別為8 9和8

3。

求CD的距離。

E

設₁，₂，₃，₄分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於0與360之間。已知

1 2 3 4

cos cos cos cos 1

 =  =  =  =3，請問下列哪些選項是正確的？

(1)₁ 45 (2) ₁+ =₂ 180 (3) ₃ 1

cos = −3 (4)sin ₄ ^{2 2}

 = 3 (5) ₄ = + ₃ 90

已知為第二象限角， 5

sin =13，求下列各值：

(1)^{sin 180}

(

)

(

)

( )

E

已知3sin +4 cos =5，求sin 的值。

EXAMPLE 6 EXAMPLE 5

EXAMPLE 5

EXAMPLE 6 EXAMPLE 5

課後練習題

類題1：

試求下列三角函數的值：

(1) sin 210 ° (2) cos 765 ° (3)tan( 150− °) (4) sin 225 ° (5) tan135 °

Ans：(1) 1

−2 (2) ²

2 (3) ³

3 (4) ²

− 2 (5) 1 類題2：

設^{P x}

( )

− 類題3：

已知0  x 360，求下列各條件的x值：

(1) sinx=1 (2) 1 cos

2

x= (3) 1

tan

3

x= − Ans：(1)x= 0 (2)x=45or315 (3)x=150or330 類題4：

已知為第四象限角，且 3

cos =5，求下列各式的值：

(1) sin (2)^cos

(

)

(

)

− (2) 4 5

− (3) 4 3

−

類題5：

設為銳角且 1

sin cos

− = 2，試求下列各值：

(1) sin cos  (2) sin +cos (3) 1 tan tan

+  Ans：(1)3

8 (2) ⁷ 2 (3)8

3 類題6：

設θ1，θ2，θ3，θ4 分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於 0° 與 360° 之間。已知 | sinθ1 |＝| sinθ2 |＝| sinθ3 |＝| sinθ4 |＝2

3，則下列哪些選項是正確的?

(1) θ1＋θ2＝180° (2) θ2＋θ3＝360° (3) θ1＋θ4＝360° (4)sinθ2＝2

3 (5) cosθ3＝－ ⁵ 3 Ans：12345

類題7：

如下圖所示（只是示意圖），將梯子AB靠在與地面垂直的牆AC上，測得與水平地面的夾角ABC 為60。將在地面上的底B沿著地面向外拉51公分到點F（即FB=51公分），此時梯子EF與地面的 夾角EFC之正弦值為sinEFC=0.6，求梯子長AB。

Ans：170

1. 弧度量：

在半徑為r，圓心為O的圓周上任取A、B兩點，若AB的弧長為r，則定義弧AB所對應的

圓心角AOB為1弳(或稱1弧度)。依此類推，若CD=2r，則其所對應的圓心角COD為2弳。

2. 弧度量與度度量的轉換：

(1)180 = 弧度 (2)1

180

 =  弧度 (3) 180

1 57



=    弧度

3. 扇形公式：

已知扇形的中心角為，半徑為r，則

(1)扇形弧長s= (2)扇形面積A=

試將下表的空格完成（弧度轉換成度度；度度轉換成弧度）

弧度量(弳) 0

3



2

 23

12 3

度度量(度) 30 45 225   EXAMPLE 1

弧度

x 1-2

a=10弧度，試問a是第幾象限角。

E

設與−55弳為同界角，且0  2，求的值。

試求下列三角函數的值：

(1)sin³ 2

 (2)cos⁵ 4

 (3)tan⁷ 6



E

已知一扇形，其半徑為5公分，圓心角為 6

 ，試

求此扇形的弧長和面積。

包裝七根半徑皆為1的圓柱，其截面如下圖所 示。試問外圍粗黑線條的長度。

E

一直圓錐之底半徑為3，高為4，今沿其一斜高剖 開成一扇形，求側面的表面積。

EXAMPLE 7 EXAMPLE 6

EXAMPLE 5 EXAMPLE 4

EXAMPLE 3 EXAMPLE 2

課後練習題

類題1：

完成下表中度與弳的換算。

度 0 45 120 180 270

弳 0

6



2

 3

4

 5

6

 2

Ans： 2 3

30 ,90 ,135 ,150 ,360 , , , ,

4 3 2

   

     類題2：

選出所有 ² 3

−  弳的同界角。

(1)2 3

 弳 (2)4 3

 弳 (3) 8 3

−  弳 (4)¹⁰ 3

 弳。Ans：234

類題3：

求 14 9

−  弳是第幾象限角。Ans：第一象限

類題4：

求下列各式的值：

(1)cos 4

 。 (2)cos ¹¹ 6

−  

 

