PDF 學測試題關鍵解析

恭

喜參與今年學測數學考試的同學，想必大家都帶著滿意的笑容離開試場。近 十年來，筆者每年學測數學考試的當天晚上無不帶著戰戰兢兢的態度參與解題，而 就屬今年的解題最順手，幾乎沒有任何難題的出現讓筆者可以早早的收工。這一份 試卷再次回歸到學測當初「中間偏易」的精神，讓有讀書、不放棄數學的孩子在這個科目得到 他應有的報酬。

這幾年的學測數學試題一直有往難度較高的方向移動，因為當利用學測成績當作大學入學

參考成績的比例愈來愈高時，難度有所提升本就是必然的趨勢，然而去年的試題著實讓一些數 學不好的孩子感到擔憂。未來如何兼顧「鑑別度」與「不讓孩子放棄數學」，在在考驗出題教 授的智慧。

一、各冊配分情形：

冊別 單 元 題型

配分 合計 單選題 多選題 選填題

第 一 冊

數與式 C. 5

多項式函數 9. 5 20

指數、對數函數 4. A. 10

第 二 冊

數列與級數 0

排列、組合 8. 5 20

機 率 2.3. 10

數據分析 6. 5

第 三 冊

三 角 5. B. 10

直線與圓 D. 5 35

平面向量 7. 10. E.G. 20 第

四 冊

空間向量 1. H. 10

空間中的平面與直線 11. 5 25

矩 陣 F. 5

二次曲線 12. 5

前 言

數學考科 107 ^年 學測試題關鍵解析

二、試題題型、特色分析：

1. 本份試題各冊的分配看似平均，不過向量部分（含平面向量、空間向量、空間中的平面與 直線）占的比例著實太高，這是往年試題少見的配分比例，而數列與級數單元幾乎是不受 青睞，他的角色可能就是學測這齣大戲中的「路人甲」角色了。

由於沒有任何較難的題目出現，所以今年的多選題也比去年試題顯得平易近人。

(1) 排列組合單元只出了一題，不過命題方向與前兩年相同，都不是典型的P或C的公式，

考的是頂標、前標、均標的邏輯判定，歸在排列組合這個單元還算勉強！

(2) 多選題11為空間中的平面與直線試題，試題要我們判定點有沒有在線上、有沒有在平 面上？再判定直線是否與平面垂直。這道題目讓有做練習的同學容易得分。

2. 針對今年題目，以下幾題是筆者認為比較特殊的題目，提出與各位先進分享：

(1) 單選2：這是一道獨立事件的題目，但最後的結果要求機率的近似值。除了筆者提供的

一般作法之外，同學們也可以利用首數觀念得分。

(2) 單選3：某公司甲、乙兩員工休假的問題，這道題並不難，不過很多同學會因為搞不清

楚題目要我們做甚麼而錯，她們會以為題目是要求兩人休假的兩天都一樣才是 所求。建議這種有關文字解讀的題目應該要有說明才是，否則在今年這份簡單 的試題中差這一題是十分巨大的！

