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(1)

臺北市立建國高級中學第 118 期通訊解題題目解答與評析

已知

n

是偶數，且1n104。若有唯一的正整數對⁽^a^,^b⁾使得a² b² n成立，

試問這樣的

n

有幾個？

【簡答】12個

【詳解】<方法一>參考解答

已知(ab)(ab)n，且

n

為偶數，於是^a^^b^,^a^^b同為偶數。

所以，

n

是4的倍數。設n4m，則1m26。 (1) 若m1，可得b0與b是正整數矛盾。

(2)若

m

至少有兩個不同的質因數，則至少有兩個正整數對(a,b)滿足 a b a b m

 

 )

)( 2

( 2 ，與唯一正整數對⁽^a^,^b⁾的條件矛盾。

(3)若

m

恰是一個質數的冪，且這個冪指數不小於3，則至少有兩個正整數對(a,b)滿足 ab ab m

2 ) 2 )(

( ，與唯一正整數對(a,b)的條件矛盾。

(4)若

m

是質數或

m

恰是一個質數的冪，且這個冪指數為2，則有唯一的正整數對⁽â^,^b⁾滿足 â^b â^b ^m

2 ) 2 )(

( ，

所以

m

的可能值為²^,³^,⁴^,⁵^,⁷^,⁹^,¹¹^,¹³^,¹⁷^,¹⁹^,²³^,²⁵，

故

n

的可能值為8,12,16, 20,28,36, 44,52, 68,76,92,100共12個。

<方法二>臺北市麗山國中鍾承燁同學作法

已知⁽^a^^b⁾⁽^a^^b⁾^ⁿ，且

n

所以，

n

是4的倍數。設n4m，則1m26，列舉所有可能如下：

m n4m(a b a b )(  ) 正整數對 ) ,

(a b 組數

是否合唯一的正整數對⁽^a^,^b⁾的條件

1 n  4 2 2 0 不合

2 n  8 4 2 1 合

3 n12 6 2  1 合

4 n16 8 2 4 4(    不合) 1 合

5 n20 10 2  1 合

6 n24 12 2 6 4    2 不合

7 n28 14 2  1 合

8 n32 16 2 8 4    2 不合

9 n36 18 2  1 合

10 n40 20 2 10 4    2 不合

11 n44 22 2  1 合

12 n48 24 2 12 4    2 不合

13 n52 26 2  1 合

14 n56 28 2 14 4    2 不合

15 n60 30 2 10 6    2 不合

16 n64 32 2 16 4 8 8(      不合) 2 不合 11801

(2)

17 n68 34 2  1 合

18 n72 36 2 18 4    2 不合

19 n76 38 2  1 合

20 n80 40 2 20 4    2 不合

21 n84 42 2 14 6    2 不合

22 n88 44 2 22 4    2 不合

23 n92 46 2  1 合

24 n96 48 2 24 4    2 不合

25 n100 50 2  1 合

26 n104 52 2 26 4    2 不合

所以

m

的可能值為²^,³^,⁴^,⁵^,⁷^,⁹^,¹¹^,¹³^,¹⁷^,¹⁹^,²³^,²⁵。

故

n

的可能值為8,12,16, 20,28,36, 44,52,68,76, 92,100共12個。

<方法三>新北市文山國中王士豪同學作法

2 2 ( )( )

n a b  a b a b  ，由

n

又a b a b   ，所以a b  104 11 ，因此a b 2,4,6,8,10。 (1)當a b 2時，ⁿ最小值為8，ⁿ^{ }^{8 2(}^{a b}^ ⁾，令a b 2x，

