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(1)

臺北市立建國高級中學第 103 期通訊解題題目解答與評析

設p₁、p₂、…、pn是由質數組成的n項數列，已知p1 p1 pn且這n個質數的乘積等於其總和的5倍，試求n的值及此數列的各項。

【簡答】n3，（2、5、7）及 n4，（2、2、3、5）

【詳解】由已知條件，至少有一個pj ⁵。

令p為其餘質數中的最大值，A為5、p以外n2個質數的總和，B為5、p以外n2個質數的乘積，

則有^{5 5}



^{ }^{p A}



^⁵^pB，即5  p A pB(1)

又，當x y, 2，^{xy x y}^{  }



^x^¹

 

^y^{  }^{1 1 0}



，即^{xy x y}^{ } 。由(1)式，若n2，則A0，B1，不符合。

故n3，B A （若n3，則BA）。

由(1)得知，⁵^{  }^{p A pA}



ⁿ^³



^



^p^¹

 

^A^{ }¹



⁶

因_A_₂ p 7，故p可能的值為2、3、5、7。

p7  A 2，僅有另一項2，（2、5、7）符合。（此時n3）

p5 A 2，亦僅有另一項2，但（2、5、5）不符合。

p3 A 4，可能有一個2，或一個3，或二個2，

即（2、3、5），（3、3、5），（2、2、3、5），其中符合的為（2、2、3、5）

p2  A 7，可能有一個2，或二個2，或三個2，

但（2、2、5），（2、2、2、5），（2、2、2、2、5）均不符合。

故恰有兩數列（2、5、7）或（2、2、3、5）滿足題意。

【評析】1.本題徵答人數共5人，分別為

新北市江翠國中李品宏臺中市衛道國中高暐竣

臺北市天母國中余竑勳臺北市師大附中國中部潘卉盈桃園市新興國際中小國中部游垚騰。

部分答對得6分者有2人，得5分者2人，得4分者1人。

2.本題要檢查出兩組解（2、5、7）與（2、2、3、5）是容易的，重點在於說明其他狀況是無解的。

3.本題徵答的同學均由ⁿ之值去討論解，可惜的是大部分的同學在說明無解的情況，

並未證明。其中衛道國中高暐竣同學利用不等式來估計質數範圍，化簡了討論的過程，過程相當完整，值得鼓勵，可惜未說明n7無解。天母國中余竑勳利用奇偶分析協助討論，使得整個過程相當的簡潔與漂亮，值得嘉勉，

可惜在討論n5時，使用的不等式有問題。

10301

(2)

共有幾個正整數n使1＋5n是完全平方數，並且1＋3n2013？

【簡答】22

【詳解】[方法一]

∵1＋3n2013 ∴n670

設1＋5n＝m² ，m為正整數，則

n

＝ 5

2 1

m ，

∵

n

為正整數 ∴

5 ) 1 )(

1 ( 5

2 1  

  m m

m 為正整數

不妨設m＋1＝5k或 m－1＝5k，k為正整數 當m＋1＝5k時，

∵

n

＝

5 10

25k²  k ＝5k²－2k ∴5k²－2k670，1k 11

當m－1＝5k時，

∵

n

＝ 5

10

25k²  k ＝5k²＋2k ∴5k²＋2k670，1k 11

若5k12－2k1＝5k22＋2k2，則

（k1＋k2）（5k1－5k2＋2）＝0 但 k1＋k2



0 且 5k1－5k2＋2



0 所以5k12－2k1



5k22＋2k2

此22個

n

值均不相等。

故有22個

n

值。

[方法二]

∵1＋3n2013 ∴n670

設1＋5n＝m² ，m為正整數，則m²≡1(mod 5)，又

m的個位數字 0 1,9 2,8 3,7 4,6 5 m²的個位數字 0 1 4 9 6 5 唯有m的個位數字為 1,4,6,9時，滿足m²≡1 (mod 5)

∵n670 ∴m²＝1＋5n3351  m57

得m＝4,6,9,11,14,16,19,21,24,26,29,31,34,36,39,41,44,46,49,51,54,56 故有22個

n

值。

【評析】

1. 先說明此題所應用的數學原理與解題想法：

[方法一]

10302

(3)

(1)正整數n，1＋3n2013，是限定n的範圍為n670。

(2)設p為質數，a、b為正整數， ^p^ab，則 ^p^a或 ^p^b 。 (3)解一元二次不等式。

(4)說明所求出的22個

n

值均不相等。

[方法二](窮舉法)

(1) (1＋5n)≡1 (mod 5)，得m²≡1 (mod 5)。

(2)窮舉m的個位數字和m²的個位數字的關係，得到m的個位數字的條件。

(3)求出m的範圍，列出所有的m值。

2. 本題參與徵答者有18人：

得7分者，9人：

臺北市蘭雅國中張玉棠臺北市蘭雅國中魏子翔臺北市蘭雅國中洪煜賢臺北市敦化國中葉峻豪臺中市衛道國中高暐竣臺北市民生國中蔡宜庭新北市江翠國小李可非新竹縣仁愛國中洪梓彧新竹實驗中學陳璿筑

臺北市明德國中張峻睿臺北市天母國中余竑勳臺北市蘭雅國中周詩斌臺北市師大附中潘卉盈臺北市師大附中徐嘉宏臺北市仁愛國小歐庭維桃園縣新興高中國中部游垚騰

過點O任意作7條直線，試證：以O為頂點的角中必有一個小於26。

【詳解】如圖，點O把7條直線分成14條射線，

記為QA₁ ,QA₂ ,…, QA₁₄ ，

相鄰兩射線組成14個角，記為1 , 2 , …, 14，其和為一個周角，即1 + 2 + … + 14 = 360⁰。若以O為頂點的每一個角都不小於26⁰，則 360⁰ = 1 + 2 + … + 14  26⁰ × 14 = 364⁰