 。 (3) 4 tan 3

 。Ans：(1) ²

2 (2) ³

2 (3)− 3 類題5：

圓半徑為6，切出一塊扇形，已知扇形周長為圓周長的一半，求此扇形的圓心角。Ans：−2

類題6：

兩條公路k及m，如果筆直延伸將交會於C處成60夾角，如圖所示。為銜接此二公路，規劃在

兩公路各距C處450公尺的A、B兩點間開拓成圓弧型公路，使k、m分別在A、B與此圓弧相切，

求此圓弧長。（公尺以下四捨五入）

參考數據： 3  1.732,   3.142

Ans：544 A

B C

D

1. 正弦定理：使用時機(1) (2) (3) 設a b c, , 分別表示ABC三內角  A, B, C的對邊長，

R為ABC外接圓半徑，則 。

換句話說，a b c: : = 。

2. 餘弦定理：使用時機(1) (2) 設a b c, , 分別表示ABC三內角  A, B, C的對邊長，則

a2 = cosA=

★三角形的判斷：設ABC的三邊長a b c，則 (1)若a² =b²+c²，則ABC為 三角形 (2)若a² b²+c²，則ABC為 三角形 (3)若a²b²+c²，則ABC為 三角形 3. 三角形面積公式

設a b c, , 分別表示ABC三內角  A, B, C的對邊長，R為ABC外接圓半徑，r為為ABC內 切圓半徑。

ABC= = = = =

(底、高) (兩邊一夾角) (三邊長，

2 a b c

s= + + ) (與R有關) (與r有關) 4. 常用的性質

(1)圓內接四邊形 (2)內角平分線 A

B D C

A

B

C

D



180 −

O A

B

C a

c b R

正弦定理、餘弦定理

x 1-3

正三角形ABC的邊長為1，且 =  =  = 1 2 3 15 。

已知sin15 ^{6 2}

4

 = − ，求正三角形DEF的邊長。

E

如圖所示，ABCD為圓內接四邊形。若 30

DBC= 、ABD=45、CD=6，求AD。

如下圖，在ABC中，BAC的平分線AD交對 邊BD於D。已知BD=3，DC=6，且AB= AD， 求cosBAD的值。

E

四邊形ABCD中，AB=1,BC=5,CD=5,DA=7 且DAB= BCD= 90 ，求AC。

EXAMPLE 4

A

B D C

EXAMPLE 3

EXAMPLE 2 EXAMPLE 1

A

B

D

C

已知△ABC中，A、B、C的對邊長為 a、b、c，則下列條件△ABC必為鈍角三角形？

(1)a²+b² c² (2) 1

sin sin

A= B=3

(3) : :a b c=5 : 6 : 7 (4)b=4，c=6， = B 30 (5)△ABC的三個高長度為9、12、15

E

△ABC中，已知AB=8，AC=6， =A 120， 若AD為A的內角平分線，如圖所示，求AD。

ABC的三邊長分別為6、7、9，試求：

(1)ABC的面積

(2)ABC的內切圓半徑 (3)ABC的外接圓半徑

△ABC中，AB=10，AC=9， 3 cosBAC=8， 設點P、Q分別在AB、AC上使得△APQ的面 積為△ABC面積的一半，求PQ的最小值。

一塔高120公尺，樹A在塔的正西方，樹B在塔的西30南。小明從塔的頂端測得樹A底部的俯角 為45，樹B底部的俯角為60，求兩樹的距離。

EXAMPLE 9

EXAMPLE 8 EXAMPLE 7

EXAMPLE 6 EXAMPLE 5

課後練習題

類題1：

設D為△ABC中BC邊上的一點，已知ABC =75、ACB=45、ADB=60。求BD DC: 。 Ans：2 :1

類題2：

如下圖所示，在△ABC中，D為BC邊上一點，且AB=10，AD=8，BD=4，DC=9，設AC=a， 求a的值。

Ans：10

類題3：

設四邊形ABCD內接於一圓，如上圖。其中 =A 60，AB=BC=6，AD=16，求：

(1)CD。 (2)四邊形ABCD的面積。

Ans：(1)10 (2) 39 3 類題4：

圓內接四邊形ABCD，設AB=5，BC=3，CD=2， =D 120，則下列選項哪些是正確的？

(1)AD=3 (2)AC=3 2 (3)四邊形ABCD的面積為^{21 3}

4 (4)此圓的半徑為 ¹⁹

3

(5)此圓的半徑為 ⁵⁷

3 Ans：135

類題5：

△ABC中，周長為20， = A 60 ，其外接圓半徑R為7 3

3 ，求△ABC的內切圓半徑。

Ans： 3 類題6：

下列關於△ABC的敘述，哪些選項是正確的？

(1)若 1

cosA= −3，則△ABC為鈍角三角形

(2)若 3

sinA= 2 ，則△ABC可能是鈍角三角形 (3)若  C 90 ，則sin²Csin²A+sin²B

(4)若a、b、c分別為A、B、C的對邊長，且a²  +b² c²，則△ABC為銳角三角形 (5)若sinA: sinB: sinC=2 : 3 : 4，則△ABC是鈍角三角形

