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(1)

臺北市立建國高級中學第134期通訊解題題目解答與評析 13401

證明從任意5個互質的三位數中能選出4個數是互質的。

【證明】令5個互質的三位數為a a a a a₁, ₂, ,₃ ₄, ₅，設此命題不成立，

則

1 2 3 4 1

1 2 3 5 2

1 2 4 5 3

1 3 4 5 4

2 3 4 5 5

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

a a a a d a a a a d a a a a d a a a a d a a a a d

 

 

 

 

 



，其中d d d d d1, 2, 3, 4, 5兩兩互質且均不為1，

而知d1 d2d3 d4 d5 2時，

1 1 1 2 3 4 11 7 5 3 1155

a b d d d d      ，與a₁是三位數矛盾！

所以d d d d d1, 2, 3, 4, 5中必有一數為1。

【評析】

本題證明的方法是使用反證法，假設結論不成立，推得矛盾，以得原結論成立。

此次徵答人數2人，新竹市實驗高中鄭百里同學證明過程嚴謹獲得滿分7 分。台北市仁愛國中鐘景翰同學僅證明連續5個整數中能選出4個數是互質的，

獲得2分。

13402

設數列 a_n 的遞迴關係式為 ¹

2 1

1 2

, 1

n n n

a

a _ a a n

 

   



，求

2016

1

k_ ak 1

 

  





^的值。

（其中

 

^x ^{表示小於或等於}^x^{的最大整數。）}

【簡答】1

【詳解】考慮 1

 

1 1 1 1

1 1

n n n n n

a _  a a  a a

  ₁

1 1 1

n 1 n n

a a a _

  

 ，

於是對消後可得

2016

1 1 2017 2017

1 1 1 1

1 2

k ak a a a

   



 ^，

注意 1

1 a  2, 2

1 1 3 4 2 4 a    ,

2 3

3 3 21

4 4 16 1

a        ，及

1 2 2017

a a a ，則

2017

1 2 1 2 1 2 0 2

   a    ，故

2016

1

1 1

k_ ak 1

 

  







【評析】

1. 本題為中等代數的問題，只有1人徵答，且無人答對。

(2)

2. 若無法推出

1

1 1 1

n 1 n n

a a a _

 的式子，則不能將原式對消至

2016

1 1 2017

1 1 1

k_ ak 1 a a



 ^。

3. 需要再觀察前幾項，則可得a₁a₂a₂₀₁₇的關係。

13403

△ABC中_AB__AC，M D H, , 依序為_BC上的點，使得過A的高_AH _₁₅，A 的內角平分線_AD_₁₇，過A的中線_AM _₂₅，求_BC²之值。

【簡答】2310

【詳解】由畢氏定理知DH 8,MD12，假設_BM __x，則_HC_{ }_x ₂₀。由畢氏定理知_AB_ ₍_x_₂₀₎²_₁₅² _ _x²_₄₀_x_₆₂₅，

_AC_ ₍_x_₂₀₎²_₁₅² _ _x²_₄₀_x_₆₂₅ 角平分線公式：_{AB AC}_ __AD²__{BD DC}_ ，

即 x² 40x625 x²40x625 289 (  x 12)(x12)

2 2 2 2 2

(x 625) 1600x (x 145)

    

2 2 2 2 2

(x 625) (x 145) 1600x

    

2 2

(2x 770) 480 1600x

   

2 1155

x 2

 

所求即₄_x² _₂₃₁₀

【評析】

本題綜合垂線、角平分線及中線，需先判斷三條線之位置再使用畢氏定理及角平分線成比例等性質解出。

本題共有2位同學作答，均獲得滿分7分：

台北市仁愛國中鐘景翰同學、新竹市實驗高中鄭百里同學。

13404

將12 12 的方格紙板的一角減去一個2 2 的正方形，問餘下的140個方格能否剪成35個4小格形成的L型小紙片？

【簡答】不能

【詳解】將12 12 的方格紙中，

第1,3,5,7,9,11各列的各小方格內填上數1，第2, 4,6,8,10,12各列的各小方格內填上數1，由於減去的一角是2 2 的正方形，

於是剩下140個方格內的數字和為0。

(3)