(3) 單選6：本題筆者勉強歸在數據分析中，說真的此題跟課綱中的一維、二維數據一點關

係也沒有，同學們只要中文程度還可以，就可以知道要求甚麼，進而得分。

(4) 多選10：此題為利用向量的加法使得三角形兩邊向量可求出第三邊向量，只要突破這

觀念就可輕易得分。

(5) 選填A：三點共線的問題是一個常見的題目，而此題包裝成對數的形式，同學們可用斜

率相等或是向量平行，或是三點所圍成的三角形面積等於0的觀念解題，當然，

對數的運算在這裡就派上用場了。

(6) 選填C：此題可以參考筆者提供的解法，利用算幾不等式解題，另外也可以設

BP 25r² ，三角形PAB面積=1 1 ² 1 ^{4 2}

25 25

2BP PA  2   r r 2  r r 再利用配方法解題。

(7) 選填G：此題先用正弦定理求出BD與CD的比例，再利用分點公式及平面上向量的線

性組合觀念即可得分，在這份試卷當中屬於比較難的題目。另外，同學們可以

試著由A往BC邊做垂線，兩線段的比例也可輕易求出。

(8) 選填H：這道題就是本份試卷中最難的一題了，不過同學們有些人並不陌生，常見的數

據是3,4,5，而本題改為15,20,25罷了。空間中的距離求法不外乎商高定理、餘 弦定理及向量內積公式。

第壹部分：選擇題

（占 60 分）

一、單選題（占 35 分）

說明︰第1題至第7題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於 一個選項者，該題以零分計算。

1. 給定相異兩點A、B，試問空間中能使△PAB成一正三角形的所有點P所成集合為下列 哪一選項？

(1) 兩個點 (2) 一線段 (3) 一直線 (4) 一圓 (5) 一平面

【答 案】(4)

【概念中心】能了解空間中的幾何圖形。

【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量

【試題解析】若△ABP為一正△且邊長a，作PH⊥AB，PH＝ 2

3a，

以H為圓心，PH為半徑，將P繞AB方向轉一圈，

則圓上任何一點皆可與A、B形成一個正△，

即所求圖形為一圓，

故選(4) 。

2. 一份試卷共有10題單選題，每題有5個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設 小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的 機率最接近下列哪一選項？

(1) 10^－5 (2) 10^－6 (3) 10^－7 (4) 10^－8 (5) 10^－9

【答 案】(3)

【概念中心】能將獨立事件應用於日常生活中解題。

【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率

【試題解析】每題答對的機率是 5 1， 10題全部答對的機率是 ( 5

1 )¹⁰＝(

10

2 )¹⁰＝ ₁₀ 10

1024＝( 1.024×10³ )×10^－10＝1.024×10^－710^－7， 故選(3)。

試 題 詳 解 與 分 析

3. 某公司規定員工可在一星期 ( 七天 ) 當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日 且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？

(1) 3

1 (2) 21

8 (3) 7

3 (4) 21

10 (5) 21 11

【答 案】(5)

【概念中心】能利用拉普拉斯古典機率觀念及反面做法解決問題。

【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率

【試題解析】1－P ( 兩人休假皆不同天 )＝1－ ₇

2 7 2

5 2 7 2

C C

C C

．

． ＝1－

21 10＝

21 11， 故選(5)。

4. 試問有多少個整數x滿足10⁹＜2^x＜9¹⁰？

(1) 1個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 0個

【答 案】(2)

【概念中心】能利用指數不等式同取對數的觀念而求得未知數的近似值。

【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數

【試題解析】10⁹＜2^x＜9¹⁰，

同取log得log 10⁹＜log 2^x＜log 9¹⁰

 9＜x log 2＜10×0.9542  9＜x log 2＜9.542

 0.301

9 ＜x＜

301 . 0

542 .

9  29.9…＜x＜31.7…

∴ x＝30或31 故選(2)。

5. 試問共有幾個角度θ滿足0°＜θ＜180°，且cos ( 3θ－60° ) , cos 3θ, cos ( 3θ＋60° ) 依序成一等差數列？

(1) 1個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 5個

【答 案】(3)

【概念中心】能了解等差中項的意義並利用和角公式解題。

【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角

【試題解析】∵ cos ( 3θ－60° ) , cos ( 3θ) , cos ( 3θ＋60° ) 成等差

∴ cos ( 3θ－60° )＋cos ( 3θ＋60° )＝2．cos 3θ

 ( cos 3θcos 60°＋sin 3θsin 60° )＋( cos 3θcos60°－sin 3θsin 60° )

＝2 cos 3θ

 cos 3θ＝2 cos 3θ ∴ cos 3θ＝0

∵ 0°＜θ＜180° ∴ 0°＜3θ＜540°

∴ 3θ＝90°或270°或450° ∴θ＝30°或90°或150°，共3個 故選(3)。

6. 某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈，當週售價相對於前一週售價的漲跌 幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半。例如下表中第二週成本上漲100％，