8 4

n  x(其中^x^²⁴，^{x N}^{ }^{0})，此時

n

有25個。

(2)當a b 4時，ⁿ最小值為24，ⁿ^^{24 4(}^ ^{a b}^ ⁾，令a b 2y， 24 8

n  y(其中^y^¹⁰，^{y N}^{ }^{0})，此時

n

有11個。

(3)當a b 6時，n最小值為48，n48 6( a b )，令a b 2z， 48 12

n  z(其中^z^⁴，^{z N}^{ }^{0})，此時

n

有5個。

(4)當a b 8時，ⁿ最小值為80，ⁿ^^{80 8(}^ ^{a b}^ ⁾，令a b 2w， 80 16

n  w(其中^w^¹，^{w N}^{ }^{0})，此時

n

有2個。

(3)當a b 10時，ⁿ最小值為120 104 ，不合。

由於(2)(3)時：n48,96,72， (2) (4) 時：n80,96， (3) (4) 時：n96， (2) (3) (4)  時：n96，

因此，由排容原理(Principle of Inclusion and Exclusion) 可得

n

的個數為25 11 5 2 3 2 1 1 12        個。

<方法四>台北市龍門國中盛偉嘉同學作法

已知(^a^b)(^a^b)ⁿ，且

n

所以，

n

是4的倍數。

(1)n  4 2 2，a b a b =  =2，得a2, =0b ，不合。

(2)n為8的倍數中，除了n8,16外，只要^a^^b^,^a^^b其中之一含有因數2，另一個含有因數4時，不合唯一性。

(3)n除以4以後，若含有4個以上的因數，亦不符合唯一性，故 60,84

n 不合。

(3)

104 104

1 ~ 104 4 1 ~ 104 8

4 8

]

104 104

1 2 2 12

4 8

4 8,16 60,84

x x

n

n n n

   

   

   

 

     

   

    

  

  

中的倍數的個數，中的倍數的個數，

其中[定義為小於或等於的最大整數，

所以，的個數為個。

【評析】本題共25人參與徵答，平均得分4.48分。

本題屬於中等難度的題目，大多數同學都有論證出

n

是4的倍數，且

b a b

a ,  同為偶數。本題限制唯一的正整數對⁽^a^,^b⁾使得a² b² n成立，欲求出這樣的

n

，所以來信徵答同學的作法分別有下列四種：

有12位同學用<方法一>討論出n為質數的4倍或n為質數平方的4倍，

錯誤的同學大都是遺漏了n亦可為質數平方的4倍，而且多數同學只論證n為質數的4倍或n為質數平方的4倍符合題意，但沒有論證n為其他情形時為何不滿足題意；

有2位同學用<方法二>列舉出所有的解，錯誤的同學是列舉有疏漏；

有3位同學用<方法三>、有6位同學用<方法四>只求出n的個數；

另外有1位同學畫_{a b}²_, ²的所有可能分別在縱軸、橫軸的矩陣表，裡面元素為相應的

n

值，並標示

n

為偶數的情形，但是卻忘了考慮使得

n b

a² ² 成立的正整數對⁽^a^,^b⁾必須唯一。

本題同學們作答論證品質普遍不佳，希望大家可以要求自己將想法更完整的呈現出來。最後，感謝師長及同學的踴躍投稿，本題答題狀況如下：

得7分者10人：

臺北市龍門國中8年15班盛偉嘉、臺北市麗山國中7年2班鍾承燁、新北市文山國中8年4班王士豪、新北市文山國中7年10班游高丞、新北市江翠國中8年20班高瑋伯、新竹市光華國中8年26班呂佳恩、新竹市光華國中8年24班李至傑、新竹市光華國中8年17班黃翊展、新竹市光華國中8年25班廖翊安、新竹市培英國中8年20班李潔妮。

得6分者1人：

新竹市光華國中8年20班張原嘉。

得5分者3人：

臺北市仁愛國中9年19班游竣瑋、臺北市仁愛國中9年6班游竣瑜、

新北市江翠國中8年27班劉建亨。

得4分者2人：

新北市文山國中7年4班錢明、新北市南山國中8年197班李國豪。

得3分者3人：

臺北市麗山國中7年1班江子新、臺中市明道國中8年9班方宣詠、

臺南市民德國中9年7班朱奕潔。

(4)

對任意正整數x,y，函數 ^f⁽^x^,^y⁾具有下列性質：

, ) , (x x x

f  f (x,y) f(y,x), (x y)f(x,y) y f x x y( ,  )，試求 ^f⁽¹⁴^,⁵²⁾之值。

【簡答】364

【詳解】因為(^x ^y)^f(^x,^y) ^y f(x,x y)，所以 ^f⁽^x^,^x^ ^y⁾^ ^x^_y^y ^f⁽^x^,^y⁾。

故 38

) 52 52 , 14

( 

f f(14,38)

  24 38 38 52

10 24 24 38 38 ) 52 24 , 14

(   

f )