K

H N

M B C

E

A D

O F

G 並設其中有^x塊內的數字和為2，

其餘35x塊內的數字和為2，於是2x ( 2)(35x) 0 ， 35

x 2 不是整數，矛盾。

因此，題設的要求做不到。

【評析】

本題共有三位同學參與解題，解法可將每個小方格利用黑白顏色討論，也可填入正一與負一，然後利用奇數與偶數性質討論。

13405

如下圖。△AXY中，已知_AX __AY _₆₀, _XY __{12 10} ，點P在△AXY內部，

33

AH  ，_PH 垂直_AX 於H，_PH _₆。今過點P引一直線_BC^交_AX 於B，交 AY於C，求△ABC之最小周長。

C

H Y

A X

P

B

【簡答】90

【詳解】(1) 三角形的半周長，等於其一頂點至該頂點所對應的旁切圓的切線段之

長。

(2) 如右圖，△ABC中。

設圓O為∠A所對旁切圓，

則△ABC之周長等於2AD

。

設圓O與BC相切於點F，

今過點F任意作一異於BC 之直線分別交直線AB、AC 於點H、K，則存在直線MN 與直線HK平行，且直線 MN與圓O相切於點G，點 M、N分別在直線AB、AC上。

如此，圓O同為△ABC與△AMN之旁切圓，所以這兩個三角形的半周長同為點A至圓O的切線段_AD之長，即△ABC與△AMN周長相等，但△AMN之周長小於△AHK之周長，而知△ABC之周長小於△AHK之周長。

因此，過∠XAY內部一點P引一直線BC分別交_AX 、_AY於點 B、C，若要△ABC有最小周長，則∠A所對旁切圓應切BC於點 P。

(4)

N Q H B C

S

R

M

A T X

Y

O P

C

B E

D Y

A X

O P

(3) △AXY中，

已知_AX =_AY= 60，_XY= 12 10，令_XY之中點為 M，則AM ⊥_XY，_AM²=

2 2 (6 10)

60  =3240，作

YT ⊥_AX，MN ⊥_AX ，則△AXY之2倍面積為_XY

×AM =_AX ×YT ，

故_{12 10}× 3240=60YT ，得_YT =36，MN =18，

AN= 324018² =54。

設圓O經過點P且與_AX、_AY分別相切於點R、S，則點O在_AM 上，OP=OR，而知△AOR相似於△AMN，即AR：OR=AN：

MN= 54：18 = 3：1。設AR= 3x，OR= x，作^PQ⊥OR，則

△OPQ是直角三角形，其中OP=ÔR= x，OQ=ÔR–^QR=ÔR –PH = x–6，^PQ=AR– AH = 3x–33，依據商高定理：ÔP²=

OQ2+^PQ²，得x²= (x–6)²+(3x–33)²，化簡為3x²–70x+375 = 0，解得x = 15或x =25

3 ，取其中較大之解為x = 15，得AR= 3x = 45。

如此，經過點P作直線BC與OP垂直又分別交_AX、_AY於點 B、C，圓O與AB、AC 、BC分別相切於點R、S、P，即△ABC之一旁切圓，如(2)所述，可知此三角形即符合條件而有最小周長者，

其周長等於2AR 。因為2AR= 90，所以所求△ABC之最小周長為90。

【評析】

三角形的半周長，等於其任意一頂點至此頂點所對應的旁切圓之切線段長，

此一性質不難理解，概述如下：

如右圖。△ABC中，設圓O分別與直線

AB、AC、BC相切於點D、E、P，則因為自圓外一點作圓的切線，其二切線段等長，所以

AD=AE，_BD=BP，CE=CP，得AB+BC+AC=AB+BP+CP+AC

=AB+BD+AC+CE=AD+AE，即△ABC的周長等於_AD+AE= 2AD。

因此，求過點P之△ABC周長的最小值，

即求2AD的最小值，此一最小值出現在BC

與旁切圓相切於點P時。從而可知，BC之尋求可由找出圓O入手。

以上詳解僅利用代數方法計算點P與所求圓心O的距離，來定位旁切圓，

至於「如何尺規作圖畫出圓O？」，並未述及。因為滿足「經過定點P而與角之兩邊皆相切的圓」共有兩個，所以詳解中的x有二解，而「為何x須取較大者？」這

(5)

合於本題條件而有最小周長的三角形恰好是直角三角形，這是數據設定上的巧遇，並非一般情況。

本題僅有台北市仁愛國中鐘景翰同學應徵答題，滿分7分，得分3分。