所以第二週售價上漲50％。依此定價方式以及下表的資訊，試選出正確的選項。

【註：成本漲跌幅＝

前週成本 當週成本－前週成本

，售價漲跌幅＝

前週售價 當週售價－前週售價

。】

第一週 第二週 第三週 第四週

成本 50 100 50 90

售價 120 180 x y

(1) 120＝x＜y＜180 (2) 120＜x＜y＜180 (3) x＜120＜y＜180 (4) 120＝x＜180＜y (5) 120＜x＜180＜y

【答 案】(5)

【概念中心】能了解漲跌幅的意義並運用於經濟市場。

【命題出處】南一版數學第二冊第四章 數據分析

【試題解析】第二週到第三週成本漲跌幅為 100

100 50－

＝－50％

∴ 售價為跌幅的25％

即售價為x＝180．( 1－25％ )＝135 ( 元 ) 第三週到第四週成本漲跌幅為

50 50 90－

＝80％

∴售價為漲幅40％

即售價為y＝135．( 1＋40％ )＝189 ( 元 ) 故選(5)。

7. △ABC內接於圓心為O之單位圓。若OA＋OB＋ 3OC＝0，則∠BAC之度數為何？

(1) 30° (2) 45° (3) 60° (4) 75° (5) 90°

【答 案】(4)

【概念中心】能利用| a |²＝a．a的觀念及內積計算出夾角。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】∵ △ABC內接於單位圓O

∴ OA＝OB＝OC＝1 又OB＋ 3OC＝－OA

 | OB＋ 3OC |²＝|－OA |²

 | OB |²＋ 3 OB．OC＋| 3OC |²＝| OA |²

 1＋2 3．1．1．cos (∠BOC )＋3＝1

 cos (∠BOC )＝－

2

3 ∴ ∠BOC＝150°

又∠BAC＝

2

1∠BOC＝

2

1×150°＝75°，

故選(4)。

二、多選題（占 25 分）

說明︰第8題至第12題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫 記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，

得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或 所有選項均未作答者，該題以零分計算。

8. 某年學科能力測驗小華的成績為：國文11級分、英文12級分、數學9級分、自然9級 分、社會12級分。他考慮申請一些校系，表 1為大考中心公布的學測各科成績標準；

表2是他最有興趣的五個校系規定的申請檢定標準，依規定申請者需通過該校系所有檢 定標準才會被列入篩選。例如甲校系規定國文成績須達均標、英文須達前標、且社會須 達均標；丙校系則規定英文成績須達均標、且數學或自然至少有一科達前標。表 2空 白者表示該校系對該科成績未規定檢定標準。

表1 學測各科成績標準

頂標 前標 均標 後標 底標

國文 13 12 10 9 7

英文 14 12 9 6 4

數學 12 10 7 4 3

自然 13 11 9 6 5

社會 13 12 10 8 7

表2 校系篩選規定

國文 英文 數學 自然 社會

甲校系 均標 前標 均標

乙校系 前標 均標 前標

丙校系 均標 一科達前標

丁校系 一科達前標 均標 均標 戊校系 均標 前標 均標 前標

根據以上資訊，試問小華可以考慮申請哪些校系 ( 會被列入篩選 )？

(1) 甲校系 (2) 乙校系 (3) 丙校系 (4) 丁校系 (5) 戊校系

【答 案】(1)(4)

【概念中心】能利用邏輯觀念判斷符合資格的校系。

【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合

【試題解析】由大考中心公布的各科標準知小華成績：

國文均標、英文前標、數學均標、自然均標、社會前標。

(1) ○。

(2) ×：國文不符。

(3) ×：數學、自然皆未達前標。

(4) ○。

(5) ×：自然未達前標。

故選(1)(4)。

9. 已知多項式f (x) 除以x²－1之餘式為2x＋1。試選出正確的選項。

(1) f (0)＝1 (2) f (1)＝3 (3) f (x)可能為一次式 (4) f (x)可能為4x⁴＋2x²－3 (5) f (x)可能為4x⁴＋2x³－3