Ans：1235

題型10

類題7：

某人在O點測量遠處有一物體作等速直線運動，開始的時候，物體的位置在P點，一分鐘之後，

位置在Q點且POQ= 。再過一分鐘之後，物體的位置在90 R點，且QOR= ，求30 ^tan2

(

)

Ans：3 4 類題8：

在邊長為13的正三角形ABC上各邊分別取一點P Q R, , ，使得APQR形成一平行四邊形，如下圖 所示：若平行四邊形APQR的面積為20 3，求線段PR的長度。

Ans：7 類題9：

有一個三角形公園，其三頂點為O、A、B，在頂點O處有一座150公尺高的觀景台，某人站在 觀景台上觀測地面上另兩個頂點A、B與AB的中點C，測得其俯角分別為30、60、45。求此三角 形公園的面積。

Ans：7500 2 類題10：

最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形ABCDE，其示意圖如下。關於這五邊形，

請選出正確的選項。

(1)AD=2 2 (2)DAB= 45 (3)BD=2 6 (4)ABD= 45 (5)△BCD的面積為2 2

Ans：14 B

P

Q C

R A

1. 函數

對於一個函數 f x( )而言，能讓 f x( )有意義的所有x所成的集合，稱為此函數的定義域；所有

x所對應的 f x( )可能的函數值所成的集合，稱為此函數的值域。

2. 正弦函數的圖形

將廣義角x(弳)對應到正弦值sinx的函數稱為正弦函數，即y= f x( )=sinx。

試著描繪y=sinx的圖形：在下方標出( ,sin )x x 的點坐標，並用平滑曲線連起來。

3. 正弦函數圖形的性質

(1)定義域與值域：y=sinx的定義域為 ，值域為 。 (2)週期：sin(x+2 ) =sinx，所以y=sinx的週期為 。

(3)振幅：中線(x軸)上下震盪的大小為1，所以y=sinx的振幅為 。

(4)對稱性

①點對稱：圖形與x軸交點(k, 0)均為對稱中心，k為整數。例如：y=sinx對稱於原點。

②線對稱：圖形通過最高或最低點的鉛直線 2 x₌k

，k為奇數。例如：y=sinx對稱於 x₌2

。 EXAMPLE 1

正弦函數的圖形

x 1-4

利用y=sinx的圖形(虛線)，描繪下列各函數的圖形，並觀察圖形變化及週期與振幅。

(1)y=sinx+1 (2)y=sinx−1 (3) sin( ) y₌ x₊2

(4) sin( ) y₌ x₊2

(1)y=sinx+1 y=sinx→ =y sinx+1

方程式： ( , )x y → 圖形 ：y=sinx 週期 ： 2  → 振幅 ： 1 →

(2)y=sinx−1 y=sinx→ =y sinx−1

方程式： ( , )x y → 圖形 ：y=sinx 週期 ： 2  → 振幅 ： 1 →

(3) sin( )

y₌ x₊2

sin sin ( )

y₌ x_{→ =}y x₊2 方程式： ( , )x y →

圖形 ：y=sinx 週期 ： 2  → 振幅 ： 1 →

(4) sin( )

y₌ x₊2

sin sin( )

y₌ x_{→ =}y x₋4 方程式： ( , )x y →

圖形 ：y=sinx 週期 ： 2  → 振幅 ： 1 → 4. 函數圖形的平移

(1)水平方向平移：( , )x y →(x−h y, )，如：y=sinx⎯⎯⎯⎯⎯→ =^{( , )x y→ −(x h y, )} y sin(x h− )。 當h0表示向右平移h單位；當h0表示向左平移| |h 單位。

(2)鉛直方向平移：( , )x y →( ,x y−k)，如：y=sinx⎯⎯⎯⎯⎯→ − =^{( , )x y→( ,x y k− )} y k sinx　(即y=sinx+k)。