10 , 14 ( f

=



10

52

_

) 14 , 10 (

f (10,4)

4 14 10

52 f =

6 10 4 14 10

52  f(4,6)

= 2

6 6 10 4 14 10

52   f(4,2)= ⁽²^,⁴⁾ 2

10 4 14 10

52   f )

2 , 2 2 ( 4 2 10 4 14 10

52    f

 2 364

2 4 2 10 4 14 10

52    

 。

【評析】1.本題屬於較簡易的函數方程問題，同學不僅能確切掌握代換性質，且能正確計算出數值，更重要的是能透過對於函數的了解及利用數學符號完整表達論證計算的過程。本題徵答人數極為踴躍共有21人，

其中有20位獲7分滿分，平均得分6.95分。整體而言參與徵答學生的論證與思考表達方法均十分優異，值得肯定。許多同學亦採用計算模式而解出正確數值。

2.臺南市民德國中朱奕潔同學有精彩的推論如下：

當 ^x^ ^y^^nx時，⁽ⁿ^^N⁾

nx

x x x f

x x x x

n x n x n

nx

x n x x f n

x n x n

nx

x n x x f n nx nx x f y x x f





 

 

 



 

 

 



 





) , 2 (

2 3 )

2 (

) 1 ( ) 1 (

) ) 2 ( , ) (

2 (

) 1 ( ) 1 (

) ) 1 ( , ) (

1 ) (

, ( ) , (



即若函數 f(x,y)有 f x x( , )x, f(x,y) f(y,x), (x y f x y ) ( , ) y )

, (x x y

f  性質，則 ^f⁽^x^,^y⁾^ ₍^x_x^_,_y^y₎

。

3.本題徵答同學以臺中市私立明道高中國中部方宣詠同學、新竹市培英國中李傑妮同學、新竹市光華國中黃翊展同學、臺北市麗山國中江子 11802

(5)

4.獲滿分7分同學共20人，全部名單如下：

臺北市民生國中詹詠傑、臺北市麗山國中江子新、

臺北市麗山國中鍾承燁、臺中市明道國中方宣詠、

臺南市民德國中朱奕潔、桃園市復旦國中傅彥綱、

新北市文山國中石博允、新北市永和國中趙懷青、

新北市光復國中張語彤、新北市江翠國中李可非、

新北市江翠國中高瑋伯、新北市江翠國中劉建亨、

新北市江翠國中鍾堡淀、新北市南山國中李國豪、

新竹市光華國中呂佳恩、新竹市光華國中李至傑、

新竹市光華國中張弘沛、新竹市光華國中張原嘉、

新竹市光華國中黃翊展、新竹市培英國中李潔妮。

獲6分同學共1人，名單如下：

臺北市懷生國中姚勁宇。

ABC中，AB AC，B的角平分線交AC邊於D點，若BCBDAD，求A的度量。

【簡答】100

【詳解】在BC邊上取E點使得_BE __BD，由BCBDAD知CE AD。因BD 是ABC的角平分線，所以AD：DC  AB：BC，

故得CE：CD  AB：BC

又ABC ACB可得

 ABC ~  ECD

^(SAS^{相似)，因此}^EC ^^ED^。

假設ABC2，則ACBEDC2、DBE、 4

BDE BED 

    、 A 180 4 。

在BDE中，由內角和9 180，所以 20，代回可得





A 100 。

E D

B C

A

【評析】以D點為圓心，AD為半徑作一圓，可與BC邊交於相異兩點（想想看為什麼？），參考解答用的是右邊的交點，與此相同的有台南市民德國中朱奕潔同學、台中市明道國中方宣詠同學、新竹市光華國中張原嘉同學、新北市文山國中許崇淵同學、桃園市復旦國中傅彥綱同學（傅同學計算上雖有筆誤，解題的主要想法仍是正確）等。而使用了左邊交點的是，台北市民生國中詹詠傑同學、台北市麗山國中江子新同學、新北市江翠國中葉少鵬同學（葉同學是同時用了左右的交點）等，雖然同學們證明的寫法偶有筆誤，但瑕不掩瑜，每個同學都有自己的邏輯證明，與參考解答均不盡相同，值得鼓勵。

11803

11804

(6)