【答 案】(2)(3)(5)

【概念中心】能了解多項式的除法原理並能利用長除法運算。

【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數

【試題解析】f (x)＝( x²－1 )．Q (x)＋( 2x＋1 )＝( x＋1 ) ( x－1 )．Q (x)＋( 2x＋1 ) (1) ×：f (0)＝－Q (0)＋1 ∵ Q (0) 不確定 ∴ f (0) 未能確定是否為1 (2) ○：f (1)＝2×1＋1＝3。

(3) ○：f (x)＝2x＋1亦可。

(4) ×：4x⁴＋2x²－3＝( x²－1 ) ( 4x²＋6 )＋3。

(5) ○：4x⁴＋2x³－3＝( x²－1 ) ( 4x²＋2x＋4 )＋( 2x＋1 )。

故選(2)(3)(5)。

10. 已知坐標平面上△ABC，其中AB＝(－4 , 3 )，且AC＝(

5 2 ,

5

4 )。試選出正確的選項。

(1) BC＝5 (2) △ABC是直角三角形 (3) △ABC的面積為 5 11 (4) sin B＞sin C (5) cosA＞cos B

【答 案】(2)(3)

【概念中心】能利用向量加法由三角形二邊向量求得第三邊向量。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】(1) ×：BC＝AC－AB＝(

5 2 ,

5

4 )－(－4 , 3 )＝(

5 22 ,

5 11

－ )＝

5

11 ( 2 ,－1 )

∴BC＝| BC |＝

5

11 _{2 2}

) 1 (

2 ＋－ ＝

5

11 5。 (2) ○：AB＝ (－4)²＋3² ＝5，AC＝

5

2 _{2 2}

2 1＋ ＝

5

2 5， BC²＋AC²＝(

5

11 5 )²＋(

5

2 5 )²＝(

5 11 )²＋(

5 2 )²＝

5 4 121＋ ＝25＝AB²

∴ △ABC為以∠C＝90°的直角△

(3) ○：△ABC面積＝

2

1 BC×AC＝ 2 1×

5

11 5× 5 2 5＝

5 11 (4) ×：∵ ∠C＝90° ∴ sin C＝1＞sin B

(5) ×：∵ AC＜BC

由大邊對大角性質，得∠A＞∠B

∴ cos A＜cos B 故選(2)(3)。

11. 坐標空間中，設直線L：

2 1 x－

＝ 3 2

－ y－

＝－1

z ，平面E1：2x－3y－z＝0，

平面E2：x＋y－z＝0。試選出正確的選項。

(1) 點 ( 3, 0 ,－1 ) 在直線L上 (2) 點 ( 1 , 2 , 3 ) 在平面E1上 (3) 直線L與平面E1垂直 (4) 直線L在平面E2上 (5) 平面E1與E2交於一直線

【答 案】(3)(5)

【概念中心】能利用直線的方向向量及平面的法向量，判斷空間中直線與平面的位置關係。

【命題出處】南一版數學第四冊第二章 空間中的平面與直線

【試題解析】(1) ×：將點 ( 3 , 0 ,－1 ) 代入L得 2

1 3－

＝ 3 2 0

－

－ ＝ 1 1

－

－ ( 不合 )

∴ 點 ( 3 , 0 ,－1 ) 不在L上

(2) ×：將點 ( 1 , 2 , 3 ) 代入平面E1得2×1－3×2－3＝－7≠0

∴ 點 ( 1 , 2 , 3 ) 不在平面E1上

(3) ○：直線L的方向向量為＝( 2 ,－3 ,－1 )，

平面E1的法向量為n₁＝( 2 ,－3 ,－1 )