當h0時，表示向上平移h單位；當h0時，表示向下平移| |h 單位。

★平移不會改變週期和振幅 EXAMPLE 2

利用y=sinx的圖形(虛線)，描繪下列各函數的圖形，並觀察圖形變化及週期與振幅。

(1)y=sin 2x (2) sin 2

y= x (3)y=2sinx (4) 1 2sin y= x

(1) y=sin 2x y=sinx→ =y sin 2x

方程式： ( , )x y → 圖形 ：y=sinx 週期 ： 2  → 振幅 ： 1 →

(2) sin

2

y= x sin sin

2 y= x→ =y x

方程式： ( , )x y → 圖形 ：y=sinx 週期 ： 2  → 振幅 ： 1 →

(3)y=2sinx y=sinx→ =y 2sinx

方程式： ( , )x y → 圖形 ：y=sinx 週期 ： 2  → 振幅 ： 1 →

(4) 1

2sin

y= x 1

sin sin

y= x→ =y 2 x 方程式： ( , )x y →

圖形 ：y=sinx 週期 ： 2  → 振幅 ： 1 → 5. 函數圖形的平移

(1)水平方向伸縮：( , ) ( , )x

x y y

→ a ，週期變為a倍。如： sin ^{( , ) ( , )} sin

x y xy

a x

y x y

a

= ⎯⎯⎯⎯⎯→ → = 。

當a1時，表示水平方向放大為a倍；當0 a 1時，表示水平方向縮短為a倍。

(2)鉛直方向伸縮：( , ) ( , )y

x y x

→ b ，振幅變為b倍。如： sin ^{( , ) ( , )} sin

x y xy

b y

y x x

b

= ⎯⎯⎯⎯⎯→ → = (即y=bsinx)。

當b1時，表示水平方向放大為b倍；當0 b 1時，表示水平方向縮短為b倍。

EXAMPLE 3

6. 函數y=asin(bx+ +c) d的平移伸縮習慣

sin ^{( , ) ( , )} sin ^{( , ) (} ₁^{, )} sin

x y xy

x y bx y a

a

b

y= x⎯⎯⎯⎯⎯_{鉛直伸縮 倍}^→ → =y a x⎯⎯⎯⎯⎯^→ → =y a bx

水平伸縮 倍

^{( , ) ( , )} sin[ ( )] ^{( , ) ( , )} sin( )

x y x cy

x y x y d b

c d

b

y a b x c y a bx c d

b

→ + → −

⎯⎯⎯⎯⎯⎯− → = + ⎯⎯⎯⎯⎯→ =_{鉛直向上位移} + +

水平向右位移

(1)y=asin(bx+ +c) d的週期為

(2)y=asin(bx+ +c) d的振幅為 已知下圖為y=sin(x+h)一個週期的圖形，其中

0 h 2，求h的值。

已知右圖為y=asinbx半個週期的圖形，其中 0

a ，b0，求a與b的值。

右圖為函數^y=asin

(

)

2 c 2

 

−   ， ( , 0) A 3

，^B

(

)

有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，小龍恰 坐在離地最近的位置上，x分鐘後，小龍離地的高

度y（公尺）可表為 20 sin ² 22

15 2

y=   x− + 。 (1)小龍離地最高為多少公尺？

(2)摩天輪轉一圈需幾分鐘？

求方程式 5 sin πx－x＝0 有幾個實數解。

EXAMPLE 8 EXAMPLE 7

EXAMPLE 6

EXAMPLE 5 EXAMPLE 4

課後練習題

類題1：

sin( )

y x 4

= + 的圖形如何由y=sinx的圖形平移得到？

(1)往左平移 4

 單位 (2)往右平移

4

 單位 (3)往左平移7

4

 單位 (4)往右平移7

4

 單位。

類題2：

已知右圖為y=asinbx一個週期的圖形，其中a0，b0，求a與b的值。

Ans：a=2,b=5

類題3：

如上圖，函數^y=asin

(

)

Ans： 3, ,

4 4

a₌ b₌ c₌ 類題4：

阿南欲觀察月球亮面的比例，遂在某一月( 共 30 天 ) 的每天夜晚同一時間拍攝月球照片，

並計算月球亮面的比例。最後擬合所得的資料，繪製如右的圖形，並發現可用正弦函數 y＝a sin ( bx－c )＋d ( 其中a＞0，b＞0，0  c 

2

π ) 來描述所觀察的資料。試回答下列問題：

(1)此函數的週期 (2)此函數的振幅 (3)求a , b , c , d的值 Ans：(1)28 (2)1

2 (3) 1 3 1

, , ,

2 14 14 2

a₌ b₌  c₌  d ₌ 類題5：

假設小華某段時間的血壓變化可用函數 f(t)＝24 sin(100πt)＋90 來模擬，其中 f(t)為血壓

（單位：毫米汞柱），t 為時間（單位：分鐘）。若 f(t)的最大值稱為收縮壓，而兩個收縮壓的時 間間隔為 1 次心跳的時間，求小華的心跳速率為每分鐘幾次。

Ans：50 類題6：

一物體以彈簧懸掛。已知該物體離平衡點的位移y（公分）與時間x（秒）可用函數

3sin 2 6

y_{= }x₊ _

 

 表示，求：(1)彈簧最大的伸長量（位移） (2)往返完成一次振動所需要的時間。

Ans：(1)3公分 (2)4秒 類題7：

求方程式sin 5

x= x解的個數。

Ans：3