已知n為正整數，且在1, 2, 3, …, n等n個數的任意排列中，均可找到連續26個數的和大於2015，試求滿足條件的最小正整數n。

【簡答】155

【詳解】(1)先證155符合條件：

令數列a1, a2, …, a155為1, 2, 3, …, 155等數的一個排列，將其依序分成6組，每組26個數，且最後兩組有一共同數a130。

A1 = (a1, a2,…, a26)，A2 = (a27, a28,…, a52)，…，A5 = (a105, a106,…, a130)，

A6 = (a130, a131,…, a155)。

此6組數之和的算術平均數為 6 2015 6 2015

155 3

2

1   a₁₃₀  a₁₃₀ 

故其中必有一組數之和大於2015。

(2)再證小於155的數不符合條件：

構造數列如下：

154, 153, 152, …, 142, 1, 2, 3, …, 13, 141, 140, 139,…, 129,14, 15, 16,…, 26, 128, 127, 126,…, 116, 27, 28, 29, …, 39, 115, 114, 113, …, 103, 40, 41, 42, …, 52, 102, 101, 100, …, 90, 53, 54, 55, …, 65, 89, 90, 91, …,79, 66, 67, 68, …, 78

此數列中，任意連續26個數之和為2015, 2002, …, 1846，故小於 155的數均不符合條件。

【評析】1. 本題題目較為困難，雖然不須太多計算，但證明過程需要一些巧思及

安排，得分的同學在說明的過程中，有個較嚴重的問題：在得到此最小正整數155的過程中，使用一個特殊的數列安排：1, n, 2, (n –

1), …，以此猜測下界為155，但均未說明清楚為何此155個數的任

意排列，必可符合題目條件。因此本題無人得滿分。

2. 本題參與徵答者共7人，答題狀況如下：

得5分者1人：臺北市麗山國中江子新

得4分者3人：臺北市明道國中方宣詠、台南市民德國中朱奕潔、新北市文山國中李允兆

其餘同學因弄錯題意，故未得分。

(7)

在圓內接四邊形ABCD中，對角線AC與_BD交於點E，且∠ABD＝60⁰， AEAD，^_AB、DC交於點F。求證：

(1)點B為△CEF的外心。

(2)∠EBC＝2∠EFC

【詳解】(1)因為_AE__AD，A、B、C、D四點共圓，

所以∠BCE＝∠ADE＝∠AED＝∠BEC，故BC BE 。又∠BCF＝∠BAD＝180⁰－(∠ABD＋∠ADB)＝120⁰－∠ADE

∠BFC＝∠ABD－∠BDF＝60⁰－∠BAC

＝60⁰－(∠AED－∠ABE)＝120⁰－∠AED，

因為∠ADE＝∠AED，所以∠BCF＝∠BFC，則BC BF ，因此BC BE BF  ，故點B為△CEF的外心。

(2)以B點為圓心，BC為半徑作△CEF的外接圓，

因為對同弧的圓心角為圓周角的2倍，所以∠EBC＝2∠EFC。

【評析】1.先說明此題所應用的數學原理與解題想法：

(1)等腰三角形兩底角相等。

(2)對頂角相等。

(3)對同弧的圓周角相等。

(4)圓內接四邊形對角互補。

(5)三角形三內角和為180^。

(6)對同弧的圓心角為圓周角的兩倍。

利用上述之數學性質，得到∠BCE＝∠BEC以及∠BCF＝∠BFC，因此得到結論。

2.平面角的一種單位為度，符號為「



^」^，符號「



^」^{不可以省略不寫；}

平面角還有另一種單位為弧度(又稱弳度)，角度以弧度為單位時，通 11805

(8)

常不寫弧度單位。1 (弧度)= 180°/π（約57.29577951°）。國中生作答時應注意寫上「



^」。

3.本題參與徵答者有12人，平均得分6.67分。

得7分者，9人：

臺北市懷生國中姚勁宇、臺北市麗山國中江子新、

新北市文山國中許崇淵、新北市江翠國中鍾堡淀、

新竹市光華國中李至傑、新竹市光華國中黃翊展、

新竹市培英國中李傑妮、臺中市明道國中方宣詠、

臺南市民德國中朱奕潔。

新竹市光華國中呂佳恩、桃園市復旦國中傅彥綱。

新竹市光華國中張原嘉。