∵ // n₁ ∴ L⊥E1

(4) ×：＝( 2 ,－3 ,－1 )，n₂＝( 1 , 1 ,－1 )，

．n₂＝( 2 ,－3 ,－1 )．( 1 , 1 ,－1 )＝2－3＋1＝0

∴⊥n₂

又L上點P ( 1 , 2 , 0 )代入E2得 1＋2－0＝3≠0

∴ L // E2

(5) ○：∵ E1//^╲E2 ∴ E1與E2交於一直線 故選(3)(5)。

12. 試問下列哪些選項中的二次曲線，其焦點（之一）是拋物線y²＝2x的焦點？

(1) y＝( x－

2 1 )²－

4

1 (2) 4 x2

＋ 3 y2

＝1 (3) x²＋ 3 4y²

＝1 (4) 8x²－8y²＝1 (5) 4x²－4y²＝1

【答 案】(1)(3)(4)

【概念中心】能計算出拋物線、橢圓與雙曲線的焦點坐標。

【命題出處】南一版數學第四冊第四章 二次曲線

【試題解析】拋物線y²＝2x＝4 ( 2

1 ) x為開口向右，焦點F ( 2

1 , 0 )。

(1) ○：( x－

2

1 )²＝y＋

4

1為拋物線

 ( x－

2

1 )²＝4 ( 4

1 ) ( y＋

4 1 )，

焦點 ( 2 1 , －

4 1＋

4 1 )＝(

2

1 , 0 )。

(2) ×：

4 x2

＋ 3 y2

＝1為橢圓，

c＝ 4－ ＝1， 3

焦點為 ( 1 , 0 )，(－1 , 0 )。

(3) ○：x²＋ 4 3 y2

＝1為橢圓，

c＝ 4

1－3＝ 2 1， 焦點 (

2

1 , 0 )，(－

2

1 , 0 )。

(4) ○：8x²－8y²＝1

 8 1 x2

－ 8 1 y2

＝1為雙曲線，

c＝ 8

1 8

1＋ ＝ 4 1 ＝

2 1， 焦點 (

2

1 , 0 )，(－

2

1 , 0 )。

(5) ×：4x²－4y²＝1  4 1 x2

－ 4 1 y2

＝1為雙曲線，

c＝ 4

1 4

1＋ ＝ 2 1 ＝

2 1 ， 焦點 (

2

1 , 0 )，(－

2

1 , 0 )。

故選(1)(3)(4)。

第貳部分：選填題

（占 40 分）

說明︰1.第A至H題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號

（13–33）。

2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 已知坐標平面上三點 ( 3 , log 3 )、( 6 , log 6 ) 與 ( 12 , y ) 在同一直線上，則 y＝log_________○¹³○¹⁴ 。

【答 案】24

【概念中心】能知道三點共線表示斜率相等的觀念並用對數性質解題。

【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數

【試題解析】令A ( 3 , log 3 )，B ( 6 , log 6 )，C ( 12 , y )

∵ 三點共線 ∴ m_AB＝m_BC

 6 3 3 log 6 log

－

－ ＝

6 12

6 log

－

y－ 

33 log6

＝ 6 6 log y－

 y－log 6＝2．log 2

 y＝log 6＋2．log 2＝log ( 6×2² )＝log 24。

B. 如右圖所示 ( 只是示意圖 )，將梯子AB靠在與地面垂直 的牆AC上，測得與水平地面的夾角∠ABC為60°。將 在地面上的底B沿著地面向外拉51公分到點F

( 即FB＝51公分 )，此時梯子EF與地面的夾角∠EFC 之正弦值為sin∠EFC＝0.6，則梯子長AB＝___________○¹⁵○¹⁶○¹⁷ 公分。

【答 案】170

【概念中心】能利用直角三角形的邊角關係及三角函數觀念解題。

【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角

【試題解析】設梯長AB＝x公分，則BC＝ABcos 60°＝

2 1x，

又sinθ＝0.6＝

5 3

∴ cosθ＝

5

4CF＝EF．cosθ＝

5 4x

∴ 5

4x＝51＋

2 1x 

10

3 x＝51  x＝170 ( 公分 )