顯然矛盾，故在1 , 2 , …, 14中，必有一個角小於26。

A₁ A2

A₃ A₄ A5

A6

A7

【解題重點】本題是典型的「鴿籠原理」問題，若不使用「鴿籠原理」解之，亦可用「反證法」處理。來函的同學大都採用「反證法」，另有少數同學使用直接解法，

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(4)

只有桃園市新興國際中小國中部游垚騰是用「鴿籠原理」解題。

【評析】本題徵答人數22人，其中得4分者有3人，得6分者有6人，得7分者有13人。

得7分者名單如下﹕

桃園市新興國際中小國中部游垚騰、新北市江翠國小李可非新北市江翠國中李品宏、新竹實驗中學陳璿筑、

臺中市衛道國中高暐竣、臺北市天母國中余竑勳、

臺北市民生國中蔡宜庭、臺北市明德國中張峻睿、

臺北市師大附中國中部潘卉盈、臺北市敦化國中葉峻豪、

臺北市蘭雅國中林厚實、臺北市師大附中國中部徐嘉宏、

新竹市仁愛國中洪梓彧。

由字母A和B組成“單詞”，單詞中字母的個數稱為長度。至少有兩個A相連的單詞稱為“好詞”，試問：長度為6的“好詞”有多少個？

【簡答】43

【詳解】(1)沒有B的“好詞”：1個；

(2)僅有一個B的“好詞”：相當於B插在5個A之間，或在單詞的兩端，故

有6個；

(3)僅有二個B的“好詞”：無論這兩個B置於何處，皆為好詞，相當於在6

個位置放兩個B，有 ¹⁵ 2

5 6 

個；

(4)僅有三個B的“好詞”：將連續的兩個A看作1個，插在

ABBB，BABB，BBAB，BBBA中，共有16個好詞”；

(5)僅有四個B的“好詞”：也就是僅有二個A的“好詞”，AA插在BBBB

中或兩端，故有5個。

共43個好詞”。

【評析】本題屬於中等難易度的組合題，同學需找出適合的分類方式，加上細心的計算，

即可獲得正確的答案。本題徵答人數有15人，僅七位同學獲7分滿分，其餘未獲滿分同學應再細心檢視自己的計數分類方法是否完全考慮所有情況或計算是否細心周到。徵答同學得分及名單如下：

臺中市衛道國中高暐竣同學、臺北市師大附中國中潘卉盈同學、

臺北市敦化國中葉峻豪同學、臺北市蘭雅國中姜理元同學、

臺北市蘭雅國中施瑋庭同學、桃園市新興國際中小國中部游垚騰同學、

臺北市蘭雅國中郭姿筠同學。

臺北市天母國中余竑勳同學。

10304

(5)

新北市樂利國小李國豪、新竹實驗中學陳璿筑、

新竹市仁愛國中洪梓彧、臺北市師大附中國中徐嘉宏。

得4分以下者，3人：

新北市江翠國中李品宏、新北市江翠國小李可非、臺北市蘭雅國中魏子翔。

在無窮大的方格紙上的每個方格中分別寫有數字¹^,²^,³^,⁴之一，並且每種數字至少出現一次。如果一個方格裡面所寫的數字剛好等於寫在他的四個(以邊相鄰的)鄰格中的不同數字的個數，則稱此方格是「好的」。試問：所有的方格能否都是好的。若可能請舉例說明，若不可能請證明之。

【簡答】不可能

【詳解】不可能。

假設存在一種寫法，使得所有的方格都是「好的」。

取出一個寫著4的方格 A，那麼，在它的一個鄰格(稱為B)中也寫著4，在它的其餘三個鄰格^C^,^D^,^E之一中寫著1 (如圖1)，顯然，1不能寫在C 中，若不然，F 中也必須寫4，此時，方格B就有兩個鄰格都寫著4，產生矛盾。

同理，1不能寫在E中，於是，1就只能寫在D中，

對B的鄰格做類似的討論，知道1只能寫在G中。

F C G B A D

E (圖1)

從而，在無窮大的方格紙上寫有數字¹^,⁴的方格如圖2所示。

而數字²^,³只能寫在其分成的22方格中，其中，至少有一格寫3(不妨假設為H )，則^I^,^J 中所填的數字其一為2、其一為3，不妨假設J 為3，則

K

I, 均寫2，但I 的鄰格中有3個不同數字，矛盾。

4 4 4

1 4 4 1 4 4 1 4 4

4 4 H I 4

4 4 J K 4

1 4 4 1 4 4 1 4 4

4 4 4

(圖2)

【解題重點】本題解題重點在先取出一個寫著4的方格，由於4旁邊一定要有1

,2,3,4，1的旁邊如果有4，則四周一定都是4，2旁邊只能有兩組數

字相同，3旁邊只能有一組數字相同。先找出4和1所組成的骨架後，

再討論中間的部分在放入數字²^,³之後有矛盾，即可證明本題不可能存在方格是「好的」。

10305

(6)

【評析】本題徵答人數10人，除誤解題意的3名同學外，其他7人皆得滿分7分，滿分同學有新北市江翠國中李品宏同學、臺中市衛道國中高暐竣同學、臺北市天母國中余竑勳同學、臺北市敦化國中葉峻豪同學、新竹市仁愛國中洪梓彧同學、

臺北市師大附中國中部徐嘉宏同學、桃園市新興國際中小國中部游垚騰同學。