C. 平面上兩點A、B之距離為5，以A為圓心作一半徑為r ( 0＜r＜5 ) 的圓Γ，過B作圓 Γ的切線，切點 ( 之一 ) 為P。當r變動時，△PAB的面積最大可能值為

___________

○¹⁸○¹⁹ ○²⁰ 。

（化成最簡分數）

【答 案】

4 25

【概念中心】能利用算幾不等式求出面積的最大值。

【命題出處】南一版數學第一冊第一章 數與式

【試題解析】設切線段長BP＝x，圓半徑AP＝r

∴ x²＋r²＝25 由算幾不等式得

2

2

2 r

x＋

≥ x．² r²

 2

25≥ xr ∴ xr ≤ 2 25

∴ △PAB面積＝

2 1xr ≤

2 1．

2 25＝

4 25 即面積的最大值為

4 25。

D. 坐標平面上，圓Γ完全落在四個不等式：x－y ≤ 4、x＋y ≤ 18、x－y ≥－2、x＋y ≥－24 所圍成的區域內。則Γ最大可能面積為

_________

○²¹

○²² π。( 化成最簡分數 )

【答 案】

2 9

【概念中心】能作圖二元一次不等式區域並利用兩平行線距離公式得出最大圓直徑。

【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓

【試題解析】作圖如右，得不等式所圍區域為矩形

∵ AB與CD距離為

2

2 ( 1)

1

| ) 2 ( 4

|

－

＋

－

－ ＝

2

6 ＝3 2

∴ 圓Γ最大直徑為3 2，最大半徑為 2

2 3

∴ Γ最大可能面積為π(

2 2 3 )²＝

2 9π

E. 坐標平面上，若拋物線y＝x²＋2x－3的頂點為C，與x軸的交點為A、B，則cos∠ACB

＝_________

○²³

○²⁴ 。( 化成最簡分數 )

【答 案】

5 3

【概念中心】能利用內積求出三角形的內角。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】y＝x²＋2x－3＝( x＋1 )²－4，頂點C (－1 ,－4 )，

令y＝x²＋2x－3＝0  ( x＋3 ) ( x－1 )＝0  x＝－3或1

∴ 與x軸交點A ( 1 , 0 )，B (－3 , 0 )

∵ CA＝( 2 , 4 )，CB＝(－2 , 4 )

∴ cos (∠ACB )＝ CA．CB

| CA | | CB |＝

20

× 20

16 4＋

－ ＝

20 12 ＝

5 3

F. 設a , b , c , d , e , x , y , z皆為實數，考慮矩陣相乘：

















2 1

d c

b a



 





e 6 4

7 5 3

－

－ ＝

















23 11

7 0

7 3

z y x

－

，則y＝_________

○²⁵

○²⁶ 。( 化成最簡分數 )

【答 案】

2 7

【概念中心】能做兩矩陣乘積的運算。

【命題出處】南一版數學第四冊第三章 矩陣

【試題解析】由矩陣乘法得7＋2e＝23  e＝8，

又

7 8 7

0 4 3

＝

＋

＝

－

－ d c

d

c ○1

○2 ，

○1 ×2＋○2 得c＝7，d＝－

4 21

∴ y＝5c＋6d＝5×7＋6×(－

4

21)＝35－

2 63＝

2 7

G. 設D為△ABC中BC邊上的一點，已知∠ABC＝75°、∠ACB＝45°、∠ADB＝60°。若 AD＝s AB＋t AC，則s＝

_________

○²⁷

○²⁸ ，t＝

_________

○²⁹

○³⁰ 。( 化成最簡分數 )

【答 案】

3 1，

3 2

【概念中心】能利用正弦定理求出邊長比，進而利用分點公式表達向量。

【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量

【試題解析】∠BAD＝45°，∠CAD＝15°，

在△ABD中，令AD＝x

∴sin75 x ＝

 45 sin

BD

 BD＝



 75 sin

45

sin ．x＝

4 2 6

2 2

＋ ．x＝( 3－1 ) x

在△ACD中，

 45 sin

x ＝

 15 sin

CD CD＝



 45 sin

15

sin ．x＝

2 2 4

2 6－

．x＝ 2 1 3－

x

∴BD：CD＝( 3－1 ) x：

2 1 3－

x＝2：1 由分點公式得AD＝

3 1 AB＋

3

2 AC，故s＝

3 1，t＝

3 2。

H. 將一塊邊長AB＝15公分、BC＝20公分的長方形鐵片ABCD沿對角線BD對摺後豎立，

使得平面ABD與平面CBD垂直，則A、C兩點 ( 在空間 ) 的距離AC＝_____________ ○³¹○³²○³³ 公分。( 化成最簡根式 )

【答 案】337

【概念中心】能應用直線垂直平面的觀念，解決空間中的距離問題。

【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量

【試題解析】BD＝ 20²＋15² ＝25，

設沿BD對摺後豎立，C點移至C′，

作CP⊥BD， 則CP＝

25 20 15

＝12，同理AQ＝12，

DP＝ 15² 12² ＝9，同理BQ＝9

∴PQ＝25－9－9＝7

在直角△APQ中，AP＝ AQ²＋PQ² ＝ 12²＋7² ＝ 193

∵ 平面BC′D與平面ABD垂直且CP⊥BD ∴CP⊥AP 在直角△APC′中，AC＝ AP²＋PC² ＝ 193＋144＝ 337。

一、考題趨勢：

1. 就筆者分析這些年的學測試題看來，這份試題可說是近幾年來最簡單的試題了，

有讀書的孩子，不放棄數學的同學們會有一定的收穫，而想獲得15級分的同學則 要十分的謹慎作答，就筆者之前所提到的單選3，一時題意看不清楚(無關數學程 度)可能就差了一級分，可能第一志願就遠了。

2. 縱觀整份試題，除了選填G與H作答可能會有一些遲疑之外，其餘的題目同學們

皆可迎刃而解。不過，來年同學準備數學學測時不能指望每年的題目皆如此，其實 我們永遠無法預知當年度的試題，所以筆者依然建議同學們的基本觀念應多加強

( 多項式函數圖形及多項方程式根與圖形交點的關係、直線參數式即是動點的觀念、

正餘弦函數值比較大小、對數的基本運算 )、題目及數據的解讀能力還要再提升 ( 休假問題、頂標及前標問題)，尤其作圖能力更不可忽視 (線性規劃可行解區域、

二次曲線的焦點問題)。而對於 99課綱新增的單元，例如：數據分析、線性規劃、

矩陣等等的典型考題，來年同學們復習時仍必須留意。

3. 以上考題解析及趨勢在本人所編著的「智慧型復習講義」中皆一再提及，並要同學

多加留心注意！就這幾年的考題趨勢而言，「智慧型復習講義」皆能確切命中命題 核心。本書每年皆有修訂以更符合現今的考題趨勢，每年又新加入許多筆者所蒐集 的國外考題以供同學釐清觀念用。另外本書的範例、演練皆留有空格以利於老師上 課講解、同學演練，並適時比較觀念差異，參酌同學的意見刪去較難的題目，讓同 學們做起題目來更有信心、更容易進入復習狀況。期望各位先進可參考並不吝加以 選用、指教。

二、結語：

對高三同學而言，今年的學測數學試題讓大家歡喜的走出考場了！然而，對明年學

測考生而言，請用比今年更高的標準去準備吧！不管試題的難度如何，我們都應了解，

數學不是只有考試用而已，數學一直存在我們的生活當中，不管你喜歡否，它都會跟隨 著你一輩子。

努力三年了！還是那句老話：「堅持到底」的人必將歡喜收割！

結 論